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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.4.3二次函数的表达式的求法第4章二次函数湘教版九年级上册数学4.3二次函数的表达式的求法专项练习题一、核心知识点梳理求二次函数表达式的核心方法为待定系数法，根据已知条件的不同，选择三种不同形式的解析式求解，简化计算、快速解题。（一）三种表达式及适用条件$$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$$1.一般式：适用条件：已知函数图象上任意三个普通点坐标，无顶点、无交点特殊条件。代入三点坐标，得到三元一次方程组，解出$$a、b、c$$即可。$$y=a(x-h)^2+k(a\neq0)$$2.顶点式：适用条件：已知顶点坐标、对称轴、最值其中一种条件，再搭配任意一个图象上的点。$$(h,k)$$为顶点坐标，直接代入顶点确定$$h、k$$，再代入一点求$$a$$，计算最简捷。$$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a\neq0)$$3.交点式：适用条件：已知抛物线与$$(x_1,0)、(x_2,0)$$x轴的两个交点坐标，再加任意一个图象上的点。$$x_1、x_2$$为抛物线与x轴交点的横坐标，代入交点确定$$x_1、x_2$$，再求$$a$$。（二）通用解题步骤1.审题：根据已知条件，择优选择解析式形式；2.设式：设出对应二次函数表达式；3.代值：将已知点的坐标代入表达式，列方程（组）；4.求解：解出未知系数$$a、b、c、h、k$$；5.整理：化为最简形式（题目无要求时，一般整理为一般式）。二、基础巩固练习题选择题（每题5分，共30分）1.已知二次函数图象经过三个普通点，求表达式应选择（）A.顶点式B.交点式C.一般式D.任意形式2.抛物线顶点为$$(2,-3)$$，且过点$$(3,1)$$，最适合的解析式是（）A.一般式B.顶点式C.交点式D.以上都不对3.抛物线与x轴交于$$(-1,0)$$、$$(3,0)$$，设解析式正确的是（）A. $$y=a(x-1)(x+3)$$ B. $$y=a(x+1)(x-3)$$ C. $$y=ax^2+bx+1$$ D. $$y=a(x-1)^2+3$$4.二次函数顶点为$$(0,2)$$，则解析式可设为（）A. $$y=a(x)^2+2$$ B. $$y=a(x+2)^2$$ C. $$y=ax^2+bx+2$$ D. $$y=a(x-2)^2$$5.抛物线$$y=a(x-1)(x+2)$$与x轴的两个交点是（）A. $$(1,0)、(2,0)$$ B. $$(-1,0)、(-2,0)$$ C. $$(1,0)、(-2,0)$$ D. $$(-1,0)、(2,0)$$6.已知二次函数有最小值-4，对称轴$$x=1$$，优先选择（）A.一般式B.顶点式C.交点式D.无法确定填空题（每题6分，共30分）1.已知抛物线顶点$$(1,2)$$，可设解析式为________。2.抛物线与x轴交于$$(0,0)$$、$$(4,0)$$，可设解析式为________。3.二次函数过$$(0,1)、(1,0)、(2,3)$$三点，应设________求解。4.抛物线$$y=a(x-2)^2+1$$的顶点坐标为________。5.若抛物线$$y=a(x+1)(x-3)$$过点$$(2,-3)$$，则$$a=$$________。解答题（共40分）1.（12分）已知二次函数图象经过点$$(0,3)、(1,0)、(2,-1)$$，求该二次函数的表达式。2.（14分）已知抛物线顶点坐标为$$(-1,4)$$，且经过点$$(1,0)$$，求抛物线的表达式。3.（14分）已知抛物线与x轴交于$$(-2,0)$$、$$(4,0)$$，且经过点$$(3,-5)$$，求二次函数表达式。三、参考答案与详细解析选择题解析1. C解析：无特殊条件，三点普通坐标只能设一般式求解。2. B解析：已知顶点坐标，顶点式只需求一个系数，计算最简便。3. B解析：交点式口诀：$$x-x_1、x-x_2$$，代入$$x_1=-1,x_2=3$$。4. A解析：顶点$$(0,2)$$，即$$h=0,k=2$$，顶点式为$$y=ax^2+2$$。5. C解析：令$$y=0$$，解得$$x=1$$或$$x=-2$$。6. B解析：最值、对称轴可直接确定顶点坐标，优先顶点式。填空题答案1. $$y=a(x-1)^2+2(a\neq0)$$2.$$y=ax(x-4)(a\neq0)$$3.一般式$$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$$4. $$(2,1)$$5. $$1$$解答题解析1.