资源简介

专题06 圆中的重要模型之圆弧的中点模型
当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。
当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型运用 6
模型1.与垂径定理相关的中点模型 6
模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 9
模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 12
16

圆弧中点是初中数学圆几何中的重要解题工具，主要来源于对圆中垂径定理和圆周角定理的深入应用。该模型通过连接圆心与弧中点，构造垂径关系或利用圆周角性质，解决与切线、相似三角形、线段比例等相关的问题。圆弧中点模型作为几何学中处理弧中点性质的核心工具，其历史演进融合了东西方数学思想。
古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中证明的 托勒密定理，首次隐含圆弧中点对弦长比例的约束作用，为模型提供了早期定量基础。阿拉伯学者的核心突破 系统完善 垂径定理 ：严格证明圆弧中点与圆心的连线必垂直平分对应弦，确立“弧中点→弦中点→垂直关系”的逻辑链条。宋代数学家基于弦长与圆心角关系，明确“等弧对等弦”性质，强化圆弧中点的对称应用。
（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt中，，点为斜边上一点，以为直径的交于点，交于点，连接，与的延长线相交于点．
(1)请从以下条件中：①；②点是弧的中点；③．选择一个能证明是切线的条件，你选择的条件是___________，并写出证明过程；
(2)若是的切线，连接，若，，求的长．
【答案】(1)②，证明见解析(2)
【详解】（1）解：选择条件②，证明如下：连接，，则：，
∵点是弧的中点，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
又∵是的半径，∴是切线；
（2）∵为直径，∴，∵，∴，
∵是切线，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
在中，，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，即：，∴，∴．
（2026九年级上·湖北荆州·期中）如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，交于点G，延长，交于点F．
(1)如图①，若，求证：；(2)如图②，若，，求的半径．
【答案】(1)见解析(2)的半径为
【详解】（1）证明：如图①，连接，，
，，，
∵点D为的中点，，，，；
（2）解：如图②，连接，，为的直径，，，，
，，，，，
设的半径为r，则，在中，，
，解得，的半径为．
1）与垂径定理相关的中点模型
图1 图2 图3
1）条件：如图1，已知点P是中点，连接OP，结论：OP⊥AB；
2）条件：如图2，已知点P是中点，过点P作MN∥AB，结论：MN是圆O的切线；
3）条件：如图3，点P是中点，连接BP、AP，若∠BPN=∠A，结论：MN是圆O切线。
证明：1）根据垂径定理易得：OP⊥AB；
2）由1）知：OP⊥AB，∵MN∥AB，∴OP⊥MN，∴MN是圆O的切线。
3）由1）知：OP⊥AB，∴∠BPO+∠ABP=90°，∵P是中点，∴，∴∠ABP=∠BAP，
∵∠BPN=∠A，∴∠BPN=∠ABP，∴∠BPO+∠BPN=90°，∴MN是圆O的切线。
2）与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）
1）条件：如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，结论：∠PCA=∠PCB．
2）条件：如图2，已知点P是半圆中点，结论：∠PCA=∠PCB=45°．
3）条件：如图3，已知点P是中点，结论：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC；
△PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。
证明：1）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB，
2）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB，
∵AB是直径，∴∠CPB=90°，∴∠PCA=∠PCB=45°，
3）∵P是中点，∴，∴∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB，
∵∠PCA=∠PAD，∠APD=∠CPA，∴△PDA∽△PAC；
∵∠PCB=∠APB，∠BPD=∠CPB，∴△PDB∽△PBC；
∵，∴∠P=∠B，∵∠PCB=∠ACP，∴△CAP∽△CDB；
∵，∴∠P=∠A，∵∠ACD=∠PCB，∴△CAD∽△CPB。
3）垂径定理与圆周角定理结合的中点模型
条件：如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，连结PB交AC于点F。
结论：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB．
证明：1）∵P是中点，∴，
∵AB是直径，PH⊥AB，∴，∴.∴∠APD=∠PAD，∴AD=PD，
∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴∠PAD+∠PFA=90°，∠APD+∠FPD=90°，
∴FPD=∠PFA，∴FD=PD，∴AD=PD=FD，∵，∴，∴PQ=AC，
∵，∴∠APQ=∠PCA，∵∠DAP=∠PAC，∴△PAC∽△DAP；∴，∴AP2=AD×AC，
∵，∴∠APQ=∠ABP，∵∠HAP=∠PAB，∴△HAP∽△PAB；∴，∴AP2=AH×AB，
∵，∴∠PAC=∠ABP，∵∠APF=∠BPA，∴△APF∽△BPA；∴，∴AP2=PF×PB，
模型1.与垂径定理相关的中点模型
例1（2026九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在半径为的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③扇形的面积为；④四边形是菱形．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【详解】解：∵点是劣弧的中点，∴，∴，
∵，∴（等腰三角形的三线合一），则结论①正确；
设交于点，∴，∵的半径为，∴，
由圆周角定理得：，∴，
∴，∴，∴，则结论②错误；
∵，∴，
∴扇形的面积为，则结论③正确；
∵，∴是等边三角形，∴，同理可得：，
∴，∴四边形是菱形，则结论④正确；
综上，正确结论的序号是①③④，故选：D．
例2（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，弦与直径交于点，点是圆上一点，点为的中点，过点的切线与延长线交于点，且，若，，则 ， ．
【答案】 1
【详解】解：连接，如图；∵点为的中点，是直径，∴垂直平分，
， ，
设，则，，
，，
在中，，，
解得（负值不合题意，已经舍去），；
连接，过作于点，是的切线 ，，
， ，，
，，（同弧所对的圆周角相等），
，，，
四边形为平行四边形，，
由（1）知，在中，，，，
，，
，，，
，，．故答案为：1，．
例3（2025·北京·模拟预测）如图，是的直径，弧弧，与交于点，的切线交的延长线于点．
(1)求证：；(2)连接并延长，交的延长线于点．若为的中点，的半径为，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接，，
弧弧，，又，，
是的切线，，；
（2）解：为中点，，，
在中，，，
，，，，
在和中，，，
，，，．
例4（2026九年级上·广东东莞·期末）如图是的直径，点C、E在上，E是劣弧的中点，连接，且与交于D点，F是延长线上的一点，且．
(1)求证：EF是的切线．(2)若的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）证明：如图，连接，∵∴
∵E是劣弧的中点∴
∵∴ ∵是的直径∴
∴ ∴∴是的切线
（2）∵的半径为5，∴
由（1）可知，在中，
∵E是劣弧的中点∴ ∴
即：∴∴
由（1）可知∴∴
∵ ∴ ∴即： 解得：
模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）
例1（2025·山西吕梁·一模）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为 °．
【答案】70
【详解】解 ： 连接，
，
∵四边形内接于，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵点C为的中点，，∴，∴，∴，
∵，∴，故答案为：70．
例2（陕西西安·模拟预测）如图，内接于， 点 B 是弧的中点， 是的直径．则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，

