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湘教版数学9年级上册精做课件
授课教师： .
班 级： 9年级（ ）班 .
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4.1 二次函数
第4章 二次函数
湘教版九年级上册数学4.1 二次函数 专项练习题
一、核心知识点梳理
（一）二次函数的定义
一般地，形如$$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$是常数，$$a\neq0$$）的函数，叫做二次函数。其中$$x$$是自变量，$$y$$是因变量。核心判定条件：自变量最高次数为2；二次项系数$$a\neq0$$；函数解析式为整式形式。
（二）二次函数各项名称
在$$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$$中：$$ax^2$$是二次项，$$a$$是二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$是一次项系数；$$c$$是常数项。特殊形式：当$$b=0、c=0$$时，$$y=ax^2$$；当$$b=0$$时，$$y=ax^2+c$$；当$$c=0$$时，$$y=ax^2+bx$$，以上均为二次函数。
（三）二次函数的实际应用
生活中面积、利润、运动轨迹等问题，常可建立二次函数模型。解题关键：找准自变量与因变量的等量关系，列出函数解析式，同时结合实际情况确定自变量的取值范围。
二、基础巩固练习题
选择题（每题5分，共30分）
1. 下列函数中，属于二次函数的是（）
A. $$y=3x-1$$ B. $$y=\frac{1}{x^2}$$ C. $$y=x^2-2$$ D. $$y=\sqrt{x^2}$$
2. 二次函数$$y=2x^2-5x+1$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）
A. 2、5、1 B. 2、-5、1 C. 2、-5、-1 D. -2、5、1
3. 若函数$$y=(m-2)x^2+3x-1$$是二次函数，则$$m$$的取值范围是（）
A. $$m\neq2$$ B. $$m=2$$ C. $$m>2$$ D. $$m<2$$
4. 函数$$y=(k+1)x^2+2x-3$$是二次函数，则$$k$$的值可以是（）
A. -1 B. 0 C. 不存在 D. 任意实数
5. 正方形边长为$$x$$，面积为$$S$$，则$$S$$与$$x$$的函数关系是（）
A. 一次函数 B. 二次函数 C. 正比例函数 D. 反比例函数
6. 若函数$$y=x^{m^2-2}+2x-1$$是二次函数，则$$m$$的值为（）
A. 2 B. -2 C. ±2 D. ±√2
填空题（每题6分，共30分）
1. 二次函数$$y=-3x^2+4x-2$$的二次项系数为________，常数项为________。
2. 已知函数$$y=(a-3)x^2-x+5$$是二次函数，则$$a$$的取值范围是________。
3. 已知$$y=x^2+3x$$，当$$x=2$$时，$$y=$$________。
4. 矩形的长比宽多2，设宽为$$x$$，面积为$$y$$，则$$y$$与$$x$$的函数解析式为________。
5. 若$$y=(m^2-4)x^2+mx-1$$是二次函数，则$$m$$________。
解答题（共40分）
1.（12分）判断下列函数是否为二次函数，若是，写出各项系数：
（1）$$y=5x^2-1$$ （2）$$y=3x+2$$ （3）$$y=-2x^2+x$$
2.（14分）已知函数$$y=(k-2)x^{k^2-2}+3x-1$$，当$$k$$为何值时，该函数为二次函数？
3.（14分）用长为40cm的铁丝围成矩形，设矩形的一边长为$$x$$cm，面积为$$y$$cm?，求$$y$$与$$x$$的函数解析式，并写出自变量$$x$$的取值范围。
三、参考答案与详细解析
选择题解析
1. C 解析：A是一次函数，B、D不是整式函数，只有C符合二次函数定义。
2. B 解析：对照一般式，$$a=2，b=-5，c=1$$。
3. A 解析：二次项系数不为0，即$$m-2\neq0$$，$$m\neq2$$。
4. B 解析：$$k+1\neq0$$，$$k\neq-1$$，只有0符合条件。
5. B 解析：$$S=x^2(x>0)$$，是二次函数。
6. C 解析：由$$m^2-2=2$$，解得$$m=\pm2$$。
填空题答案
1. -3，-2
2. $$a\neq3$$
3. 10
4. $$y=x^2+2x(x>0)$$
5. $$\neq\pm2$$
解答题解析
1. 解析：（1）是二次函数，二次项系数5，一次项系数0，常数项-1；（2）不是二次函数，是一次函数；（3）是二次函数，二次项系数-2，一次项系数1，常数项0。
2. 解析：由题意得$$\begin{cases}k^2-2=2\\k-2\neq0\end{cases}$$，解得$$k^2=4$$，$$k=\pm2$$，又$$k\neq2$$，故$$k=-2$$。答：$$k=-2$$时，函数为二次函数。
3. 解析：一边长为$$x$$cm，则另一边长为$$(20-x)$$cm，面积$$y=x(20-x)=-x^2+20x$$。由边长为正，得自变量取值范围：$$0四、易错点总结
1. 定义判定易错：忽略二次项系数$$a\neq0$$，仅看自变量最高次数为2；误将分式、根式函数判定为二次函数。2. 系数识别易错：忽略一次项、常数项的负号，漏判系数为0的项。3. 参数求解易错：求参数值时，只满足次数为2，忘记验证二次项系数不为0。4. 实际问题易错：列解析式后，遗漏自变量的实际取值范围（边长、长度等必须为正数）。5. 概念混淆：混淆一次函数、二次函数、正比例函数的定义，判断函数类型出错。
（1）会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系.
