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专题07 圆中的重要模型之圆幂定理模型
圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型拓展 6
模型运用 6
模型1.相交弦模型 6
模型2.双割线模型 8
模型3.切割线模型 10
模型4.弦切角模型 12
模型5.托勒密定理模型 14
19
圆幂定理模型是几何学中关于圆与直线位置关系的核心定理，其来源可追溯至欧几里得《几何原本》中的相关命题。19世纪由德国数学家施泰纳或法国数学家普朗克雷系统归纳，将相交弦定理、割线、切割线定理、弦切角模型等统一为“圆幂定理”。该模型通过点与圆的幂值关系（如切线长与割线线段乘积的恒等性）解决几何问题，现代教材中虽没直接给出，但仍是圆相关证明的重要工具。
（2025·重庆·模拟预测）古旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为．
新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：；
类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由．
延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系．
【答案】（新知探究）：见详解；（类比探究）：；（延伸结论）：
【详解】（新知探究）：∵，
∴，∴，；
（类比探究）：如图所示：连接，

∵四边形是圆内接四边形，，
，，；
（延伸结论）：如图所示：连接，
是的切线，，，，
是的直径，，，，
，，，
，，，．
（2025·河南·模拟预测）古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程．
证明：如图，在线段上取一点，使得，连接．
，（①）．
，∴，．
，．
，，
即，．∴， ② ．
．
根据以上材料解决下列问题：(1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____；
(2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长．
【答案】(1)同弧所对的圆周角相等， (2)
【详解】（1）证明：如图，在线段上取一点，使得，连接．
，（同弧所对的圆周角相等）．
．∴，．，．
，，即．
．∴，．
．
故答案为：同弧所对的圆周角相等，；
（2）连接，作于点，
∵为的中点，∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，设，则：，
由托勒密定理，得：，∴，∴．
1）相交弦模型
相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。
条件：如图1，在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论：。
证明：∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴。
图1 图2 图3
2）割线模型
割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
条件：如图2，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论：
证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴
又，∴，∴ ，∴
3）切割线模型
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
条件：如图3，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。
结论：
证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED，
∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴，
∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴。
4）弦切角模型
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。
证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED，
∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴，
∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴，
∵，∴∠CBD==∠BAD。
5）托勒密定理模型
托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论：
证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴．
∴，∴，∴．
∵，∴，∴，
∵，∴；∴．∴．∴．
∴，∴．
模型1.相交弦模型
例1（2026·广东·九年级校考期中）如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦经过点P，且，，两圆组成的圆环的面积是 ．

【答案】
【详解】解：如图，连接，，，，

∵大圆的弦与小圆相切于点P，∴，∴，，
∵，，∴，∵，，∴，
∴，即，解得：（负值舍去），
∴圆环的面积为：，故答案为：．
例2（2026九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，O的两弦，相交于点P．求证：．
证明：如图1，连接，．
∵，．∴，（根据_____________）
∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，是O的弦，P是上一点，，，，求的半径．
【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似，；(2)的半径为．
【详解】（1）证明：如图1，连接，．
∵，．∴，（根据有两个角对应相等的两个三角形相似）
∴，∴，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；；
（2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，
设圆O的半径为，而，，，
，， ，
根据（1）中结论得，即为，
∴，解得：或（不符合题意，舍去），⊙O的半径为．
模型2.割线模型
例1（2025·重庆·校考一模）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．
【答案】
【详解】解：∵PAB、PCD为⊙O的两条割线，
∴∠BAC+∠BDC=180°，∠PAC+∠BAC=180°，∴∠BDC=∠PAC，
又∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PDB，∴=，
设PC=x，PD=y，且y﹣x=11，解得：x=4，y=15，∴===，故答案为：．
例2（2025·山东·校考一模）如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC，
∵OC=3，OP=5，∴OE=OC=3，∴EP=OE+OP=3+5=8，CP=OP OC=5 3=2，
设PA=AB=x，则BP=2x，∵四边形ACEB为圆O的内接四边形，
∴∠ACP=∠E，又∠P=∠P，∴△ACP∽△EBP， 即
解得：或 (舍去)，则 故选B.
例3（2025·河南·校考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．
已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点．
求证：．
证明一：连接、，
∵和为所对的圆周角，∴______．
又∵，∴______，∴______．即．
研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．
证明二：连接、，
【答案】证明一：，∽，；证明二见解析
【详解】解：证明一：连接、，
∵和为所对的圆周角，∴．
又∵，∴∽，∴．即．
故答案为：，∽，，
证明二：连接、，
∵四边形为圆内接四边形，∴，
又∵，∴，
又∵，∴∽，∴，即．
模型3.切割线模型
例1（2026·河南·九年级专题练习）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．

