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第十三章 三角形单元测试题
（时间：100分钟 总分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．（本题3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4，6，10 B．3，9，5 C．8，6，1 D．5，7，9
3．（本题3分）如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，是的外角，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为 (　　)
A．3cm B．3cm或9cm C．3cm或5cm D．5cm
6．（本题3分）如图，都是的角平分线，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，中，是边上的高，是的角平分线，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，在三角形中，，，垂足为点D，，，．给出下列结论：
①；
②；
③图中互余的角共有3对；
④点B到直线的距离为．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．（本题3分）如图，已知，点是边延长线上一点，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，已知中，，平分，，为上一点， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）修理一把摇晃的椅子，我们可以斜着钉上一块木条（如图），其中所涉及的数学原理是三角形的_______．
12．（本题3分）如图，在中，点D、E分别是、边上的中点，若的面积是2，则的面积是 _____．
13．（本题3分）如图，在中，，分别是，上的点，，则_______．

14．（本题3分）如图，已知是的边上的中线，若， 的周长比的周长少，则___________．

15．（本题3分）如图，在中，，于点D，点F是边的中点，平分分别交于点G、点E，连接BF．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________．
三、解答题（共75分）
16．（本题8分）如图所示，直线和相交于，，，，求和．
17．（本题8分）如图，在的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)在图中作的边上的中线．
(2)在图中作的边上的高．
18．（本题9分）如图，已知：AD是的角平分线，CE是的高，，，求和的度数．
19．（本题9分）已知：如图，，过AC上一点D，作交BC于点F．求证：．
20．（本题9分）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边长是的等腰三角形吗？为什么？
21．（本题9分）如图，在中，是的平分线，是边上的高线．

(1)若，求的度数．
(2)求证：．
22．（本题11分）在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处．
(1)如图1，若，则___________°；
(2)利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数．
23．（本题12分）如图1，已知两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．如图2，点为三条内角平分线的交点，连接．
(1)当时，求的度数；
(2)在点A，B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；
(3)如图3，连接并延长，与的邻补角的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数．
试卷第8页，共8页
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《2026年7月20日初中数学周测/单元测试》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B A D B B B D
1．D
【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．
【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形，
则图中的A表示等腰三角形．
2．D
【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边只差小于第三边进行逐一判断即可
【详解】解：根据三角形的三边关系，知
A、4＋6＝10，不能组成三角形，故A错误；
B、3＋5＜9，不能组成三角形；故B错误；
C、1＋6＜8，不能组成三角形；故C错误；
D、5＋7＞9，能够组成三角形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知构成三角形的条件是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查的是四边形的内角和定理，平行线的性质，先求解，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C
4．B
【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出最终结果．
【详解】解：∵是的外角，，，
∴，
故选：B；
5．A
【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，分两种情况进行计算即可．
【详解】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，9cm，而3＋3＜9，不满足三角形三边关系定理，此情况不符合题意；
当底边是3cm时，则另两边是6cm，6cm，3+6＞6，满足三角形三边关系定理，
∴该等腰三角形的底长为3cm．
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系定理，分两种情况计算并利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．
根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．
【详解】解：∵都是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质、角平分线的定义．先求出，根据角平分线的定义得，再运用三角形的外角性质，即可作答．
【详解】解：∵，是边上的高，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了点到直线的距离，余角，对直角三角形的有关性质熟练掌握并能灵活运用是解题关键．根据直角三角形的有关性质求解．因为，所以，①符合题意，，因为，即，可得，②符合题意，数出图中互余的角可证③，因为，已知，，，可得的长，即证④．
【详解】解：∵，
∴，故①符合题意，
∴，
∵，即，
∴，故②符合题意，
∵，，
∴，，，，
∴图中互余的角共有4对，
故③不符合题意，
∵，，，，
∴，故④符合题意，
故正确的结论是①②④，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，先求三角形内角和定理求出的度数，再由平行线的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
10．D
【分析】先根据角平分线的性质求出和的度数，再利用直角三角形的性质求出的度数，接着根据平行线的性质求出的度数，最后求出的度数．本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【详解】解：平分，
故选：．
11．稳定性
【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：涉及的数学原理是三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
12．8
【分析】本题主要考查了三角形的中线性质，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据这个性质，可以得到，，根据，得到．
【详解】∵点D、E分别是、的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
13．/300度
【分析】根据三角形内角和定理得出，，求出即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为．
14．
【分析】本题考查三角形中线的性质，根据三角形中线所分割的两个三角形中，两组边分别相等，周长之差等于第三边的边长之差求解即可，能够熟练掌握三角形中线的性质是解决本题的关键．
【详解】解：的周长为：，
的周长为：，
∵是的边上的中线，
∴，
∴，且，
∴，
故答案为：．
15．①②④
【分析】①利用三角形中线的性质即可判断①；②运用等面积法即可判断②；利用三角形外角的性质以及作差法即可判断③；先利用同角的余角相等可得，再结合角平分线的定义即可判断④．
【详解】解：∵点F是边的中点，
∴，即①正确；
∵在中，，于点D，
∴，即，即②正确；
∵，
∴，
∵无法判断的正负，
∴无法判断的大小关系，即③错误；
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即④正确．
综上，正确的结论有①②④．
16．
【分析】先根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出，再根据两直线平行，内错角相等得到等于．
【详解】解：在中，，，
；
，
．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质和两直线平行，内错角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
17．(1)见解析图；
(2)见解析图．
【分析】（）取的中点，连接，线段即为所求；
（）根据网格特点，取格点，连接，线段即为所求．
【详解】（1）如图，取的中点，连接，

