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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.4.2.2.2二次函数y=a(x h)2+k的图象与性质第4章二次函数湘教版九年级上册数学4.2.2.2二次函数y=a(x h) +k的图象与性质专项练习题一、核心知识点梳理（一）顶点式基本概念二次函数$$y=a(x-h)^2+k(a\neq0)$$称为抛物线的顶点式，是最直观体现抛物线顶点、位置、开口特征的解析式。其图象由基础抛物线$$y=ax^2$$经过左右、上下双向平移得到。核心要素：顶点坐标$$(h,k)$$，对称轴为直线$$x=h$$。（二）平移规律（必考核心）平移口诀：左加右减，上加下减。1.左右平移：针对自变量$$x$$，$$h>0$$向右平移$$h$$个单位，$$h<0$$向左平移$$|h|$$个单位；2.上下平移：针对常数$$k$$，$$k>0$$向上平移$$k$$个单位，$$k<0$$向下平移$$|k|$$个单位。平移仅改变图象位置，a值不变，开口大小、开口方向保持不变。（三）函数增减性与最值1.当$$a>0$$：开口向上，顶点$$(h,k)$$为抛物线最低点，函数有最小值$$y=k$$；对称轴左侧$$x<h$$，$$y$$随$$x$$增大而减小；对称轴右侧$$x>h$$，$$y$$随$$x$$增大而增大。2.当$$a<0$$：开口向下，顶点$$(h,k)$$为抛物线最高点，函数有最大值$$y=k$$；对称轴左侧$$x<h$$，$$y$$随$$x$$增大而增大；对称轴右侧$$x>h$$，$$y$$随$$x$$增大而减小。（四）开口大小规律与基础型一致：$$|a|$$越大，抛物线开口越窄；$$|a|$$越小，抛物线开口越宽。二、基础巩固练习题选择题（每题5分，共30分）1.抛物线$$y=2(x-1)^2+3$$的顶点坐标是（）A. $$(1,3)$$ B. $$(-1,3)$$ C. $$(1,-3)$$ D. $$(-1,-3)$$2.抛物线$$y=-3(x+2)^2-1$$的对称轴是（）A.直线$$x=2$$ B.直线$$x=-2$$ C.直线$$y=-1$$ D.直线$$y=2$$3.将$$y=x^2$$向右平移2个单位、向上平移5个单位，所得解析式为（）A. $$y=(x+2)^2+5$$ B. $$y=(x-2)^2+5$$ C. $$y=(x-2)^2-5$$ D. $$y=(x+2)^2-5$$4.对于抛物线$$y=4(x-3)^2+2$$，下列说法正确的是（）A.最大值为2 B.最小值为2 C.最大值为3 D.最小值为35.抛物线$$y=-\frac12(x+1)^2+4$$，当$$x>-1$$时，y的变化规律是（）A.增大B.减小C.不变D.先增后减6.下列抛物线开口最窄的是（）A. $$y=2(x-1)^2+1$$ B. $$y=\frac13(x+2)^2-3$$ C. $$y=-4(x-2)^2+2$$ D. $$y=-(x+4)^2$$填空题（每题6分，共30分）1.抛物线$$y=3(x-4)^2+2$$的开口方向______，顶点坐标______，对称轴______。2.抛物线$$y=-2(x+3)^2-5$$可由$$y=-2x^2$$向______平移______个单位，再向______平移______个单位得到。3.抛物线$$y=5(x-1)^2+4$$的最小值为______。4.对于$$y=-(x+2)^2-3$$，当x______时，y随x的增大而增大。5.若抛物线$$y=a(x-5)^2+k$$开口向上，则a的取值范围是______。解答题（共40分）1.（12分）已知抛物线$$y=a(x-1)^2+2$$经过点$$(2,5)$$。（1）求抛物线解析式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值。2.（14分）已知抛物线$$y=-\frac12(x+2)^2+3$$。（1）说明该抛物线的平移过程；（2）写出函数的增减性与最值。3.（14分）已知点$$A(0,y_1)$$、$$B(2,y_2)$$、$$C(3,y_3)$$在抛物线$$y=2(x-1)^2-1$$上，比较$$y_1、y_2、y_3$$的大小。三、参考答案与详细解析选择题解析1. A解析：顶点式$$(h,k)$$，$$h=1，k=3$$，顶点$$(1,3)$$。2. B解析：原式化为$$y=-3(x-(-2))^2-1$$，对称轴直线$$x=-2$$。3. B解析：右减上加，右移2、上移5，得$$y=(x-2)^2+5$$。4. B解析：$$a=4>0$$开口向上，最小值为顶点纵坐标2。5. B解析：$$a&lt;0$$，对称轴$$x=-1$$，$$x>-1$$时y随x增大而减小。6. C解析：$$|a|=4$$最大，开口最窄。填空题答案1.向上；$$(4,2)$$；直线$$x=4$$2.左、3；下、53. 44. $$<-2$$5. $$a>0$$解答题解析1.