解：设一般式$$y=ax^2+bx+c$$，代入三点：代入$$(0,3)$$得$$c=3$$；代入$$(1,0)$$得$$a+b+3=0$$；代入$$(2,-1)$$得$$4a+2b+3=-1$$；联立解得$$a=1，b=-4$$，解析式：$$y=x^2-4x+3$$。2.解：设顶点式$$y=a(x+1)^2+4$$，代入$$(1,0)$$：$$0=a(1+1)^2+4$$，解得$$a=-1$$，展开整理：$$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$$。3.解：设交点式$$y=a(x+2)(x-4)$$，代入$$(3,-5)$$：$$-5=a(3+2)(3-4)$$，解得$$a=1$$，展开整理：$$y=(x+2)(x-4)=x^2-2x-8$$。四、易错点总结1.解析式选错：不会根据已知条件择优选式，已知顶点用一般式、已知交点用顶点式，计算繁琐且易出错；2.交点式符号错误：极易写错$$x-x_1$$的符号，与交点横坐标符号混淆；3.遗漏取值范围：设解析式时忘记标注$$a\neq0$$；4.结果不整理：求出顶点式、交点式后，未按要求展开为一般式；5.计算失误：解三元一次方程组、展开化简时符号、计算出错。核心技巧：知顶点选顶点式，知x轴交点选交点式，三点普通坐标选一般式。
问题2
如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线 AOB）的薄壳屋顶.它的拱宽 AB 为 4 m，拱高 CO 为 0.8 m. 施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系，再写出函数表达式，然后根据这个函数表达式画出图形.
解:如图所示，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 О 作 y 轴的垂线为 x 轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是 y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为:
如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线 AOB）的薄壳屋顶.它的拱宽 AB 为 4 m，拱高 CO 为 0.8 m. 施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
问题2
y = ax2（a < 0） （1）
如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线 AOB）的薄壳屋顶.它的拱宽 AB 为 4 m，拱高 CO 为 0.8 m. 施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
问题2
y = ax2（a < 0） （1）
因为 y 轴垂直平分 AB，并交 AB 于点 C，所以 CB = = 2（m），又CO = 0.8 m，所以点 B 的坐标为（2，-0.8）.
因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代入（1）得
-0.8 = a×22，所以 a = -0.2，因此，所求函数关系式是 y = -0.2x2.
y = -0.2x2.
你能根据这个函数表达式，画出模板的轮廓线吗？
知识点1 用“顶点式”求二次函数表达式
1. 已知某二次函数的部分图象如图所示，若，则 的取
值范围为____________，其函数表达式为________________.
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2. 我们将图象顶点的横坐标和纵坐标互为相反
数的二次函数称为“互异二次函数”.若“互异二次函数”的对称
轴为直线且图象经过点 ，则这个“互异二次函数”
的二次项系数是( )
B
A. B. C. 1 D.
返回
一个二次函数的图象经过点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的表达式.
图象顶点坐标为（h，k）的二次函数表达式有怎样的形式？
二次函数顶点式 y=a(x-h)2+k
一个二次函数的图象经过点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的表达式.
设所求二次函数的表达式为 y = a( x – 8 )2 + 9，
由这个函数的图象经过点（0, 1），可得 a = .