∴即为所求；
（2）如图，取格点，连接，
∴即为所求．
【点睛】此题考查了作图—应用与设计作图，三角形的高，中线，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
18．，
【分析】在中可计算得；在中可解得，在中可解得．
【详解】解： ，，
；
，，
，
AD是的角平分线，
，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质、垂线的性质；关键在于掌握好相关的基础知识．
19．证明见解析
【分析】先证明，再证明，结合，从而可得结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，熟记三角形的外角的性质并灵活运用是解本题的关键．
20．(1)，，
(2)能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解一元一次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设底边长为，则腰长为，则，求解即可；
（2）分已知当为底时，当为腰时，两种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：设底边长为，
腰长是底边的2倍，
腰长为，
，
解得，
，
各边长为：，，．
（2）解：①当为底时，腰长；
②当为腰时，底边，
，
不能构成三角形，故舍去；
能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，．
21．(1)
(2)
．
．
【分析】（1）结合角平分线的定义，根据三角形的内角和为，求出的角度，再在中，求出的角度，再在中，求出的度数；
（2）想要证明，就要先将与和联系起来，将放在中，则，利用这个条件对进行替换，至此即可完成证明．
【详解】（1）在中，．
是角平分线，
．
在中，．
在中，．
（2） 略
【点睛】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．
22．(1)
(2)，理由见详解
(3)
【分析】（1）可求，可得，，即可求解；
（2）设，可得 ，可求，，即可求解；
（3）可得，可求 ，由即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
由折叠得：，，
，
，
；
故答案：．
（2）解：，理由如下：
设，
，
由折叠得：，，
，
，
，
；
；
（3）解：由（2）得
，
，
，恰好分别是与的平分线，
，
，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
23．(1)
(2)不变，
(3)为或
【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质．
（1）先根据三角形的内角和定理求出的角度，再根据角的定义平分线得到，，最后根据三角形内角和定理即可解答；
（2）根据三角形的内角和求出，根据角平分线定义得出，最后根据三角形内角和定理即可解答；
（3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：点为三条内角平分线的交点，
，
，
，
；
（2）解：不变，理由如下：
点为三条内角平分线的交点，
，
；
（3）解：设，
是的平分线，
，
点为三条内角平分线的交点，
在中有一个角是另一个角的2倍，
若，则，解得，
；
若，则，解得，
；
若，则，解得，
若，则，解得（舍去）；
在中有一个角是另一个角的2倍时，为或．
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