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专题09 圆中的重要模型之辅助线模型八大类
在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型运用 5
模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5
模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7
模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9
模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11
模型5、遇90°的圆周角连直径 13
模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15
模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18
模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21
23
圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。
（2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ．
（2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
（2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）．
A． B． C． D．
（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积．
1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。
证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90°
又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= =
应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。
2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。
推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D；
推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。
3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线
6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。
7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。
直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。
模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形）
已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。
在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。
例1（2025·重庆·九年级专题练习）如图，点，，在上，，，连接交于点，则的度数是（ ）
A．108° B．109° C．110° D．112°
例2（2025·安徽滁州·三模）如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
例3（2025·广东佛山·三模）如图，在圆内接正六边形中，若，则阴影面积为 ．
模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题）
已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。
在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。
例1（2025·云南丽江·模拟预测）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
例2（2025·四川甘孜·三模）如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ．
例3（2025·河南商丘·二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角）
如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。
例1（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，连接，若，，则的度数为 ．
例2（2025·陕西咸阳·二模）如图，的半径为2，是的内接三角形，D为上一点，连接，．若，，则弦的长为（ ）
A．2 B． C． D．
例3（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，内接于，的半径为，若，则劣弧的长为 ．（结果保留）
模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形）
如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。
如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。
例1（2025·四川南充·二模）如图，是的直径，点，是上位于直径两侧的点，连接，，且，则 度．
例2（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ．
例3（2025·湖北襄阳·一模）如图，是的直径，，，是弦，若，，则弦的长是（　　）
A． B． C． D．
模型5、遇90°的圆周角连直径
如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。
遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。
例1（2025·河南·校考模拟预测）中国古代人信奉天圆地方，圆被赋予了吉祥、丰收的意义，圆形门又叫圆月门，如十五满月一样给人柔和愉悦的感觉．小姝测量了一个圆月门尺寸，如图，她测得门下矩形的边高为0.3米，的长为1米，小姝测得圆月门最宽的地方（圆的直径）为2米，由于年代久远，上面的砖容易脱落，小姝想做一个等大的木质模具（不包含）修缮后固定支撑圆月门，则木质模具的总长度为 米，（结果保留π）

例2（2025·河南·校考三模）孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）

例3（2026·陕西渭南·九年级校考期中）如图，正方形内接于，，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）

模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直）
如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。
已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。
例1（2025·山东青岛·模拟预测）将量角器按如图所示的方式放置在等腰直角三角板ABC上，使点B在半圆上，一条直角边AC与半圆相切于点D，斜边AB交半圆于点E，若B，E点的刻度分别是180°，30°，则点D处的刻度为（ ）
A．58° B．59° C．60° D．61°
例2（2025·宁夏·模拟预测）如图,与相切于点A与弦相交于点C，若，则的长为 ．
例3（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为 ．
例4（2026·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，分别切的两边于点D，E，点F在上．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角）
证明直线AB是⊙O的切线.
遇到证明某一直线是圆的切线时：
（1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线．
（2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线．
例1（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E．(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径．
例2（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．
例3（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．
(1)求证：是的切线．(2)当，时，求线段的长．
模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点）
当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。
利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。
例1（江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）