解：（1）将$$(2,5)$$代入解析式：$$5=a(2-1)^2+2$$，解得$$a=3$$，解析式为$$y=3(x-1)^2+2$$；（2）开口向上，对称轴直线$$x=1$$，顶点$$(1,2)$$，最小值为2。2.解：（1）由基础抛物线$$y=-\frac12x^2$$向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到；（2）$$a=-\frac12<0$$，开口向下，最大值为3；对称轴$$x=-2$$，$$x<-2$$时y随x增大而增大，$$x>-2$$时y随x增大而减小。3.解：抛物线开口向上，对称轴$$x=1$$，点到对称轴距离越远，函数值越大。$$|0-1|=1，|2-1|=1，|3-1|=2$$，因此$$y_1=y_2&lt;y_3$$。四、易错点总结1.顶点符号易错：极易把$$y=a(x+h)^2+k$$的顶点横坐标写为正数，牢记顶点是$$(h,k)$$，符号与括号内相反；2.平移规律混淆：左右平移只改$$x$$、上下平移只改$$k$$，经常出现平移方向颠倒；3.最值判断错误：开口向上有最小值、开口向下有最大值，最值是顶点纵坐标$$k$$，不是横坐标；4.增减性范围出错：忘记以对称轴$$x=h$$为分界区间判断；5.函数值比较失误：不会利用“开口向上，远大近小；开口向下，远小近大”的快速判断技巧。（1）会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.
（2）能说出抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的相互关系.
（3）能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点.
学习目标
推进新课
知识点1
二次函数y=a(x-h)2+k的图象的画法
例3
解：
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
开口方向：
对称轴：
顶点：
向下
x=-1
(-1,-1)
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
画一画，填出下表:
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
向左平移一个单位
向下平移一个单位
向左平移一个单位，
再向下平移一个单位
还有其他平移方法吗？
知识点1 二次函数 的图象
1. [岳阳模拟] 关于二次函数 的图象,下列
结论中正确的是( )
D
A. 对称轴为直线 B. 与轴交于点
C. 与 轴没有交点 D. 开口向上
2. 抛物线 的顶点一定不在( )
B
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
返回
y
O
x
开口方向 对称轴 顶点坐标
上
下
x=h
x=h
（h,k）
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2+k
a>0
a<0
（h,k）
知识点2
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
h
k
思考
想一想，试着画出二次函数y=a(x-h)2+k不同情况下的大致图象.（ 按a,h,k的正负分类 ）
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
归纳
a>0 a<0
图象 h<0
h>0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当xh时，y随x增大而减小.
当xh时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
（h,k）
y=a(x-h)2+k
y=ax2
平移关系
？
二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：
这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？
结论：
h<0，将抛物线y=ax2向左平移，
h>0，将抛物线y=ax2向右平移；
k>0，将抛物线y=ax2向上平移；
k<0，将抛物线y=ax2向下平移，
y
O
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
h
k
y=a(x-h)2+k
y=ax2
平移关系
？
可概括为：左加右减，上加下减。
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长.
例4
3
解：如图,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点，
因此，可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1) +3（0≤x≤3）
由这段抛物线经过点(3,0)可得
0=a(3-1) +3，
当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.