∵是的直径，∴，
∵，∴，
∴，∴，∵点是的中点，∴，
∵，∴即，解得，故选：C．
例3（2025·山东德州·统考二模）如图1，内接于，点是劣弧的中点，且点与点位于的异侧．(1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧的中点；
(2)在图1中，连接交于点，连接，求证；
(3)如图2，点是半圆的中点，若⊙O的直径，求和的长．

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，
【详解】（1）解：如图所示，点为所作点：

（2）证明：∵点D是劣弧的中点，∴ ，∴，
∵，∴∽∴，∴
（3）解：连结BD，∵点D是的中点，∴，∵是的直径，∴
∴为等腰直角三角形，∴
由（1）得∽，，即，
∴，∴，解得或（负值舍去）∴．
例4（2025·天津滨海新·二模）在中，为直径，与相切于点，交延长线于点，连接，，且，点为中点．
(1)如图①，求和的大小；
(2)如图②，过点作，垂足为点，延长交于点．若，求的长．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：连接，∵与相切于点，∴，
又∵，∴，∴，
又∵为直径，∴，又∵点为中点，∴；
（2）解：连接，，设直线交于点，∵，∴，
又∵，∴，∴，，
又∵，，∴是等边三角形，∴，
∴，∴，
∴，
∴，∴，
又∵，，∴，
又∵是直径，∴，又∵，∴，
∴，即，解得：．
模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型
例1（2025·安徽合肥·统考三模）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：点是弧的中点，是半径，，∴正确；连接交于，

