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专题10 圆中的最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 3
模型运用 4
模型1.阿氏圆模型 4
13
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。
（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值．
第一步：如图②，连结圆心C与动点P；
第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似．
第三步：计算的长度，由可得，即．
第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______．
【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明：
∵，∴
证明过程缺失
∴；∴
请补全缺失的证明过程．
【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______．
如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：
两定点在圆外：向内取点（系数小于1）；
两定点在圆内：向外取点（系数大于1）；
两定一内一外：提系数；
隐圆型阿氏圆（即动点轨迹没有直接给出，但可以证明动点轨迹为圆）等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”、“逆等线”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线；而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。
模型1.阿氏圆模型
例1（2025九年级下·成都·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，点为以为半径的圆上一动点，则的最小值为 ．
例2（2025·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
例3（2026九年级·成都·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值
例4（2025·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　．
例5（2026九年级下·成都·专题练习）如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 ，的最小值是
例6（2025·陕西·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．

例7（2025·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．

例8（2026·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以．
所以，所以．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值．
1．（2025·安徽宿州·三模）在矩形中，，．点是上一动点，连接，再将沿翻折，使点落在点处，连接，．下列结论不正确的是（ ）
A．点到直线距离的最小值为2 B．长度的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，
【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．
3．（2026九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径作，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为 ．
4．（2025·成都·一模）如图，在扇形中，，，点在上，，点为的中点，点为弧上的动点，与的交点为，的最小值为
5．（2026九年级上·陕西西安·月考）如图，若正方形边长为，是上一点， ，点为上一个动点． 将 沿翻折，点的对应点为，连接，则的最小值为 ．
6．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点、），点P是坐标平面内的一个动点中．若，则的最小值为 ．
7．（2026·湖北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值 ．
8．（2026九年级下·广东广州·专题练习）已知是正方形的内切圆，，点P是上一动点，则的最小值为 ．

9．（2026·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______
10．（2026九年级上·江苏泰州·期中）如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为6，点，点，点P在弧上移动，连接、，则的最小值为 ．
11．（2026九年级·浙江·专题练习）如图抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，过A，B，C三点，P是上一动点，连接则的最小值 ．
12．（2025九年级下·上海·专题练习）如图在中，，．P为中一动点，且．在左侧有一角，，．上有一点Q，联结．则的最小值是 ．
13．（2026九年级·浙江·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值
14．（2026九年级下·江苏苏州·开学考试）请认真阅读下列材料：
如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义为射线上一点，满足．
显然点A也是点的反演点．即点A与点互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径．这种从点A到点的变换或从点到点A的变换称为反演变换．
例如：如图②，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径的圆，交y轴的正半轴于点B；C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为；若C关于的反演点分别为．
（1）求点的坐标；（2）连接、，求的最小值．
解：（1）由反演变换的定义知：，其中，．
∴，故点的坐标为；
（2）如图③，连接、，由反演变换知，
即，而，∴．
∴，即．∴．
故的最小值为13.
请根据上面的阅读材料，解决下列问题：
如图④，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为．
（1）点D关于的反演点的坐标为________；（2）连接、，求的最小值；
（3）如图⑤，以为直径作，那么上所有的点（点O除外）关于的反演点组成的图形具有的特征是__________________．
15．（2026九年级上·湖南岳阳·期中）探究：
(1)如图一，若，求证：；(2)如图二，若，，求的长；(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值．
16．（2026九年级上·山东菏泽·月考）【问题呈现】习题课上，老师给出了如下的题目：如图，在中，，，，点为平面上一动点且，求的最小值．
【思路点拨】老师给出了提示：在线段上取一点，使得．
（1）李华同学发现，连接后，可得到一对相似三角形．
请找到图中的相似三角形并证明；
请你根据李华的思路，求的最小值．
【新知引入】老师告诉同学们，在图中，无论点在上如何运动，的值都不变．更一般地，若平面上一动点与两定点距离之比为定值时，那么动点在一个定圆上运动．这个定理由阿波罗尼奥斯发现，因此这个圆被称为“阿氏圆”．定义：满足的点的轨迹为阿氏圆．
【实践操作】（2）如图所示，直线上有两点、，请用无刻度的直尺与圆规，从阿氏圆或阿氏圆中，选择一个作图，并说明选择的是哪一个．（不写作法，保留作图痕迹）
【思维拓展】（3）如图，是的平分线，，请直接写出面积的最大值．
17．（2025·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？

