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专题4 一元二次函数与一元二次不等式
教学目标 (1)掌握一元二次函数的图象及性质 (2).理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. (3).掌握图象法解一元二次不等式. (4)会对含参数的一元二次不等式分类讨论．
教学重难点 1.重点 (1)一元二次函数的图象与性质； (2)解一元二次不等式． 2.难点 (1)解含参数的一元二次不等式； (2)一元二次不等式的实际应用．
知识点01 一元二次函数的图象与性质
1．一元二次函数图象变换
一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条_ __，它可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移______个单位长度，再向上(或向下)平移___个单位长度而得到．
2.一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
(1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条_ ______，顶点坐标是 ，对称轴是直线___ ____；
(2)当a>0时，抛物线开口向__ ____；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而___ _____；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而_ ______；函数在x＝h处有最___ _____值，记作__．
当a<0时，抛物线开口向__ ____；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而__ _____；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而__ ______；函数在x＝h处有最_ _____值，记作__
【记忆口决】
函数图象的平移规律可简记为：加左减右(针对x的变化)，加上减下（针对y的变化）.
【即学即练】
1．将抛物线y＝－3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是(　　)
A．y＝－3(x－1)2－2 B．y＝－3(x－1)2＋2
C．y＝－3(x＋1)2－2 D．y＝－3(x＋1)2＋2
2．（24-25高一上·河北石家庄·期中联考）如果一元二次函数的对称轴是，则当时，（ ）
A． B． C． D．
知识点02 一元二次不等式及解法
1．一元二次不等式
(1)一般地，形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠ )，叫作一元二次不等式．
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．
(3)一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作一元二次不等式的解集．
2.“三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系如下表.
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ______ ______
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 ______ _____ _____
【易错警示】
解一元二次不等式时，最后的解集要注意写成区间或集合形式.
【即学即练】
1．不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为（　　）
A． B．
C． D．
2.不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（　　）
A． B．
C． D．
知识点03 分式不等式的解法（拓展）
1.解分式不等式的思路
解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解.
2.一般的分式不等式的同解变形法则
(1)>0
(2)≤0
(3)≥a
【即学即练】
1．不等式≥0的解集为(　　)
A．[1,2] B．(－∞，1]∪[2，＋∞)
C．[1,2) D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
2．（23-24高二下·北京通州·期末）不等式的解集是 ．
知识点04 穿针引线法解高次不等式（拓展）
一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a故解不等式(x－a)(x－b)(x－c)>0(或<0)时，只需先在x轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x－a)(x－b)(x－c)>0.则拣取区间(a，b)∪(c，＋∞)，即为所求解集．
【即学即练】
1．不等式>0的解集为(　　)
A．{x|x<－2或x>3} B．{x|x<－2或1C．{x|－23} D．{x|－22．（23-24高一上·黑龙江大庆·开学考试）不等式的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
题型01 求二次函数的最值
【典例】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数的最小值与最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
求二次函数的最值时，往往先将函数配方成顶点式，则函数的最值一般在区间的端点或顶点处取得，比较这些值的大小即可得最值.
【变式1】（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数的最小值为
【变式2】（2025高一上·河北保定·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值5 B．最大值
C．最小值5 D．最小值
题型02 求二次函数的解析式
【典例】（17-18高三上·重庆铜梁·阶段练习）如果二次函数的图象的对称轴是，并且通过点，则（ ）
A．a=2，b=4 B．a=2，b=－4 C．a=－2，b=4 D．a=－2，b=－4
二次函数的解析式有三种形式，应根据题设条件的不同，选择不同的形式，求二次函数解析式的基本方法是待定系数法.
【变式1】二次函数的图象的顶点为，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为( )
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高一上·重庆·开学考试）已知二次函数的图象的顶点坐标为，与轴的交点为，则（ ）
A． B．
C． D．
题型03 二次函数的图象分析与判断
【典12．（24-25高一上·贵州遵义·期中）二次函数的图象如下图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
解决二次函数的图象与系数的关系问题有以下两种常见方法:
(1)排除法,抓住函数的特殊性质或特殊点;
(2)讨论函数的图象，依据b对a进行讨论,画出a值不同时对应的函数图象，从而进行判断,显然(1)对解决选择题更为有效.
【变式1】（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于两点，其中．下列四个结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，其中.下列三个结论正确的有（ ）

A． B．
C． D．
题型04 二次函数的图象变换
【典例】（2025高一上·河北保定·专题练习）将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（ ）
A． B．
C． D．
研究二次函数图象的变换时，一般将二次函数化为的形式，然后比较平移前后两函数式中的h和k是怎样变化的，根据结论“h决定图象的左右平移（h正左移,h负右移）”对原式进行变形即可.