【答案】
【详解】解：连接，连接并延长交于点D，连接，

∵切于点A，∴，∴，
∵为的直径，∴，∴，∴
又∵，∴，∴，∴，
而，∴，∴（负值舍去）．故填空答案：．
例2(2025九年级下·山西·期中）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
圆幂定理 圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 如图1，为外一点，与相切于点A，为上一点（点不与点A重合），线段与相交于点（点不与重合），则． 部分证明过程如下：如图2，连接． ∵与相切于点，∴，∴． ∵，∴（依据1）． ∵，∴， ∴，∴． ∵（依据2），∴．∵，…
任务：(1)材料中的依据1是指_________，依据2是指_________．(2)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分．(3)如图3，与半径为6的相切于点，交交于点，割线交于点和，若，，则_________．
【答案】(1)等边对等角，圆周角定理(2)见解析(3)
【详解】（1）解：∵，∴（等边对等角）．
如图2，（圆周角定理）．故答案为：等边对等角，圆周角定理．
（2）证明：如图2：∵与相切于点，∴，∴．
∵，∴（依据1）．
∵，∴，
∴，∴．∵（依据2），∴．
∵，∴，∴，∴．
（3）解：如图：连接，
∵与半径为6的相切于点，∴，，
设，则，，∵，
，
∴，解得：，∴，
由圆幂定理可得：，∴．故答案为：．
例3（2025·四川泸州·一模）如图，已知点在圆上，为的一条割线，．
(1)求证：；(2)若，，求．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：，，；
（2）解：由（1）得：，，，，
，，，．
模型4.弦切角模型
例1（2025·河南三门峡·校考一模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质．
（1）如图，直线与⊙O相切于点，，为⊙O上不同于的两点，连接，，．请你写出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段）
（2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？
已知：如图，直线与⊙O相切于点，，为圆上不同于的两点，连接，，．
求证：．
（3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理______．
【答案】（1），，，（任意写出两个即可）；（2）见解析；（3）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
【详解】解：（1）弦CD、CE分别与切线CB构成的弦切角为：∠DCB，∠ECB；
弦CD、CE分别与切线CA构成的弦切角为：∠DCA，∠ECA．
故答案为：，，，（任意写2个即可）
（2）证明：过作直径，连接．
∵是直径，∴．∴．
又∵与相切于点，∴．∴．∴．
∴．∴．
（3）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
例2（2025·广西南宁·模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角．
②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角．
证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示．
与相切于点， ▲ ，，
是直径， ▲ （直径所对的圆周角是直角），，，
又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），．
完成下列任务：(1)将上述证明过程补充完整；(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)；；(2)①；②，证明见解析
【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示．
与相切于点，，，
是直径，∴（直径所对的圆周角是直角），，，
又（同弧所对的圆周角相等），．故答案为：；；；
（2）解：①如图，是的切线，切点为，，
又，，，即：，，解得：；
②如图，连接，是直径，，，
又，是的角平分线，即：，
又是的切线，，．
模型5.托勒密定理模型
例1（2025·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，，
在中，，，，

