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专题08 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1
模型趣事 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型运用 6
模型1.内切圆模型 6
模型2.外接圆模型 12
18
古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础 。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。
内切圆 是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。
外接圆 是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。
（2026九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．

．．
(1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值．
【答案】(1)；(2)2．
【详解】（1）解：如图2，连接．

，；；
（2），，，．
是的内切圆，，，，
，∴设，则，
，，即（，解得，，
，，．
（2026九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】解：∵点E是的内心，∴平分，∴，故①正确；
设外接圆圆心为O，连接，则垂直平分，
∵点G为的中点，∴点G为与的交点，即，故②正确；
∵，∴，
∵点E是的内心，∴，，
∴，故③错误；
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，故④正确，
综上，正确的有3个，故选：B．
1）三角形的内切圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。
证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，
∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r，
∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，
∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=，
∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°-
=180°-=90°+，
∴，即r=
图1 图2 图3
2）直角三角形的内切圆模型
条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=；
证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，
∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形，
∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=；
3）四边形的内切圆模型
条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。
证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH，
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。
4）三角形的外接圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。
结论：①OA=OB=OC；②。
证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO，
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO，
∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC
图1 图2 图3
5）等边三角形的外接圆模型
条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。
结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；
证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形
∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC
∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD．
∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，
∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。
∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。
∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。
6）四边形的外接圆模型
条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。
结论：①；；②。
证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=，
同理：∠ABC=，∴；同理：；
∵，∴。
模型1.内切圆模型
例1（2026九年级上·广西河池·期末）如图，中，，点是的内心．则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵中，，∴，
∵点是的内心，∴平分，平分，
∴，，∴，
∴，故选：D．
例2（2026九年级上·浙江宁波·期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接，
∵弦，∴，，
∴小是的内切圆，四边形是正方形，
∴，，，是等腰直角三角形，
∴，，设，∵，∴，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，（不合题意，舍去），∴设，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，∴的半径为，故答案为：．
例3（2025·辽宁铁岭·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（ ）
A．200步 B．240步 C．280步 D．320步
【答案】B
【详解】解：∵中，步，步，，
∴步，设内切圆的半径为，
∵，∴，解得，
∴内切圆的直径是240步．故选：B．
例4（2026九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的内切圆．
（1）若，则的度数为 ．（2）若，则的半径为 ．
【答案】
【详解】解：（1），，，
是的内心，平分，平分，
，，
，答案为：．
（2）作于点，则，
，，即，解得，
，，在中，．
设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，，，，且，
，
解得：．故答案为：．
例5（2026九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为 ．
【答案】21
【详解】解：根据题意设与分别相切于点F、G、L、H，
则，，且，∴，
∵，，且的周长为，
∴，
∴，∴的周长为，故答案为：21．
例6（2025·山东·模拟预测）如图，在直线l：上取一点，使．过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使，过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使……以此类推．若的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，的内切圆圆心为……以此类推，的内切圆圆心的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：直线l：，，，，，
的内切圆圆心为，在的角平分线上，
如图，做于点，于点，于点，设半径为，
由作图可得四边形为正方形，，，
，解得：，，的坐标为，
，，，，，
，，，，为等边三角形，
，与的相似比为，
又的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，连接，，，，
在的角平分线上，即，都在的角平分线上，