（2）能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数.
学习目标
新课导入
导入课题
问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？
上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？
正方体的表面积y与棱长x的关系式为 ，y是x的函数吗？
推进新课
知识点1
二次函数的概念
y=6x2
是
显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的函数关系式为y=6x2.
我们再来看几个问题。
问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
分析：每个队要与其他 个球队各比赛一场，而甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛.
(n-1)
m是n的函数吗？
即
所以比赛的场次数为
表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对
于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数.
某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
问题2
产品原产量是20t，一年后的产量是原产量的 倍；两年后的产量是一年后的产量的 倍.于是两年后的产量y与增加的倍数x的关系式为 .
(1+x)
(1+x)
y=20(1+x)2
y是x的函数吗？
y=20(1+x)2
y=20x2+40x+20
表示两年后的产量y与计划增产的倍数x的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.
y=20x2+40x+20
思考
函数y=6x2 , , y=20x2+40x+20 , 有什么共同点?
上述三个函数都是用自变量的二次式表示的.一般地，
形如
y=ax?+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a，b，c分
别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次项
一次项
常数项
知识点1 二次函数的定义
1. 下列函数中，一定是二次函数的有( )
①????=2?2????2；②????=????(1?????)；③????=1????2 ；
④????=(2+????)(2?????)+????2；⑤????=????????2+????????+???? ；
⑥????=5????3?3????2 .
?
C
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
返回
2. 下列函数关系中，是二次函数的是( )
D
A. 生产100吨钢材，工作效率????和工作时间???? 之间的关系
B. 当速度为100?km/h时，汽车行驶的距离????与时间???? 之间的
关系
C. 长方形的周长一定时，长方形的长????与宽???? 之间的关系
D. 高为14?m的圆柱形储油罐的体积为?????m3 ,底面圆的半径为
?????m
?
返回
①y=6x2 ,
,
②
y=20x2+40x+20 .
③
分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项及各项系数。
出题角度一 二次函数的识别
下列函数中是二次函数的有 。
二次函数：y=ax?+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
√
a=0
×
最高次数是4
×
×
√
=x2
√
①⑤⑥
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
出题角度二 应用二次函数的概念求相关字母的取值(或范围)
解：
根据二次函数的定义可得
解得m=3或m=-1.
当m=3时，y=6x2+9;当m=-1时，y=2x2-4x+1.
综上所述，该二次函数的解析式为：
y=6x2+9或y=2x2-4x+1.
练习
解：依题意，得
解得a=-1.
出题角度三 求二次函数的函数值
知识点2
根据具体问题确定二次函数解析式
根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：
①仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言；
②根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式；
③联系实际，确定自变量的取值范围.
知识点2 二次函数的一般形式
3. 关于函数????=(500?10????)(40+????) ,下列说法不正确的是
( )
?
C
A. ????是????的二次函数 B. 二次项系数是?10
C. 一次项是100 D. 常数项是20 000
?
返回
4. [常德期末] 若关于???? 的二次函数
????=(?????2)?????????2?2????+2+????????+1的二次项系数为???? ,一次项系
数为????,常数项为????,则????+????+????= ____.
?
?1
?
当函数的二次项系数包含字母时，要注意二次项系
数不为0.
. .
. .
返回
①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；
②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；
③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
y=πx2
y=2(1+x)2
S=4πr2
做一做:
(x>0)
(x>0)
(r>0)
说一说以上二次函数解析式的各项系数。
随堂演练
1. 下列函数是二次函数的是（ ）
A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y= x-2
2. 二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（ ）
A.1 B.-1 C.7 D.-6
3.已知函数y=(a-1)x2+3x-1，若y是x的二次函数，则a的取值范围是 .