点是弧的中点，，，
，是的中位线，
，即，且，∴错误，正确；
连接，点是弧的中点，，，
，，∴正确．故选：．
例2（2025·上海·统考二模）如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接，交于点，连接，
∵的内接正方形，∴经过点，
∵点是的中点，∴，∴
设，则∴
∵,∴
∵，∴∴，故答案为：．
例3（2026九年级上·广东肇庆·期中）如图、为的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点，，是弧的中点，弦、相交于点．
(1)求的度数；(2)若，求的长．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：∵与相切于点，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，即，∴，∴；
（2）解：如图，连接，∵是直径，∴，

∵点是的中点，∴，∴，
在中，∵，，∴．
例4（北京东城·一模）如图，是的直径，为圆上一点，是劣弧的中点，于，过点作的平行线，连接并延长与相交于点，连接与交于点．
(1)求证：是的切线；(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析(2)3.5
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵是劣弧的中点，∴，平分，∴
∵，∴∴，
∵是的半径，∴是的切线；
（2）∵是劣弧的中点，∴，∴，
∵是的直径，∴∴，
∵，，∴，∴，
∵是的直径， ∴，
∵，∴，∴
∴，∴
1．（2026九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，四边形内接于，，
，，点为的中点，，
是直径，，，故选：D．
2．（2026·山东·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】解：如图所示，连接，∵点B是的中点，是的直径，
∴，，∴，∵，∴，∵，∴，
在中，由勾股定理得，∴，
∵点C是的中点，∴，∴，∴，∴，故选D．

3．（2026九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，为直径，点为上方半圆上的一个动点（不与重合），连接，过点作交于．取弧的中点，连接，交于点，连接，则下列说法正确的有（ ）
①；②当为线段的中点时，；③若点为弧的中点，；
④连接，当点为弧的中点时，的面积取到最大值．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【详解】解：∵点为弧的中点，∴点为的中点，
又∵点为的中点，∴为的中位线，∴，故①正确；
当为线段的中点时，连接，如图所示，
∵，为线段的中点，∴垂直平分，∴，
又∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，
∵点为弧的中点，∴，
∴，∴，故②正确；
当点为弧的中点时，过点E作于G，如图所示，∴，
又∵，∴此时点D与点O重合；∵点为弧的中点，∴，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∴，∴；
∵，，∴，故③正确；
如图所示，过点E作于G，∴；
∵点为弧的中点，∴，∴，
又∵，∴，∴，
∴；
∵是直径，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴ ，
∴，∴；
设，的半径为，则，同理可证明，
又∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，
当时，，
当时，，
∵，∴当时，的面积大于时的的面积，
∴当点为弧的中点时，的面积不是取到最大值，故④错误；故选：A．
4．（2026九年级上·浙江温州·期中）如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上点，于点E，于点H，连结．若，则四边形的面积为 ．
【答案】/
【详解】解：过点作于点G，连接，
∵D为优弧的中点，∴，∴∴是等腰三角形，
∵，，∴，
∵是的外接圆，∴点O在上，
∵的半径为5，∴，∴，
∴，∴，
∵于点H，，∴，∴，
∵，∴，∵，
∴，∴，
∴四边形的面积为．
故答案为：．
5．（2026九年级上·江苏南通·期中）如图，的半径是，是的优弧的中点，弦，则的长为 ，为上任意一点，动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，若，则与动点的运动时间秒的函数表达式为 ．
【答案】
【详解】解：延长交于G，连接，，
∵是的的中点∴，，
∵的半径是，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴
当时，，
∴
当时，，
∴，
综上：故答案为：，．
6．（陕西西安·三模）如图，是的直径，是上一点，是弧的中点，为延长线上一点，且，与交于点．

(1)求证：；(2)若，，求半径的长．
【答案】(1)见解析；(2)．
【详解】（1）证明：∵是的中点，
∴，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴；
（2）解：连接，∵是的直径，∴，