，，在中，，
在中，，，
在中，，，
四边形是的内接四边形，，
，解得：，故选：B．
例2（2026·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 .
如图①，四边形是的内接四边形，若，则 .
【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？
如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：
证明：如图③，作，交于点. ∵，∴，
∴ 即 （请按他们的思路继续完成证明）
【应用迁移】如图④，已知等边外接圆，点为 上一点，且，，求的长.
【答案】【旧知再现】互补， 110；【问题创新】见解析；【应用迁移】
【详解】（1）如图示：
连接OA，OC，根据圆周角定理，则有：，
∴∴圆内接四边形的对角互补；
∵，∴在等腰三角形ABD中，
∴
（2）证明：如图，∵∴，即，
又∵，∴ ∴，即
∴， ∴，
（3）由（2）可知
∵是等边三角形， ∴，
∴，∴即.
例3（2026九年级上·湖南长沙·阶段练习）【阅读材料】克罗狄斯·托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立，即：四边形中，有，当四点共圆时，有．
【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：．
证明：在上取点，连接，使．
∵，∴__________，∴，∴①，
∵，∴，即，
又∵，∴△∽△，∴，
∴___________②，①+②得，即__________．
【直接应用】（2）如图2，为的直径，，求的长．
【灵活运用】（3）如图3，在等腰三角形中，，点在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点落在点处，连接，求的长．
【答案】（1）见解析（2）（3）2
【详解】解：（1）证明：在上取点E，连接，使．
∵，∴，∴，∴①，
∵，∴，即，
又∵，∴，∴，∴②，
得，即；
（2）连接和，∵为的直径，∴，
∵，，，∴，，
∵由（1）得，即，∴；
（3）解：∵，∴，∵，∴，
∵，∴，，，∴，，
∵，，∴，
，即，∴，，
∵，∴、、、四点共圆，∴，
∴，∴．故答案为：2．
1．（2026九年级上·广东·阶段练习）如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA=3，AB=PC=2，若PA·PB=PC·PD，则PD的长是( )
A．3 B．7.5 C．5 D．5.5
【答案】B
【详解】解：∵PA=3，AB=PC=2，∴PB=5，
由割线定理得：PA PB=PC PD，∴PD=7.5，故选B．
2．（2026九年级上·重庆·期中）如图，是的切线，A为切点，是过点O的割线．若，，则的直径为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：连接，如图，∵是的切线，∴，

∵是直径，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，即
∵，，∴，∴．故选：C．
3．（2026·福建九年级月考）如图，是的切线，为切点，是割线，交于、两点，与直径交于点，已知，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵TD CD=AD BD，CD=2，AD=3，BD=4，∴TD=6，
∵PT2=PD2-TD2，∴PT2=PB PA=（PD-BD）（PD+AD），
∴PD=24，∴PB=PD-BD=24-4=20．故选D．
4．（2026九年级上·河南·阶段练习）如图，从圆外一点引圆的切线，点为切点，割线交于点、．已知，，则 ．
【答案】
【详解】由切割线定理可得PA2=PD×PB，
∵PA=12，PD=8∴PB=18．由弦切角和公共角易知△ABP∽△DAP．
∴S△ABP：S△DAP=PB2：PA2=9：4．故答案为9：4
5．（2026河北承德·九年级统考期末）如图，延长弦、弦，交于圆外一点A，连接．
(1)证明：；(2)若，求．
【答案】(1)见解析(2)10
【详解】（1）证明：∴，∴；
（2）解：∵，∴，
∵，∴∴．
6．（2026·广东江门·九年级统考期末）如图，点A、B、C在O上，直线与O相切于点A．
(1)试问：与有怎样的大小关系？证明你的结论；
(2)如果我们把形如这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论．
【答案】(1)，理由见详解；(2)弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角．
【详解】（1）解：，理由如下：
连接并延长交O于点D，连接，
∵是O的直径，∴，即：
∵直线与O相切于点A．∴，即：，∴，
∵，∴；
（2）解：由题意得：弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角．
7．（2026春·广东九年级课时练习）阅读与应用
请阅读下列材料，完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．
如图1，四边形ABCD内接于．求证：．
证明：如图2，作交BD于点E．
∵，∴．（依据）
∴．∴．．…
∴．∴．∴．
∵，
∴．
∴．
任务：(1)证明过程中的“依据”是______；(2)补全证明过程；
(3)如图3，的内接五边形ABCDE的边长都为2，求对角线BD的长．
【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；(2)见解析；(3)；
【详解】（1）解：∵同弧所对的圆周角相等，，
∴；故答案为：同弧所对的圆周角相等；
（2）解：∵，∴，∴，
∵，∴；
（3）解：如图，连接AD，BE，
∵，∴，
∴，∴，∴BE=AD=BD，
∵四边形ABDE是的内接四边形，∴，
∵，∴，
解得：或（舍去），∴对角线BD的长为；
8．（2026·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务
托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．
下面是该定理的证明过程（部分）
已知：如图①四边形是的内接四边形