第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．

(1)的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．
18．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．
(1)求二次函数解析式；(2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），过点作，交于点，作，交于点，交于点，求的周长的最大值；
(3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
(4)如图2，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题10 圆中的最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 3
模型运用 4
模型1.阿氏圆模型 4
13
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。
（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值．
第一步：如图②，连结圆心C与动点P；
第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似．
第三步：计算的长度，由可得，即．
第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______．
【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明：
∵，∴
证明过程缺失
∴；∴
请补全缺失的证明过程．
【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______．
【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13
【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图，∵，∴，∴，
∵，∴∴．∴，
∴当A、P、M三点共线时最小，如图，
∵，此时．故答案为：；
模型探究：证明：∵，∴∴，
又，∴，∴，∴．
模型应用：解：延长至点E使，连接，如图，
则，∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴．
∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段，
∴的最小值．∴的最小值为13．故答案为：13．
如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：
两定点在圆外：向内取点（系数小于1）；
两定点在圆内：向外取点（系数大于1）；
两定一内一外：提系数；
隐圆型阿氏圆（即动点轨迹没有直接给出，但可以证明动点轨迹为圆）等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”、“逆等线”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线；而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。
模型1.阿氏圆模型
例1（2025九年级下·成都·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，点为以为半径的圆上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，取中点，连接，，，
∵，，∴，，∴，即有，
∴，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∵，，
∴，∴的最小值为，故答案为：．
例2（2025·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
【答案】
【详解】如图，连接，在上取一点，使得，
，
在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，
四边形是正方形；。
在中，故答案为：．
例3（2026九年级·成都·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值
【答案】
【详解】如图所示，在轴负半轴上取D（，0），则OD=
因为A（-2,0）∴OA=2
在上任取一点P’，连接OP’，AP’，P’D；∴OP’=OC=3
∴，∴
∵∠P’OA=∠DOP’∴△P’OA∽△DOP’∴∴P’D=P’A
∴求P’A+P’B的最小值即求P’D+P’B的最小值
连接BD交于点P，此时PD+PB最小，最小值为BD的长
∴即最小值为故答案为
例4（2025·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　．
【解答】解：在上取点，使，，，
，，，，
在延长线上取，，则，
又，，，，
，
当为和圆的交点时最小，即最小，且值为，
，的最小值为，故答案为：．
例5（2026九年级下·成都·专题练习）如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 ，的最小值是
【答案】
【详解】解：如图，连接，，交于点，连接，，，
四边形是正方形，是的中点，
，，，，
，，，
，，，，
，，
当、、在一条直线上且Y在上方时，
，；
延长至点H，使，连接，，
，，，，
由（1）可知，，
当、、在一条直线上且点Y在线段上时，最小，即最小，如下图：
为中点，，
，∴；故答案为：，．
例6（2025·陕西·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．

【答案】/
【详解】解：如图，在上取一点G，使得，连接．

∵四边形为菱形，，∴，，
∵，P是的中点，∴，∴，
又∵，∴，∴，即，
∵，∴当点G、P、C在同一直线上时，取得最小值，
此时 ，故答案为：．
例7（2025·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．