因此，所求二次函数的表达式为 y = ( x – 8 )2 + 9.
已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤:
第一步：设解析式为 y = a(x - h)2 + k.
第二步：将已知点坐标代入求 a 值得出解析式.
归纳
一个二次函数的图象经过点 (0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式.
设所求二次函数的表达式为 y = ax 2 + bx + c，
由这个函数的图象经过点（0, 1），可得 c = 1.又由于其图象经过(2，4)、(3，10)两点，可得
4a + 2b + 1 = 4，
9a + 3b + 1 = 10.
解这个方程组，得
因此，所求二次函数的表达式为 y =
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
归纳
任意两点的连线不与y轴平行
知识点2 用“一般式”求二次函数表达式
3. 已知二次函数的图象过 ，
， 三点，那么它的对称轴是直线( )
D
A. B. C. D.
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4. 已知一个二次函数的自变量与函数 的几
组对应值如下表：
… 0 3 5 …
… 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
D
A. 图象的开口向上
B. 当时，随 的增大而减小
C. 图象经过第二、三、四象限
D. 图象的对称轴是直线
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5. 据科学计算，“长征二号” 运载火箭在点火
后第一秒通过的路程为，第二秒时共通过了 的路程，
第三秒时共通过了 的路程，在这一过程中路程与时间
成二次函数关系，在达到离地面 的高度时，火箭程序
拐弯，则这一过程需要的时间大约是____秒.
15
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知识点3 用“交点式”求二次函数表达式
6. 若二次函数 的图象
经过点，，且与轴交于点.若,则 的
取值范围是_ ______________.
或
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7. 如图，在平面直角坐标系中，
抛物线交轴于点 ，
，顶点坐标为 .抛物
线交轴于点， ，
顶点坐标为 .
（1）连接,求线段 的长；
【解】由题意可得， ，所以
（2）点在抛物线上，点在抛物线 上，
比较大小：___ .
【点拨】由题意，设抛物线
，抛物线
，由（1）得
所以.所以.把 的坐
标代入抛物线 对应的函数表达式，得
，，所以 .
;
把的坐标代入抛物线 对应的
函数表达式，得
.因
为抛物线的开口向上，所以 .所
以 .
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8. 某中学校本课程
“物理与数学”学习小组对一款热
水器的工作电路展开研究，如图
①，将滑动变阻器 的滑片从一
D
A. B. C. D.
端滑到另一端，绘制出滑动变阻器消耗的电功率随电流
变化的关系图象，如图②所示，且该图象是经过原点的一条
抛物线的一部分，则滑动变阻器消耗的电功率 最大为
( )
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9. 如图，在 的网格中标记了4个格点，已知网格中
每个小正方形的边长为1，若二次函数 的图
象经过其中的3个格点，则 的最大值为( )
A
A. B. 1 C. D.
【点拨】易知二次函数的
开口越小， 越大.分以下
两种情况：当 时，如
图①，建立平面直角坐标
系.二次函数
的图象经过，， 或
，，.易得过，，
三点的抛物线的开口最小.
则抛物线的表达式为
，将点
的坐标代入，得
，解得 ；当
时，如图②，建立平
面直角坐标系，二次函数
的图象经
过， ，
三点，则抛物线的
表达式为
，将点
的坐标代入，得
，解得 .综
上，的最大值为 . 故选A.
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（第10题）
10. 如图，在直角坐标系中有一直角三
角形，为坐标原点， ，
，将此三角形绕原点 逆时针
旋转 ，得到 ，抛物线
经过点,, ,则抛物线的
顶点坐标为_______.
课堂小结
待定系数法求二次函数解析式 :
（1）知道三点，设其形式为 y = ax2 + bx + c （a≠0），其中a、b、c 是待定系数；
（2）知道一点和顶点坐标，通常设其形式为 y = a(x-h)2 + k（a ≠ 0），其中 a 是待定系数.

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