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专题04 轻松破解基本不等式求最值的十四大题型
题型一：对勾型
题型二：添加常数构造“对勾”型
题型三：和定求积型
题型四：积定求和型
题型五：分式型
题型六：根式型
题型七：常数代换型
题型八：凑配加常数代换型
题型九：有和有积无常数型
题型十：有和有积有常数型
题型十一：多元分式型
题型十二：代入消元型
题型十三：双换元型
题型十四：不少于三个数的均值型
【知识点综述】
1.一个重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
2.基本不等式：≤；
基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可．
3.基本不等式的变形：
①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值；
4.基本不等式链：≥ ≥≥（其中；
5.基本不等式的推广：
对于 个正数 ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，
即 （当且仅当时，等号成立）．
题型一：对勾型
对勾型：，，此类代数式的最值往往直接利用基本不等式求得，但要注意能否取到等号.
1．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ）
A．－4 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】根据基本不等式等号成立的条件即可求解.
【解析】由于，故，当且仅当，即时取等号，
故选：B
2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则 B．当时，
C．当时，的最小值为2 D．当时，
【答案】B
【分析】利用基本不等式的条件、取等号的条件逐项判断.
【解析】对于A，当时，显然不成立，A错误；
对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误；
对于D，取，，D错误.
故选：B
3. （24-25高一上·江西吉安·阶段练习）若，，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求出和的最小值，相加可得出结果.
【解析】由基本不等式得，
当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为.
故选A.
4．（24-25高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据均值不等式，可知当时，成立，可验证充分性；根据举特值法可判断必要性.
【解析】当时，，当且仅当即时取等号，所以充分性成立；
当时，成立，不满足，所以必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：.
5.（23-24高一上·上海·阶段练习）已知a，b都是正数，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】变形后利用基本不等式求出最小值.
【解析】a，b都是正数，故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为3.
6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果.
【解析】由题意知，“，使得成立”是真命题，
所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立.所以实数的取值范围为.
题型二：添加常数构造对勾型
对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：,从而转化为对勾型，再利用基本不等式求最值.
7.（23-24高一上·福建莆田·期末）已知，则的最小值为 .
【答案】8
【分析】利用基本不等式求最值可得答案.
【解析】时，
则，
当且仅当即时等号成立.
故答案为：8.
8.（23-24高一上·湖北·期末）已知，则的最小值为
【答案】
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【解析】由于，所以，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
9．（24-25高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最小值．
【分析】（1）利用基本不等式即可得解；
（2）利用基本不等式，结合换元法即可得解.
【解析】（1）因为，所以，
则，当且仅当，即时，取到等号，
所以的最大值为；
（2）因为，所以，
令，则，
所以，
当且仅当，即，即时，取到等号，
所以的最小值为.
题型三：和定求积型
如果两个正数a,b之和为定值S，即=S，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值是 (简记：和定积最大).
10. （24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据基本不等式即可求得的最大值.
【解析】因为，，
根据基本不等式可得，所以.
当时，取最大值.
故选：A.
11. （24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，，，则的最大值为（ ）
A． B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最大值
【解析】因为所以，从而．
当且仅当时等号成立.
故选：B
12. （24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ）
A．36 B．4 C．16 D．9
【答案】D
【分析】根据题意得到，进而通过基本不等式求得答案.
【解析】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”.
故选：D.
13．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若正数满足，且的最小值是16，则的值为 .
【答案】4
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值，再列式求出值.
【解析】依题意，，解得，当且仅当时取等号，
因此，解得，所以的值为4.
14．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）已知，，且，则的最大值为 .
【答案】8
【分析】应用基本不等式求积的最大值即可.
【解析】因为，，且，所以，故，
当且仅当等号成立，所以的最大值为8.
15．（上海市杨浦区2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题）已知，则的范围是 ．
【答案】
【分析】利用重要不等式即可求解.
【解析】由，可得，所以，
当且仅当时，等号成立，所以，
所以的范围是.