C
基础巩固
B
a≠1
知识点3 建立二次函数模型
5. 随着子弹库帛书《五行令》《攻守占》两
件文物回到祖国，各地博物馆也因此迎来一波游览热潮.数据
显示某博物馆5月第2周接待游客3.5万人，若平均每周的增长
率为????，则5月第4周的游客人数????（万人）关于???? 的函数表达
式是( )
?
C
A. ????=3.5(1+????) B. ????=3.5(1+2????)
C. ????=3.5(1+????)2 D. ????=3.5????2
?
返回
6. 如图,用长为45?m 的
篱笆,一面利用墙( 墙的最大可用长
度是20?m) ,围成中间有一道篱笆的
?
（1）求????与????的函数关系式及???? 的取值范围.
?
【解】????=????(45?3????)=?3????2+45????(253≤????<15) .
?
矩形花圃????????????????,设该花圃的一边长????????是?????m,面积是?????m2 .
?
（2）如果要围成面积为162?m2的矩形花圃,那么???????? 的长应为
多少米？
?
当????=162时，?3????2+45????=162,解得????1=6,????2=9 .
因为253≤????<15,所以????=9 .
答：????????的长应为9?m .
?
返回
7. 某网络主播代销某品牌的电子产品，销售
中发现每件售价为99元时，日销售量为200件，当电子产品
的单价每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件
电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元.设每件电子
产品的售价为????（元），主播每天的利润为????（元），则???? 与
???? 之间的函数关系式为 ( )
?
D
A. ????=(99?????)[200+10(?????50)]
B. ????=(?????50)[200+10(99?????)]
C. ????=(?????50)(200+?????995×10)
D. ????=(?????50)(200+99?????5×10)
?
返回
8. 二次函数????=(?????1)????????+(????+1)????????+????????2(????≠?????) 的二
次项系数与一次项系数的和为0.5 ，差为2，则将其化为一般
形式为________________，当????=0时，????=__.当????=0.625
时，????= _________.
?
????=54????2?34????+18
?
18
?
1或?0.4
?
返回
9. 已知函数????=(????+3)????????2+?????4+(????+2)????+3 .
?
（1）当????=___时,????是???? 的二次函数.
?
2
【点拨】根据题意，得????+3≠0且????2+?????4=2,所以????=2 .
即当????为2时，????是???? 的二次函数.
?
（2）当????=_ __________________时,????是???? 的一次函数.
?
?3或?1±172或?1±212
?
当????+3=0且????+2≠0，即????=?3时，????是???? 的一次函数；
当????2+?????4=0且????+2≠0，即????=?1±172时，????是???? 的一次
函数；
?
当????2+?????4=1且????+3+????+2≠0，即????=?1±212时，???? 是
???? 的一次函数.
综上，当????为?3或?1±172或?1±212时，????是???? 的一次函数.
?
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10. 随着居民收入的持续增长，某数学兴趣小组统计了某
村农户老王2020?2024 年的年度纯收入如下表:#1
?
年度/年
2020
2021
2022
2023
2024
年度纯收入/万元
2.5
4.5
7.5
11.5
16.5
若记2020年为第1年，在平面直角坐标系中分
别用点????(1,2.5),????(2,4.5),????(3,7.5),????(4,11.5) ,
????(5,16.5)表示农户老王2020?2024 年的年度
纯收入的变化情况，如图所示.拟用下列三个
函数中的一个模拟农户老王从2020年开始的年
度纯收入变化趋势,以便估算农户老王2025年
的年度纯收入.#1.2
?
①????=????????(????>0)；②????=????????+????(????>0) ;#1.2.1
?
③????=????????2+0.5????+????(????>0) .
?
（1）你认为选用函数____（填序号）模拟最合
理（不必说明理由）,并求出相应的函数表达式；
③
【解】把????(1,2.5),????(2,4.5) 的坐标代入
????=????????2+0.5????+????(????>0) ，得
&????+0.5+????=2.5,&4????+1+????=4.5, 解得&????=0.5,&????=1.5,
所以????=0.5????2+0.5????+1.5 .
经检验，点????(3,7.5),????(4,11.5),????(5,16.5) 也
满足上述函数表达式，故函数表达式为
????=0.5????2+0.5????+1.5 .
?
（2）农户老王准备在2025年底购买一台价值22万元的农机
设备，根据（1）中你选择的函数表达式，预测农户老王
2025年的年度纯收入能否满足购买农机设备的资金需求.
由（1）得????=0.5????2+0.5????+1.5 .
当????=6 时，
????=0.5×36+0.5×6+1.5=22.5 .
因为22.5>22 ,所以农户老王2025年的年度纯
收入能满足购买农机设备的资金需求.
?
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课堂小结
问题导入，列关系式
探索二次关系式共同点
总结二次函数概念
二次函数y=ax?+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
确定二次函数解析式及自变量的取值范围

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