，，，
，则同理可得横、纵坐标的相似比，的坐标为，
同理：的坐标为，的坐标为，
的内切圆圆心的坐标为，即，
故答案为：．
例7（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是等腰的外接圆，D为弧 ，P为的内心，过P作，若 ，则的值为（　　）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：作于M，于N，在上截取，如图：
∵是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，
∵P是的内心，∴，∵，
∴四边形是正方形，∴，
∵，∴，∴，同理：，
∴，
∵，∴，故选：A．
模型2.外接圆模型
例1（2026·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ．
【答案】
【详解】解：如图，∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，
∴过A作AD⊥BC于D，则外接圆的圆心O在AD上，连接OB、OC，
∴BD=CD=BC=8，AD==6，∵在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，
∴R2=（6-R）2+82，∴R=；如图，过A作AD⊥BC于D，∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC的外心I在AD上，过I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接OA、OB、OC，
则IF=IE=ID=r，∵S△ABC=S△BIC+S△AIC+S△ABI，
∴由三角形的面积公式得：BC×AD=BC×r+AC×r+AB×r，∴16×6=16r+10r+10r，∴r=，
即三角形ABC的外接圆半径R=，内切圆半径r=，故答案为：，．
例2（2025·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，连接，
∵点是的内心，∴平分，∵，∴，
∵点是外接圆的圆心，∴，
∵，∴，故选：C．
例3（2026九年级上·湖北武汉·期末）如图， 是的直径，点C在上，点I为的内心，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图：延长交于点，连接，
，
∵是的直径，∴，∴，∴，
∵点I为的内心，∴，，
∴，
∴，，∴，
∵，，∴,
∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，故选：D．
例4（2025·四川绵阳·校考一模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，O为Rt△ABC的外心，I为Rt△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D．连接OI，则cos∠OID 的值为 ．
【答案】/
【详解】解：过点作、、的垂线，分别交于点、点、点，设与的交点为点，过点作的垂线，交于点，连接，如图所示
∵是的内心∴又∵，，，
∴四边形是正方形设，则，
∵，，∴，
在中，∴+∴∴
∵是的外心∴∴在中，
∵是的内心，∴∴
∵，∴∴∴，
∵∴在中，
在中，
∴ 故答案为：．
例5（2025·安徽合肥·一模）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交半圆于点，连结．(1)求证：；(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)4
【详解】（1）证明：∵是的内心，
∴是的角平分线，∴，
∵是半圆的直径，∴，∴，
∴，∴，∴，∴；
（2）解：如图，过点O作于点E，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．
例6（2025·重庆·九年级专题练习）内接于，点是的内心，连接并延长交于点，连接，已知，(1)连接，，则______（用含有的代数式表示）(2)求证：；(3)连接，若，求的最小值(4)若，为等腰三角形，直接写出的值．
【答案】(1)(2)见解析(3)的最小值(4)或时，为等腰三角形
【详解】（1）连接，，
∵点是的内心∴，，
∴
（2）解：如图1所示，连接，
∵点是的内心，∴，，∴，∴，
∵，，∴，∴；
（3）解：因为，所以点为的中点，故点是一个定点．
由（1）的结论，可知，点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，所以当点，，三点共线时，取最小值． 如图2所示，此时为的直径，且为的垂直平分线，，∵ ∴
在中，∴
在中，∴∴
故的最小值
（4）解：∵ ∴ ∴
分别连接，，记与相交于点，
∵，∴，，
∴是等边三角形同（2）可求得，，
①，如图3所示，
此时 ∴
而矛盾，故此种情况不成立．
②，如图4所示，过点作，交于点，过点作，交于点，
此时，，
∴，∴
设，则，∵∴，解得
∴，∴，
∵∴，即
解得，∴
③，如图5所示，此时，
∵是等边三角形，∴∴点，，三点共线
∴为的直径∴∴
综上所述，或时，为等腰三角形．
1．（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为点O是的外心，且，所以，
在中有，，
又因为点I是的内心，所以为的角平分线，为的角平分线，
所以，，
所以，
所以 ． 故选：C ．
2．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点，
∵，，，∴，
，
∵为斜边上的中线，∴，∴，
连接，，，，，，则，
∵，且，，，
∴，解得：，
同理可得，，解得，∴，故选：D．
3．（2025·浙江杭州·三模）如图，是的内切圆，分别切，，于点，，，，是上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，连接，
∵是的内切圆，，是切点，∴，，∴，
∵，∴，∴，故选：D．
4．（2026九年级下·湖北武汉·期中）如图，为直径，为下半圆上一点，的平分线交于，，是的内心．当点从点运动到点时，走过的路径长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如下图所示，连接，为的直径，，
的平分线交于，，，
是的内心，平分，，
，，
，，
点在以点为圆心且半径长为的上运动，该弧所对的圆心角为，
，走过的路径长为，故选：B．
5．（2025·湖北随州·一模）如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴，
∵四边形内接于，∴，∴，
∵点是的内心，∴平分，平分，
∴，∴，
∴．故选：C．
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形是半圆的内接四边形，点在上，连接的内心是的中点．若是直线上的动点，则I，E两点间的距离最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】解：连接，过点作于点，如图：
∵的内心是的中点，∴是的平分线，是的平分线，
∴，，∴，
根据圆周角定理得：，∴，
∴，∵是的外角，
∴，∴，∴，
∵的内心是的中点，∴，∴，
∵点是直线上的动点，根据“垂线段最短”得：，
∴当点与点重合时，两点间的距离为最小，最小值是线段的长，
∵是半圆的直径，，在中，由勾股定理得：，
，，
在中，，，
∴两点间的距离的最小值为，故选：D．
7．（2026九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，I是的内心，连接，若，，则的面积的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图：过I作于H，于E，于F，
∵是直径，∴，∴四边形是矩形，
∵I是的内心，∴，∴四边形是正方形，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∵∴，即，解得：，∴，
在和，，∴，∴，，
∴，∴，即，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∴的面积的值为．故选C．
8．（2026九年级下·成都·阶段练习）如图，是的内切圆，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴，
∵是的内切圆，∴分别平分，
∴，∴，
∴，故选：C．
9．（2026九年级上·安徽合肥·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图：连接、、，，设半径为，

，，，，
的内切圆与，，分别相切于点，，，
，，，且，
，四边形是正方形，，
，
，．故选：C．
10．（2026·成都市九年级期中）如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】是的内切圆,、、 是的切线，