题型四：“积定求和”型
如果两个正数a,b之积为定值p，即，那么当且仅当a＝b时，a+b有最小值2(简记：积定和最小).
16.（2025·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由基本不等式求解．
【解析】因为，
所以，，当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
17．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值.
【解析】因为，所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.
故选：B
18.（2025·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）若实数满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】利用均值不等式即可得解.
【解析】由均值不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是2.
故选：B.
19. （2025河北沧州高三下联考）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式可得最值.
【解析】根据题意，，可得，
则，
设，则，原式为，
当且仅当时等号成立，
故选：C.
题型五：分式型
求分式型函数的最值时，常利用分离常数法和倒数法求解，若分子次数低于分母次数，则常常作商；若分子次数高于分母次数，则往往分离常数，凑成“对勾”型，再利用基本不等式求得最值. 对于一些较为复杂的分式，往往先换元，再考虑作商或分离常数.
20．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据基本不等式的性质即可求解.
【解析】根据题意可知，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D
21．（24-25高二下·江苏·阶段练习）函数在上的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据变量范围，利用基本不等式计算可得当时的最小值是2.
【解析】因为，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
此时函数在上的最小值是2.
故选：C
22．（24-25高一·广东·中山联考）若，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】将解析式化简凑出积为常数，再由基本不等式求出函数的最小值．
【解析】由题意得，，
，
∴，当且仅当时取等号，即，
则函数的最小值是4，
故选D．
23．（24-25高二下·山西·阶段练习）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分离参数可得a，根据基本不等式即可求出．
【解析】不等式的解集是，
即，恒成立，
当，，
当时，，
因为，当且仅当等号成立
所以．
故选D．
24.（2025·江苏省南京市第十二中学高一阶段练习）已知，函数的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先换元，再运用基本不等式求解.
【解析】令，则，
所以，
当且仅当等号成立.
故选：B.
25.（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）已知,则函数的最大值为
【答案】
【解析】∵,∴.
当且仅当，即时取等号，此时.
26.（2025·江西九江高一联考）已知，函数的最大值是 .
【答案】2
【解析】令，则，所以，
当且仅当等号成立.
题型六：根式型
对于根式型的最值问题，主要策略有三： (1)换元法；（2）进根号；（3）平方法.
27．（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）函数的最大值为
【答案】1
【分析】考虑到,故可将转化成,则符合“和为定值”.
【解析】∵,∴,∴
当且仅当,即时取“＝”号此时1.
28. （24-25高一上·北京四中月考）若,则的最大值为 .
【答案】6
【分析】此题用“1”去代换的策略显然无法求解,故需另辟蹊径,于是，容易联想到使用无理式常用的变形——平方进行转化..
【解析】.(
当且仅当，即时，取等号.此时.
29.函数(的最大值为 .
【答案】
【分析】观察所给式子含有根号，比较繁琐，故考虑换元去掉根号，再进行求解.
【解析】设（t>0），则.
∴=≤.
当且仅当,即时取“=”号.故当时，.
题型七：常数代换型
1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值. 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值．
30．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．9
【答案】C
【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值.
【解析】由，得，
当且仅当时取等号得出最小值4，
故选：C.
31．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【解析】因为，，，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故选：C
32．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.
【解析】，因为，故，
则，当且仅当，也即取得等号，
故的最小值为.
故选：D.
33.（2025·安徽省舒城中学高一阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用“乘1法”即得.
【解析】因为，所以，∴
，当且仅当时，即时取等号，
所以的最小值为1.故选：D.
34．（2025高一上·全国·专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由于，当且仅当，即时取等号，而不等式有解，所以，即，解得或．
题型八 凑配加常数代换型
有些题型不能直接用常数代换法求解，但适当配凑后，便可利用常数代换法转化求解。
35.（2025·全国·高一单元测试）若，，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，可将化为，结合结合基本不等式即可得出答案.
【解析】解：若，，且，
则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．故选：B．
36.（2025·江西·吉安高一单元测试）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】，展开后利用基本不等式即可求解．
【解析】因为，，且，
∴
，当且仅当，即，即时，等号成立．故选：C
37.（2025·浙江·高一期中）若实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】由条件变形，再结合基本不等式求最小值.
