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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.3.5.1平均变化率和销售问题第3章一元二次方程湘教版九年级上册数学一元二次方程平均变化率与销售问题专项练习题一、核心知识点梳理（一）平均变化率问题平均变化率问题包含增长率、降低率两类，是一元二次方程经典应用题型，适用于连续两次变化的实际问题。通用公式：设初始量为$$a$$，平均变化率为$$x$$，经过两次变化后量为$$b$$。连续两次增长：$$a(1+x)^2=b$$；连续两次降低：$$a(1-x)^2=b$$。核心要点：变化率$$x$$为正数，结果需结合实际舍去负数解；公式仅适用于两次相同变化率的变化过程。（二）销售利润问题二、基础巩固练习题选择题（每题5分，共30分）1.某商店今年营业额10万元，连续两年平均增长率为$$x$$，三年后营业额为12.1万元，列方程正确的是（）A. $$10(1+x)^2=12.1$$ B. $$10(1+2x)=12.1$$ C. $$10(1+x)=12.1$$ D. $$10+10(1+x)+10(1+x)^2=12.1$$2.某种药品原价每盒50元，经过两次降价后售价32元，设平均每次降价率为$$x$$，方程为（）A. $$50(1-x)^2=32$$ B. $$50(1-2x)=32$$ C. $$50x^2=32$$ D. $$32(1+x)^2=50$$3.一件商品进价20元，售价30元，每天可卖100件，每件涨价1元，销量减少5件，若涨价$$x$$元，单件利润为（）A. 10元B. $$(10+x)$$元C. $$(30+x)$$元D. $$(20+x)$$元4.某工厂产量两年内从50吨增加到72吨，平均年增长率为（）A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%5.商品每件盈利40元，每天售20件，每降价2元，多售4件，降价$$x$$元，每天销量为（）A. $$20+2x$$ B. $$20+4x$$ C. $$20-2x$$ D. $$20-4x$$6.某楼盘房价连续两次回落，均价从10000元降至8100元，平均每次降价率为（）A. 9% B. 10% C. 19% D. 20%填空题（每题6分，共30分）1.某养殖户养殖数量每年增长20%，初始存栏100只，两年后存栏数量为________只。2.某种电子产品经过两次同等降价，价格减半，设平均降价率为$$x$$，列方程为________。3.商品进价30元，售价40元，日销量80件，每涨价1元少卖2件，涨价$$x$$元后，总利润为________元（含$$x$$代数式）。4.某公司利润两年翻一番，设平均年增长率为$$x$$，方程为________。5.商店销售纪念品，每件盈利15元，日售30件，每降价1元多售5件，降价________元时，日利润为500元。解答题（共40分）1.（12分）平均增长率问题：某学校图书馆藏书量逐年增加，2023年藏书2万册，2025年藏书2.88万册，若两年增长率相同，求年均增长率。2.（14分）平均降低率问题：某种品牌口罩原价每包25元，经过两次连续降价后，售价为16元，已知两次降价率相同，求每次的降价百分率。3.（14分）销售利润问题：某文具店售卖钢笔，进价每支8元，售价每支12元，每天可卖出40支。经调查发现，每涨价1元，日销量减少5支，若要每天获得220元的利润，每支钢笔应涨价多少元？三、参考答案与详细解析选择题解析1. A解析：初始量10万，两次增长，代入增长率公式$$a(1+x)^2=b$$。2. A解析：原价50，两次降价，代入降低率公式$$a(1-x)^2=b$$。3. B解析：原单件利润10元，涨价$$x$$元，利润增加$$x$$元，即$$10+x$$。4. C解析：$$50(1+x)^2=72$$，解得$$x=0.2$$，即20%。5. A解析：降价2元多售4件，即降价1元多售2件，降价$$x$$元，销量$$20+2x$$。6. B解析：$$10000(1-x)^2=8100$$，解得$$x=0.1$$，即10%。填空题答案1. 144 2. $$(1-x)^2=0.5$$ 3. $$(10+x)(80-2x)$$ 4. $$(1+x)^2=2$$ 5. 5解答题解析1.解：设年均增长率为$$x$$，由题意得：$$2(1+x)^2=2.88$$，化简得$$(1+x)^2=1.44$$，解得$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=-2.2$$（舍去）。答：年均增长率为20%。2.解：设每次降价百分率为$$x$$，$$25(1-x)^2=16$$，得$$(1-x)^2=0.64$$，解得$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=1.8$$（舍去）。答：每次降价20%。3.解：设每支涨价$$x$$元，单件利润$$(4+x)$$元，销量$$(40-5x)$$支。列方程：$$(4+x)(40-5x)=220$$，整理得$$x^2-4x+12=0$$，解得$$x_1=2，x_2=6$$，均符合题意。答：应涨价2元或6元。四、易错点总结1.变化率问题：混淆增长、降低公式，记错符号；忽略实际意义，保留负数增长率；混淆“两次变化”和“两年”的对应关系。2.销售问题：无法准确用未知数表示销量和单件利润；涨价、降价对应的销量变化规律弄反；解方程后不检验，保留不符合实际的解。3.通用易错：方程列写不规范，未化简为一般形式；单位不统一、答题缺少文字说明，步骤不完整扣分。两类题型核心是找准等量关系，结合生活实际取舍方程的根，是一元二次方程应用题的必考核心。问题：某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率.若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）.
