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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.3.2.1配方法-第1课时直接开平方法解方程第3章一元二次方程湘教版九年级上册数学3.2.1配方法（第1课时）直接开平方法解方程练习题一、核心知识点梳理直接开平方法是解一元二次方程最基础、最简便的方法，也是后续学习配方法的核心基础，适用于形如平方形式的特殊一元二次方程。1.适用方程形式：可化为$$x^2=p$$或$$(mx+n)^2=p$$（$$m\neq0$$）的一元二次方程。2.解法依据：平方根的定义，若一个数的平方等于$$p$$，则这个数是$$p$$的平方根。3.解的情况分类：当$$p>0$$时，方程有两个不相等的实数根；当$$p=0$$时，方程有两个相等的实数根；当$$p<0$$时，方程无实数根。4.解题步骤：先将方程整理为完全平方等于常数的标准形式，再直接开平方，转化为一元一次方程，最后求解并整理根。二、基础巩固练习题选择题（每题5分，共30分）1.方程$$x^2=16$$的解是（）A. $$x=4$$ B. $$x=-4$$ C. $$x=\pm4$$ D.无解2.方程$$(x-2)^2=0$$的根的情况是（）A.两个不相等实数根B.两个相等实数根C.无实数根D.无法判断3.下列方程适合用直接开平方法求解的是（）A. $$x^2+2x=0$$ B. $$(x+1)^2=9$$ C. $$x^2-4x+1=0$$ D. $$x^2+3x-2=0$$4.方程$$(2x+1)^2=-4$$的解为（）A. $$x=\frac{1}{2}$$ B. $$x=-\frac{3}{2}$$ C. $$x=\pm\frac{3}{2}$$ D.无实数根5.若方程$$x^2=a$$有实数根，则$$a$$的取值范围是（）A.$$a>0$$ B. $$a\geq0$$ C. $$a<0$$ D. $$a\leq0$$6.方程$$(x+3)^2=4$$的解是（）A. $$x=-1$$ B. $$x=-5$$ C. $$x_1=-1，x_2=-5$$ D. $$x_1=1，x_2=5$$填空题（每题6分，共30分）1.方程$$x^2-9=0$$的解为________。2.方程$$(3x-1)^2=0$$的实数根是________。3.若$$(x-5)^2=16$$，则$$x=$$________。4.方程$$2x^2=8$$化简后求解，根为________。5.已知方程$$(mx+2)^2=9$$可直接开平方求解，则$$m$$需满足________。解答题（共40分）1.（12分）用直接开平方法解下列简单一元二次方程：（1）$$x^2=25$$（2）$$x^2-121=0$$（3）$$3x^2=27$$2.（14分）用直接开平方法解下列复合平方形式方程：（1）$$(x-4)^2=36$$（2）$$(2x+3)^2=16$$3.（14分）用直接开平方法解需要简单整理的方程：（1）$$(x+1)^2-4=0$$（2）$$4(x-2)^2-9=0$$三、参考答案与详细解析选择题解析1. C解析：由$$x^2=16$$，根据平方根定义，$$x=\pm\sqrt{16}=\pm4$$。2. B解析：$$(x-2)^2=0$$，解得$$x_1=x_2=2$$，有两个相等实数根。3. B解析：只有B选项为完全平方等于常数的形式，符合直接开平方法适用条件。4. D解析：平方数具有非负性，$$(2x+1)^2\geq0$$，不可能等于负数，无实数根。5. B解析：负数没有平方根，只有$$a\geq0$$时，方程才有实数根。6. C解析：开平方得$$x+3=\pm2$$，分别解得$$x_1=-1，x_2=-5$$。填空题答案1. $$x_1=3，x_2=-3$$ 2. $$x_1=x_2=\frac{1}{3}$$ 3. 9或1 4. $$x_1=2，x_2=-2$$ 5. $$m\neq0$$解答题解析1.解析：（1）直接开平方得$$x=\pm5$$，即$$x_1=5，x_2=-5$$；（2）移项得$$x^2=121$$，开方得$$x=\pm11$$，即$$x_1=11，x_2=-11$$；（3）系数化为1得$$x^2=9$$，解得$$x_1=3，x_2=-3$$。2.解析：（1）开平方得$$x-4=\pm6$$，当$$x-4=6$$时，$$x=10$$；当$$x-4=-6$$时，$$x=-2$$，即$$x_1=10，x_2=-2$$；（2）开平方得$$2x+3=\pm4$$，分别解得$$x_1=\frac{1}{2}，x_2=-\frac{7}{2}$$。3.解析：（1）移项得$$(x+1)^2=4$$，开方得$$x+1=\pm2$$，解得$$x_1=1，x_2=-3$$；（2）移项得$$4(x-2)^2=9$$，系数化为1得$$(x-2)^2=\frac{9}{4}$$，开方得$$x-2=\pm\frac{3}{2}$$，解得$$x_1=\frac{7}{2}，x_2=\frac{1}{2}$$。四、易错点总结1.开平方时容易遗漏负根，大部分一元二次方程通过直接开平方法会得到两个实数根，不可只写正根；2.忽略平方的非负性，当平方等于负数时，方程无实数根，无需强行求解；3.方程整理不彻底，含系数的平方形式需先将平方项系数化为1，再开平方；4.求解复合平方方程时，忘记整体思想，需将括号内式子看作整体，再拆分求解一元一次方程。本节课是配方法的基础，熟练掌握直接开平方法，能快速简化一元二次方程求解过程，为后续配方变形、复杂方程求解筑牢基础。新课导入
导入课题
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长.