【答案】2

∵正方形ABCD中AB=，M为中点∴CM=BM=，∵∠MPC＝45°∴半径为1
作辅助线：连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，如图2：
根据题意正方形对角线AC=4，所以OA=3=3OP，∴，∠NOP=∠AOP∴△OPN∽△OAP
∴即PN=PA∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN）
连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，如图所示：∵CN=OC+CN=1+=，∴NG=CG=，∴BG=，根据勾股定理可得，BN=,
∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=．故答案为：．
例8（2026·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以．
所以，所以．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）13．
【详解】（1）根据题意可知，当A、P、D三点共线时，最小，最小值．　故答案为：．
（2）连接CP，在CA上取一点D，使，则有，
∵，∴∽，得，
∴，故，仅当B、P、D三点共线时，
的最小值．
（3）延长OC到E，使，连接PE，OP，
则，∵，∴∽，∴，
∴，∴，仅当E、P、B三点共线时，
，即的最小值为13．
1．（2025·安徽宿州·三模）在矩形中，，．点是上一动点，连接，再将沿翻折，使点落在点处，连接，．下列结论不正确的是（ ）
A．点到直线距离的最小值为2 B．长度的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】D
【详解】解：由折叠可知，，点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，作于点，
，当点，，共线时，的值最小，
点到直线距离的最小值为2，选项A正确；
如图，连接，，
当点，，共线时，的值最小，长度的最小值，选项B正确；
当角度最大时，的值最大，
当与相切时，最大，的最大值为，选项C正确；
如图，在上取点，使，连接，，，
，，，，，
当，，三点共线时，的值最小，最小值为的长，，选项D错误．故选：D．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，
【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．
【答案】
【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，
∵∠APC=∠BPA， AB 2AC∴△APC∽△BPA，∴∴BP=2AP，CP=AP
∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即点P为定点
∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大
S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面积的最大值为故答案为：．
3．（2026九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径作，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：在上截取，连接，，，，， ，
，，，，，
，当、、三点共线时，的值最小，
在中，，，，的最小值，故答案为：．
4．（2025·成都·一模）如图，在扇形中，，，点在上，，点为的中点，点为弧上的动点，与的交点为，的最小值为
【答案】
【详解】如图所示，延长至点，使，连接．
∵，，∴．
∴．∴．∴．
∴当点、、在同一条直线上，可以取得最小值，最小值为线段的长度．
∵，∴可以取得最小值．故答案为：
5．（2026九年级上·陕西西安·月考）如图，若正方形边长为，是上一点， ，点为上一个动点． 将 沿翻折，点的对应点为，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】由折叠性质可知：，∵四边形是正方形，∴，，
∴，如图，在上截取，连接，
∵，，∴，
∵，∴，∴，∴，
要使有最小值，即要使有最小值，
则当点三点共线时，有最小值，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴的最小值为，即的最小值为，故答案为：．
6．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点、），点P是坐标平面内的一个动点中．若，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴点在半径为2的上，
如图，在线段上取一点，满足，
，
∵，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，∴，当且仅当三点共线时等号成立，
在，，∴的最小值为．故答案为：．
7．（2026·湖北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值 ．
【答案】
【详解】解：连接CO并延长至点P使，连接DP、CD、BP、CB，
∵C点坐为，∴OC=，∵CD=∴=，∴CP=，∴OP=
∵∠AOP=45°，∴P点坐标为（）∵∠DCO=∠DCP，，∴△CDO∽△CPD，
∴，∴PD=OD，当B、D、P共线时，=BD+DP=BP，此时最小，
设点B的坐标为（0，n），∵C点坐标为，∴
解得，n1=3，n2=-1，由图可知点B坐标为（0，3）
由P点坐标（），B坐标（0，3）可得；故答案为：．
8．（2026九年级下·广东广州·专题练习）已知是正方形的内切圆，，点P是上一动点，则的最小值为 ．