【解析】由条件可知，，
所以
，
当，即，结合条件 ，
可知时，等号成立，所以的最小值为.
故选：D
38．（2025·山西朔州·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】原式化简并利用基本不等式得，再进一步利用乘“1”的方法求最值.
【解析】根据题意，由于
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
题型九：有和有积无常数型
这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy,此时只需两边同时除以xy，便可转化为常数代换型求其最值.
39.（2025河南开封高一上联考）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】A
【分析】根据题意，基本不等式：，即可求解.
【解析】因为正实数，满足，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立．
故选：A.
40.（2025广东大湾区高三二联）若，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【解析】因为，即，即，
且，则，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B
41.（2025浙江省A9协作体高二下期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
【答案】C
【分析】将变形为，再借助乘“1”法，利用基本不等式，即可求出的最小值.
【解析】因为，，，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.故选：C
42．（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由得，根据基本不等式得，即可求得的最小值.
【解析】因为，，，所以，
因为，
所以，当且仅当即（负值舍去），等号成立，
此时，整理得，
解得，（不符合题意舍去），
即当，时，有最小值为.
题型十：有和有积有常数型
这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy+d，此时往往利用基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值．
43．（24-25高三上·广东广州·月考）若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，则，
当且仅当时，等号成立，即，
解得或（舍），解得，故选：C.
44．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．10
【答案】B
【解析】由，得，
则，
当且仅当，即时等号成立，
令，则，解得（舍去）或，
则，当且仅当，时等号成立，
即的最小值为9.故选：B.
45．（23-24高三下·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】
当且仅当，即时取等号，
，即最大值为2，故选：A.
46．（24-25高三上·广东湛江·月考）已知正数 满足 ，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，故原题干等式可转化为 ，
得 ，
设 ，则 ，解得 ，
因为，所以 ，
解得或 ，又因为 ，
所以，整理得，解得 ，
当且仅当时，等号成立.
因此，即2，所以的取值范围是.故选：D.
题型十一：多元分式型
对于多元分式型，往往通过构造分母达到分离的目的，常见构造策略有：（1）换元构造；（2）常数代换;(3)配构造
47.（2025·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（ ）
A．11 B．9 C．8 D．6
【答案】A
【分析】根据基本不等式即可由积为定值求和的最小值.
【解析】，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立.
故选：A
48.（2022·全国·高一课时练习）若，，则的最小值是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【分析】化简，再根据基本不等式求最小值即可
【解析】因为，，所以
(当且仅当时，等号成立)，所以的最小值是20.
故选：C
49.（2025·广东韶关实验中学高一阶段练习）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．6 C．7 D．
【答案】B
【分析】利用已知条件 将原式化为可以使用基本不等式的形式即可.
【解析】由已知条件得，，
当且仅当，即，时取等号，
∴ 的最小值为6；故选：B.
50.（2025·湖南长沙·高一期末）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据题意可得，再根据结合基本不等式即可得出答案.
【解析】因为，所以，
则，
因为，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.故选：B.
题型十二 代入消元型
对于涉及给出条件的多元代数式，求其最值的一种常见策略是：利用已知条件将其中一个元用其他元表示，再代入相应代数式，通过消元构造出基本不等式的条件，再求其最值.
51.（24-25高三上·江苏南通·期中）若命题“，不等式成立”是假命题，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】原命题为假命题，所以命题的否定为真命题，从而，恒成立.分离常数，结合对勾函数的单调性求最值即可.
【解析】原命题为假命题，则否定为真命题，即，恒成立，
，令，则，，
所以，
根据对勾函数的性质知在上随x的增大而增大，所以当时，，
∴.故选：A.
52．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（ ）
A．12 B． C．36 D．
【答案】D
【分析】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值.
【解析】由，得，则，
因为，，所以
当且仅当，时等号成立，
所以的最大值为，
故选：D.
