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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.3.5.2图形面积和动态问题第3章一元二次方程湘教版九年级上册数学3.5.2图形面积和动态问题专项练习题一、核心知识点梳理（一）图形面积问题图形面积问题是一元二次方程几何应用的基础题型，主要以矩形、正方形、道路边框、裁剪拼接图形为背景，利用面积公式建立等量关系列方程求解。常用解题思路：规则图形直接套用面积公式；含道路、边框、留白的图形，利用“平移法”将不规则图形拼接为规则图形，简化长、宽表达式；阴影面积问题常用“整体减空白”的思路列式。解题关键：设出变化的边长或宽度，用含未知数的代数式准确表示图形的长和宽，结合面积列出一元二次方程，最后根据图形边长为正的实际意义取舍根。（二）动态几何问题动态问题以点在图形边上运动为背景，结合速度、时间、线段长度和面积变化出题，是本章难点与中考压轴常考题型。核心原理：设运动时间为$$t$$，根据“路程=速度×时间”，用含$$t$$的式子表示动点运动后的线段长；再结合三角形、矩形面积公式建立方程，求解满足面积条件的运动时间。重要注意点：动点有运动范围，时间$$t$$必须保证点在对应边上，求出的根必须验证取值范围，舍去超出运动区间的解。二、基础巩固练习题选择题（每题5分，共30分）1.一块矩形菜地长20m，宽15m，四周修筑宽度为$$x$$的小路，剩余菜地面积为200m ，可列方程为（）A. $$(20-x)(15-x)=200$$ B. $$(20-2x)(15-2x)=200$$ C. $$20\times15-4x^2=200$$ D. $$(20+x)(15+x)=200$$2.正方形边长为8，边长增加$$x$$后面积变为100，方程正确的是（）A. $$(8+x)^2=100$$ B. $$8^2+x^2=100$$ C. $$(8-x)^2=100$$ D. $$8x=100$$3.直角三角形两直角边和为14，面积为24，设一条直角边为$$x$$，方程为（）A. $$x(14-x)=24$$ B. $$\frac{1}{2}x(14-x)=24$$ C. $$x(14+x)=24$$ D. $$\frac{1}{2}x(14+x)=24$$4.矩形长30、宽20，内部有一条等宽十字道路，剩余面积504，设路宽为$$x$$，平移后方程为（）A. $$(30-x)(20-x)=504$$ B. $$30\times20-x^2=504$$ C. $$(30-2x)(20-2x)=504$$ D. $$30x+20x=504$$5.动点在长12cm的线段上以2cm/s运动，运动$$t$$秒后，剩余线段长为（）A. $$2t$$ B. $$12-2t$$ C. $$12+2t$$ D. $$6-t$$6.直角三角形动点面积问题中，若求出时间$$t=8$$，但动点最大运动时间为6s，则该解（）A.有效B.舍去C.需验算D.无法确定填空题（每题6分，共30分）1.矩形长16cm，宽10cm，四周留宽度为$$x$$的空白，中间印刷面积为120cm ，方程为________。2.直角三角形两直角边相差3，面积为27，较短直角边长为________。3.正方形边长增加2cm，面积增加28cm ，原正方形边长为________cm。4.矩形草坪长40m，宽30m，外围加宽相同绿化带后总面积1536m ，设加宽$$x$$m，方程为________。5.在Rt△ABC中，直角边AB=6cm，BC=8cm，点P从A向B以1cm/s运动，$$t$$秒后PB长为________cm。解答题（共40分）1.（12分）面积基础题：现有一块矩形木板长25cm，宽15cm，在四周锯去等宽的边框，剩余矩形面积为221cm ，求边框的宽度。2.（14分）十字道路面积问题：某小区矩形空地长32m，宽20m，中间修筑等宽十字道路，其余区域种草，草地面积为540m ，求道路宽度。3.（14分）动态几何面积题：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm，点P从A沿AB以1cm/s向B运动，点Q从B沿BC以2cm/s向C运动，两点同时出发，运动时间为$$t$$秒，当△PBQ面积为32cm 时，求$$t$$的值。三、参考答案与详细解析选择题解析1. B解析：四周小路宽度为x，长和宽各减少2x，剩余面积$$(20-2x)(15-2x)=200$$。