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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.4.4二次函数与一元二次方程的关系第4章二次函数湘教版九年级上册数学4.4二次函数与一元二次方程的关系专项练习题一、核心知识点梳理（一）二者本质关系二次函数$$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$$，当令$$y=0$$时，就得到$$ax^2+bx+c=0$$一元二次方程。核心几何意义：一元二次方程的根，就是抛物线与x轴交点的横坐标。（二）交点个数与根的判别式（核心考点）设$$\Delta=b^2-4ac$$，通过判别式可判断抛物线与x轴交点个数：1. $$\Delta&gt;0$$：方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有2个交点；2. $$\Delta=0$$：方程有两个相等的实数根（一个实数根），抛物线与x轴有1个交点（顶点在x轴上）；3. $$\Delta<0$$：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。（三）图象解方程、不等式1.解方程$$ax^2+bx+c=0$$：看抛物线与x轴交点横坐标；2.解不等式$$ax^2+bx+c>0$$：看x轴上方图象对应的x取值范围；3.解不等式$$ax^2+bx+c<0$$：看x轴下方图象对应的x取值范围。（四）抛物线与直线交点问题求抛物线$$y=ax^2+bx+c$$与直线$$y=kx+m$$交点，联立方程：$$ax^2+bx+c=kx+m$$，整理成一元二次方程，根据$$\Delta$$判断交点个数。二、基础巩固练习题选择题（每题5分，共30分）1.抛物线$$y=x^2-3x+2$$与x轴的交点个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D.无数个2.若二次函数$$y=ax^2+bx+c$$的$$\Delta=b^2-4ac=0$$，则抛物线与x轴（）A.无交点B.一个交点C.两个交点D.无法确定3.已知抛物线$$y=x^2-4x+m$$与x轴只有一个交点，则m的值为（）A. 2 B. 4 C. -4 D. 164.方程$$x^2-2x-3=0$$的两根为$$x_1=-1,x_2=3$$，则抛物线$$y=x^2-2x-3$$与x轴交点为（）A. $$(-1,0),(3,0)$$ B. $$(0,-1),(0,3)$$ C. $$(-1,3)$$ D. $$(0,3)$$5.抛物线$$y=-x^2+2x-2$$，则函数值$$y<0$$时x的取值范围是（）A.全体实数B.无解C. $$x>2$$ D. $$x<2$$6.抛物线$$y=x^2-1$$与直线$$y=0$$的交点个数是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3填空题（每题6分，共30分）1.抛物线$$y=x^2-5x+6$$与x轴交点坐标为________。2.若抛物线$$y=2x^2+kx+1$$与x轴无交点，则$$\Delta$$________0（填>、<、=）。3.已知抛物线$$y=x^2-6x+9$$，则此抛物线与x轴有________个交点。4.二次函数$$y=x^2-4$$，当$$y>0$$时，x的取值范围是________。5.抛物线$$y=ax^2+bx+c$$过点$$(2,0)、(5,0)$$，则方程$$ax^2+bx+c=0$$的两根为________。解答题（共40分）1.（12分）已知二次函数$$y=x^2-2x-8$$。（1）判断抛物线与x轴交点个数；（2）求出抛物线与x轴交点坐标。2.（14分）已知抛物线$$y=x^2+(m-2)x-2m$$。（1）求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点；（2）若抛物线过点$$(3,0)$$，求m的值。3.（14分）已知二次函数$$y=-x^2+3x+4$$。（1）求方程$$-x^2+3x+4=0$$的根；（2）直接写出$$y&gt;0$$和$$y<0$$时x的取值范围。三、参考答案与详细解析选择题解析1. C解析：$$\Delta=9-8=1>0$$，两个交点。2. B解析：$$\Delta=0$$，抛物线与x轴仅有一个交点（顶点在x轴）。3. B解析：$$\Delta=16-4m=0$$，解得$$m=4$$。4. A解析：方程的根即为抛物线与x轴交点横坐标，纵坐标为0。