例2（2025·云南红河·九年级统考期末）已知的内切圆半径，、、为切点，，，，则 ．

例3（2025·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数

1．（2026·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，内接于，，，则的半径为（ ）

A．4 B．8 C． D．
2．（江苏南京·中考真题）如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．9
3．（2025·重庆·三模）如图，点A，B，C均在圆O上，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，正方形内接于⊙，点是弧的中点，连接，，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河南·模拟预测）如图，为的内接三角形，已知，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．（2026九年级下·河南周口·期中）如图，是的外接圆，已知，则的半径的长度为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．（江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
9．（2025·广东·模拟预测）粒子加速器是当今高能物理学中研究基本粒子的性质和相互作用的重要工具．图1、图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，C，D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在点A注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点B引出，粒子注入和引出路径都与相切．若，粒子注入路径与的夹角，，则的长为 ．（结果保留π）
10．（2026九年级上·四川南充·期中）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ．
11．（2025·山东·模拟预测）如图，点A，B，C在上，与的平分线交于点P，点M为上不同于点B，C的一点，若，则 ．
12．（2026九年级下·成都·期中）如图所示，在中，直径弦，垂足为，已知，则直径 ．
13．（2026九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点，若，求的长．
14．（2025·河南洛阳·一模）筒车亦称为“水转筒车”，是一种以水流作为动力，取水灌田的工具，据史料记载筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是中国古代人民的杰出发明．这种靠水力自动的筒车，在家乡郁郁葱葱的山涧、溪流间构成了一幅幅优美的田园春色图，下面是一个筒车灌田的示意图．
如图所示，筒车在水流的动力作用下将水沿筒车运送到点处，在点处人们修筑了一条木制水道，将水流从处引导至与在同一水平线的处的田地，由于水在筒车上做圆周运动，速度方向与圆相切，为了便于水流的输送，木制水道也与圆相切．小花在查阅资料后发现，如图所示的筒车灌田系统，筒车半径为5米，点到的距离为42米，筒车上的盛水桶在水面之下的最大深度为2米，请你解答下列问题：
(1)若连接和，求证：；(2)求木制水道的长度．
15．（2026九年级上·浙江杭州·期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的⊙O中，他们提出了如下猜想：
小滨：若∠AOB＝2∠BOC，则．
小江：若AB＝2BC，则．
请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由．
16．（2025·广东广州·二模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点．(1)求证：平分；(2)若，求线段的长．
17．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知在中，，以为直径作交于点D．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，点P为上一点，连接交求点E，若．求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，过点P作，交于点 F，连接，若，求的半径．
18．（2025·山东烟台·中考真题）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接．(1)求证：是的切线；(2)当，时，求的长及的半径．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 圆中的重要模型之辅助线模型八大类
在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型运用 5
模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5
模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7
模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9
模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11
模型5、遇90°的圆周角连直径 13
模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15
模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18
模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21
23
圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。
（2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ．
【答案】
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，∴，∴劣弧，故答案为：．
（2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如下图所示，连接，是的直径，，
和所对的弧为，，
在中，，．故选：B．
（2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过作于，，
的半径为，圆心到的距离为，，，
，．故选C．
（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析；(2)．
【详解】（1）解：直线与相切，理由，如图，连接，，
∵直线与相切，∴，∴，
在和中，，∴，∴，∴，
∵是半径，∴直线与相切；
（2）解：由（）得，，∴，，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
∴．
1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。
证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90°
又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= =
应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。
2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。
推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D；
推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。
3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线
6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。
7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。
直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。
模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形）
已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。
在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。
例1（2025·重庆·九年级专题练习）如图，点，，在上，，，连接交于点，则的度数是（ ）
A．108° B．109° C．110° D．112°
【答案】B
【详解】如解图，连接，，
∵，∴．∵，∴．
∵，∴，
∴，∴．故选B．
例2（2025·安徽滁州·三模）如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
【答案】C
【详解】解：连接，，如下图,，的半径为4，即．
，，，
是直角三角形，即，劣弧的长为．故选：C．
例3（2025·广东佛山·三模）如图，在圆内接正六边形中，若，则阴影面积为 ．
【答案】
【详解】解：连接，
∵正六边形是的内接正六边形，，
∴，∴是等边三角形，
∴，∴，∴，
∴，故答案为：．
模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题）
已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。
在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。
例1（2025·云南丽江·模拟预测）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，∴直线经过圆心，设圆心为，连接．
中，，
根据勾股定理得：，即：，解得：；
故圆形工件的半径为，故选：C．
例2（2025·四川甘孜·三模）如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点O作于H，连接，∴
在中，，∴，
∴，∴，故答案为：．
例3（2025·河南商丘·二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，过点作于点，如图，
∵等边是的内接三角形，∴,
∵，，∴，，∴，
∵的半径为2，∴，∴，
由勾股定理得：，∴，
∴，，∴，
故选：D．
模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角）
如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。
例1（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，连接，若，，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：连接，∵直径，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，∴．故答案为：．
例2（2025·陕西咸阳·二模）如图，的半径为2，是的内接三角形，D为上一点，连接，．若，，则弦的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵的半径为2，∴，∴，故选：B．
例3（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，内接于，的半径为，若，则劣弧的长为 ．（结果保留）
【答案】
【详解】解：连接，∵，∴，∴劣弧的长，
故答案为：．
模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形）
如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。
如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。
例1（2025·四川南充·二模）如图，是的直径，点，是上位于直径两侧的点，连接，，且，则 度．
【答案】45
【详解】解：连接，
是的直径，，
又，，，故答案为：45．
例2（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ．
【答案】
【详解】解：连接，∵是的直径，∴，即．
∵，∴，∴，
∵，∴的半径为1，∴劣弧的长．即劣弧的长为，故答案为：．
例3（2025·湖北襄阳·一模）如图，是的直径，，，是弦，若，，则弦的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，如图：
∵是的直径，∴，∵，，∴，
在中，，∴，．故选：D．
模型5、遇90°的圆周角连直径
如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。
遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。
例1（2025·河南·校考模拟预测）中国古代人信奉天圆地方，圆被赋予了吉祥、丰收的意义，圆形门又叫圆月门，如十五满月一样给人柔和愉悦的感觉．小姝测量了一个圆月门尺寸，如图，她测得门下矩形的边高为0.3米，的长为1米，小姝测得圆月门最宽的地方（圆的直径）为2米，由于年代久远，上面的砖容易脱落，小姝想做一个等大的木质模具（不包含）修缮后固定支撑圆月门，则木质模具的总长度为 米，（结果保留π）