2. A解析：边长增加x，新边长为$$8+x$$，面积平方等于100。3. B解析：一边x，另一边$$14-x$$，直角三角形面积为两直角边乘积的一半。4. A解析：十字道路平移后，空白区域拼接为长$$30-x$$、宽$$20-x$$的矩形。5. B解析：已走路程$$2t$$，剩余长度总长减已走长度。6. B解析：动点超出边长范围，不符合实际，必须舍去。填空题答案1. $$(16-2x)(10-2x)=120$$2. 63. 64. $$(40+2x)(30+2x)=1536$$5. $$6-t$$解答题解析1.解：设边框宽度为$$x$$cm，由题意得：$$(25-2x)(15-2x)=221$$，整理得$$x^2-20x+31=0$$，解得$$x_1=1$$，$$x_2=19$$（舍去，超出边长）。答：边框宽度为1cm。2.解：设道路宽为$$x$$m，平移得草地矩形：$$(32-x)(20-x)=540$$，整理得$$x^2-52x+100=0$$，解得$$x_1=2$$，$$x_2=50$$（舍去）。答：道路宽度为2m。3.解：$$t$$秒后，$$PB=12-t$$，$$BQ=2t$$，$$S=\frac{1}{2}(12-t)\cdot2t=32$$，化简得$$t^2-12t+32=0$$，解得$$t_1=4，t_2=8$$，均在运动范围内，均成立。答：时间为4秒或8秒。四、易错点总结1.边框道路问题易错：四周等宽图形长、宽误只减一个x，正确应为各减2x；十字道路误用2x化简长宽。2.动态问题易错：不会用时间t表示动态线段长度；忘记判断动点取值范围，保留超范围的解。3.面积公式易错：三角形面积忘记乘二分之一，直接用边长乘积列式。4.审题易错：区分“内部道路”“外围加宽”，两种题型长宽变化规律相反。5.通用易错：几何方程解出后不检验边长为正、动点在线段上等实际条件。图形与动态问题重在数形结合，准确表示线段长度、规范列式、合理取舍根是得分关键。问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_____________________.
C
B
D
A
(30-2x)(20-x)=6×78
问题引入
动脑筋：如图，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364 cm2. 求截去的小正方形的边长.
解：设截去的小正方形的边长为x cm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm.
根据题意，有 (40-2x)(28-2x)=364．
解得 x1=27，x2=7．
整理得， x2-34x+189=0.
如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长40cm. 因此x1=27不合题意，应当舍去．
即所截去的小正方形的边长为7cm,
应用1 图形面积问题
类型1 甬道问题
1. 如图，某小区规划在一个长，宽 的矩形
场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与 平行，另
一条与 平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为
，设小路的宽为 ，则可列方程为 ( )
A
A.
B.
C.
D.
先通过平移将图形转化成一个规则图形，再根据面
积公式列方程求解.
返回
解：设道路的宽为x米
例3：如图，在一块 长为32m、宽为20m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？
典例精析
还有其他解法吗？
解：设道路的宽为 x 米
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0
解得 x1=2,x2=50
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
∴取x=2
答：道路的宽为2米.
方法二：
类型2 边框问题
2. 软笔书法承载着中华五千
年的灿烂文化，如图是李叔叔的软笔作
品，是长，宽 的矩形.为了
美观，李叔叔将此作品四周裱上边衬
（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），左右边
衬的宽度是上下边衬的2倍，面积变成原作品的1.21倍，求上
下边衬的宽度是多少.
【解】设上下边衬的宽度是 ，
则左右边衬的宽度是 ，
解得, （不合题意,舍去）.