【答案】
【详解】解：如图，连，，，在上取一点E，使，连接，．则，

∵，，∴，即，
又∵，∴，∴，
∴，∴，
，即的最小值为．故答案为：．
9．（2026·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______
【答案】
【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD，
作DF⊥BC交BC延长线于F．
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∵，
∴当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD sin60°=2，CF=2，
在Rt△GDF中，DG，故答案为：；
②如图，连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，连接PB、PM、MC，过M作MN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是菱形，且，　∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30，
∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2 BO=，
∴，，∴，
且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，∴，
∴，
∴当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，
在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，∴MN=BM=，BN=，
∴CN=4-，∴MC=，
∴的最小值为．
10．（2026九年级上·江苏泰州·期中）如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为6，点，点，点P在弧上移动，连接、，则的最小值为 ．
【答案】13
【详解】解：取点，连接，，
∵半径为6，点，点，∴，，，，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴C，P，B三点共线时，最小，
∴在中，，即的最小值为13．故答案为：13．
11．（2026九年级·浙江·专题练习）如图抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，过A，B，C三点，P是上一动点，连接则的最小值 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接DA，DB，过点D作DE⊥AB交AB于E，
∵抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），
又∵，
故由二次函数的交点式可知A点的坐标为(-1，0)，B点的坐标为(3，0)，
∵过A，B两点，∴由圆的垂径定理可知E点的横坐标为1，D点的坐标为(1，y)，
又∵CD=BD，，,
∴即,
∴,∴y=1,∴D点的坐标为(1，1)．
∴，
∵P在圆上，∴．延长DO到F使得，连接PF，PO
∵直线DF经过点D(1，1)、O(0，0)、F(x，y)∴直线DF的解析式是y=x，
解得∴点F的坐标为
∴，∴,∴,
∴，∴，∴=，
∴当P、C、Ｆ三点共线时取最小值，∴==，
故答案为：．
12．（2025九年级下·上海·专题练习）如图在中，，．P为中一动点，且．在左侧有一角，，．上有一点Q，联结．则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∵点P为中一动点，∴点P的运动轨迹为以点O为圆心，为半径的圆，
如图，作以点O为圆心，为半径的，在上取一点M，使，
∵，，∴，∴，
∴，∴，
当A，，M三点共线时，的值最小，即，
过点A作交于点N，在中，，
∴，∴，
∵，∴，解得，
在中，，∴，
如图，过点Q作交于点D，
在中，，∴，∵点Q是上的一动点，∴点Q的轨迹是直线，
∴，当C，，三点共线时，的值最小，∴，
∵，，∴，,
在中，，∴，
∴，故答案为：．
13．（2026九年级·浙江·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值
【答案】
【详解】如图所示，在轴负半轴上取D（，0），则OD=
因为A（-2,0）∴OA=2在上任取一点P’，连接OP’，AP’，P’D
∴OP’=OC=3∴，∴
∵∠P’OA=∠DOP’∴△P’OA∽△DOP’∴∴P’D=P’A
∴求P’A+P’B的最小值即求P’D+P’B的最小值
连接BD交于点P，此时PD+PB最小，最小值为BD的长
∴即最小值为故答案为
14．（2026九年级下·江苏苏州·开学考试）请认真阅读下列材料：
如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义为射线上一点，满足．
显然点A也是点的反演点．即点A与点互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径．这种从点A到点的变换或从点到点A的变换称为反演变换．
例如：如图②，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径的圆，交y轴的正半轴于点B；C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为；若C关于的反演点分别为．
（1）求点的坐标；（2）连接、，求的最小值．
解：（1）由反演变换的定义知：，其中，．
∴，故点的坐标为；
（2）如图③，连接、，由反演变换知，
即，而，∴．
∴，即．∴．
故的最小值为13.
请根据上面的阅读材料，解决下列问题：
如图④，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为．
（1）点D关于的反演点的坐标为________；（2）连接、，求的最小值；
（3）如图⑤，以为直径作，那么上所有的点（点O除外）关于的反演点组成的图形具有的特征是__________________．
【答案】（1）；（2）13；（3）过点A且与x轴垂直的一条直线
【详解】解：（1）由反演变换的定义知：，其中，．
∴，∴点D关于的反演点的坐标为故答案为：；
（2）连接， 由反演变换知，
即，而，∴．∴，即．
∴．故的最小值13．
（3）在上任取一点P，连接OP并延长至点P关于的反演点，连接AP和
由反演变换知，即，而，
∴，∴∵OA为的直径∴90°∴=90°∴⊥x轴
∴上所有的点（点O除外）关于的反演点组成的图形具有的特征是过点A且与x轴垂直的一条直线
故答案为：过点A且与x轴垂直的一条直线．
15．（2026九年级上·湖南岳阳·期中）探究：
(1)如图一，若，求证：；(2)如图二，若，，求的长；(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值．
【答案】(1)见解析(2)(3)5
【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴；
（2）作平分，则：，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∵平分，∴点到距离相等，设点到距离均为，∴，
又∵（同高三角形的面积比等于底边比），
∴，∴，∴，即：，∴；
（3）在上截取，连接，则：，
∵，∴，∵，∴，∴，
∴，∴，∴当三点共线时，的值最小为的长，
在中，，∴，∴的最小值为5．
16．（2026九年级上·山东菏泽·月考）【问题呈现】习题课上，老师给出了如下的题目：如图，在中，，，，点为平面上一动点且，求的最小值．
【思路点拨】老师给出了提示：在线段上取一点，使得．
（1）李华同学发现，连接后，可得到一对相似三角形．
请找到图中的相似三角形并证明；
请你根据李华的思路，求的最小值．
【新知引入】老师告诉同学们，在图中，无论点在上如何运动，的值都不变．更一般地，若平面上一动点与两定点距离之比为定值时，那么动点在一个定圆上运动．这个定理由阿波罗尼奥斯发现，因此这个圆被称为“阿氏圆”．定义：满足的点的轨迹为阿氏圆．
【实践操作】（2）如图所示，直线上有两点、，请用无刻度的直尺与圆规，从阿氏圆或阿氏圆中，选择一个作图，并说明选择的是哪一个．（不写作法，保留作图痕迹）
【思维拓展】（3）如图，是的平分线，，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1），证明见解析 ；（2）见解析（3）
【详解】解：（1），
证明：，，，
又，；
如图，连接，，，，
，，，，
，
，，即，故的最小值为；
（2）作阿氏圆如图所示：
（3）解：过点作，垂足为，作∠的外角平分线交射线于点，取中点，连接，
∵平分，∴，∴，
∵，∴，∵是外角平分线，
同理可证明，∴，∴
∵中点，∴为定点且，∵平分，平分，
∴，
∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，过点作于点，
∵，∴当点重合时，面积有最大值，面积的最大值为．
17．（2025·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？

