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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.3.2.3因式分解法第3章一元二次方程湘教版九年级上册数学3.2.3因式分解法练习题一、核心知识点梳理因式分解法是解一元二次方程最简便、最快速的特殊解法，适用于可因式分解的一元二次方程，相较于配方法、公式法计算量更小，是中考高频解题方法。1.解题原理：若两个因式的乘积为0，即$$ab=0$$，则必有$$a=0$$或$$b=0$$，以此将一元二次方程拆解为两个一元一次方程求解。2.适用方程形式：整理后左边可因式分解、右边为0的一元二次方程，常用分解方法为提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式）。3.标准解题步骤：第一步移项，将方程所有项移至左侧，使方程右边为0；第二步因式分解，将左侧多项式分解为两个一次因式的乘积；第三步转化方程，令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；第四步求解整理，解出两个一次方程的根，即为原一元二次方程的根。4.常用分解公式：平方差公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$；完全平方公式$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$。二、基础巩固练习题选择题（每题5分，共30分）1.解方程$$x(x-3)=0$$的根是（）A. $$x=0$$ B. $$x=3$$ C. $$x_1=0，x_2=3$$ D.无实数根2.适合用因式分解法求解的方程是（）A. $$x^2-2x-5=0$$ B. $$2x^2+3x-1=0$$ C. $$x^2-4x=0$$ D. $$x^2+5x+3=0$$3.方程$$(x+2)(x-1)=0$$的解为（）A. $$x_1=-2，x_2=1$$ B. $$x_1=2，x_2=-1$$ C. $$x_1=-2，x_2=-1$$ D. $$x_1=2，x_2=1$$4.用因式分解法解$$x^2-9=0$$，分解结果正确的是（）A. $$(x-3)^2=0$$ B. $$(x+3)(x-3)=0$$ C. $$(x+9)(x-9)=0$$ D.$$(x-1)(x-9)=0$$5.方程$$x^2-4x+4=0$$的根的情况是（）A.两个不相等实数根B.两个相等实数根C.无实数根D.无法确定6.解方程$$3x^2=2x$$，移项分解后正确的是（）A. $$x(3x-2)=0$$ B. $$3x(x-2)=0$$ C. $$(3x-2)^2=0$$ D. $$x(3x+2)=0$$填空题（每题6分，共30分）1.方程$$x^2-5x=0$$因式分解得________，方程的根为________。2.方程$$x^2-16=0$$的实数根是________。3.解方程$$(x-1)^2-(2x+3)^2=0$$，可利用________公式因式分解。4.方程$$x^2+6x+9=0$$的根为________。5.若$$(x-2)(x+5)=0$$，则$$x=$$________。解答题（共40分）1.（12分）用提公因式法解下列方程：（1）$$2x^2+4x=0$$（2）$$5x^2-10x=0$$（3）$$x(x-2)+3(x-2)=0$$2.（14分）用公式因式分解法解下列方程：（1）$$x^2-25=0$$（2）$$x^2-6x+9=0$$3.（14分）用因式分解法解需要整理的一元二次方程：（1）$$x^2=4x$$（2）$$(x+1)^2=2x+2$$三、参考答案与详细解析选择题解析1. C解析：由$$x=0$$或$$x-3=0$$，得$$x_1=0，x_2=3$$。2. C解析：$$x^2-4x=0$$可提公因式分解为$$x(x-4)=0$$，其余方程无法简单因式分解。3. A解析：令$$x+2=0$$、$$x-1=0$$，解得对应根。4. B解析：利用平方差公式，$$x^2-9=(x+3)(x-3)$$。5. B解析：分解得$$(x-2)^2=0$$，方程有两个相等实数根$$x_1=x_2=2$$。6. A解析：移项得$$3x^2-2x=0$$，提公因式$$x(3x-2)=0$$。填空题答案1. $$x(x-5)=0$$；$$x_1=0，x_2=5$$ 2. $$x_1=4，x_2=-4$$ 3.平方差4. $$x_1=x_2=-3$$5. 2或-5解答题解析1.解析：（1）提公因式得$$2x(x+2)=0$$，解得$$x_1=0，x_2=-2$$；（2）提公因式得$$5x(x-2)=0$$，解得$$x_1=0，x_2=2$$；（3）提公因式得$$(x-2)(x+3)=0$$，解得$$x_1=2，x_2=-3$$。2.解析：（1）平方差分解$$(x+5)(x-5)=0$$，解得$$x_1=5，x_2=-5$$；（2）完全平方分解$$(x-3)^2=0$$，解得$$x_1=x_2=3$$。3.解析：（1）移项得$$x^2-4x=0$$，分解得$$x(x-4)=0$$，解得$$x_1=0，x_2=4$$；（2）整理变形得$$(x+1)^2-2(x+1)=0$$，提公因式$$(x+1)(x-1)=0$$，解得$$x_1=-1，x_2=1$$。四、易错点总结1.核心易错：解方程时不移项，直接拆分因式，如$$3x^2=2x$$直接约去$$x$$，遗漏$$x=0$$的根；2.忘记将方程右侧化为0，因式分解法必须保证等式右边为0才能拆分求解；3.因式分解不彻底，仅部分分解，导致求解根错误；4.混淆完全平方与平方差公式，公式套用错误导致分解失误；5.出现重根时漏写根，两个相等实数根需规范书写$$x_1=x_2=a$$，不能只写一个根。因式分解法核心口诀“先移零、再分解、分因式、解根值”，计算简便、准确率高，是优先选用的一元二次方程解法，需熟练掌握两种基础因式分解技巧。新课导入
导入课题
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为：10x-4.9x2.