又切于点K，、、、、，

的周长为：
设，，，
则、、，
解得，的周长为：．故选D．
11．（2026九年级上·天津南开·期末）如图，在中，，，．的内切圆与，分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交于两点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法错误的是（ ）
A．平分 B．点在射线上 C． D．的半径为1
【答案】D
【详解】解：由作图可知：平分，故选项A正确；
∵是的内切圆，∴点为三角形三条角平分线的交点，∴点在射线上，故选项B正确；
连接，则：，
∵，∴四边形为正方形，
∴，，∴，故选项C正确；
∵，，，∴，设的半径为，则：，
∴，∴，∴，故选项D错误；故选D．
12．（2026九年级上·山东烟台·期末）如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ．
【答案】/26度
【详解】解：如图，连接，点是的内心，平分，
，，
点是外接圆的圆心，，
，，故答案为：．
13．（2026九年级上·福建莆田·期中）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图：过点P作于D、于E、于F，
∵点P是内切圆的圆心，∴，、、，∴四边形是正方形，
∵中，，，，∴，
设，，，
则，解得：，∴，
∵点O为的外心，∴，∴，
∴．故答案为．
14．（2026九年级上·江苏扬州·期中）如图，是外接圆，为上一点，若经过的内心，且，则的值为 ．
【答案】/
【详解】解：设交于点F，连接，作于点L，则，
∵I是的内心，∴，，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，，
∴，，∴，∴，
∵，，∴，
∴；同理，∴，∴，
∴，∴，故答案为：．
15．（2026·江苏·九年级期末）中，，，点I是的内心，点O是的外心，则 ．
【答案】14.3
【详解】如图，过点A作交于点D，
∵，，∴是等腰三角形，∴，
∵点I是的内心，点O是的外心，∴点I、点O都在直线AD上，
连接OB、OC，过点I作交于点E，设，，
在中，，∴，，
在中，，解得：，
∵，，∴，
∴，即， 解得：，∴，
∴．故答案为：14.3．
16．（2025·四川达州·一模）如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知．
(1)求证：是等腰三角形；(2)如图2，若为的直径，求线段的长度．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵是的内接三角形，是的内心，∴，．
∵，∴，∴．
∵，，
∴，∴，即是等腰三角形；
（2）解：∵为的直径，∴，∴，．
∵是的内心，∴，∴，
∴，即，∴．
∵，，∴，，∴，
∴，即，
∴，即，
∴，∴，解得：．
17．（2025·福建泉州·模拟预测）情境：某工厂需从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘．
(1)任务1：如图1，两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径；
(2)任务2：如图2，是矩形的对角线，圆和圆分别是和的内切圆，圆与分别切于三点，圆与分别切于两点，求圆的半径；
(3)任务3：观察图2可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，任务2的圆可能不是最大．在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比任务2更大的圆？如果可以请求出最大半径，如果不能请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)能，
【详解】（1）解：从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘，两圆沿矩形铁片长边并排排列，两圆的直径为，圆的最大半径为；
（2）解：如图，连接，，
设的半径为，在中，，
是的内切圆，，，，，，
又，四边形为正方形，．
（3）解：设圆的半径为，要使两等圆面积最大，则两圆与矩形四边相切，两圆圆心距，
如图，连接、，过作的垂线，过作的垂线，两垂线交于点，
则，，在中，，
整理得，解得，当时，，不符题意；
当时，，且，
任务3中圆的最大半径为．
18．（2025·四川绵阳·二模）如图，是的外接圆，点是的中点，连接交于点，点是延长线上一点，，连接，．
(1)求证：是的切线；(2)如图，延长交于点，点恰好是的内心．
①求证：；②若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②
【详解】（1）证明：∵点是的中点，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵所对的圆心角为，圆周角为，
∴，即，
∵，，∴，
∴，∴，即，
又∵是的半径，∴是的切线；
（2）①证明：∵点是的内心，∴平分，∴，
∵，，，
∴，∴；
②)解：∵，，，，∴，
∴，即，设，则，，
∴，解得：，∴，
在中，，，即，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
∴，即，∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），∴．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题08 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1
模型趣事 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型运用 6
模型1.内切圆模型 6
模型2.外接圆模型 12
18
古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础 。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。
内切圆 是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。
外接圆 是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。
（2026九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．

．．
(1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值．
（2026九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
1）三角形的内切圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。
证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，
∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r，
∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，
∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=，
∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°-
=180°-=90°+，
∴，即r=
图1 图2 图3
2）直角三角形的内切圆模型
条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=；
证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，
∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形，
∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=；
3）四边形的内切圆模型
条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。
证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH，
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。
4）三角形的外接圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。
结论：①OA=OB=OC；②。
证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO，
