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专题05 权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链应用的四大题型
题型一：应用权方和不等式求最值
题型二：应用柯西不等式求最值
题型三：应用柯西不等式证明不等式
题型四：基本不等式链的应用
【知识点综述】
1．柯西不等式（Cauchy不等式）（拓展）
（1）二元柯西不等式：对于任意的，都有．
（2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）．
2．权方和不等式
（1）二维形式的权方和不等式
对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．
（2）一般形式的权方和不等式
若，，，则，当时等号成立．
3.基本不等式链
, 当且仅当 时, 等号成立.
其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.
题型一：应用权方和不等式求最值
权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立. 在代数式符合权方不等式的左边或右边的形式时，可以用权方和不等式快速求得相应代数式的最值.
1.函数的最小值为（ ）
A．39 B．52 C．49 D．36
2.(2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
3．的最大值为
4.已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 .
5.已知正数，，满足，则的最小值为
6．已知，求的最小值为
7．已知，且满足，则的最小值为 .
题型二：应用柯西不等式求最值
高中阶段主要应用二元柯西不等式解决相应的问题，
二元柯西不等式如下：对于任意的，都有，
对于上述形式左边或右边的代数式为定值时，往往能利用基本不等式求得另一边代数式的最值，但利用柯西不等式求解，可以直接一步到位，快速求得最值.
而不少于三元的柯西不等式的应用往往以新定义题的形式出现.
8．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
9．（2025·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10.(多选) （24-25高一上·江西景德镇·期中）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：
①对于所有实数和，有.
②等式条件：当且仅当时，等号成立.
例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11.（多选）（24-25高一上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025江苏南通高一上联考）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ．
13．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）存在正数使得不等式成立，则的最大值是 .
14．（2025江西南昌数校联考）的最小值为 ．
15．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .
16．（2024高二下·北京·竞赛）对于 ，若非零实数 满足 ，且使 最大，则 的最小值为 .
17．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知正实数满足:.
(1)求的最小值;
(2)求的最小值;
(3)求的最小值.
18．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.
(1)若，求的最小值；
(2)求的最大值；
(3)若，，不等式恒成立，求m的取值范围.
题型三：应用柯西不等式证明不等式
应用柯西不等式证明不等式时，一是要注意各数均为正数，二是要注意等号是否取得到.
19.(2024·陕西西安·模拟预测）若a，b，c为正数且，求证：.
20．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）若正实数满足 ， 证明: .
21．（2024·四川成都·模拟预测）已知，且．
(1)求的最小值m；
(2)证明：．
题型四：应用基本不等式链求最值
由基本不等式链可知，两个正数的和、平方和、积、倒数和中只要有一个为定值，其余几个均有最值，而速求得最值的方法便是基本不等式链：
22．（多选）（2022·全国·新高考Ⅱ卷）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
23.(多选)（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知且，则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是
24．（多选）（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
25.（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
26.（多选）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
27．设,则的最大值为 ．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链应用的四大题型
题型一：应用权方和不等式求最值
题型二：应用柯西不等式求最值
题型三：应用柯西不等式证明不等式
题型四：基本不等式链的应用
【知识点综述】
1．柯西不等式（Cauchy不等式）（拓展）
（1）二元柯西不等式：对于任意的，都有．
（2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）．
2．权方和不等式
（1）二维形式的权方和不等式
对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．
（2）一般形式的权方和不等式
若，，，则，当时等号成立．
3.基本不等式链
, 当且仅当 时, 等号成立.
其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.
题型一：应用权方和不等式求最值
权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立. 在代数式符合权方不等式的左边或右边的形式时，可以用权方和不等式快速求得相应代数式的最值.
1.函数的最小值为（ ）
A．39 B．52 C．49 D．36
【答案】B
【解析】因为，
因为，所以，，
根据权方和不等式有：，
当且仅当时，即时等号成立.
所以函数的最小值为.
故选：B
2.(2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】.
【分析】利用权方和不等式求解即可
【解析】，所以实数a的取值范围是.
3．的最大值为
【答案】
【解析】
当且仅当，即或时取等号，故答案为：.
4.已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 .
【答案】2
【解析】由权方和不等式，可知
==，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为2.
5.已知正数，，满足，则的最小值为
【答案】
【分析】根据权方和不等式可得解.
【解析】因为正数，满足，
所以，
当且仅当即时取等号.
6．已知，求的最小值为
【答案】
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【解析】
当且仅当时取等号
7．已知，且满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由权方不等式，结合已知等式进行求解即可.
【解析】由权方和不等式，可知，
，当且仅当时取等号，
即当时取等号，
所以的最小值为.
题型二：应用柯西不等式求最值
高中阶段主要应用二元柯西不等式解决相应的问题，
二元柯西不等式如下：对于任意的，都有，
对于上述形式左边或右边的代数式为定值时，往往能利用基本不等式求得另一边代数式的最值，但利用柯西不等式求解，可以直接一步到位，快速求得最值.
而不少于三元的柯西不等式的应用往往以新定义题的形式出现.
8．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【解析】因为，
根据题目中柯西不等式的三元形式可知，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值是，
故选：A
9．（2025·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】，由，解得，
当时，，当，，
当，则，
此时且，
由柯西不等式可得，
当且仅当，即时取等号，此时，即，
所以函数的最大值为2.
故选：C.
10.(多选) （24-25高一上·江西景德镇·期中）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：
①对于所有实数和，有.
②等式条件：当且仅当时，等号成立.
例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】根据柯西不等式，等号成立条件为，对每个选项进行分析计算，判断其正误.
【解析】对于A选项，根据柯西不等式.
因为，所以，即.
所以，则，当且仅当时取等号，
A选项正确.
对于B选项，令，，则.
