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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.4.2.1二次函数y=ax2的图象与性质第4章二次函数湘教版九年级上册数学4.2.1二次函数y=ax 的图象与性质专项练习题一、核心知识点梳理（一）函数图象基本特征二次函数$$y=ax^2(a\neq0)$$的图象是抛物线，是最简单的二次函数图象，也是后续复杂二次函数图象学习的基础。该抛物线的顶点为坐标原点(0,0)，对称轴为y轴（直线x=0），图象关于y轴对称。（二）a的符号对图象的影响1.当$$a>0$$时：抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，函数有最小值，最小值为0；在对称轴左侧（$$x<0$$），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（$$x>0$$），y随x的增大而增大。2.当$$a<0$$时：抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，函数有最大值，最大值为0；在对称轴左侧（$$x<0$$），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（$$x>0$$），y随x的增大而减小。（三）a的大小对图象的影响在$$a>0$$或$$a<0$$的同一前提下，$$|a|$$越大，抛物线开口越$$|a|$$选择题（每题5分，共30分）$$y=5x^2$$$$y=2x^2$$$$y=0.5x^2$$$$y=-3x^2$$$$y=10x^2$$$$y=-4x^2$$$$y=x^2$$$$y=\frac{1}{3}x^2$$$$y=-2x^2$$$$y=-5x^2$$$$A(-2,y_1)$$$$B(1,y_2)$$$$y=2x^2$$$$y_1、y_2$$$$y_1>y_2$$$$y_1<y_2$$$$y_1=y_2$$$$y=ax^2$$填空题（每题6分，共30分）$$y=-6x^2$$$$y=3x^2$$$$y=(m-1)x^2$$$$y=-\frac{1}{2}x^2$$$$y=4x^2$$$$y=\frac{1}{2}x^2$$解答题（共40分）$$y=ax^2$$$$y=(k+2)x^2$$$$C(-3,y_1)$$$$D(2,y_2)$$$$E(4,y_3)$$$$y=2x^2$$$$y_1、y_2、y_3$$选择题解析$$y=ax^2$$$$a=-4<0$$$$|\frac{1}{3}|$$$$y_1=2\times(-2)^2=8$$$$y_2=2\times1^2=2$$$$y_1>y_2$$$$-8=4a$$$$a=-2$$填空题答案$$m>1$$解答题解析$$y=ax^2$$$$9=9a$$$$a=1$$$$y=x^2$$$$a=1>0$$$$k+2>0$$$$k>-2$$$$k+2<0$$$$k<-2$$$$y=2x^2$$$$|-3|=3，|2|=2，|4|=4$$$$y_2<y_1<y_3$$$$y=ax^2$$先画二次函数y = x2的图象
推进新课
知识点1
二次函数y = ax2的图象的画法
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
1.列表
在y = x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值：
2.描点
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点.
3.连线
用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2的图象.
3
6
9
y
O
-3
3
x
知识点1 二次函数 的图象与性质
1. 下列关于二次函数 的说法,错误的
是( )
A
A. 有最大值
B. 它的图象开口向上，且关于 轴对称
C. 它的图象的顶点是原点
D. 当时，随 的增大而增大
返回
2. 如图，在同一平面直角坐标系中，作出 ;
; 的图象，则从里到外的二次函数的图
象对应的函数表达式依次是________.（填序号）
①③②
【点拨】方法1：抛物线
的开口大小与 有
关， 的值越大，开口越小.
， 抛物线 的开
口最大，抛物线 的开口最小.
方法2：用特殊值法令 ,分别求出对应的函数值，再结合
图象进行比较.
返回
3
6
9
y
O
-3
3
x
观察：二次函数y = x2的图象像什么？
事实上，二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c.
抛物线y = x2
知识点2
二次函数y = ax2的图象和性质
3
6
9
y
O
-3
3
x
函数y = x2的图象开口______.
向上
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
顶点坐标是________.
顶点是图象的最____点.
（0，0）
低
在抛物线y = x2上
任取一点（m，m2），
因为它关于y轴的对称
点（-m，m2）也在抛
物线y = x2上，所以抛
物线y = x2关于y轴对称。
特征
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点．
3
6
9
y
O
-3
3
x
当x<0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.
当x>0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大.
单调性
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y = 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
y=2x2
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 ，y =2x2的图象.
a值越大，抛物线的开口越小．
增减性相同：当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
思考
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y=2x2
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点；
开口都向上；
对称轴都是y轴；
函数 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？
3. 已知二次函数 ，解答下列
问题：
（1）根据已知的部分图象（如图）
画出这个函数图象的另一部分
（直接在网格中作图即可）;
【解】这个函数图象的另一部分如图所示.