53．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【解析】因为正实数、、满足，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
题型十三：双换元型
双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况． 具体操作如下：如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 另外，当形式比较复杂时，也可以考虑使用换元法进行化简．
54．（24-25高三上·江苏·月考）对于任意的，，恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，则，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，解得，
即的最大值为，故选：D.
55．（24-25高三上·江西南昌·月考）设实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】因为，所以，
令，所以，
因为，所以
当且仅当，即或时等号成立，
所以的最小值为.故选：C.
56．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知正实数满足且，则的最小值为
【答案】
【解析】设，则，
当且仅当且，即，时等号成立.
57．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 .
【答案】4
【解析】设，则，即，
若，则，而，仅当时等号成立，
所以，显然与矛盾，所以，
由上，由，即，则，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以，，即，时，目标式最小值为4.
58．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 .
【答案】4
【解析】设，则，即，
若，则，而，仅当时等号成立，
所以，显然与矛盾，所以，
由上，由，即，则，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以，，即，时，目标式最小值为4.
题型十四：不少于三个数的均值型（拓展）
基本不等式的推广： 对于 个正数 ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数， 即（当且仅当时，等号成立）．
59．已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】应用常值代换结合基本不等式求出最小值即可.
【解析】因为,且,
所以,
当且仅当,即时取等号，因此的最小值为6．
故选：B.
60．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】方法一：变形后，利用四元基本不等式进行求解；
方法二：利用两次基本不等式求出答案.
【解析】方法一：，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
方法二：，
故，
当且仅当，且时，即时，等号成立．
故的最小值为4；
故选：D
61．（23-24高三上·四川成都·开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】D
【分析】先利用“1”的代换把已知化为，然后利用三元的基本不等式求解即可.
【解析】因为，所以
，当且仅当时，等号成立.
故选：D
62．（22-23高三·河南郑州·阶段练习）已知正数满足,则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将写为的形式,再用基本不等式即可求出的最大值.
【解析】解:由题知,
,
当且仅当时取等号,
所以．
故选:C．
63．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）已知pq为实数，且满足，那么的最大值为 ．
【答案】2
【分析】构造三元基本不等式，即可求解.
【解析】，
当且仅当时等号成立.
64．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】变形后，利用四元基本不等式进行求解.
【解析】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 轻松破解基本不等式求最值的十四大题型
题型一：对勾型
题型二：添加常数构造“对勾”型
题型三：和定求积型
题型四：积定求和型
题型五：分式型
题型六：根式型
题型七：常数代换型
题型八：凑配加常数代换型
题型九：有和有积无常数型
题型十：有和有积有常数型
题型十一：多元分式型
题型十二：代入消元型
题型十三：双换元型
题型十四：不少于三个数的均值型
【知识点综述】
1.一个重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
2.基本不等式：≤；
基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可．
3.基本不等式的变形：
①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值；
4.基本不等式链：≥ ≥≥（其中；
5.基本不等式的推广：
对于 个正数 ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，
即 （当且仅当时，等号成立）．
题型一：对勾型
对勾型：，，此类代数式的最值往往直接利用基本不等式求得，但要注意能否取到等号.
1．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ）
A．－4 B．4 C．8 D．16
2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则 B．当时，
C．当时，的最小值为2 D．当时，
3. （24-25高一上·江西吉安·阶段练习）若，，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
4．（24-25高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.（23-24高一上·上海·阶段练习）已知a，b都是正数，则的最小值为 ．
6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ．
题型二：添加常数构造对勾型
对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：,从而转化为对勾型，再利用基本不等式求最值.
7.（23-24高一上·福建莆田·期末）已知，则的最小值为 .
8.（23-24高一上·湖北·期末）已知，则的最小值为
9．（24-25高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最小值．
题型三：和定求积型
如果两个正数a,b之和为定值S，即=S，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值是 (简记：和定积最大).
10. （24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
11. （24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，，，则的最大值为（ ）
A． B．4 C．6 D．8
12. （24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ）
A．36 B．4 C．16 D．9
13．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若正数满足，且的最小值是16，则的值为 .
