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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.3.1一元二次方程的概念第3章一元二次方程湘教版九年级上册数学3.1一元二次方程的概念练习题一、核心知识点梳理一元二次方程是初中数学核心方程模型，需掌握严格定义与基础形式，是后续解方程、应用题的基础。1.定义：等号两边为整式，只含一个未知数，且未知数最高次数为2的方程。判定三要素：整式方程、唯一未知数、最高次数为2且二次项系数不为0。2.一般形式：$$ax^2+bx+c=0$$（$$a、b、c$$为常数，$$a\neq0$$），其中$$ax^2$$是二次项，$$a$$是二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$是一次项系数；$$c$$是常数项。3.方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值。二、基础巩固练习题选择题（每题5分，共30分）1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）A. $$2x+1=0$$ B. $$x^2+3x=0$$ C. $$x^2+y=1$$ D. $$\frac{1}{x}+x^2=2$$2.方程$$3x^2-5x+2=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 3、-5、2 B. 3、5、2 C. -3、-5、2 D. 3、-5、-23.若方程$$(m-2)x^2+3x+1=0$$是一元二次方程，则$$m$$的取值范围是（）A. $$m\neq0$$ B. $$m\neq2$$ C. $$m=2$$ D. $$m>2$$4.下列关于$$x$$的方程一定是一元二次方程的是（）A. $$ax^2+bx+c=0$$ B. $$x^2-2=(x+3)^2$$ C. $$x^2+x-1=0$$ D. $$x^3+2x=0$$5.已知$$x=1$$是方程$$x^2+kx-3=0$$的一个根，则$$k$$的值为（）A. 2 B. -2 C. 1 D. -16.将方程$$2x(x-1)=3$$化为一般形式后，常数项是（）A. -3 B. 3 C. -2 D. 2填空题（每题6分，共30分）1.方程$$x^2-4x=0$$的一次项系数是________，常数项是________。2.若方程$$(k+1)x^2-2x+5=0$$是一元二次方程，则$$k$$的取值范围是________。3.把方程$$(x+2)(x-3)=1$$化成一元二次方程的一般形式为________。4.已知$$x=2$$是方程$$ax^2-x-2=0$$的根，则$$a=$$________。5.若一元二次方程的二次项系数为2，一次项系数为-1，常数项为5，则该方程为________。解答题（共40分）1.（12分）判断下列方程是否为一元二次方程，说明理由。（1）$$5x^2=0$$（2）$$x^2+2y=3$$（3）$$\sqrt{x^2+1}=2$$（4）$$3x^2-\frac{1}{x}=0$$2.（14分）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出各项系数。（1）$$4x^2=1-2x$$（2）$$(x-1)^2=4x$$3.（14分）已知方程$$(m-3)x^{|m|-1}+2x-1=0$$是一元二次方程，求$$m$$的值。三、参考答案与详细解析选择题解析1. B解析：A是一元一次方程，C含两个未知数，D是分式方程，均不符合定义；B满足一元二次方程三要素。2. A解析：根据一般形式，直接对应各项系数即可。3. B解析：二次项系数不为0，即$$m-2\neq0$$，故$$m\neq2$$。4. C解析：A未说明$$a\neq0$$，B化简后无二次项，D最高次数为3，均排除。5. A解析：将$$x=1$$代入方程，$$1+k-3=0$$，解得$$k=2$$。6. A解析：化简得$$2x^2-2x-3=0$$，常数项为-3。填空题答案1. -4、0 2. $$k\neq-1$$ 3. $$x^2-x-7=0$$ 4. 1 5. $$2x^2-x+5=0$$解答题解析1.（1）是，整式方程、单未知数、最高次数2；（2）不是，含两个未知数；（3）不是，不是整式方程；（4）不是，分母含未知数，为分式方程。2.（1）一般形式：$$4x^2+2x-1=0$$，二次项系数4，一次项系数2，常数项-1；（2）一般形式：$$x^2-6x+1=0$$，二次项系数1，一次项系数-6，常数项1。3.由题意得$$|m|-1=2$$且$$m-3\neq0$$，解得$$m=-3$$。四、易错点总结1.判定方程时，必须保证二次项系数不为0，含参数的方程需分类讨论；2.化简一般形式时，注意移项变号，常数项、一次项系数可正可负；3.未知数在分母、根号内的方程不是整式方程，不属于一元二次方程；4.方程的根需代入原方程验证，避免计算失误。本套习题覆盖本节基础定义、系数判定、方程化简、参数求解等核心考点，贴合湘教版教材重难点，可全面巩固一元二次方程的基础概念。动脑筋：
（1） 如图所示， 已知一矩形的长为200 cm， 宽为150 cm。现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的 。求挖去的圆的半径 x cm应满足的方程（其中π取3）；
（2）据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆。求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程。
要建立方程， 关键是找出问题中的等量关系。
动脑筋：
（1） 如图所示， 已知一矩形的长为200 cm， 宽为150 cm。现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的 。求挖去的圆的半径 x cm应满足的方程（其中π取3）；
分析：矩形的面积－圆的面积=矩形的面积× 。