∵是的中点，∴，∴，∴，
∵，∴，在中，，∴，
∴，∴．
7．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)已知，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：如图，连接，，，
，，，
又，，是的切线；
（2）证明：是的直径，，，
由（1）可知是的切线，，，
，，，
又，；
（3）解：如图，连接，是半圆弧的中点，，
在中，，，．
8．（山东济南·一模）如图，为的直径，点D为上一点，点E是的中点，连接，过点A的切线与的延长线交于点C，弦相交于点F．
(1)求证：；(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)2
【详解】（1）证明：与相切于点，，，
为的直径，，，，
，，即．
（2）解：，，
在中，，，
点是的中点，，，，
在中，，，的长为2．
9．（2026九年级上·湖南常德·期末）如图，是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G．
(1)求证：是圆O的切线；(2)若，，求的长；
(3)若圆O的半径为1，设，，试求y关于x的函数表达式．
【答案】(1)见解析(2)；(3)．
【详解】（1）证明：如图，记，，，
∵是的直径，，，
∵由题意得：，，，
又∵是的直径，∴是的切线；
（2）解：设，∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，即，解得(负值已舍)，∴，
∵，∴；
（3）解：如图，连接，
∵，∴，，∴，
∵，且为的直径，，
，∴，
∵，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，设，则，
∴，，∴．
10．（2026九年级上·广东阳江·阶段练习）如图，在⊙O中，是直径，C为圆上一点，为的中点，作交的延长线于点M，交的延长线于点N，连接．
(1)求证：是⊙O的切线．(2)若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，
为的中点， ，,
，，，，
，，又是半径，是的切线．
（2）如图，过点作，交于点，
，，为的中点，，，
，，，，
，，，
在中，，，，
．
11．（湖北十堰·二模）如图，是的直径，是的弦，点C是的中点，连接交于点F，过点C作的平行线与的延长线交于点E．(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积（结果保留π）；(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：如图，连接交于点H，
点C是的中点，是半径，，
，，是半径，是的切线；
（2）解：如图，连接，，
为直径，，，
，，，
,，
中，，
（3），，，
设，则，，，
，，，
12．（2025·安徽合肥·三模）如图①，已知为的弦，为的半径，，与交于点D，连接，，过A点作的切线交的延长线于点E．
(1)求证：；(2)如图②，连接并延长交切线于点M，若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：如解图，连接，
为的切线，，．
，，．
，，．
，；
（2）解：如解图，连接，．，，D为的中点．
，，且，，平分，
由（1）知，点为的内心，平分，，
，，，，
，即为等边三角形，．
在中，，则，．
13．（2026九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：如图，为的直径，弦，垂足为E，点H为弧上一点，连接交于点F，过A作，垂足为．
(1)如图1，连接，，求证：；
(2)如图2，若为弧的中点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【详解】（1）证明：如图1，
，，，，
，，，；
（2）证明：如图2，连接，，，
直径，，是弦的垂直平分线，
，，，，
，，
设，点为的中点，，
，，，
，，
，；
（3）解：如图3，连接，，，
点为的中点，，，
由（2）得：，，，
如图3，作，连接，，，
在和中，，，
，，为的直径，，，
直径，，，
，由（1）得：，，
即：，，，
由（2）得：，，
，
，，，
，即：，，
，又，，
，，
在中，由勾股定理可得：，
直径，，，即：，
，，
，，
在中，由勾股定理可得：，，
解得：或（不合题意，故舍去），，
，，
，，
，
在中，由勾股定理可得：，
，，，
在中，由勾股定理可得：，
，，．
14．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，为的弦，点C为弧的中点，点D为上一点，连接交弦于点E，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，过点A作交于点F，连接，求证：；(3)如图3，在的条件下，当为的直径时，与交于点K，若时，求的长，
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：连接．
∵点为弧的中点，∴， ∴ ．
∵是的外角，∴ ，而 ，
∵∴∴ ．
（2）证明：∵，∴，∴．
∵点为弧的中点，即 ．∴ ， ∴ ．
（3）解：连接、，．由（2）得
∴即，，∴
∵是的直径，∴ ．
∴，∴，∴ ．
∵∴，
∵点C为弧的中点，是半径，∴，，
∴，，
∵，，∴ ．
∴即，即
∴，，∴，
∵，，∴，
∴，
，∴，
∴，∴．
15．（山东潍坊·二模）如图，为的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分．(1)求证：为的切线；(2)作，，垂足分别为点D，F，若，，求AE的长．