【变式】将一元二次函数向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的二次函数一般式为 .
题型05 解不含参数的一元二次不等式
【典例】解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2＜0；
(4)－x2＋3x－5＞0.
解一元二次不等式的步骤
(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；
(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；
(3)有根求根；
(4)根据图象写出不等式的解集．
【变式1】（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】解下列不等式：
(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；
(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．
题型06 解含有参数的一元二次不等式
【典例】（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式：
1．若一元二次不等式中的系数是含有字母的代数式，则需对参数进行分类讨论．一般从以下三个方面进行分类讨论：
(1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准；
(2)以判别式与零的大小关系作为分类标准；
(3)若判别式大于零，但两根的大小不能确定，则再以两根的大小关系作为分类标准．
2．含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小．
【变式1】（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式．
题型07 一元二次不等式的整数解问题
【典例】（24-25高一上·江西南昌·期中联考）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
对于一元二次不等式的整数解问题，一般要对参数分类讨论，求出其解集后再考虑整数解的个数问题，然后列式求解.
题型08 利用三个“二次”间关系求参
【典例】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集是，则的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
利用三个“二次”间关系求参的具体策略
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化
【变式1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25高一上·天津滨海新·期中）不等式的解集是，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则的值为 ．
题型09 简单的一元二次方程的实根分布问题
【典例1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高二下·福建福州·阶段练习）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
（1）一元二次方程根的符号问题可从判别式、两根之和、两根之积等入手求解.
（2）一元二次方程根的范围问题可以从判别式、特殊点的函数值、抛物线的对称轴等入手求解.
【变式1】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3】（24-25高一上·天津河西·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
题型10 一元二次不等式在实数集R上恒成立问题
【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【典例2】（24-25高一·上海·课堂例题）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
（1）不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为
（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
（3）一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 的条件为
【变式1】（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 .
【变式2】（25-26高一上·上海·单元测试）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
题型11 一元二次不等式在某区间上恒成立问题
【典例】（23-24高二下·辽宁·期末）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
一元二次不等式在某区间上恒成立的两种求解策略：
(1)分离参数法，先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，在某区间上恒成立；在某区间上恒成立.
（2）当a>0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立的条件是
（3）当a<0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立的条件是
【变式1】（23-24高三上·重庆·阶段练习）对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 .
【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
题型12 一元二次不等式有解问题
【典例】（24-25高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ．
一元二次不等式有解的问题，往往利用分离参数法，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，有解；有解.
【变式1】（2025高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ．
【变式2】（22-23高三上·北京·阶段练习）若存在，有成立，则实数a的取值范围是 .
【变式3】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数．
(1)若，解关于的不等式；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．
题型13 解分式不等式
【例4】（2022春 临夏县校级期中）求不等式的解集：
（1）﹣x2+4x+5＜0；
（2）2x2﹣5x+2≤0；
（3）；
（4）．
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
【变式1】（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式3】（2025·上海黄浦·三模）不等式的解集为 ．
题型14 解高次不等式
【典例】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 .
高次不等式一般用穿针引线法求解.
【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集是 ．
【变式2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）不等式的解集为 ．
题型15 一元二次不等式的实际应用
【典例】（24-25高一上·江苏连云港·期末）近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）.
(1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式；
(2)当为何值时，最小？求出的最小值；
(3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围.
一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
【变式1】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为 时，总运费最低．
【变式2】（24-25高一上·四川宜宾·期末）为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）；
(3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）；
②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．
试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．
单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（20-21高一上·陕西渭南·期末）将二次函数的图象先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后的二次函数图象的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高二上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ）
A．9 B．6 C． D．5
7．（山西省长治市2024-2025学年高二下学期县域联盟测评数学试题），不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
8．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（25-26高一上·全国·课后作业）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（ ）
A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速
10．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
11．（24-25高一上·福建福州·期中）若关于x的不等式的解集为，则函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（24-25高一上·上海·期中）若x满足，则x的取值范围为 ．
14．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .

四、解答题
15．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数
(1)请在直角坐标系中画出函数的图像；
(2)求方程的解集；
(3)当x取何值，y分别大于0，小于0？
16．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知条件p：，条件q：．
(1)若，求实数的值；
(2)若q是的充分条件，求实数的取值范围．
17．（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知关于的不等式的解集为，其中．
(1)若，求的值；
(2)求不等式的解集.
18．（2025江西上饶沙溪中学高三上月考，中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.