3
知识点2 二次函数 的性质
3. [威海中考] 已知点,, 都在二次函数
的图象上，则,, 的大小关系是( )
C
A. B.
C. D.
返回
4. 若二次函数，当时，随 的增大而
减小，则 的取值范围为( )
A
A. B. C. D.
5. 已知二次函数 ，当
时，的最小值为，则 的值为_ ______.
或4
返回
随堂演练
1.对称轴是直线x=-2的抛物线是( )
A.y=-2x2-2 B.y=-2x2＋2 C.y=-(x+2)2-2 D.y=-5(x-2)2-6
2.将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A.y=3(x-2)2-1 B.y=3(x-2)2+1 C.y=3(x+2)2-1 D.y=3(x+2)2+1
3.若抛物线的顶点为(3,5) ,则此抛物线的解析式可设为( )
A.y=a(x+3)2+5 B.y=a(x-3)2+5 C.y=a(x-3)2-5 D.y=a(x+3)2-5
基础巩固
C
C
B
4.指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标.
（1）y=5(x+2)2+1； （2）y=-7(x-2)2-1；
（3）y=(x-4)2+3； （4）y=-(x+2)2-3.
开口向上
对称轴为x=-2
顶点坐标为（-2，1）
开口向下
对称轴为x=2
顶点坐标为（2，-1）
开口向上
对称轴为x=4
顶点坐标为（4，3）
开口向下
对称轴为x=-2
顶点坐标为（-2，-3）
知识点3 抛物线与 间的关系
6. [怀化期末] 将抛物线 向下平移1个单位长度，
再向右平移______个单位长度后，得到的新抛物线经过原点.
2或4
返回
7. 如图，点 在抛物线
上，且在对称轴的
右侧.
（1）写出抛物线的对称轴和的最大值，并求出 的值；
【解】抛物线的对称轴为直线， 的最大值为4.当
时，，解得或 .
因为点在对称轴的右侧，所以 .
（2）坐标平面上放置一透明胶片，
并在胶片上描画出点及 的一段，
分别记为，.平移该胶片，使
所在抛物线对应的函数表达式恰好
为.求点 移动的最短
路程.
因为平移后的抛物线的表达式为
，所以平移后的顶点坐标
为 .因为平移前抛物线的顶点坐标为
，
所以点 移动的最短路程为
.
返回
（第8题）
8. 如图，点, 是抛物线
上的两点，将该
抛物线向左平移，得到抛物线
,点, 的对应点
分别为点,,则曲线段 扫过的阴影
部分的面积为( )
B
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
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（第9题）
9. 如图，抛物线
的顶点在的边
所在的直线上运动，点的坐标为 ，
点的坐标为，若抛物线与 的
边，都有公共点，则 的取值范围
是( )
D
A. B.
C. D.
（第9题）
【点拨】因为点的坐标为 ，所以
易得直线的表达式为 .因为抛
物线的顶点为 ，且
在直线上，所以 .所以抛物线
对应的函数表达式为 .
当抛物线经过点时，将点 的
坐标代入 ，得
，解得, ；当抛
物线经过点时，将点 的
坐标代入 ，得
，整理，得
（第9题）
，解得 ,
.
综上所述，的取值范围是 .
（第9题）
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10. [天津四十五中期末] 如图，抛物线
与交于点 ，过点
作轴的平行线，分别交两条抛物线于，两点，且，
分别为顶点，则下列结论：
；②若连接，则 ；
③若连接，，则 是等腰直角三角形；
④当时， .
其中正确的结论有______.（填序号）
①③
【点拨】因为点 在抛物线
上，所以
，解得 ，故①正
确；当时，有 ，
解得，，所以点 的坐标为
.所以因为 是抛物
线 的顶点，所以
.所以， 即
，故②错误；当 时，
，解得 ，
，所以，所以 .
因为点是抛物线 的
顶点，所以 .所以
，
.
所以， .所以
是等腰直角三角形，故③正确；
联立得解得
或 所以两条抛物线的交点为
和 ，由图象可知当
时， ，故④错误.故正确的结论有①③.
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向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
课堂小结
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+k
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
y
O
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
h
k

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