【答案】(1)见解析(2)．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，则，
∵点C为的中点，∴，，则，
∵AC平分，∴，则，
∴，∴为的切线；
（2）解：延长交于点G，延长交于点Ｈ，连接，

∵，∴，∵，∴，
∵为的直径，∴，
∵，∴，∴四边形为矩形，
∴，在中，，，∴，
∵，，∴，
∴，即，∴，∴．
16．（2025·湖北恩施·统考一模）如图，是的直径，是圆上的一点，为的中点，过点作的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，弦、交于点．
(1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：连接，，交于，
∵是劣弧的中点，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵是的切线，为半径，∴，
∴，∴，∴；
（2）证明：∵D是劣弧的中点∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（3）解：连接，
∵，，∴由（2）可得，∴，∴，
∵是劣弧的中点∴，∴，
∵是的直径，∴，则，
∵，，∴∴，
又∵，∴，∵，∴，
∵是的直径，∴，又∵，∴，
∴，∴，∴，即，又∴．
17．（四川巴中·一模）如图，是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接，交于点E．
(1)求证：是半圆O的切线．(2)求证：．(3)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：连接，∵点C为弧的中点，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴是半圆O的切线；
（2）证明：连接，∵是半圆O的直径，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（3）解：∵在中，，，
∴，，
∴，∴，∴，，
∵，，∴是等边三角形，
∴，∴，∴，∴，
∵由（2）可知，，∴，∴圆O的半径为，
．
18．（浙江舟山·三模）如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．

(1)求证：；(2)如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度；(3)在（2）的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)的比值不会发生改变，
【详解】（1）∵直径于点F，∴．
∵点C为弧的中点，∴．∴．∴．
（2）如图2，连接交于点，设的半径为，则，

由（1）知∵直径于点F，∴．
在中，∵，∴．解得：，
∵点C为弧的中点，∴，．∴．
∵是的切线，∴．∴．
∴，即．∴．
（3）的比值不会发生改变，，理由如下：
由（2）知，，，，
①当点与点重合时，；
②当点与点重合时，；
③当点与点、不重合时，如图3，连接，
∵，，∴．
又∵，∴．
∴．∴的比值不会发生改变．
19．（广东惠州·一模）如图，为的直径，点C平分弧，点D为弧上一点，与相交于点F，过C作射线与射线相交于点E，且．
(1)求证：与相切；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接，
为的直径，，，
，，而，
，，与相切于点；
（2）解：，，，
，，，
，，，，
，，．故的长为．
20．（河北邯郸·模拟预测）已知为的直径，，C为上一点，连接，．
(1)如图1，若C为弧的中点，求的长；(2)如图2，若，为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵为的直径，∴，
∵C为的中点，∴，∴，
在中，根据勾股定理，有，
又，得，∴；
（2）解：∵是的切线，∴，即，
∵，垂足为E，∴，
同（1）可得，有，∴，
∴四边形为矩形，∴，于是，
在中，由，得，∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 圆中的重要模型之圆弧的中点模型
当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。
当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型运用 6
模型1.与垂径定理相关的中点模型 6
模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 9
模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 12
16