求证：
证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得
又∵ ∴ ∴ ∴，
又，
∴ ∴
∴，∴∴
∴ 即
任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．

【答案】(1)
(2)勾股定理(3)，证明见解析
【详解】（1）解： ；
（2）解：当圆内接四边形是矩形时，
∴，，∴，
∴托勒密定理就是我们非常熟知的勾股定理；
（3）解：
证明：∵，
∴ ∴ ∴是等边三角形∴
由托勒密定理得：
∴∴；
9．（2026九年级上·浙江·期末）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即若弦，交于点，则．
【定理证明】（1）如图1，连结，，求证：．
【解决问题】（2）如图2，是的弦，是上一点，，，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）连接并延长交于点，
设半径为，则，由上得：，
∴，解得：（舍负），∴的半径为．
10．（2026九年级上·浙江·阶段练习）阅读与思考
小明在某本数学书上看到相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上相交弦定理证明过程的一部分，请仔细阅读，并完成相应的任务．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图，的两弦，相交于点P．
求证：．
证明：如图，连结，．……
任务：(1)请将上述证明过程补充完整．(2)小明又看到一道课后习题：如图，是的弦，P是上一点，，，，求的半径．请运用相交弦定理求解．
【答案】(1)见解析(2)的半径为
【详解】（1）解：连结，，∵，，∴，
∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
（2）解：延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，
设圆O的半径为，则，，
根据（1）中结论得，即为，
解得：或（不符合题意，舍去），∴的半径为．
11．（山东滨州·中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．(1)求证：；(2)求证：；(3)求证：；(4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)
【详解】（1）证明：如图所示，过点F作，垂足分别为，
∵点是的内心，∴是的角平分线，
∵，∴，
∵，∴；
（2）证明：如图所示，过点A作于点，

∵，∴，
由（1）可得，∴；
（3）证明：连接，
∵∴
∴∴，∴
∵，∴，又，∴，
∴，∴；∴，
∴，
（4）解：如图所示，连接，
∵点是的内心，∴是的角平分线，∴，
∵，∴，
∴，∴，∵，
，
∴，∴，∴．
12．（2026九年级上·山西·期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务．
米勒定理：米勒（）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程
已知：如图1，与相切于点A，与相交于点B，C．
求证：．
证明：如图2，连接．
∵为的切线，∴，∴．
∵，∴．∵，∴．
∵，∴，∴，∴，∴，……