19．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）“必智、必勇、必忠、必诚”是我们学校的校训，“智勇”出自《列子·仲尼》孔子曰：“三王善任智勇者，圣则丘弗知.”忠诚出自《荀子·尧问》荀子曰：“忠诚盛于内，贲于外，形于四海.”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“智勇点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“忠诚点”．把函数图象至少经过一个“智勇点”和一个“忠诚点”的函数称为“智勇忠诚函数”．
(1)一次函数是一个“智勇忠诚函数”，分别求出该函数图象上的“智勇点”和“忠诚点”；
(2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“智勇点”，并且该函数图象还经过一个“忠诚点”，求该二次函数的解析式；
(3)已知二次函数（c，d为常数，）图象的顶点为M，与y轴交于点N，经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”，当时，函数有最小值，求m的值．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题4 一元二次函数与一元二次不等式
教学目标 (1)掌握一元二次函数的图象及性质 (2).理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. (3).掌握图象法解一元二次不等式. (4)会对含参数的一元二次不等式分类讨论．
教学重难点 1.重点 (1)一元二次函数的图象与性质； (2)解一元二次不等式． 2.难点 (1)解含参数的一元二次不等式； (2)一元二次不等式的实际应用．
知识点01 一元二次函数的图象与性质
1．一元二次函数图象变换
一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条_抛物线__，它可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移__|h|____个单位长度，再向上(或向下)平移_|k|___个单位长度而得到．
2.一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
(1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条__抛物线______，顶点坐标是（h,k），对称轴是直线___x=h_____；
(2)当a>0时，抛物线开口向__上____；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而___减小_____；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而__增大______；函数在x＝h处有最___小_____值，记作__ ymin＝k．
当a<0时，抛物线开口向__下____；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而___增大_____；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而__减小______；函数在x＝h处有最_大_____值，记作__ ymax＝k．
【记忆口决】
函数图象的平移规律可简记为：加左减右(针对x的变化)，加上减下（针对y的变化）.
【即学即练】
1．将抛物线y＝－3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是(　　)
A．y＝－3(x－1)2－2 B．y＝－3(x－1)2＋2
C．y＝－3(x＋1)2－2 D．y＝－3(x＋1)2＋2
【答案】C
【解析】将抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为y＝－3(x＋1)2，再向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y＝－3(x＋1)2－2.故选C.
2．（24-25高一上·河北石家庄·期中联考）如果一元二次函数的对称轴是，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由一元二次函数对称轴求得，再将代入解析式求函数值即可.
【详解】一元二次函数的对称轴为，则，
把代入得：.
故选：C
知识点02 一元二次不等式及解法
1．一元二次不等式
(1)一般地，形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠ 0 )，叫作一元二次不等式．
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．
(3)一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作一元二次不等式的解集．
2.“三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系如下表.
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1【易错警示】
解一元二次不等式时，最后的解集要注意写成区间或集合形式.
【即学即练】
1．不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】方程（x+2）（2x﹣1）＝0的根，x＝﹣2或x，函数y＝（x+2）（2x﹣1）的开口方向向上，
∴不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为，
故选：B．
2.不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，3x2﹣x﹣2≥0即（3x+2）（x﹣1）≥0，
解可得：x≥1或x，即不等式的解集为{x|x或x≥1}，
故选：C．
知识点03 分式不等式的解法（拓展）
1.解分式不等式的思路
解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解.
2.一般的分式不等式的同解变形法则
(1)>0 f(x)·g(x)>0；
(2)≤0
(3)≥a ≥0.
【即学即练】
1．不等式≥0的解集为(　　)
A．[1,2] B．(－∞，1]∪[2，＋∞)
C．[1,2) D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
【答案】D
【解析】由题意可知，不等式等价于
∴x>2或x≤1.
2．（23-24高二下·北京通州·期末）不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式求解即可.
【解析】因为,
所以或.
知识点04 穿针引线法解高次不等式（拓展）
一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a故解不等式(x－a)(x－b)(x－c)>0(或<0)时，只需先在x轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x－a)(x－b)(x－c)>0.则拣取区间(a，b)∪(c，＋∞)，即为所求解集．
【即学即练】
1．不等式>0的解集为(　　)
A．{x|x<－2或x>3} B．{x|x<－2或1C．{x|－23} D．{x|－2【答案】C
【解析】由>0，得>0，
即(x－3)(x＋2)(x－1)>0，
利用穿针引线法，解得－23.
2．（23-24高一上·黑龙江大庆·开学考试）不等式的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【解析】画出函数的大致图象如下图所示，

由图可知不等式的解集是或．
故选：D.
题型01 求二次函数的最值
【典例】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数的最小值与最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数在上y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小，
所以当时，；当时，，故选B.
求二次函数的最值时，往往先将函数配方成顶点式，则函数的最值一般在区间的端点或顶点处取得，比较这些值的大小即可得最值.