5. A解析：$$\Delta=4-8=-4<0$$，开口向下，图象全程在x轴下方，$$y<0$$恒成立。6. C解析：联立得$$x^2-1=0$$，两根，两个交点。填空题答案1. $$(2,0),(3,0)$$2. <3. 14. $$x>2$$或$$x&lt;-2$$5. $$x_1=2，x_2=5$$解答题解析1.解：（1）$$\Delta=4+32=36>0$$，抛物线与x轴有2个交点；（2）令$$y=0$$，$$x^2-2x-8=0$$，解得$$x_1=4,x_2=-2$$，交点为$$(4,0),(-2,0)$$。2.解：（1）证明：$$\Delta=(m-2)^2+8m=(m+2)^2\ge0$$，恒有实数根，故抛物线与x轴总有交点；（2）代入$$(3,0)$$，$$9+3(m-2)-2m=0$$，解得$$m=-3$$。3.解：（1）令$$y=0$$，$$-x^2+3x+4=0$$，解得$$x_1=-1,x_2=4$$；（2）开口向下，$$y>0$$：$$-1<x<4$$；$$y<0$$：$$x<-1$$或$$x>4$$。四、易错点总结1.概念混淆：分不清“方程的根”和“交点坐标”，根是横坐标，交点是坐标；2.判别式误用：判断交点个数忘记计算$$\Delta$$，凭主观判断；3.不等式范围写错：开口方向判断错误，导致大于、小于范围写反；4.特殊情况遗漏：$$\Delta=0$$时只有一个交点，容易误判为两个相等交点；5.审题不清：分不清“与x轴交点”和“与y轴交点”，y轴交点需要令x=0求解。推进新课
知识点1
二次函数与一元二次方程的关系
问题 以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系h=20t-5t2.球的飞行高度能否达到15m或20m或20.5m？如能，需要多少飞行时间呢？
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能,需要多少飞行时间？
h=20t-5t2.
15=20t-5t2.
解：
t2-4t+3=0.
t1=1，
t2=3.
当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.
1s
3s
15m
你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能,需要多少飞行时间？
h＝20t-5t2.
20=20t-5t2.
解：
t2 - 4t+4=0.
t1 =t2 =2.
当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？
2s
20m
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能,需要多少飞行时间？
h＝20t-5t2.
20.5=20t-5t2.
解：
t2 - 4t+4.1=0.
因为(-4)2 – 4×4.1<0，
所以方程无实根.
2s
20m
即小球的飞行高度不能达到20.5m.
h=20t-5t2.
想一想：小球从飞出到落地要多少时间？
小球飞出和落地的高度都为0m,解方程
0=20t-5t2
t1 =0，
t2 =4.
解：
小球飞行0s和4s时，它的高度都为0m,这表明小球从飞出到落地要4s.
从以上问题的解法中，可以发现：
(1)求y=ax2+bx+c的值为k时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程 解决；
(2)求y=ax2+bx+c的值为0时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程 解决.
ax2+bx+c=k
ax2+bx+c=0
知识点1 二次函数与一元二次方程之间的关系
1. 若关于的一元二次方程 的两个根为
,，则二次函数 的图象
的对称轴为( )
B
A. 直线 B. 直线
C. 直线 D. 直线
返回
2. 如图，二次函数 的图
象与轴相交于点 ，则方程
的根为( )
C
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【点拨】因为二次函数 的
图象与轴的一个交点为 ,对称轴为直线
,所以二次函数
的图象与 轴的另一个交
点为.所以方程的解为 ,
.方程两边同除以可得 ,设
,可得,所以 ,
.由上可得,方程 的两
个根为, .故选C.
返回
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）何时为一元二次方程
一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c（a≠0）就是一个一元二次方程.