圆弧中点是初中数学圆几何中的重要解题工具，主要来源于对圆中垂径定理和圆周角定理的深入应用。该模型通过连接圆心与弧中点，构造垂径关系或利用圆周角性质，解决与切线、相似三角形、线段比例等相关的问题。圆弧中点模型作为几何学中处理弧中点性质的核心工具，其历史演进融合了东西方数学思想。
古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中证明的 托勒密定理，首次隐含圆弧中点对弦长比例的约束作用，为模型提供了早期定量基础。阿拉伯学者的核心突破 系统完善 垂径定理 ：严格证明圆弧中点与圆心的连线必垂直平分对应弦，确立“弧中点→弦中点→垂直关系”的逻辑链条。宋代数学家基于弦长与圆心角关系，明确“等弧对等弦”性质，强化圆弧中点的对称应用。
（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt中，，点为斜边上一点，以为直径的交于点，交于点，连接，与的延长线相交于点．
(1)请从以下条件中：①；②点是弧的中点；③．选择一个能证明是切线的条件，你选择的条件是___________，并写出证明过程；
(2)若是的切线，连接，若，，求的长．
（2026九年级上·湖北荆州·期中）如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，交于点G，延长，交于点F．
(1)如图①，若，求证：；(2)如图②，若，，求的半径．
1）与垂径定理相关的中点模型
图1 图2 图3
1）条件：如图1，已知点P是中点，连接OP，结论：OP⊥AB；
2）条件：如图2，已知点P是中点，过点P作MN∥AB，结论：MN是圆O的切线；
3）条件：如图3，点P是中点，连接BP、AP，若∠BPN=∠A，结论：MN是圆O切线。
证明：1）根据垂径定理易得：OP⊥AB；
2）由1）知：OP⊥AB，∵MN∥AB，∴OP⊥MN，∴MN是圆O的切线。
3）由1）知：OP⊥AB，∴∠BPO+∠ABP=90°，∵P是中点，∴，∴∠ABP=∠BAP，
∵∠BPN=∠A，∴∠BPN=∠ABP，∴∠BPO+∠BPN=90°，∴MN是圆O的切线。
2）与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）
1）条件：如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，结论：∠PCA=∠PCB．
2）条件：如图2，已知点P是半圆中点，结论：∠PCA=∠PCB=45°．
3）条件：如图3，已知点P是中点，结论：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC；
△PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。
证明：1）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB，
2）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB，
∵AB是直径，∴∠CPB=90°，∴∠PCA=∠PCB=45°，
3）∵P是中点，∴，∴∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB，
∵∠PCA=∠PAD，∠APD=∠CPA，∴△PDA∽△PAC；
∵∠PCB=∠APB，∠BPD=∠CPB，∴△PDB∽△PBC；
∵，∴∠P=∠B，∵∠PCB=∠ACP，∴△CAP∽△CDB；
∵，∴∠P=∠A，∵∠ACD=∠PCB，∴△CAD∽△CPB。
3）垂径定理与圆周角定理结合的中点模型
条件：如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，连结PB交AC于点F。
结论：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB．
证明：1）∵P是中点，∴，
∵AB是直径，PH⊥AB，∴，∴.∴∠APD=∠PAD，∴AD=PD，
∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴∠PAD+∠PFA=90°，∠APD+∠FPD=90°，
∴FPD=∠PFA，∴FD=PD，∴AD=PD=FD，∵，∴，∴PQ=AC，
∵，∴∠APQ=∠PCA，∵∠DAP=∠PAC，∴△PAC∽△DAP；∴，∴AP2=AD×AC，
∵，∴∠APQ=∠ABP，∵∠HAP=∠PAB，∴△HAP∽△PAB；∴，∴AP2=AH×AB，
∵，∴∠PAC=∠ABP，∵∠APF=∠BPA，∴△APF∽△BPA；∴，∴AP2=PF×PB，
模型1.与垂径定理相关的中点模型
例1（2026九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在半径为的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③扇形的面积为；④四边形是菱形．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
例2（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，弦与直径交于点，点是圆上一点，点为的中点，过点的切线与延长线交于点，且，若，，则 ， ．
例3（2025·北京·模拟预测）如图，是的直径，弧弧，与交于点，的切线交的延长线于点．(1)求证：；(2)连接并延长，交的延长线于点．若为的中点，的半径为，求的长．
例4（2026九年级上·广东东莞·期末）如图是的直径，点C、E在上，E是劣弧的中点，连接，且与交于D点，F是延长线上的一点，且．
(1)求证：EF是的切线．(2)若的半径为5，，求的长．
模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）
例1（2025·山西吕梁·一模）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为 °．
例2（陕西西安·模拟预测）如图，内接于， 点 B 是弧的中点， 是的直径．则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
例3（2025·山东德州·统考二模）如图1，内接于，点是劣弧的中点，且点与点位于的异侧．(1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧的中点；(2)在图1中，连接交于点，连接，求证；(3)如图2，点是半圆的中点，若⊙O的直径，求和的长．