【变式1】（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数的最小值为
【答案】-3
【解析】，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当x=1时，y取得最小值-3.
【变式2】（2025高一上·河北保定·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值5 B．最大值
C．最小值5 D．最小值
【答案】D
【解析】由题意可得:，解得
因为二次函数图象的对称轴在轴左侧，
，即，
二次函数有最小值为.
故选：D.
题型02 求二次函数的解析式
【典例】（17-18高三上·重庆铜梁·阶段练习）如果二次函数的图象的对称轴是，并且通过点，则（ ）
A．a=2，b=4 B．a=2，b=－4 C．a=－2，b=4 D．a=－2，b=－4
【答案】B
【分析】由题得且，解方程组即得解.
【解析】由题得，解之得a=2，b=－4.
故选：B
二次函数的解析式有三种形式，应根据题设条件的不同，选择不同的形式，求二次函数解析式的基本方法是待定系数法.
【变式1】二次函数的图象的顶点为，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设出二次函数解析式，代入点，求出解析式，判断出正确答案.
【解析】由题意得，设二次函数解析式为，
将代入解析式，可得，故二次函数的解析式为，
故可以为，其他均不合要求.
故选：B
【变式2】（23-24高一上·重庆·开学考试）已知二次函数的图象的顶点坐标为，与轴的交点为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意设，再将代入求出，即可得出答案.
【解析】因为二次函数的图象的顶点坐标为，
所以设，
令，代入得，解得：，
所以，即.
故选：D.
题型03 二次函数的图象分析与判断
【典12．（24-25高一上·贵州遵义·期中）二次函数的图象如下图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据二次函数的图象，可判断出结果.
【解析】对于A，由图可得对称轴为，所以，故A正确；
对于B，由图可得，当时，，所以，故B错误；
对于C，由图可得，当时，，所以，故C正确；
对于D，该图象开口向下，所以，因为，所以，
当时，，所以，故D正确；
故选：ACD.
解决二次函数的图象与系数的关系问题有以下两种常见方法:
(1)排除法,抓住函数的特殊性质或特殊点;
(2)讨论函数的图象，依据b对a进行讨论,画出a值不同时对应的函数图象，从而进行判断,显然(1)对解决选择题更为有效.
【变式1】（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于两点，其中．下列四个结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的图象可知，，，从而可判断A；根据二次函数的图象与x轴交于两点，，其中，可得，，从而可判断B,C；利用基本不等式并验证取等条件即可判断D.
【解析】由图可知，抛物线开口向上，且交于轴正半轴，则，，
因为对称轴在轴右侧，则，所以，
所以，故A错误；
当时，，故B正确；
当时，，则，
又，则，
所以，故C正确；
因为，则，当且仅当时等号成立，
但二次函数的图象与x轴交于两点，，其中，
则对称轴为，则，则等号无法取到，故，故D正确.
故选：BCD.
【变式2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，其中.下列三个结论正确的有（ ）

A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据抛物线的图象可知，，，从而可判断，；根据二次函数的图象与x轴交于两点，，其中，可得，，从而可判断，.
【解析】由图可知，抛物线开口向上，则，
对称轴在轴右侧，则，所以，
因为二次函数的图象与x轴交于两点，，其中，所以，
所以，故正确；
当时，，故正确；
当时，，则，
又，则，
所以，故错误；
因为，所以，又，，
所以，故错误；
故选：.
题型04 二次函数的图象变换
【典例】（2025高一上·河北保定·专题练习）将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数平移规则得出解析式即可.
【解析】将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，
则平移后所得抛物线表达式为.
故选：B.
研究二次函数图象的变换时，一般将二次函数化为的形式，然后比较平移前后两函数式中的h和k是怎样变化的，根据结论“h决定图象的左右平移（h正左移,h负右移）”对原式进行变形即可.
【变式】将一元二次函数向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的二次函数一般式为 .
【答案】
【分析】先将二次函数的解析式表示为顶点式，结合图象变换规律得出变换后的函数解析式，再化为一般形式即可.
【解析】将二次函数的解析式为，
将该函数的图象向右平移个单位得，
再向上平移个单位得，
题型05 解不含参数的一元二次不等式
【典例】解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2＜0；
(4)－x2＋3x－5＞0.
【解析】　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为 .
解一元二次不等式的步骤
(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；
(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；
(3)有根求根；
(4)根据图象写出不等式的解集．
【变式1】（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出一元二次不等式的解集，再按照补集的定义求解即可.
【解析】因为，解得，
所以.
因为，所以.
故选：C
【变式2】（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简集合，根据并集的定义求结论.