任务：(1)请完成剩余的证明过程(2)应用：如图3，是的切线，经过的圆心O，且，割线交于点D，E，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：证明：如图2，连接．
∵为的切线，∴，∴．
∵，∴．∵，∴．
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：由（1）可知：，，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴．
13．（2026九年级·浙江·）如图，已知⊙O和⊙⊙相交于A、B两点，过点A作⊙的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙于E、F，EF与AC相交于点P，
（1）求证：；（2）求证：；
（3）当⊙O与⊙为等圆时，且时，求△PEC与△FAP的面积的比值.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1）证明：连接AB，∵CA切⊙O'于A，∴∠CAB=∠F,
∵∠CAB=∠E，∴∠E=∠F,∴AF∥CE,∴,∴.
（2）,,,
再根据切割线定理，得PA2=PB PF，∴;
（3）连接AE，由（1）知△PEC∽△PFA，而PC：CE：EP=3：4：5，
∴PA：FA：PF=3：4：5．设PC=3x，CE=4x，EP=5x，PA=3y，FA=4y，PF=5y，
∴EP2=PC2+CE2，PF2=PA2+FA2．∴∠C=∠CAF=90°．
∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径．∵⊙O与⊙O'等圆，∴AE=AF=4y．
∵AC2+CE2=AE2∴（3x+3y）2+（4x）2=（4y）2即25x2+18xy-7y2=0，
∴（25x-7y）（x+y）=0，,.
14．（2025·广东深圳校考一模）弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用．
(1)作图（保留作图痕迹）：已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点，
①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；
③连接PE和PF；试说明PE是圆O切线的理由．
(2)计算：若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度．
【答案】(1)见解析(2)证明见解析，
【详解】（1）作图如下：
连接OE，EQ，∵以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；∴QE=QP，
∵MN是OP的中垂线，∴OQ=OP，点O在圆Q上，∴OQ=EQ=PQ，∴∠EOQ=∠OEQ，∠PEQ=∠EPQ，
∵∠EOP+∠OEQ+∠QEP+∠EPQ=180°，∴2（∠OEQ+∠QEP）=180°，
∴∠OEQ+∠QEP=90°，即∠OEP=90°，OE垂直EP，∴PE是圆O的切线．
（2）证明：连接BE，OA，
∵EP是圆O的切线， AB为圆O的直径，∴∠OEP=90°，∠BEA=90°，∴∠BEO=∠AEP
∵OE和OB为圆O的半径，∴∠BEO=∠EBO，∴∠EBO=∠AEP，
∵∠EPB=∠EPA，∴，∴，∴．
∵OB=4，PB=14，∴AB=2OB=8，AP=BP－AB=14－8=6，∴，∴．
15．（2026九年级下·重庆·开学考试）在学习切线长定理时我们发现：过圆外一点引圆的切线，该点到切点之间的两条切线长相等．小南对此进行了深入探究，过圆外一点引圆的切线和割线（直线与圆相交，则这条直线为圆的割线），发现切线长的平方等于这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积．
(1)用直尺和圆规完成以下基本操作：过点作的切线交延长线于，连接；（不写作法，只保留作图痕迹）
(2)完成下列证明过程：
为的切线，①_____（圆的切线垂直于过切点的半径），即．
②_____，．
又，．
，③_____，（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半）
，，④_____即．
在探索过程中，我们还发现，即圆的弦切角等于所对的⑤______．
【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④，⑤圆周角
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）证明：为的切线，（圆的切线垂直于过切点的半径）
，即．，．
又，．
，，（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半）
，，即．
在探索过程中，我们还发现，即圆的弦切角等于所对的圆周角．
故答案为：①，②，③，④，⑤圆周角．
16．（福建龙岩·模拟预测）如图，已知是的切线，切点为点，为的割线．
(1)求证：；(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)见解析；(2)．
【详解】（1）过作的直径，连，则，，
∵切于点，∴，∴，
∵，∴，∴；
（2）连接，由（）可知，又，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴是等边三角形，∴的半径，∴的面积等于．
17．（2026九年级上·山东日照·阶段练习）弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
【弦切角定理】弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面我们只证明：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
按照圆心与弦切角的位置关系，分三种情况证明：
（1）圆心在弦切角的一边上时，如图1：为直径，显然有弦切角；
（2）当圆心在弦切角的外部时，如图2：连接并延长交圆于点，连接，
由（1）可知，，又根据等弧所对等角可知，．
；
（3）当圆心在弦切角的内部时，如图3 过作圆的直径，交圆于点，连接，
由（1）可知，，又根据等弧对等角可知，，
综上所述，弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
【定理应用】如图，是圆的切线，为切点，过点作圆的直径交圆于点两点，为上一点，连接并延长交圆于点为上一点，且，连接并延长交圆于点，连接．
(1)求证：(2)求证：(3)若，求圆的直径．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：∵是圆的切线，∴，又∵，∴，
又∵，，∴；
（2）证明：∵，，∴，∴，即；
（3）连接，∵是圆的切线，∴，
又∵是圆O的直径，∴，∴，
∴，∴圆的直径为．
18.（2025·河南·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图1，______．求证：______．
证明：如图2，作，交BD于点E，……
∴∽，∴，……
∴∽，∴，
∴．
(1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程；
(2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长．