根据柯西不等式.
即.当且仅当取等号，
所以，B选项错误.
对于C选项，根据柯西不等式.
因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误.
对于D选项，令，，则.
根据柯西不等式.
因为，所以.当且仅当取等号.
所以，D选项正确.
故选：AD.
11.（多选）（24-25高一上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】将不等式变为，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，进而构造不等式求得的取值范围，从而得到结果.
【解析】由得：，
（当且仅当，即时取等号），
（当且仅当时取等号），
即当时，，
，解得：，可能的取值为.
故选：BCD.
12．（2025江苏南通高一上联考）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用不等式构造定值求解即可.
【解析】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，，
∴
，
则．当且仅当时取等号．
解法二：（均值不等式），，，
所以．
当且仅当时取等号．
解法三：（权方和不等式）．
当且仅当时取等号．
13．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）存在正数使得不等式成立，则的最大值是 .
【答案】3
【分析】运用柯西不等式计算即可.
【解析】解:由柯西不等式可知
由能成立.
故答案为：3.
14．（2025高三·全国·专题练习）的最小值为 ．
【答案】/
【解析】
当且仅当即时取等号，
故的最小值为．
15．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据分离常量法可得，结合权方和不等式计算可得，即，即可求解.
【解析】，
，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以，得，
所以或（舍去），
即的最小值为.
16．（2024高二下·北京·竞赛）对于 ，若非零实数 满足 ，且使 最大，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据等式先配方出平方和，再利用柯西不等式，凑出，以等号成立的条件为依据，把转化为一个变量的函数，求最值即可.
【解析】因为，所以，
由柯西不等式得，，
当最大时，有，所以，，
所以，
当，即时，上式取得最小值.
故答案为：.
【关键点睛】本题考查柯西不等式，关键在于用柯西不等式凑出，当反推柯西不等式时，需要结合不等式两边已有的式子，对相同未知数的系数进行分析配凑.
17．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知正实数满足:.
(1)求的最小值;
(2)求的最小值;
(3)求的最小值.
【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求得；
（2）利用“1”的妙用，将所求式整理后运用基本不等式求解即可；
（3）利用柯西不等式求得的最小值，再利用常值代换法求得的最小值，且两式都在时取等，故得所求式的最小值.
【解析】（1），
（1），
当且仅当，即时，的最小值为25.
（2）
，当且仅当，
即时，的最小值是.
（3）由柯西不等式（下面提供证明）可知:，
即当且仅当时，即时，等号成立.
又
当且仅当时，即时，等号成立.
故，
即时，的最小值是.
18．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.
(1)若，求的最小值；
(2)求的最大值；
(3)若，，不等式恒成立，求m的取值范围.
【分析】（1）构造应用柯西不等式计算即可；
（2）构造应用柯西不等式计算即可；
（3）先化简得出，再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算即可求解；
【解析】（1）因为柯西不等式可得，
又因为，
所以，即得.
当且仅当取最小值3；
（2）因为柯西不等式可得，
又因为，
所以，
即得，化简得，
当且仅当取最大值9；
（3）因为，
所以，所以，
所以，
因为柯西不等式可得，
又因为，，所以，令，
所以，
即得，当且仅当取最小值24；
所以m的取值范围是.
题型三：应用柯西不等式证明不等式
应用柯西不等式证明不等式时，一是要注意各数均为正数，二是要注意等号是否取得到.
19.(2024·陕西西安·模拟预测）若a，b，c为正数且，求证：.
【证明】由柯西不等式可得，
当且仅当时等号成立，
故.
20．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）若正实数满足 ， 证明: .
【证明】因为，，
而，
因此，当且仅当，即取等号，
所以.
21．（2024·四川成都·模拟预测）已知，且．
(1)求的最小值m；
(2)证明：．
【分析】（1）将等式变形为，再利用基本不等式，
（2）对已知条件两边同除可得，再利用柯西不等式求证.
【解析】（1）由均值不等式可知，即，（当且仅当时，“=”成立）.
整理得，故的最小值为4．
（2）由（1）知，即证，由可得，
即有，
由柯西不等式可知，
取等条件为，即．故，
即：得证.
题型四：应用基本不等式链求最值
由基本不等式链可知，两个正数的和、平方和、积、倒数和中只要有一个为定值，其余几个均有最值，而速求得最值的方法便是基本不等式链：
22．（多选）（2022·全国·新高考Ⅱ卷）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由基本不等式链: ,
可得（R），
对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确
因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；故选AC.
23.(多选)（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知且，则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是
【答案】ABD
【解析】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确；
对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确；
对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误；
对于D项，令所以
所以，
因为，所以，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，故D项正确．
故选：ABD．
24．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】A选项，正数满足，故，
解得，当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，，
当且仅当，即，即时，等号成立，B正确；
C选项，由基本不等式链得，
所以 ，C错误；
D选项，因为，所以，
故，当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：ABD
25.（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式及其变形公式和“1”的灵活运用即可求解.
【解析】解：对A选项：，，，
，即（当且仅当时等号成立），故A选项正确；
对B选项：，而成立，
成立，故B选项正确；
对C选项：，
（当且仅当时等号成立），故C选项正确；
对D选项：，（当且仅当时等号成立），
，故D选项错误.
故选：ABC.
26.（多选）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；对于C，利用，求出，结合的范围，利用二次函数的性质即可求得.
【解析】对于A，，即，当且仅当时等号成立，所以A正确；
对于B， ，，
又，则，当且仅当时等号成立，所以B错误；
对于C，，，所以，
则，并且时等号成立.，所以C正确；
对于D，，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立， 所以D正确.
故选：ACD.
27．设,则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由不等式链得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），
从而有（当且仅当,即时，“=”成立）21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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