第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．

(1)的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，

∵点，点，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，
当点P在上时，取得最小值，
∴，故最小值为；
（2）∵，，∴设直线的解析式为，将点代入得：
，解得，∴，设，
∵半径为3，∴，解得：（负值舍去），
∴，∴ ．
18．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．
(1)求二次函数解析式；(2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），过点作，交于点，作，交于点，交于点，求的周长的最大值；
(3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
(4)如图2，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．
【答案】(1)(2)的周长的最大值为(3)存在，或或(4)
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
令，则；令，则， ，
抛物线经过、两点，
，解得： ，；
（2）设，则 ， ，
， ， ，
点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），
， ，
的周长为： ，
， ， ，
，，
，，
的周长为： ，，
时，的周长最大值为 ；
（3）存在点，或或； 由（2）可知： ，
此时可得： ，，
抛物线的对称轴为： ，则点的横坐标为，
， ，设 ，
①当为平行四边形的边时，且点在点的左侧，此时： ，
点先向右平移个单位，再向上平移个单位到，
则点先向右平移个单位，再向上平移个单位到，
点的横坐标为， ，将其代入抛物线解析式得： ， ，
②当为平行四边形的边时，且点在点的右侧，
同理可知：将点先向右平移个单位，再向上平移个单位到，此时 ，
代入抛物线解析式得： ，，
③当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得：
， ，代入抛物线解析式得： ，
综上所述：或或；
（4）在轴上截取 ，连接 ， ， ，，
又 ， ， ， ， ，
当、 、共线时，有最小值，且最小值为 ，
在直角三角形中， ，的最小值为 ．
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