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5.4角平分线的性质
（第一课时）
直角三角形
第5章
（湘教版）八年级
上
学习目标
1.理解角平分线的性质及逆定理，并能初步运用。
2.能够利用角平分线的性质解决实际问题，通过逻辑推理和数学计算，解决与角平分线相关的数学问题。
新知导入
角平分线定义：___________________________________________
【探究】
如图，在∠AOB 的平分线 OC 上任取一 点 P，作 PD ⊥ OA， PE ⊥ OB ，垂足分别为点 D， E. 比较线段 PD，PE 的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？
若将∠AOB沿角平分线 OC折叠，则可以发现点 D与点 E重合，因而 PD 与 PE 重合，即PD = PE.
利用圆规，比较它们的长度，也可以发现PD = PE.
新知探究
由此可猜测：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
下面来证明上述猜测成立.
因为PD ⊥ OA于点D，PE ⊥ OB于点E，
所以∠PDO = ∠PEO = 90°.
在△PDO和△PEO中，
所以△PDO ≌ △PEO（角角边）.
因此PD = PE.
由此可得角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
新知探究
【思考】
角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？
如图，点 P在∠AOB 的内部，作 PD ⊥ OA， PE ⊥ OB，垂足分别为点D，E，
且PD = PE. 过点O，P作射线OC.
因为PD ⊥ OA，PE ⊥ OB， 所以∠PDO = ∠PEO = 90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
所以Rt△PDO ≌ Rt△PEO（斜边、直角边）， 从而∠AOC = ∠BOC.
因此OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
由此可得:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
新知探究
例1 如图，∠BAD = ∠BCD = 90°，∠1 = ∠2. 求证：
（1）点B在∠ADC的平分线上；
（2）BD平分∠ABC.
证明（1） 在△ABC中，
因为∠1 = ∠2，所以BA = BC. 又BA ⊥ AD，BC ⊥ CD，
所以点B在∠ADC的平分线上.
（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，
所以Rt△BAD ≌ Rt△BCD（斜边、直角边）. 因此∠ABD = ∠CBD，
从而BD平分∠ABC.
课堂练习
1. 如图，在线段MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等（保留作 图痕迹，不要求写出作法）
作法：以O为圆心，任意长为半径画弧，交∠BOA两边与C、D两点，分别以C、D两点为圆心，大于两点的距离的一半为半径画弧交于一点，与O点连接，交MN于点P，点P即为所求。
课堂练习
2. 如图，已知 CE ⊥ AB 于点 E，BD ⊥ AC 于点 D，BD，CE 交于点 O，且 AO平分∠BAC. 求证：OB = OC.
证明：∵AO平分∠BAC,CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D
∴OE=OD
又∵在直角和
,
∴
∴=
课堂总结
1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.角平分线性质的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
作业布置
1.必做题：教科书P181 习题5.4--学而时习之1
2.选做题：教科书P182 习题5.4--温故而知新4-5
谢谢观看
Thank you

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