【答案】
【详解】如图，连接，延长交圆月门于点并连接，取中点并连接，

∵四边形为矩形，∴，∴为的直径，∴，
∵在中，，∴，∴，，
∴木质模具的总长度米．故答案为：．
例2（2025·河南·校考三模）孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）

【答案】
【详解】∵，∴为的直径，即，∴，
∴（平方厘米），∴故答案为：．

例3（2026·陕西渭南·九年级校考期中）如图，正方形内接于，，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）

【答案】
【详解】解：连接如图所示：

∵四边形为正方形，∴，∴为圆的直径，
∵,∴，∴，
阴影部分的面积为：．故答案为：．
模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直）
如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。
已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。
例1（2025·山东青岛·模拟预测）将量角器按如图所示的方式放置在等腰直角三角板ABC上，使点B在半圆上，一条直角边AC与半圆相切于点D，斜边AB交半圆于点E，若B，E点的刻度分别是180°，30°，则点D处的刻度为（ ）
A．58° B．59° C．60° D．61°
【答案】C
【详解】解：连接，
由题意，，，，
∵等腰直角形状的三角板ABC，，，
∵一条直角边AC与半圆相切于点D，，
，，．故选：C．
例2（2025·宁夏·模拟预测）如图,与相切于点A与弦相交于点C，若，则的长为 ．
【答案】4
【详解】解：连接，如图，∵与☉O相切于点A，∴，∴．
∵，∴．∵，∴．
∵，∴．
∵，∴，∴．设，则，
∵，∴，解得，即的长为4．
例3（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为 ．
【答案】
【详解】解：连接、，
∵绳子分别与空竹相切于点C，D，∴，，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴弧的长度，
∴图中阴影部分的周长弧的长．
故答案为：．
例4（2026·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，分别切的两边于点D，E，点F在上．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接、，

与的两边分别相切于点、，，，，
，，即，
∴，故选：B．
模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角）
证明直线AB是⊙O的切线.
遇到证明某一直线是圆的切线时：
（1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线．
（2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线．
例1（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接，∵是的外接圆，是的直径，
∴，，∴，
∵，∴，
∵的平分线交于点D，∴，
∴，∴，∴，
∵为的半径，∴是的切线；
（2）解：设交于点，∵，，∴，
∵，∴四边形为矩形，
∴，，∴，
设的半径为，则：，，
∵，，∴，∴，∴，∴的半径为．
例2（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接，
∵于点F，∴,
∵∴，
∵∴，∴，即
∵是的半径，∴是的切线；
（2）∵为的直径，∴
∵，∴，∴
∵，∴∵∴，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
设，则，
∵，∴∴，
∵，∴，∴解得，
∵∴解得，∴
∴，∴
例3（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．
(1)求证：是的切线．(2)当，时，求线段的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）方法一：证明：过点作于点，，，
与相切于点，，，
，，，，
为的半径，为的半径，，是的切线；
方法二：证明：过点作于点，与相切于点，，
，是的平分线，，
为的半径，为的半径，，是的切线；
（2），为半径，，
，，，
，，，，，
，，，，
在中，，
，，
，，，
，设，则，
，解得，．
模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点）
当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。
利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。
例1（江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）

【答案】6
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步，故答案为：6．
例2（2025·云南红河·九年级统考期末）已知的内切圆半径，、、为切点，，，，则 ．

【答案】5
【详解】解：如图，连接、、、、、，

∵的内切圆半径，、、为切点，，
， ，
，， ， ，
，，
即，，故答案为：5．
例3（2025·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数

【答案】
【详解】解：如图所示；连接，．

，，．
是圆的切线，．同理．
．．．
1．（2026·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，内接于，，，则的半径为（ ）

A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【详解】解：连接并延长交于点D，连接，∵是的直径，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴的半径为，故选：C．

2．（江苏南京·中考真题）如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．9
【答案】D
【详解】解：连接，作于点，则，
，分别与扇形相切于点，，，，
，，，，，
，，，
，四边形是矩形，
，，，
在中，根据勾股定理可得：，解得：，故选：D
3．（2025·重庆·三模）如图，点A，B，C均在圆O上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解；如图所示，在优弧上取一点D，连接，
∵，∴，∴，
∴，∴，故选：C．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，正方形内接于⊙，点是弧的中点，连接，，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解；如图所示，连接，∵四边形是正方形，∴，
∵点是弧的中点，∴，∴，
∴，故选：C．
5．（2025·河南·模拟预测）如图，为的内接三角形，已知，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，在弦下方圆周上任找一点，连接，．