解：由于圆的半径为xcm， 则它的面积为3x2cm2。依题意得：
①
1. [2026永州模拟] 下列式子：； ；
； ；
； ．其中是一
元二次方程的有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
2. 已知关于 的方程
是一元二次方程，则 的值
为( )
C
A. B. 3 C. D. 不能确定
解题支架
返回
动脑筋：
（2）据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆。求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程。
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x。依题意得：
75 (1 + x )2 = 108
化简得：25x2 + 50x－11 ＝ 0。
②
分析：前年的汽车拥有量？
两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量× (1 +年平均增长率)2。
一年后的汽车拥有量？
=75(1+x)2
75
+75x
=75(1+x)
两年后的汽车拥有量？
75(1+x)
+75(1+x)x
一年后：
两年后：
会解方程x2－2500＝0，25x2 + 50x－11＝0吗？这是一个什么方程？这就是本节课我们所要解决的问题——
一元二次方程。
1、一元二次方程的概念
[说一说]方程①②中有几个未知数？ 它们的左边是x的几次多项式？
x2－2500 =０
①
25x2 + 50x－11=0
②
2、一元二次方程的一般形式
如果一个方程通过整理可以使右边为0， 而左边是只含有一个未知数的二次多项式， 那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：
ax2＋bx＋ c＝0（a ，b，c 是已知数， a ≠0）
其中a， b， c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。
强调：一元二次方程的一般形式是：方程的右边为0，左边按未知数的降幂排列。
[想一想]为什么强调二次项系数不能为0？如果为0会出现什么情况？
类型1：一元二次方程的概念
[练习]下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
强调：
1、必须是整式方程；
2、化简后含有二次项；
3、二次项系数不为0
A
类型2：一元二次方程的一般形式
例 下列方程是否为一元二次方程？ 若是， 指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1） 3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2)；
（2） 5x ( x + 1) + 7 = 5x2 – 4。
举
例
解：（1）化简得： – 3x2 + x + 6 = 0
这是一元二次方程， 其中二次项系数是 – 3， 一次项系数是1， 常数项是6。
思考：可以写成3x2 - x -6 = 0 吗？那么各项系数又是多少？常数项是多少呢？
（2）化简得：5x + 11 = 0
这是一元一次方程， 不是一元二次方程。
知识点2 一元二次方程的一般形式
3. 把方程 化成一般形式
（二次项系数为正数）后， 的值为___．
4. [娄底模拟] 若关于 的一元二次方程
的常数项等于0，则 的值为___．
2
2
返回
知识点3 建立一元二次方程模型
5. 第三届湖南旅发大会在衡阳隆重召开，喜迎
全国游客．据了解，10月1日，东洲岛景区接待游客约10万
人次，10月3日接待游客人数达到12.1万人次．设这两天的平
均增长率为 ，下列方程正确的是( )
B
A. B.
C. D.
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6. 在第十五届全国运动会上，乒乓球项目备
受关注.男子团体赛第一阶段采用单循环赛（每两队之间都赛
一场）．计划分为4组，其中一组安排了10场比赛，设该组
邀请了 个球队参加比赛，可列方程为_______________.
返回
7. 如图，一张长方形纸板长,宽 ,剪掉2个小正方形
和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分）,剩余的部分可折成
一个有盖的长方体纸盒，若纸盒底面 的面积等于
,设剪掉的小正方形边长为 ,则根据题意可得方程
_________________________.
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8. [衡阳期末] 关于 的一元二次方程
化为一般形式后不含一次项，则
的值为( )
D
A. 0 B. C. 3 D.
返回
9. 一元二次方程
化为一般形式为，则一次函数 的
图象不经过( )
D
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多
少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三
文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这
批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿
一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问
6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 株，则可列方程
为_________________．
返回
课堂小结
一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0)
a
+ b
+ c
二次项系数
一次项系数
常数项
一元二次方程
概念
一个未知数
最高次是2
整式方程

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