自由讨论
为一个常数
（定值）
已知二次函数中因变量的值，求自变量的值
解一元二次方程的根
二次函数与一元二次方程的关系（1）
二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？
无公共点
先画出函数图象：
公共点的函数值为 。
0
对应一元二次方程的根是多少？
x1 =-2，
x2 =1.
x1 =x2 =3.
方程无解
有两个不等的实根
有两个相等的实根
没有实数根
有两个不同实根
有两个相同实根
没有根
有两个交点
有一个交点
没有交点
△ > 0
△ = 0
△ < 0
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系（2）
ax2+bx+c = 0 的根
抛物线 y=ax2+bx+c与x轴
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则________________ 。
b2 – 4ac ≥ 0
△= b2 – 4ac
△＞0
△=0
△＜0
o
x
y
△ = b2 – 4ac
y=ax2+bx+c
那么a<0时呢？
a＞0
3. 已知关于的函数 的图
象与坐标轴有且只有两个交点，则 _____________.
1，0，，2
【点拨】①当，即时，函数为 ，
其图象与坐标轴有两个交点；②当时，若 ，
则函数为 ，函数图象经过坐标原点，与坐标
轴有两个交点;若，顶点在 轴上，则函数图象与坐标
轴有两个交点,此时 ，即
，解得， .综上所述，函数图
象与坐标轴有且只有两个交点时，，0， ，2.
此题有两个易错点.一是与坐标轴的交点包括 轴、
轴两种情况；二是未明确函数类型，需分一次函数和二次
函数两种情况.
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4. 某游乐场的圆形喷水池中心 有
一雕塑,从 点向四周喷水，喷
出的水柱为抛物线，且形状相同.
如图，以水平方向为轴，点 为
原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点, 为水柱的
落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
.
（1）则落水点, 之间的距离为
____ ；
22
【点拨】当 时，
,解得
（舍去）,,所以点的坐标为 .所以
.因为从 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，
且形状相同，所以 . 所以
,即落水点,之间的距离为 .
（2）若需要在上的点 处竖立
雕塑,, ,
.问：雕塑 是否会碰到
水柱 请通过计算说明.
【解】会.当时， .
因为,所以雕塑 会碰到水柱.
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知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
5. 下表是二次函数的自变量与函数值 的若
干组对应值：
… 0.7 0.8 0.9 1.0 …
… 0.30 0.05 …
则下面是关于的方程 的一个近似根
（精确到 ）的是( )
C
A. 3.0 B. 3.1 C. 3.2 D. 3.3
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（第6题）
6. 二次函数 的图象如图，
若方程 的一个近似根是
，则方程的另一个近似根为______
__（结果精确到 ）.
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知识点3 利用图象法解一元二次不等式
（第7题）
7. 二次函数的图象与 轴交
于点，其对称轴是直线 ，则不等
式 的解集是_____________.
或
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8. 某电子公司研制出一种市场热销的电子产品，该种产品每
天的销售利润（元）与销售单价 （元）之间满足的函数关
系式为 ，其图象如图所示.
（1）当销售单价为多少元时，该种产品每天的销售利润最
大？最大利润为多少元？
【解】把点， 代入
，得
解得
所以 .
所以当时， 有最大值，最大值为25.
答：当销售单价为10元时，该种产品每天的
销售利润最大，最大利润为25元.
（2）若该种产品每天的销售利润不低于16元，结合图象，
直接写出自变量 的取值范围.
当利润不低于16元时，自变量的取值范围为 .
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9. 现定义：对于一个数，我们把称为
的“邻一数”，若，则；若 ，则
.例如： ，
.已知函数
，当直线 与该函数的图
象有4个交点时， 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
课堂小结
（2）通过画函数的图象解一元二次方程是数的直观化的体现，但存在作图的误差，因此通过这种方法求得的方程的根一般是近似的.
（1）当抛物线的顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个公共点时，相应的方程有两个相等的实数根，二者不要混淆，对“数”来说是两个，对“形”来说是一个.

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