【解析】不等式，可化为，
所以，又，
所以，
故选：B.
【变式3】解下列不等式：
(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；
(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．
【解析】(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}．
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞2}．
(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.
题型06 解含有参数的一元二次不等式
【典例】（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式：
【分析】分，，三种情况求解即可.
【解析】当时，不等式为，解得，
当时，由不等式，可得，
所以，
若，则，解不等式得或，
若，则，不等式的解集为若，
若，解得时，解不等式得或，
当时，由不等式，可得，
所以，
解得，
综上所述：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
1．若一元二次不等式中的系数是含有字母的代数式，则需对参数进行分类讨论．一般从以下三个方面进行分类讨论：
(1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准；
(2)以判别式与零的大小关系作为分类标准；
(3)若判别式大于零，但两根的大小不能确定，则再以两根的大小关系作为分类标准．
2．含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小．
【变式1】（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可.
【解析】对于，当时，变为，
此时解得，
当时，解得，
当时，解得，
当时，此时解集为空集，
当时，解得，
综上讨论，并未在任何情况出现，
故不可能是原不等式解集，故B正确.
故选：B
【变式2】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式．
【分析】先讨论时不等式的解，在时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小可得不等式的解.
【解析】原不等式可化为，即，
①当时，原不等式化为，解得
②当时，原不等式化为，
原不等式解集，
原不等式解集为，
原不等式解集为，
③当时，原不等式化为．
原不等式解集为.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集；
当时，不等式解集为.
题型07 一元二次不等式的整数解问题
【典例】（24-25高一上·江西南昌·期中联考）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】原不等式可化为，即可得，即或，再分及，结合解集及正整数解的个数讨论即可得.
【解析】原不等式可化为，
即恰有2个整数解，
，解得或.
当时，不等式的解集为，
，个整数解为1，2，
，即，解得；
当时，不等式的解集为，
，个整数解为，，
，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
故选：B.
对于一元二次不等式的整数解问题，一般要对参数分类讨论，求出其解集后再考虑整数解的个数问题，然后列式求解.
题型08 利用三个“二次”间关系求参
【典例】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集是，则的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】首先根据不等式的解集求出的值，可求出的解集.
【解析】因为不等式的解集是，
所以是方程的两个根.
所以，解得.
所以不等式化简得.
所以.
故选：B.
利用三个“二次”间关系求参的具体策略
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化
【变式1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解.
【解析】因为关于的不等式的解集是，
所以且，
解得，所以的取值范围是.
故选：.
【变式2】（24-25高一上·天津滨海新·期中）不等式的解集是，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式与其对应的方程之间的联系可得，结合一元二次不等式的解法计算即可求解.
【解析】设是方程的两个根，
由题意知，，解得，
所以不等式可变为，
即，解得.
所以不等式的解集为.
故选：A
【变式3】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则的值为 ．
【答案】
【分析】由题得、为方程的根，将代入，即可求解.
【解析】由题可得得、为方程的根，
将代入，得，
即.
题型09 简单的一元二次方程的实根分布问题
【典例1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解.
【解析】记，则函数为开口向上的二次函数，
要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可，
即，解得，所以实数a的取值范围是.
故选：C.
【典例2】（23-24高二下·福建福州·阶段练习）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次方程判别式以及两根的符号，结合韦达定理列不等式求出a的取值范围,再根据充分、必要条件的定义可得答案
【解析】设两个不等负实数根分别为，
则需满足，
解得，即，
所以是方程有两个不相等负根的充要条件；
是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件；
是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件；
是的真子集，所以是方程有两个不相等负根的必要不充分条件，
故选：B.
（1）一元二次方程根的符号问题可从判别式、两根之和、两根之积等入手求解.
（2）一元二次方程根的范围问题可以从判别式、特殊点的函数值、抛物线的对称轴等入手求解.
【变式1】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由韦达定理求出两根之和与两根之积，根据判别式大于零，结合列不等式组求解即可.
【解析】因为关于的方程的两个不相等实数根满足，
所以，由根与系数的关系得：，
结合题意得：
即，
解得或，
即实数的取值范围是，
故选：C.
【变式2】（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【解析】设一元二次方程的两个正实根分别为、，
由题意可得，解得，
因为 ，
所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式3】（24-25高一上·天津河西·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可；
【解析】∵一元二次方程有一个正根和一个负根，
∴解得.
故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C.
故选：C.
题型10 一元二次不等式在实数集R上恒成立问题
【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据和，结合判别式即可求解.
【解析】当时，恒成立，则符合题意；
当时，由题意可得解得．
综上，实数的取值范围是．
故选:B．
【典例2】（24-25高一·上海·课堂例题）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【答案】B
【分析】依题意可得不等式对任意实数x均成立，对二次项系数分类讨论即可得实数a的取值范围.