（2）判断点 是否在这个函
数图象上;
当时， ，
所以点 不在这个函数图象上.
（3）求当 时对应的函数图象
在第一象限的点的坐标.
当时， ，解得
，所以当 时对应的函
数图象在第一象限的点的坐标为
.
返回
一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
归纳
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y=2x2
探究
画出函数y=-x2, , y=-2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点．
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = -x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ···
··· -2 0 -2 ···
y = -2x2 ··· -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 ···
y=-2x2
y=-x2
-3
-6
-9
y
O
-3
3
x
y=-2x2
y=-x2
-3
-6
-9
y
O
-3
3
x
开口都向下；
对称轴都是y轴；
a值越小，抛物线的开口越小．
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；
增减性相同： 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
共同点和不同点
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
1.二次函数的图象都是抛物线.
2.抛物线y=ax2的图象性质:
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点;
|a|越大，抛物线的开口越小.
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
y=-2x2
y=-x2
2
6
8
y
4
y=2x2
-8
-4
-2
-6
O
-2
2
x
4
-4
小 结
知识点3
二次函数y = ax2的实际应用
二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.
物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系（g代表重力加速度，为定值）
质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系（m为定值）
物体做匀加速运动时，行驶路程与时间的关系（a代表加速度，为定值）
数形结合
已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2，
（1）求S与C之间的二次函数关系式；
（2）画出它的图象；
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
出题角度 二次函数y=ax2与不等式的综合运用
注意自变量的范围
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 cm，
∴S与C之间的关系式为S = ；
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm
（4）若S ≥ 4cm2，即 ≥4，解得C ≥ 8cm
.
.
知识点2 二次函数 的图象与性质
4. 当时，函数与 的
图象可能是( )
D
A. B. C. D.
返回
5. 已知点，, 在二次函数
的图象上,则,, 的大小关系是( )
A
A. B.
C. D.
6. 已知， 是二次函数
的图象上的两点，且当 时，有
,试写出不等式的一个解 _________________.
2（答案不唯一）
返回
7. 如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为
原点建立平面直角坐标系，作出函数与 的
图象，则阴影部分的面积是___.
8
【点拨】因为函数与的图象关于 轴对称，
所以阴影部分的面积是正方形面积的一半.因为正方形的边长
为4,所以正方形的面积为16.所以阴影部分的面积是8.
返回
8. 已知 是二次函数，且函数图象开口向
下.如果点 是此二次函数的图象上的一点，且
，则 的取值范围为____________.
【点拨】根据题意，得解得 .所以二
次函数的表达式为.因为点 是此二次函数的图
象上的一点，且，所以当 时，
;当时，;当 时，
取最大值，为0.所以当时， .
返回
（第9题）
9. 如图，在平面直角坐标系中，平
行于轴的直线 与二次函数
， 的图象分别交于
点，和点，，若 ，
则 ( )
B
A. B.
C. D.
（第9题）
【点拨】设直线与轴交于点 .因为直
线与二次函数的图象交于,
两点，当时， ，解得
，所以, 所以
.又因为，所以 . 由二次函数图
象的对称性可得. 所以.将点 的坐
标代入，得，解得 .
返回
（第10题）
10. 如图，直线 与抛物线
交于，两点，且点 的横坐标是，
点 的横坐标是3，则以下结论中，正确的有( )
①抛物线 的顶点一定是原点；
②当时，直线 与抛物线
的函数值都随着 的增大而减小；
的长度可以等于5；
有可能成为等边三角形；
⑤当时， .
A. ①② B. ①②⑤ C. ②③④ D. ①②④⑤
B
（第10题）
【点拨】①抛物线 的顶点
坐标为 ，故①说法正确；②由题图
可知，， ，二次函数图象的
顶点坐标为，所以当 时，直线
与抛物线
的函数值都随着 的增大
而减小，故②说法正确；③由点 的横坐
标是，点的横坐标是3，若 ，
可得出直线与轴平行，即 ，与
已知 矛盾，故③说法错误；④当
为等边三角形时，有 ，
可得出直线与轴平行，即 ，与
已知 矛盾，故④说法错误；⑤由
（第10题）
，可知 ，结合
交点, 的横坐标可判断当直线
在抛物线
的下方时， 的取值范围
为 ，故⑤说法正确.综上，正
确的结论有①②⑤.
（第10题）
返回
二次函数y = ax2 的性质
根据图形填表：
抛物线 y = ax2（a>0） y = ax2（a＜0）
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x = 0时，最小值为0.
当x = 0时，最大值为0.
当x<0时，y随着x的增大而减小.
当x>0时，y随着x的增大而增大.
当x<0时，y随着x的增大而增大.
当x>0时，y随着x的增大而减小.
课堂小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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