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO，
∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC
图1 图2 图3
5）等边三角形的外接圆模型
条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。
结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；
证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形
∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC
∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD．
∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，
∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。
∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。
∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。
6）四边形的外接圆模型
条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。
结论：①；；②。
证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=，
同理：∠ABC=，∴；同理：；
∵，∴。
模型1.内切圆模型
例1（2026九年级上·广西河池·期末）如图，中，，点是的内心．则的度数（ ）
A． B． C． D．
例2（2026九年级上·浙江宁波·期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ．
例3（2025·辽宁铁岭·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（ ）
A．200步 B．240步 C．280步 D．320步
例4（2026九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的内切圆．
（1）若，则的度数为 ．（2）若，则的半径为 ．
例5（2026九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为 ．
例6（2025·山东·模拟预测）如图，在直线l：上取一点，使．过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使，过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使……以此类推．若的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，的内切圆圆心为……以此类推，的内切圆圆心的坐标为 ．
例7（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是等腰的外接圆，D为弧 ，P为的内心，过P作，若 ，则的值为（　　）
A．4 B． C．2 D．
模型2.外接圆模型
例1（2026·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ．
例2（2025·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例3（2026九年级上·湖北武汉·期末）如图， 是的直径，点C在上，点I为的内心，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
例4（2025·四川绵阳·校考一模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，O为Rt△ABC的外心，I为Rt△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D．连接OI，则cos∠OID 的值为 ．
例5（2025·安徽合肥·一模）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交半圆于点，连结．(1)求证：；(2)若，求的长．
例6（2025·重庆·九年级专题练习）内接于，点是的内心，连接并延长交于点，连接，已知，(1)连接，，则______（用含有的代数式表示）(2)求证：；(3)连接，若，求的最小值(4)若，为等腰三角形，直接写出的值．
1．（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江杭州·三模）如图，是的内切圆，分别切，，于点，，，，是上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026九年级下·湖北武汉·期中）如图，为直径，为下半圆上一点，的平分线交于，，是的内心．当点从点运动到点时，走过的路径长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·湖北随州·一模）如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形是半圆的内接四边形，点在上，连接的内心是的中点．若是直线上的动点，则I，E两点间的距离最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
7．（2026九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，I是的内心，连接，若，，则的面积的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026九年级下·成都·阶段练习）如图，是的内切圆，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2026九年级上·安徽合肥·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
10．（2026·成都市九年级期中）如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
11．（2026九年级上·天津南开·期末）如图，在中，，，．的内切圆与，分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交于两点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法错误的是（ ）
A．平分 B．点在射线上 C． D．的半径为1
12．（2026九年级上·山东烟台·期末）如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ．
13．（2026九年级上·福建莆田·期中）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ．
14．（2026九年级上·江苏扬州·期中）如图，是外接圆，为上一点，若经过的内心，且，则的值为 ．
15．（2026·江苏·九年级期末）中，，，点I是的内心，点O是的外心，则 ．
16．（2025·四川达州·一模）如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知．
(1)求证：是等腰三角形；(2)如图2，若为的直径，求线段的长度．
17．（2025·福建泉州·模拟预测）情境：某工厂需从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘．
(1)任务1：如图1，两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径；
(2)任务2：如图2，是矩形的对角线，圆和圆分别是和的内切圆，圆与分别切于三点，圆与分别切于两点，求圆的半径；
(3)任务3：观察图2可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，任务2的圆可能不是最大．在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比任务2更大的圆？如果可以请求出最大半径，如果不能请说明理由．
18．（2025·四川绵阳·二模）如图，是的外接圆，点是的中点，连接交于点，点是延长线上一点，，连接，．
(1)求证：是的切线；(2)如图，延长交于点，点恰好是的内心．
①求证：；②若，，求的长．
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