例4（2025·天津滨海新·二模）在中，为直径，与相切于点，交延长线于点，连接，，且，点为中点．
(1)如图①，求和的大小；
(2)如图②，过点作，垂足为点，延长交于点．若，求的长．
模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型
例1（2025·安徽合肥·统考三模）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（ ）

A． B． C． D．
例2（2025·上海·统考二模）如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么 ．
例3（2026九年级上·广东肇庆·期中）如图、为的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点，，是弧的中点，弦、相交于点．
(1)求的度数；(2)若，求的长．
例4（北京东城·一模）如图，是的直径，为圆上一点，是劣弧的中点，于，过点作的平行线，连接并延长与相交于点，连接与交于点．
(1)求证：是的切线；(2)若，求的值．
1．（2026九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·山东·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8
3．（2026九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，为直径，点为上方半圆上的一个动点（不与重合），连接，过点作交于．取弧的中点，连接，交于点，连接，则下列说法正确的有（ ）
①；②当为线段的中点时，；③若点为弧的中点，；
④连接，当点为弧的中点时，的面积取到最大值．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
4．（2026九年级上·浙江温州·期中）如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上点，于点E，于点H，连结．若，则四边形的面积为 ．
5．（2026九年级上·江苏南通·期中）如图，的半径是，是的优弧的中点，弦，则的长为 ，为上任意一点，动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，若，则与动点的运动时间秒的函数表达式为 ．
6．（陕西西安·三模）如图，是的直径，是上一点，是弧的中点，为延长线上一点，且，与交于点．

(1)求证：；(2)若，，求半径的长．
7．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)已知，，求的长．
8．（山东济南·一模）如图，为的直径，点D为上一点，点E是的中点，连接，过点A的切线与的延长线交于点C，弦相交于点F．
(1)求证：；(2)若，求的长．
9．（2026九年级上·湖南常德·期末）如图，是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G．(1)求证：是圆O的切线；(2)若，，求的长；(3)若圆O的半径为1，设，，试求y关于x的函数表达式．
10．（2026九年级上·广东阳江·阶段练习）如图，在⊙O中，是直径，C为圆上一点，为的中点，作交的延长线于点M，交的延长线于点N，连接．
(1)求证：是⊙O的切线．(2)若，求阴影部分的面积．
11．（湖北十堰·二模）如图，是的直径，是的弦，点C是的中点，连接交于点F，过点C作的平行线与的延长线交于点E．(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积（结果保留π）；(3)若，求的值．
12．（2025·安徽合肥·三模）如图①，已知为的弦，为的半径，，与交于点D，连接，，过A点作的切线交的延长线于点E．
(1)求证：；(2)如图②，连接并延长交切线于点M，若，求的长．
13．（2026九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：如图，为的直径，弦，垂足为E，点H为弧上一点，连接交于点F，过A作，垂足为．
(1)如图1，连接，，求证：；
(2)如图2，若为弧的中点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长．
14．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，为的弦，点C为弧的中点，点D为上一点，连接交弦于点E，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，过点A作交于点F，连接，求证：；(3)如图3，在的条件下，当为的直径时，与交于点K，若时，求的长，
15．（山东潍坊·二模）如图，为的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分．(1)求证：为的切线；(2)作，，垂足分别为点D，F，若，，求AE的长．

16．（2025·湖北恩施·统考一模）如图，是的直径，是圆上的一点，为的中点，过点作的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，弦、交于点．
(1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求的长．
17．（四川巴中·一模）如图，是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接，交于点E．
(1)求证：是半圆O的切线．(2)求证：．(3)若，，求阴影部分的面积．
18．（浙江舟山·三模）如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．

(1)求证：；(2)如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度；(3)在（2）的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
19．（广东惠州·一模）如图，为的直径，点C平分弧，点D为弧上一点，与相交于点F，过C作射线与射线相交于点E，且．
(1)求证：与相切；(2)若，，求的长．
20．（河北邯郸·模拟预测）已知为的直径，，C为上一点，连接，．
(1)如图1，若C为弧的中点，求的长；(2)如图2，若，为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