14．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）已知，，且，则的最大值为 .
15．（上海市杨浦区2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题）已知，则的范围是 ．
题型四：“积定求和”型
如果两个正数a,b之积为定值p，即，那么当且仅当a＝b时，a+b有最小值2(简记：积定和最小).
16.（2025·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
17．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
18.（2025·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）若实数满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
19. （2025河北沧州高三下联考）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：分式型
求分式型函数的最值时，常利用分离常数法和倒数法求解，若分子次数低于分母次数，则常常作商；若分子次数高于分母次数，则往往分离常数，凑成“对勾”型，再利用基本不等式求得最值. 对于一些较为复杂的分式，往往先换元，再考虑作商或分离常数.
20．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
21．（24-25高二下·江苏·阶段练习）函数在上的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
22．（24-25高一·广东·中山联考）若，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
23．（24-25高二下·山西·阶段练习）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围（　　）
A． B． C． D．
24.（2025·江苏省南京市第十二中学高一阶段练习）已知，函数的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
25.（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）已知,则函数的最大值为
26.（2025·江西九江高一联考）已知，函数的最大值是 .
题型六：根式型
对于根式型的最值问题，主要策略有三： (1)换元法；（2）进根号；（3）平方法.
27．（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）函数的最大值为
28. （24-25高一上·北京四中月考）若,则的最大值为 .
29.函数(的最大值为 .
题型七：常数代换型
1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值. 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值．
30．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．9
31．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
32．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
33.（2025·安徽省舒城中学高一阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
34．（2025高一上·全国·专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ．
题型八 凑配加常数代换型
有些题型不能直接用常数代换法求解，但适当配凑后，便可利用常数代换法转化求解。
35.（2025·全国·高一单元测试）若，，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
36.（2025·江西·吉安高一单元测试）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
37.（2025·浙江·高一期中）若实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
38．（2025·山西朔州·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 ．
题型九：有和有积无常数型
这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy,此时只需两边同时除以xy，便可转化为常数代换型求其最值.
39.（2025河南开封高一上联考）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
40.（2025广东大湾区高三二联）若，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
41.（2025浙江省A9协作体高二下期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
42．（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为 .
题型十：有和有积有常数型
这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy+d，此时往往利用基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值．
43．（24-25高三上·广东广州·月考）若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
44．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．10
45．（23-24高三下·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
46．（24-25高三上·广东湛江·月考）已知正数 满足 ，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型十一：多元分式型
对于多元分式型，往往通过构造分母达到分离的目的，常见构造策略有：（1）换元构造；（2）常数代换;(3)配构造
47.（2025·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（ ）
A．11 B．9 C．8 D．6
48.（2022·全国·高一课时练习）若，，则的最小值是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
49.（2025·广东韶关实验中学高一阶段练习）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．6 C．7 D．
50.（2025·湖南长沙·高一期末）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
题型十二 代入消元型
对于涉及给出条件的多元代数式，求其最值的一种常见策略是：利用已知条件将其中一个元用其他元表示，再代入相应代数式，通过消元构造出基本不等式的条件，再求其最值.
51.（24-25高三上·江苏南通·期中）若命题“，不等式成立”是假命题，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
52．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（ ）
A．12 B． C．36 D．
53．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型十三：双换元型
双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况． 具体操作如下：如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 另外，当形式比较复杂时，也可以考虑使用换元法进行化简．
54．（24-25高三上·江苏·月考）对于任意的，，恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
55．（24-25高三上·江西南昌·月考）设实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
56．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知正实数满足且，则的最小值为
57．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 .
58．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 .
题型十四：不少于三个数的均值型（拓展）
基本不等式的推广： 对于 个正数 ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数， 即（当且仅当时，等号成立）．
59．已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
60．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
61．（23-24高三上·四川成都·开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．4
62．（22-23高三·河南郑州·阶段练习）已知正数满足,则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
63．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）已知pq为实数，且满足，那么的最大值为 ．
64．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知，则的最小值为 ．
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