今年的使用率×（1+年平均增长率） =后年的使用率
你能找出问题中涉及的等量关系吗？
40%（1+x） =90%
整理，得 （1+x） =2.25
解得 x1=0.5=50%， x2=-2.5（不合题意，舍去）
答：这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%.
若设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，请你根据等量关系，列出方程：
接下来请你解出此一元二次方程
x2=-2.5符合题意吗？
填空：
1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.
探究归纳
7%
4324.5
下降率=
下降前的量-下降后的量
下降前的量
增长率问题
一
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.
下降率x
第一次降低前的量
5000(1-x)
第一次降低后的量
5000
下降率x
第二次降低后的量
第二次降低前的量
5000(1-x)(1-x)
5000(1-x)2
5000(1-x)
5000(1-x)2
例1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？
解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得
5 000 ( 1－x )2 = 3000，
解方程，得
x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
下降率不可为负，且不大于1.
例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率.
解析：原价×(1-平均每次降价的百分率) =现行售价
解：设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系得 100(1-x) =81
解得 x1=0.1=10%, x2=1.9
答：平均每次降价的百分率为10%.
(不合题意，舍去)
应用1 平均变化率问题
1. 新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业
持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的
新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，
生产成本逐月下降， 月份的生产成本为12.8万元．假设该公
司今年第一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生
产成本的下降率为 ，则根据题意所列方程正确的是 ( )
A
A. B.
C. D.
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2. 某厂家 月
份的自行车产量统计图如图所示，
3月份自行车产量不小心被墨汁覆
盖.若2月份到4月份该厂家自行车
产量的月增长率相同，则3月份自
行车产量为( )
B
A. 218辆 B. 240辆 C. 256辆 D. 272辆
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例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得
答：这个增长率为50%.
200+200(1+x) +200(1+x)2=950
整理方程，得
4x2+12x-7=0，
解这个方程得
x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
注意
增长率不可为负，但可以超过1.
情境引入
每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？
例2 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10x）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120％.若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？
解：（售价-进价）×销售量=利润.
根据等量关系得（x-21)(350-10x)=400
整理，得 x -56x+775=0
解得 x1=25, x2=31.
利用一元二次方程解决营销问题
二
所以x=31不合题意，应当舍去.故x=25.
答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价是25元.
从而卖出350-10x=350-10×25=100（件）
因为 21×120%=25.2，即售价不能超过25.2元，
方法归纳
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株
思考:这个问题设什么为x 有几种设法
如果直接设每盆植x株,怎样表示问题中相关的量
如果设每盆花苗增加的株数为x株呢？
针对练习
整理，得 x2 - 3x + 2 = 0.
解这个方程,得 x1=1, x2=2.
经检验，x1=1 , x2 = 2 都符合题意.
答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有(x+3)株,平均单株盈利为(3 - 0.5x)元.根据题意,得.
(x + 3)(3 - 0.5x) = 10.
3. 国家非遗“道州龙船赛”每年都吸引着数十万人
到现场观看比赛，据不完全统计，2023年现场观看龙船比赛
人数约20万人，2025年现场观看龙船比赛的人数约28.8万人，
则这两年现场观看龙船比赛人数的年平均增长率约为_____.
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4. 为进一步发展基础教育，自2023年以来，
某县加大了教育经费的投入，2023年该县投入教育经费
7 000万元，2025年投入教育经费10 080万元.假设该县这两
年投入教育经费的年平均增长率相同.
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
【解】设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为 ，由
题意得 ，
整理得 ,
解得， （不合题意，舍去），
答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为 .
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，
请你预算2026年该县投入教育经费多少万元.
由（1）得年平均增长率为 ，所以
（万元）.
答:预算2 026年该县投入教育经费12 096万元.
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应用2 销售问题
5. 随着重庆动物园熊猫新馆的建成和使用，以熊
猫为主题的文创物品更受大众喜爱，国庆期间，某店熊猫玩
偶平均每天可售出80个，每个盈利10元，经调查发现，销售
单价每涨1元，则销量减少4个，为了某天盈利900元，设熊
猫玩偶销售单价上涨 元，则可列方程为( )
A
A. B.
C. D.
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6. 为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展
光伏发电装置零件制造．已知该企业生产某
种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售
价不能超过35元/个．经市场调研发现，该零
件每周的销售量（个）与销售单价 （元/个）
20
之间满足一次函数关系，图象如图所示，若要使该企业每周
销售这种零件可获利6 000元，则零件的售价应定为____元/个.
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7. 7至9月份“衡阳南湖公园”有荷花的盛放期，
来此观赏荷花的游客络绎不绝，由此带动了周边的餐饮服务
业的发展.“听荷坊”宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天
入住的客房数（间）与其价格（元） 满足
一次函数关系，部分对应值如表：
元 180 260 280 300
间 100 60 50 40
（1）与 的函数关系式为_ _____________________________.
（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元，
每日空置的客房需支出各种费用60元.当房价为多少元时，宾
馆当日可获利8 450元？
【解】由题意得
,
整理得 ，
解得 ．
答：当房价为210元时，宾馆当日可获利8 450元.
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总结归纳
利润问题常见关系式
基本关系：(1)利润＝售价－________；
(3)总利润＝____________×销量
进价
单个利润

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