，，，
，．故选：C．
6．（2026九年级下·河南周口·期中）如图，是的外接圆，已知，则的半径的长度为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【详解】解：如图：连接，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴．故选：C．
7．（江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
【答案】35
【详解】解：连接，
与相切于点，，，；
，，故答案为：35
9．（2025·广东·模拟预测）粒子加速器是当今高能物理学中研究基本粒子的性质和相互作用的重要工具．图1、图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，C，D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在点A注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点B引出，粒子注入和引出路径都与相切．若，粒子注入路径与的夹角，，则的长为 ．（结果保留π）
【答案】
【详解】解：如图，过点O作于点G，连接，
是的切线，，，，
是的弦，是弦心距，，
∴，，∴，
∵所对的圆心角为，，
∴的长为．故答案为：．
10．（2026九年级上·四川南充·期中）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接，∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：．
11．（2025·山东·模拟预测）如图，点A，B，C在上，与的平分线交于点P，点M为上不同于点B，C的一点，若，则 ．
【答案】或
【详解】解：∵与的角平分线交于点P，∴，
∵，∴，
即，∴，
当在上方时，如图，∴，
当在下方时，如图，∴，
综上所述，或，故答案为：或．
12．（2026九年级下·成都·期中）如图所示，在中，直径弦，垂足为，已知，则直径 ．
【答案】
【详解】解：连接，如图所示：
在中，直径弦，垂足为，,
在中，,，，
则由勾股定理可得,，故答案为：．
13．（2026九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点，若，求的长．
【答案】
【详解】解：如图，连接，是的直径，，
的平分线交于点，，，，
在中，，，，．
14．（2025·河南洛阳·一模）筒车亦称为“水转筒车”，是一种以水流作为动力，取水灌田的工具，据史料记载筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是中国古代人民的杰出发明．这种靠水力自动的筒车，在家乡郁郁葱葱的山涧、溪流间构成了一幅幅优美的田园春色图，下面是一个筒车灌田的示意图．
如图所示，筒车在水流的动力作用下将水沿筒车运送到点处，在点处人们修筑了一条木制水道，将水流从处引导至与在同一水平线的处的田地，由于水在筒车上做圆周运动，速度方向与圆相切，为了便于水流的输送，木制水道也与圆相切．小花在查阅资料后发现，如图所示的筒车灌田系统，筒车半径为5米，点到的距离为42米，筒车上的盛水桶在水面之下的最大深度为2米，请你解答下列问题：
(1)若连接和，求证：；(2)求木制水道的长度．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：如图，连接 并延长交 于点 ， 连接，
则 ， ，
为 的切线，，，，
又 ，．
（2）解：连接 ，，过点 作 于点 ，则 ，
，由垂径定理得，，
在中，由勾股定理得，， ，，由（1）知 ，
又 ，，，，
．∴水槽 的长度为 米．
15．（2026九年级上·浙江杭州·期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的⊙O中，他们提出了如下猜想：
小滨：若∠AOB＝2∠BOC，则．
小江：若AB＝2BC，则．
请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由．
【答案】小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由见解析．
【详解】证明：小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由：
小滨：如图1，作的平分线，
∵是的平分线，∴
又∵∴∴，即＝2；
小江：如图2，取的中点E，连接并延长交于点D，由垂径定理可知，，∴，
∵，即，而，∴，∴，∴2．
16．（2025·广东广州·二模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点．
(1)求证：平分；(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接，
与相切于点，，
，，，，
，，平分．
（2）解：，，
是的直径，，
，，，，，
，，，．
17．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知在中，，以为直径作交于点D．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，点P为上一点，连接交求点E，若．求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，过点P作，交于点 F，连接，若，求的半径．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)9
【详解】（1）证明：连接，∵为的直径，
∴，∴，∵，∴．
（2）证明：连接，∵为的直径，∴，，∴，
∵，∴．
∵ ，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴．
（3）解：设，连接并延长交延长线于G，
则，∴，
∵，∴，
∵四边形是的内接四边形，∴；
∵，∴；∴；∴；∴；
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
延长到点M ，使得，连接，则是的中位线，∴，∵，∴，
设，则，，
∴，∴，
整理，得，解得（舍去）
∴，∴的半径为．
18．（2025·山东烟台·中考真题）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接．
(1)求证：是的切线；(2)当，时，求的长及的半径．
【答案】(1)见解析(2)；的半径为
【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接，
∵，∴∴
又∵，∴∴ ∵∴∴
∵是直径∴∴即∴是的切线；
（2）∵∴∴ ∵∴，
又∵，∴解得： 如图，过点作于点，
∵， ∴，
∴ ∴
又∵∴∴的半径为21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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