问题：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程.
10x-4.9x2=0
学习目标
(1)会用因式分解法解一元二次方程.
(2)能选用合适的方法解一元二次方程.
推进新课
知识点1
用因式分解法解一元二次方程
你能用配方法或公式法解方程10x-4.9x2=0吗？
是否还有更简单的方法呢？
分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0，
降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0，
求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2= .
思考：解方程10x-4.9x2=0时，二次方程是如何降为一次的？
解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
解下列方程：
x(x-2)+x-2=0；
解： 分解因式，得
(x-2)(x+1)=0
即 x-2 =0或x+1 =0,
x1=2，x2=-1
解： 移项、合并同类项得
4x2-1=0
(2x-1)(2x+1)=0
即2x-1 =0或2x+1 =0,
x1= , x2=
思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法
用因式分解法解一元二次方程的依据是：
如果ab=0，则a=0或b=0.
知识点1 用因式分解法解一元二次方程的依据
1. 用因式分解法解方程,下列过程正确的是( )
A
A. 化为或
B. 化为或
C. 化为或
D. 化为
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2. 已知某一元二次方程的两根分别为, ，则这
个方程可能为( )
A
A. B.
C. D.
返回
解下列方程：
(x-2)·(x-3)=0； 4x2－11x=0.
解： 由题可得
x-2=0或x-3=0
x1=2, x2=3
解： 分解因式，得
故x=0或
x1=0,
你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？
第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式；
第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式；
第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；
第四步，解两个一次方程，求出方程的根.
知识点2
一元二次方程解法的选用
选择适当的方法解下列方程：
2x2-4x+1=0； (2x-1)2=x(3x+2)-7；
解：
解：化简，得
4x2-4x+1=3x2+2x-7
x2-6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
x1=2，x2=4
x2+2x-35=0； (x-1)2+2x-3=0；
解：分解因式，得
(x-5)(x+7)=0
x1=5, x2=-7
解：化简，得
x2-2x+1+2x-3=0
x2-2=0
直接开平方法适用于哪种形式的方程？
配方法适用于哪种形式的方程？
公式法适用于哪种形式的方程？
因式分解法适用于哪种形式的方程？
x2=p
(mx+n)2=p
ax2+bx+c=0(a≠0)
x2-(m+n)x+mn=0
知识点2 用因式分解法解一元二次方程
3. 设是方程的一个较大的根， 是方程
的一个较小的根，则 的值是( )
C
A. B. C. D. 2
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4. [怀化模拟] 若一个三角形两条边长为2和4，第三条边
长满足方程 ，则此三角形的周长为____．
11
当方程两边有相同的因式时，不能同除以这个因式，
否则容易漏解.
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5. 小明在与 对话中输入如下的
文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3
倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验
证， 给出的这个数应该是___.
2
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知识点3 用合适的方法解一元二次方程
6. 解下列方程：; ;
; .用较简便的
方法依次是( )
A
A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法
B. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法
C. ①④因式分解法，②公式法，③配方法
D. ①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法
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7. 用合适的方法解下列方程：
（1） ；
【解】因为,所以 .
所以.所以， .
（2） ；
因为，所以 .
所以.所以 .
所以.所以， .
（3） ；
因为,, ,所以
.
所以 .
所以， .
（4） ．
因为，所以 .
所以 .
所以.所以 .
所以或.所以， ．
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8. 点 的横、纵坐标恰好是方程
的两个根,则经过点 的正比例函数图象一定
过( )
B
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限
C. 第一象限 D. 第四象限
解一元二次方程时通常根据方程的特征选择简便的
方法.一般情况下，我们选择解法的顺序为：直接开平方法
因式分解法 公式法 配方法.
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9. 已知实数 满足
,那么 的值为( )
A
A. 0或2 B. 或1 C. 2 D. 1
运用换元法解一元二次方程时，先要找出相同的部
分，看成一个整体进行换元，使方程变得更简易，解完方程
后还要注意还元.
. .
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10. 已知一元二次方程 的
一个根与方程 的一个根互为
相反数，那么 的根是( )
A
A. 0, B. 0, C. ,2 D. 1,
课堂小结
因式分解法
通过因式分解实现降次来解一元二次方程
提公因式法
公式法
十字相乘法
完全平方公式
平方差公式

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