【答案】(1)已知：如图1，四边形ABCD内接于；求证：；证明见解析．
(2)
【详解】（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于，
求证：，
证明：如图2，作，交BD于点E，
∵∴，∴∴．
∵∴．
∵∴即，
∴∴，
∴．
（2）在图3中，连接AD、AC．
∵五边形ABCDE是正五边形∴∴设．
在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得：
即，解得，（舍去）∴对角线BD的长为．
19．（2026九年级下·河南平顶山·阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务：
罗狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家．
托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
如图1，四边形内接于，求证：
下面是该结论的证明过程：
证明：如图1，作，交于点E．∵，∴（依据1），∴（依据2），∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，…
任务：
(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______；
(2)请完成后续证明；(3)如图2，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，求的长．
【答案】(1)如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似(2)证明见解析(3)
【详解】（1）解：由题意知，托勒密定理的逆命题是：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形．证明过程中的“依据1”为：同弧所对的圆周角相等；
“依据2”为：两个角分别对应相等的两个三角形相似．
故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似；
（2）证明：如图，作，交于点E，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
即．∴，∴ ，∴．
∴．∴；
（3）解：∵为直径，∴，∴四边形为圆的内接四边形，
∵，∴，由勾股定理得，．
∵的角平分线交于点D，∴，∴，
∴，∴为等腰直角三角形，∴．
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，即，解得．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 圆中的重要模型之圆幂定理模型
圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型拓展 6
模型运用 6
模型1.相交弦模型 6
模型2.双割线模型 8
模型3.切割线模型 10
模型4.弦切角模型 12
模型5.托勒密定理模型 14
19
圆幂定理模型是几何学中关于圆与直线位置关系的核心定理，其来源可追溯至欧几里得《几何原本》中的相关命题。19世纪由德国数学家施泰纳或法国数学家普朗克雷系统归纳，将相交弦定理、割线、切割线定理、弦切角模型等统一为“圆幂定理”。该模型通过点与圆的幂值关系（如切线长与割线线段乘积的恒等性）解决几何问题，现代教材中虽没直接给出，但仍是圆相关证明的重要工具。
（2025·重庆·模拟预测）古旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为．
新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：；
类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由．
延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系．
（2025·河南·模拟预测）古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程．
证明：如图，在线段上取一点，使得，连接．
，（①）．
，∴，．
，．
，，
即，．∴， ② ．
．
根据以上材料解决下列问题：(1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____；
(2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长．
1）相交弦模型
相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。
条件：如图1，在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论：。
证明：∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴。
图1 图2 图3
2）割线模型
割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
条件：如图2，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论：
证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴
又，∴，∴ ，∴
3）切割线模型
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
条件：如图3，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。
结论：
证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED，
∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴，
∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴。
4）弦切角模型
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。
证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED，
∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴，
∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴，
∵，∴∠CBD==∠BAD。
5）托勒密定理模型
托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论：
证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴．
∴，∴，∴．
∵，∴，∴，
∵，∴；∴．∴．∴．
∴，∴．
模型1.相交弦模型
例1（2026·广东·九年级校考期中）如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦经过点P，且，，两圆组成的圆环的面积是 ．