问题1：本题的等量关系是什么？
问题2：设正方体的棱长为xdm，请列出方程并化简.
相等
6x2×10=1500
化简为：x2=25
推进新课
知识点1
用直接开平方法解一元二次方程
问题1 根据平方根的意义解导入列出的方程：
x2=25.
解：根据平方根的意义，得
x= ±5
即 x1=5，x2=-5
因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm.
巩固练习
根据平方根的意义解方程
x2=36； 2x2-4=0； 3x2-4=8.
x=±6
x1=6，x2=-6
x2=4
x=±2
x1=2，x2=-2
当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 .
当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0.
当p<0时，方程x2=p无实数根.
规律总结
知识点2
降次
你认为应怎样解方程(x+3)2=5
由方程x2=25得x=±5.
以此类推：
由方程(x+3)2=5，可得
解方程 (x+3)2=5 ，实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程即得原方程的解.
当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是 ,
当p<0时，方程(mx+n)2=p .
无实数根
知识点1 一元二次方程的解（根）
1. [郴州期末] 已知方程的一个根是1，则
的值为( )
B
A. 4 B. C. 3 D.
2. 若是关于的方程 的解，
则代数式 的值是____.
返回
3. 已知一个一元二次方程有一个根是1，且它
的一次项系数是 ，写出一个符合要求的方程：
_______________________________.
4. 下表是代数式 的值的情况，根据表格数据，可知
方程 的根是_______________.
（答案不唯一）
0 1 2 3 4
12 6 2 0 0 2 6 12
,
返回
巩固练习
(x+6)2－9=0 3(x－1)2－12=0
解：(x+6)2=9
x+6=+3
x1=－3, x2=－9
解：3(x－1)2=12
(x－1)2=4
x－1=+2
x1=3, x2=－1
随堂演练
一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，
其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一
次方程是（ ）
A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4
2. 方程3x2+9=0的根为（ ）
A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根
3. 若8x2-16=0，则x的值是 .
D
D

4. 解关于x的方程(x+m)2=n.
解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得
x+m=± ，方程的两根为x1= -m, x2=- -m.
②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得
x+m=0，方程的两根为x1=x2=-m.
③当n<0时，因为对任意实数x，都有
(x+m)2≥0，所以方程无实数根.
知识点2 解形如 的方程
5. 老师出示问题：解方程 .四名同学给出了以下答
案：甲：;乙：；丙： ；丁：
， .则( )
D
A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 丁正确
6. 若一元二次方程的两根分别是 和
，则 的值为___.
返回
7. 用直接开平方法解下列方程：
（1） ;
【解】原方程可化为.根据平方根的意义，得 或
，因此，原方程的根为, .
（2） .
，， ，
，所以， .
返回
知识点3 解形如 的方程
8. 如果关于的方程无解，那么 的取值范
围是( )
C
A. B. C. D.
9. 如图，它是计算机程序设计，若输出的值为36，则输入的
的值为_______.
7或
返回
10. 用直接开平方法解下列方程：
（1） ;
【解】因为.所以 所以
，解得， .
（2） .
开平方，得或 ，
解得, .
返回
11. 在关于的方程中，,, 满足
和 ,则方程的根是( )
B
A. 1,0 B. 1, C. 1, D. 无法确定
返回
12. 若是方程 的一个根，
则 的值是( )
C
A. B. C. D. 2 028
【点拨】因为是方程 的一个根，所以
,,所以,所以原式 .
一元二次方程 根的代数式
化简求值问题，常常不需要解方程，只需要对方程进行变形.
常见的变形方法有：, ,
, ,
.其中①②③④体现了“降次”代换的思
想，⑤是构造倒数关系作等值代换.例如本题先求出 的值再
代入代数式中求值比较困难，根据根的定义将 代入方程，
将方程变形可得 ，再将其整体代入待求式中
化简求值即可.
. .
. .
. .
返回
13. 若,则 ___.
7
本题易忽略 而致错.
返回
14. 已知,则 的值为
_______.
2 026
课堂小结
当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 .
当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0.
当p<0时，方程x2=p无实数根.
当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是 ,
当p<0时，方程(mx+n)2=p .
无实数根

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