【解析】将不等式整理可得，
即不等式对任意实数x均成立，
当，即时，不等式变为，满足题意；
当时，需满足，解得；
综上可得实数a的取值范围是.
故选：B
（1）不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为
（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
（3）一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 的条件为
【变式1】（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】结合开口方向以及判别式求得的取值范围.
【解析】当恒成立，
当时，且，
解得：，
当时,成立，
所以，
命题“，不等式恒成立”是假命题
所以的取值范围为：或．
故答案为：
【变式2】（25-26高一上·上海·单元测试）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】
【分析】分及进行讨论，结合二次函数的图象性质即可得解.
【解析】当时，有，故时符合要求；
当时，则有，即，即；
综上所述，.
题型11 一元二次不等式在某区间上恒成立问题
【典例】（23-24高二下·辽宁·期末）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方法1：利用绝对值不等式性质转化求解；
方法2：将不等式两边平行，利用不等式恒成立求解．
【解析】解析：方法1：不等式化为，
使成立，
则，故选：A.
方法2：将两边平方整理得，对恒成立，
则有，
解得，故选：A．
一元二次不等式在某区间上恒成立的两种求解策略：
(1)分离参数法，先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，在某区间上恒成立；在某区间上恒成立.
（2）当a>0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立的条件是
（3）当a<0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立的条件是
【变式1】（23-24高三上·重庆·阶段练习）对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】令，将问题化为，在上恒成立，讨论、，结合二次函数性质列不等式组求参数范围，即可得最小整数值.
【解析】由题设，令，则，
所以，在上恒成立，
当，则，不满足题设；
当，对称轴为，只需，可得.
综上，，故整数的最小值为2.
故选：B
【变式2】（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 .
【答案】4（答案不唯一）
【分析】将问题转化为对任意正实数x恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【解析】不等式对任意正实数x恒成立，
即对任意正实数x恒成立，
当时，不等式，即，不符合对任意正实数x恒成立，
当时，令，
若对任意正实数x恒成立，
则，无解，或，解得.
所以的一个值可以是.
故答案为：
【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】.
【分析】条件可转化为的根一个小于1，另一个大于2，结合二次方程区间根结论列不等式求范围.
【解析】因为当时，不等式恒成立，
所以的根一个小于1，另一个大于2，
如图，可得，解得，

所以的取值范围是.
题型12 一元二次不等式有解问题
【典例】（24-25高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可.
【解析】因为“，使得”为假命题，
所以“，使得”为真命题，
即在内有解，即，
因为
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
一元二次不等式有解的问题，往往利用分离参数法，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，有解；有解.
【变式1】（2025高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据命题为真结合二次函数值域应用判别式计算即可.
【解析】由题意可知，不等式有解，
实数m的取值范围为．
【变式2】（22-23高三上·北京·阶段练习）若存在，有成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】参数分离可得，设，将存在问题转化为，求出函数的最大值，即可得到实数a的取值范围.
【解析】将原不等式参数分离可得，设，
已知存在，有成立，则，
令，则，，
由对勾函数知在
上单调递减，在上单调递增，
，，
所以，即，
【变式3】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数．
(1)若，解关于的不等式；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．
【分析】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可.
（2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可.
【解析】（1）易得
当时，，所以解集为；
当时，，所以解集为；
当时，，所以解集为．
（2）若在上有解，
则在上有解，
故，即在上有解，
由，得，
进而知，令，则，
设，
当且仅当时取等号，所以．
题型13 解分式不等式
【例4】（2022春 临夏县校级期中）求不等式的解集：
（1）﹣x2+4x+5＜0；
（2）2x2﹣5x+2≤0；
（3）；
（4）．
【分析】（1）不等式化为x2﹣4x﹣5＞0，求出解集即可；
（2）不等式化为（2x﹣1）（x﹣2）≤0，再求解集；
（3）不等式化为，再求解集；
（4）不等式化为（x﹣1）（x+1）＜0，即可求出解集．
【解析】（1）由﹣x2+4x+5＜0，得x2﹣4x﹣5＞0，
解得x＜﹣1或x＞5，
所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}；
（2）由2x2﹣5x+2≤0，得（2x﹣1）（x﹣2）≤0，
解得，
所以不等式的解集为；
（3）由，可得，
解得x≤﹣1或x＞3，
所以不等式的解集为{x|x≤﹣1或x＞3}；
（4）由，可得，
等价于（x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜1，
所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
【变式1】（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先将集合中的不等式的解集求出来，然后求.
【解析】对于集合，，解得.