例2（2026九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，O的两弦，相交于点P．求证：．
证明：如图1，连接，．
∵，．∴，（根据_____________）
∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，是O的弦，P是上一点，，，，求的半径．
模型2.割线模型
例1（2025·重庆·校考一模）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．
例2（2025·山东·校考一模）如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．
例3（2025·河南·校考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．
已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点．
求证：．
证明一：连接、，
∵和为所对的圆周角，∴______．
又∵，∴______，∴______．即．
研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．
证明二：连接、，
模型3.切割线模型
例1（2026·河南·九年级专题练习）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．

例2(2025九年级下·山西·期中）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
圆幂定理 圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 如图1，为外一点，与相切于点A，为上一点（点不与点A重合），线段与相交于点（点不与重合），则． 部分证明过程如下：如图2，连接． ∵与相切于点，∴，∴． ∵，∴（依据1）． ∵，∴， ∴，∴． ∵（依据2），∴．∵，…
任务：(1)材料中的依据1是指_________，依据2是指_________．(2)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分．(3)如图3，与半径为6的相切于点，交交于点，割线交于点和，若，，则_________．
例3（2025·四川泸州·一模）如图，已知点在圆上，为的一条割线，．
(1)求证：；(2)若，，求．
模型4.弦切角模型
例1（2025·河南三门峡·校考一模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质．
（1）如图，直线与⊙O相切于点，，为⊙O上不同于的两点，连接，，．请你写出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段）
（2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？
已知：如图，直线与⊙O相切于点，，为圆上不同于的两点，连接，，．
求证：．
（3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理______．
例2（2025·广西南宁·模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角．
②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角．
证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示．
与相切于点， ▲ ，，
是直径， ▲ （直径所对的圆周角是直角），，，
又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），．
完成下列任务：(1)将上述证明过程补充完整；(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
模型5.托勒密定理模型
例1（2025·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（ ）

A． B． C． D．
例2（2026·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 .
如图①，四边形是的内接四边形，若，则 .
【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？
如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：
证明：如图③，作，交于点. ∵，∴，
∴ 即 （请按他们的思路继续完成证明）
【应用迁移】如图④，已知等边外接圆，点为 上一点，且，，求的长.
例3（2026九年级上·湖南长沙·阶段练习）【阅读材料】克罗狄斯·托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立，即：四边形中，有，当四点共圆时，有．
【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：．
证明：在上取点，连接，使．
∵，∴__________，∴，∴①，
∵，∴，即，
又∵，∴△∽△，∴，
∴___________②，①+②得，即__________．
【直接应用】（2）如图2，为的直径，，求的长．
【灵活运用】（3）如图3，在等腰三角形中，，点在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点落在点处，连接，求的长．
1．（2026九年级上·广东·阶段练习）如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA=3，AB=PC=2，若PA·PB=PC·PD，则PD的长是( )
A．3 B．7.5 C．5 D．5.5
2．（2026九年级上·重庆·期中）如图，是的切线，A为切点，是过点O的割线．若，，则的直径为（　　）

A． B． C． D．
3．（2026·福建九年级月考）如图，是的切线，为切点，是割线，交于、两点，与直径交于点，已知，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2026九年级上·河南·阶段练习）如图，从圆外一点引圆的切线，点为切点，割线交于点、．已知，，则 ．
5．（2026河北承德·九年级统考期末）如图，延长弦、弦，交于圆外一点A，连接．
(1)证明：；(2)若，求．
6．（2026·广东江门·九年级统考期末）如图，点A、B、C在O上，直线与O相切于点A．
(1)试问：与有怎样的大小关系？证明你的结论；
(2)如果我们把形如这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论．
7．（2026春·广东九年级课时练习）阅读与应用
请阅读下列材料，完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．
如图1，四边形ABCD内接于．求证：．
证明：如图2，作交BD于点E．
∵，∴．（依据）
∴．∴．．…
∴．∴．∴．
∵，
∴．
∴．
任务：(1)证明过程中的“依据”是______；(2)补全证明过程；
(3)如图3，的内接五边形ABCDE的边长都为2，求对角线BD的长．
8．（2026·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务
托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．
下面是该定理的证明过程（部分）
已知：如图①四边形是的内接四边形

