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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.3.4一元二次方程根与系数的关系第3章一元二次方程湘教版九年级上册数学3.4一元二次方程根与系数的关系练习题一、核心知识点梳理一元二次方程根与系数的关系也称为韦达定理，是本章重点拓展知识点，无需解方程即可利用系数关系求解根的代数式的值，是中考高频考点。1.定理内容：对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$$，当$$\Delta\geq0$$，方程的两个实数根为$$x_1、x_2$$，则根与系数满足固定关系：$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$，$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$。2.特殊情况：当二次项系数$$a=1$$时，方程$$x^2+bx+c=0$$，满足$$x_1+x_2=-b$$，$$x_1\cdot x_2=c$$。3.常用变形公式：$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$、$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$。4.核心前提：使用韦达定理必须保证方程有实数根，即$$\Delta\geq0$$且$$a\neq0$$，含参数题型必须验证前提条件。二、基础巩固练习题选择题（每题5分，共30分）1.已知方程$$x^2-5x+6=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2$$的值为（）A. 5 B. -5 C. 6 D. -62.方程$$2x^2+3x-2=0$$的两根之积$$x_1x_2$$是（）A. 1 B. -1 C. $$\frac{3}{2}$$ D. $$-\frac{3}{2}$$3.若方程$$x^2+mx+4=0$$的两根之和为-3，则$$m$$的值为（）A. -3 B. 3 C. -4 D. 44.已知方程两根之和为2，两根之积为-3，则该方程是（）A. $$x^2+2x-3=0$$ B. $$x^2-2x-3=0$$ C.$$x^2+2x+3=0$$ D. $$x^2-2x+3=0$$5.设$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-4x+2=0$$的两根，则$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$$的值为（）A. 2 B. -2 C. $$\frac{1}{2}$$ D.$$-\frac{1}{2}$$6.已知一元二次方程$$3x^2-2x+k=0$$有两个实数根，则两根之和为（）A. $$\frac{2}{3}$$ B. $$-\frac{2}{3}$$ C. $$\frac{k}{3}$$ D. $$-\frac{k}{3}$$填空题（每题6分，共30分）1.方程$$x^2-7x+10=0$$的两根之和为________，两根之积为________。2.已知$$x_1、x_2$$是方程$$2x^2-6x+3=0$$的两根，则$$x_1+x_2=$$________。3.若方程$$x^2+5x+m=0$$的一个根为1，则另一个根为________。4.设$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-3x-1=0$$的两根，则$$x_1^2+x_2^2=$$________。5.已知方程$$ax^2-4x+1=0$$两根之积为$$\frac{1}{2}$$，则$$a=$$________。解答题（共40分）1.（12分）已知$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-6x+5=0$$的两根，不解方程求下列代数式的值：（1）$$x_1+x_2$$（2）$$x_1x_2$$（3）$$x_1^2+x_2^2$$2.（14分）已知$$x_1、x_2$$是方程$$2x^2-4x-1=0$$的两根，求：（1）$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$$（2）$$(x_1-x_2)^2$$3.（14分）已知关于$$x$$的方程$$x^2+(m-3)x-2m=0$$，若两根之和为1，求$$m$$的值及两根之积。三、参考答案与详细解析选择题解析1. A解析：$$a=1，b=-5$$，$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$$。2. B解析：$$a=2，c=-2$$，$$x_1x_2=\frac{c}{a}=-1$$。3. B解析：$$x_1+x_2=-m=-3$$，解得$$m=3$$。4. B解析：由$$x_1+x_2=2，x_1x_2=-3$$，得方程$$x^2-2x-3=0$$。5. A解析：$$x_1+x_2=4，x_1x_2=2$$，原式$$=\frac{4}{2}=2$$。6. A解析：直接代入公式$$x_1+x_2=\frac{2}{3}$$。填空题答案1. 7，10 2. 3 3. -6 4. 11 5. 2解答题解析1.解析：由题意得$$x_1+x_2=6$$，$$x_1x_2=5$$。（1）值为6；（2）值为5；（3）原式$$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=36-10=26$$。2.解析：由方程得$$x_1+x_2=2$$，$$x_1x_2=-\frac{1}{2}$$。（1）原式$$=\frac{2}{-\frac{1}{2}}=-4$$；（2）原式$$=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4+2=6$$。3.解析：两根之和$$-(m-3)=1$$，解得$$m=2$$。两根之积$$=-2m=-4$$。四、易错点总结1.符号易错：记错公式符号，两根之和是$$-\frac{b}{a}$$，极易遗漏负号；2.忽略使用前提：不验证$$\Delta\geq0$$，直接套用韦达定理，出现无实数根却计算根的关系的错误；3.公式混淆：混淆两根和、两根积的公式，记错$$a、c$$对应关系；4.代数式变形失误：不会灵活运用平方和、倒数和等常用变形公式；5.含参数题型：求出参数后，不代入验证方程是否有实数根，导致答案出错。韦达定理核心是“不解方程求值”，牢记公式符号、验证实数根前提、熟练代数式变形，可攻克所有基础及中档题型。1、一元二次方程的一般形式是什么？求根公式是怎样的？
2、不解方程，判别下列一元二次方程根的情况。
，无实数根。
，有两个不相等的实数根。
，有两个相等的实数根。
，有两个不相等的实数根。
2
0
-3
-4
5
-6
-4
1
6
-1
先解方程，再填表：
方 程
0 2
由上表猜测：若方程 的两个根为 ，则：
归纳
[做一做]已知一元二次方程 ，当 时，它的两个根为 ， ，求证： ， 。
一元二次方程的
根与系数的关系
16世纪法国最杰出的数学家韦达发现代数方程
的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个
关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余
爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。
两根之和、两根之积存在的前提是什么？
想一想
例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根 ， 的和与积：
例2 已知关于x的方程x2+3x+q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q的值。
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
1. [2026湖北中考] 一元二次方程 的两个实数根为
, ，下列结论正确的是( )
D
A. B.
C. D.
2. [2025株洲模拟] 方程 的两根互为相反数，则
的值为( )
D
A. 1 B. C. D. 0
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3. 关于的一元二次方程 有两根，
其中一根为 ,则这两根之积为_ ___.
【点拨】方法1：根据求出 ,再求两根之积；方
法2:利用根的定义求出，再根据 求解.
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一元二次方程根与系数的关系
B
A
C
4
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
4. 关于的方程为常数 的根的情
况，下列结论中正确的是( )
C
A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根
5. [河北中考] 若一元二次方程 的两根之和
与两根之积分别为，，则点 在平面直角坐标系中位
于( )
C
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
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6. 若一元二次方程的两根为， ，则
的值为___.
6
利用根与系数的关系求代数式值的方法，一般先将代
数式转化为含, 的形式，再结合根与系数的关系求解.
. .
. .
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7. [日照期中] 如果菱形两条对角线的长度是方程
的两根，那么该菱形的面积为__．
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知识点3 用一元二次方程根与系数的关系求字母的值或
取值范围
8. [郴州期末] 已知关于 的一元二次方程
有两个大于2的实数根，则实数 的取值
范围是( )
D
A. B.
C. D.
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9. 定义为方程 的特征
数.若特征数为 的方程的两实数根的平方和
为12，则 的值为( )
C
A. 或4 B. 4 C. D. 或1
本题易忽视 而错选A.
. .
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10. 已知，是关于的方程 的两个实
数根，且，则 的值为___．
2
【点拨】因为,是关于的方程 的两
个实数根，所以， ，
.所以 .因为
，所以 .

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