对于集合，，解得.
所以集合，集合.
所以.
故选：B.
【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】由题意知，1为方程的两根，所以解得则不等式可化为，即，解得．
【变式3】（2025·上海黄浦·三模）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】应用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集.
【解析】由题设，而，
所以，则，即解集为.
题型14 解高次不等式
【典例】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 .
【答案】
【分析】利用不等式的等价变形可得，再利用数轴标根法可求得不等式的解集.
【解析】由，
可得，
所以
方程的根为，
由数轴标根法可得.
高次不等式一般用穿针引线法求解.
【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】将分式不等式等价转化为高次不等式，求解即可，注意分母不为0.
【解析】由题意，且，
所以，利用穿针引线法，在数轴上标根如下图：解得：不等式的解集为.
【变式2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】由高次不等式奇穿偶回的性质即可求解.
【解析】因为，
所以，
即，
由高次不等式的性质可知：
题型15 一元二次不等式的实际应用
【典例】（24-25高一上·江苏连云港·期末）近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）.
(1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式；
(2)当为何值时，最小？求出的最小值；
(3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围.
【分析】（1）代入即可求出，从而得到其函数关系，再根据题意得到实际意义；
（2）变形得，再利用基本不等式即可；
（3）由题意得到不等式，解出即可.
【解析】（1）表示太阳能电池板的面积为0时，该企业每年消耗的电费．
即未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费．
当时，该企业每年消耗的电费36万元，代入可得：
，则，
.
（2），
，
当且仅当，即等号成立，的最小值为.
（3）由题可知．
即，解得，
即的取值范围为.
一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
【变式1】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为 时，总运费最低．
【答案】
【分析】根据已知列出总运费，再应用判别式法计算求解即可.
【解析】设当地到地的距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为．
由题意得，则总运费，
要使总费用最低，只需最小即可．
设，则，
得，则，得．
当时，总费用最低，则，得，
所以当地到地的距离为时，总运费最低．
故答案为：.
【变式2】（24-25高一上·四川宜宾·期末）为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）；
(3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）；
②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．
试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．
【分析】（1）利用总盈利减去总的维修费与购买生产设备的费用即可得答案；
（2）结合（1），解一元二次不等式即可求得该设备从第几年开始盈利；
（3）利用基本不等式以及二次函数分别求出两种方案盈利的最大值，并求出盈利最大时需要的年数，比较后可得结论．
【解析】（1）
（2）令，得，
，故，
故从第3年该设备开始盈利；
（3）按照方案①计算，
当且仅当时，即时等号成立．
到2030年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元
按照方案②计算，当时，．
故到2033年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元．
因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理．
单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别解出集合中的绝对值不等式和分式不等式，再利用交集的运算可得结果.
【解析】易求得；，.
故选：A.
2．（23-24高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分类讨论法计算可得.
【解析】不等式，等价于或，
解得或，
即不等式的解集为.
故选：A
3．（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将代入即可.
【解析】设图象是以为顶点的二次函数（）．
因为图象过原点，所以，，所以．
故选：A
4．（20-21高一上·陕西渭南·期末）将二次函数的图象先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后的二次函数图象的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象平移变换原则可得平移后的二次函数解析式，进而得到顶点坐标.
【解析】将的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度可得：，
则平移后的二次函数图象的顶点为.
故选：A.
5．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可.
【解析】由题可知的根为1和2，代入方程可得，，
不等式等价于，则解集为，
故选：D.
6．（23-24高二上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ）
A．9 B．6 C． D．5
【答案】D
【分析】把问题转化为在区间上有解，利用基本不等式求解.
【解析】关于的不等式在区间上有解，
等价于在区间上有解，
即在区间上有解，
又，当且仅当时，取最小值6．
故，可得，则实数的最小值为5．
故选：D．
7．（山西省长治市2024-2025学年高二下学期县域联盟测评数学试题），不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解.
【解析】因为，不等式恒成立，
当时，不恒成立，不合题意；
当时，满足且，
即，所以，所以，
所以，，
当且仅当即，取的最小值为.
故选：B.
8．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将不等式化为，讨论和两种情况，求出不等式的解集，从而求得的取值范围．
【解析】原不等式可化为，
若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数；
所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，，
令，解得,所以的取值范围是．
故选：B．
二、多选题
9．（25-26高一上·全国·课后作业）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（ ）
A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速
【答案】BC
【解析】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），这表明乙车的车速超过，超过规定限速，即乙车超速.
10．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
【答案】AD
【分析】是方程的两根，且，A正确；由韦达定理得到，，从而解不等式得到B错误，D正确，，C错误.