因此,此作品上下边衬的宽度是 .
依题意得 ,
则 ,
返回
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？
变式
小路所占面积是矩形面积的四分之一
剩余面积是矩形面积的四分之三
解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x，
于是可列方程
(30-4x)(20-6x)= —×20×30
20㎝
30㎝
3x
2x
30-4x
20-6x
4
3
3x
2x
6x
4x
30-4x
20-6x
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
例4 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动，
同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，问点PQ出发几秒后，可使△PCQ面积为9cm2
解：设点P、Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm2，
由题意得 AP=xcm，PC=(6-x)cm,CQ=2xcm.
则由 可得
整理，得，x2-6x+9=0
解得，x1=x2=3
故点P、Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm2
B
C
A
Q
P
主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
方法点拨
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
80cm
x
x
x
x
50cm
B
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm
5(2x-10)(x-10)=3000
x2-15x-250=0
解得 x1=25 x2=-10(舍去）
所以 2x=50
答：铁板的长50cm,宽为25cm.
类型3 拼图问题
（第3题）
3. 燕几（即宴几）是世界上
最早的一套组合桌，设计者是北宋进士
黄伯思.全套燕几一共有七张桌子，每张
桌子高度相同.其桌面共有三种尺寸，包
括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的
宽都相同.七张桌面可以拼成一个大的长
方形，或者分开组合成不同的图形，其
组合方式丰富多样，燕几也被认为是现
代七巧板的前身.如图给出了《燕几图》
中列出的名称为“函三” 和“回文”的两种
桌面拼合方式.若全套七张桌子桌面的总
面积为61.25平方尺，则长桌的长为___尺.
7
（第3题）
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类型4 折叠问题
（第4题）
4. 如图,把长为，宽为 的长方形
硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形
（阴影部分即剪掉的部分），把剩余部分折
成一个有盖的长方体盒子，记剪掉的小的正
方形边长为 ，（纸板的厚度忽略不计）若折成的长方体
盒子表面积为 ，求此时长方体盒子的体积为_______
____.
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类型5 靠墙问题
5. 空地上有一段长为米的旧墙 ，
利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园
（如图），已知木栏总长为40米，所围
A
A. 若, ，则有一种围法
B. 若, ，则有一种围法
C. 若, ，则有两种围法
D. 若, ，则有一种围法
成的菜园面积为 平方米,下列说法错误的是( )
【点拨】如图，设矩形的边 长
为米，则边长为 米.根据
题意得 .
当,时，, ,即
,解得, ,均不符合
题意，故A选项说法错误；当,时， ,
,即,解得
（不符合题意，舍去）, ,所以有
一种围法，故B选项说法正确；当
,时， ,
,即 ,
解得, , 均符合题意，所以
有两种围法，故C选项说法正确；当
, 时， , ,即
,解得 ,
符合题意，所以有一种围法，故D选项
说法正确.
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6. 新高考采用“ ”的
模式，对生物学科提出了更高的
要求．某学校生物组为培养同学
们观察、归纳的能力，组建了生
物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果
黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目
的小分支，主干、支干和小分支的总数是21．
（1）这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？
【解】设这种水果黄瓜每个支干长出 个小分支，由题意得
，解得， （舍去），即这种水
果黄瓜每个支干长出4个小分支.
（2）学校打算建立一块矩形的生物种
植田来种植这种水果黄瓜，一面利用
学校的墙（墙的最大可用长度为10
米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需
用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门
（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为 米．若该
种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求
的值．
因为种植田的宽为 米，所以长
为 米.由题意得
，整理得
，解得，.当 时，
（米） 米，不合题意，舍去；
当时，（米） 米，符合
题意.综上可知， 的值为6．
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应用2 动态问题
7. 如图，由点，， 确
定的的面积为18，则 的值为_ ______________.
3或12或
（第7题）
几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系.
类 型
课本封面问题
彩条/小路宽度问题
常采用图形平移能聚零为整方便列方程

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