求证：
证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得
又∵ ∴ ∴ ∴，
又，
∴ ∴
∴，∴∴
∴ 即
任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．

9．（2026九年级上·浙江·期末）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即若弦，交于点，则．
【定理证明】（1）如图1，连结，，求证：．
【解决问题】（2）如图2，是的弦，是上一点，，，，求的半径．
10．（2026九年级上·浙江·阶段练习）阅读与思考
小明在某本数学书上看到相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上相交弦定理证明过程的一部分，请仔细阅读，并完成相应的任务．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图，的两弦，相交于点P．
求证：．
证明：如图，连结，．……
任务：(1)请将上述证明过程补充完整．(2)小明又看到一道课后习题：如图，是的弦，P是上一点，，，，求的半径．请运用相交弦定理求解．
11．（山东滨州·中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．(1)求证：；(2)求证：；(3)求证：；(4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）

12．（2026九年级上·山西·期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务．
米勒定理：米勒（）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程
已知：如图1，与相切于点A，与相交于点B，C．
求证：．
证明：如图2，连接．
∵为的切线，∴，∴．
∵，∴．∵，∴．
∵，∴，∴，∴，∴，……

任务：(1)请完成剩余的证明过程(2)应用：如图3，是的切线，经过的圆心O，且，割线交于点D，E，，求的长．
13．（2026九年级·浙江·）如图，已知⊙O和⊙⊙相交于A、B两点，过点A作⊙的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙于E、F，EF与AC相交于点P，
（1）求证：；（2）求证：；
（3）当⊙O与⊙为等圆时，且时，求△PEC与△FAP的面积的比值.
14．（2025·广东深圳校考一模）弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用．
(1)作图（保留作图痕迹）：已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点，
①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；
③连接PE和PF；试说明PE是圆O切线的理由．
(2)计算：若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度．
15．（2026九年级下·重庆·开学考试）在学习切线长定理时我们发现：过圆外一点引圆的切线，该点到切点之间的两条切线长相等．小南对此进行了深入探究，过圆外一点引圆的切线和割线（直线与圆相交，则这条直线为圆的割线），发现切线长的平方等于这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积．
(1)用直尺和圆规完成以下基本操作：过点作的切线交延长线于，连接；（不写作法，只保留作图痕迹）
(2)完成下列证明过程：
为的切线，①_____（圆的切线垂直于过切点的半径），即．
②_____，．
又，．
，③_____，（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半）
，，④_____即．
在探索过程中，我们还发现，即圆的弦切角等于所对的⑤______．
16．（福建龙岩·模拟预测）如图，已知是的切线，切点为点，为的割线．
(1)求证：；(2)若，，，求的面积．
17．（2026九年级上·山东日照·阶段练习）弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
【弦切角定理】弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面我们只证明：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
按照圆心与弦切角的位置关系，分三种情况证明：
（1）圆心在弦切角的一边上时，如图1：为直径，显然有弦切角；
（2）当圆心在弦切角的外部时，如图2：连接并延长交圆于点，连接，
由（1）可知，，又根据等弧所对等角可知，．
；
（3）当圆心在弦切角的内部时，如图3 过作圆的直径，交圆于点，连接，
由（1）可知，，又根据等弧对等角可知，，
综上所述，弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
【定理应用】如图，是圆的切线，为切点，过点作圆的直径交圆于点两点，为上一点，连接并延长交圆于点为上一点，且，连接并延长交圆于点，连接．
(1)求证：(2)求证：(3)若，求圆的直径．
18.（2025·河南·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图1，______．求证：______．
证明：如图2，作，交BD于点E，……
∴∽，∴，……
∴∽，∴，
∴．
(1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程；
(2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长．
19．（2026九年级下·河南平顶山·阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务：
罗狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家．
托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
如图1，四边形内接于，求证：
下面是该结论的证明过程：
证明：如图1，作，交于点E．∵，∴（依据1），∴（依据2），∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，…
任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______；
(2)请完成后续证明；(3)如图2，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，求的长．
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