【解析】由题意得是方程的两根，且，A正确；
故，即，，
所以，B错误；
，C错误；
，
解得，D正确.
故选：AD
11．（24-25高一上·福建福州·期中）若关于x的不等式的解集为，则函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由不等式的解集确定且，求出，，从而判断出大致图象.
【解析】不等式的解集为，
故且，解得：，
即，解得：，
故，
开口向下，且对称轴在轴左侧，与轴交点为1，
显然BC选项符合要求.
故选：BC
三、填空题
12．（24-25高一上·上海·期中）若x满足，则x的取值范围为 ．
【答案】或
【解析】由，得或，
解，得，解，得，
所以x的取值范围为或.
14．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .

【答案】
【分析】根据题意列式，进而求解即可.
【解析】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为，
由题意知，，，
所以，
根据题意得，
整理得，解得（舍去）或，
所以．
当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一．
四、解答题
15．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数
(1)请在直角坐标系中画出函数的图像；
(2)求方程的解集；
(3)当x取何值，y分别大于0，小于0？
【分析】（1）分析出二次函数的开口，顶点坐标，与轴的交点坐标等，画出图象；
（2）由（1）可得方程的解集；
（3）数形结合得到和的解集.
【解析】（1），开口向下，顶点坐标为，
令，解得或5，
画出图象如下：
（2）由图象可知的解集为；
（3）由图象可知，当时，，
当时，.
16．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知条件p：，条件q：．
(1)若，求实数的值；
(2)若q是的充分条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据集合的交集，判断出区间端点的值和大小，得到的值，即本题结论；
（2）根据充要条件关系得到的取值范围的关系，判断出区间端点值的大小，得到取值范围．
【解析】（1）由已知得：，
因为，
，
，
（2）是的充分条件，
，而或，
或，
或
实数的取值范围为或．
17．（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知关于的不等式的解集为，其中．
(1)若，求的值；
(2)求不等式的解集.
【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，结合韦达定理可得结果.
（2）讨论的范围，解一元二次不等式可得结果.
【解析】（1）当时，关于的方程的两根为，
由韦达定理可得，解得.
（2）原不等式可化为.
当时，原不等式为，解得，；
当时，方程的根为，，
当时，不等式可化为，解得或，
；
当，即时，原不等式为，；
当，即时，不等式可化为，解得，；
当，即时，不等式可化为，解得，.
综上所述，当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，.
18．（2025江西上饶沙溪中学高三上月考，中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.
18.【解析】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有
，
当且仅当，即时取等号.
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.
（2）设月利润为万元，则有，
由题知，整理得，解得.
所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.
19．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）“必智、必勇、必忠、必诚”是我们学校的校训，“智勇”出自《列子·仲尼》孔子曰：“三王善任智勇者，圣则丘弗知.”忠诚出自《荀子·尧问》荀子曰：“忠诚盛于内，贲于外，形于四海.”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“智勇点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“忠诚点”．把函数图象至少经过一个“智勇点”和一个“忠诚点”的函数称为“智勇忠诚函数”．
(1)一次函数是一个“智勇忠诚函数”，分别求出该函数图象上的“智勇点”和“忠诚点”；
(2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“智勇点”，并且该函数图象还经过一个“忠诚点”，求该二次函数的解析式；
(3)已知二次函数（c，d为常数，）图象的顶点为M，与y轴交于点N，经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”，当时，函数有最小值，求m的值．
【分析】（1）根据函数新定义求解即可；
（2）由题设易得，，，进而求得的值，即可求解；
（3）由题设易得，，进而得到二次函数解析式，再结合对称轴分类讨论求解即可.
【解析】（1）∵一次函数是一个“智勇忠诚函数”，
∴根据定义得：得，由得，
∴一次函数图象上的“智勇点”为：，“忠诚点”为：.
（2）∵二次函数图象可以由二次函数平移得到，
∴，
∵二次函数的顶点就是一个“智勇点”，∴，
∴二次函数解析可变为，
∵二次函数图象经过一个“忠诚点”，
∴，∴，
∴P点坐标为，
∴将代入，
得，∴，
∴二次函数解析为或.
（3）∵经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”，
∴直线l上的点横纵坐标相等，
∵二次函数（c，d为常数，c≠0）的顶点为M，与y轴的交点为N，
∴，N点坐标为原点，M，N为“智勇点”，
∴二次函数解析式可变为，
二次函数的图象经过“智勇点”M，N，
∴将代入，
∴，∴（舍去），
∴二次函数解析式可变为，对称轴为直线，
当时，时，y取最小值，
∴，解得：，
∵，∴；
当时，在时，y取最小值，
∴，解得：，
∵，∴，∴.
综上所述，或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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