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专题06 拓展:分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的七大题型
题型一：解分式不等式 2
题型二：高次不等式的解法 4
题型三：公式法解绝对值不等式 6
题型四：平方法解绝对值不等式 7
题型五：去绝对值法解绝对值不等式 8
题型六：绝对值性质法解绝对值不等式 9
题型七：零点分段讨论法 10
【知识点综述】
分式不等式的解法
解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式.
设A、B均为含x的多项式
（1）
（2）
（3）
（4）
【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母.
二、高次不等式的解法
如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：
1.标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；
2.分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正；
3.求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）
4.穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）
5.得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；
若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间
三、绝对值不等式的解法
1.绝对值的代数意义
正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
2.绝对值的几何意义
一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
3.两个数的差的绝对值的几何意义
表示在数轴上，数和数之间的距离．
4.绝对值不等式的解集
（1）的解集是，如图1．
（2）的解集是，如图2．
（3）．
（4）或
可简记为：大于找两边，小于找中间.
5.绝对值不等式的性质
(1);
(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
题型一：解分式不等式
分式不等式往往化除为乘，转化为整式不等式求其解集,在转化时要注意分母不能为0这一隐含条件.
1．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原不等式可化为，解得．故选：D．
2．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，解得：或，
∴不等式的解集为，故选：D.
3.不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以且，
所以且，所以且，
所以不等式的解集为，故选：C
4.不等式的解是__________．
【答案】
【解析】不等式等价于或解得
5.解下列分式不等式：
(1)≤1；
(2)<0；
(3)
【解析】（1）∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4.
∴原不等式的解集为 {或}
（2）由<0得>0，此不等式等价于 (x－1)>0，
解得x<－或x>1，
∴原不等式的解集为或}.
(3)通分整理，原不等式化为：，
它等价于，解得或且，
∴原不等式的解集为或}.
6. 解关于的不等式.
【解析】原不等式可化为）
(1)当，即或时，不等式的解集为；
(2)当，即或时，不等式的解集为；
(3)当，即时，不等式的解集为.
题型二：高次不等式的解法
(1)对于高次不等式一般用穿针引线法求解；
(2)对于高次不等式与分式不等式综合的问题，往往先将分式不等式转化为整式不等式，再利用穿针引线法求解.
7.不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】不等式，化为：，
由穿根法可知：不等式的解集为：或.故选：A.
8.不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】不等式，化为：，
由穿根法可知：不等式的解集为：或.故选：A.
9.解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0.
【解析】根据不等式标根
所以原不等式的解为.
故答案为：.
10.解下列分式不等式：
（1）;（2）; （3）; （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1），所以，
所以，
即，解得，
故原不等式的解集为；
（2），所以
等价于，
解得或或，
故原不等式的解集为
（3），所以，
等价于，
解得或，
故原不等式的解集为；
（4），所以，即，
即,因为恒成立，
所以原不等式等价于，
即，解得或，
故原不等式的解集为
题型三：公式法解绝对值不等式
若一个绝对值不等式一边为含绝对值的代数式，另一边为正数，则一般可以类比以下绝对值不等式套用公式求解：
(1)．
(2)或.
上述规律可简记为：大于找两边，小于找中间.
11.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不等式.故选：D.
12.不等式的解集是___________
【答案】
【解析】不等式可化为，
∴，或；
解之得：或，
即不等式的解集是.
13.解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
【解析】（1）由题意，，解得，
所以原不等式的解集为．
（2）由题意，或，解得或，
所以原不等式的解集为．
（3）由题意，，解得，
所以原不等式的解集为．
14．已知，设集合，．
(1)求集合A和集合B；
(2)求，求实数m的取值范围．
【解析】(1)，，
或，
或，
或.
(2),,
或，且，
或.
题型四：平方法解绝对值不等式
对于绝对值不等式（其中A,B为含未知数的代数式），一般利用平方法求解，
即转化为求解.
15.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】两边平方后可求不等式的解.
【解析】因为，故，故，故，
故选：D.
16.不等式的解集为 ；
【答案】
【分析】利用同时平方法求解绝对值不等式即可.
【解析】左右两侧同时平方得，
所以，故，
化简得，解得.
17.解下列不等式：
(1);
(2).
【解析】（1）两边平方得，
解得，故解集为.
（2）由不等式，可得，
即，即，
解得，即原不等式的解集为.
题型五：去绝对值法解绝对值不等式
对于形如|A|>B或|A|此外，这类不等式其解集具有规律性，最终也可总结成如下公式，利用公式法简解:
.
18．解关于x的不等式：；
【解析】解法一：由题意，当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式可化为，解得，
所以不等式的解集为.
解法二：原不等式等价于，
解得，
所以原不等式的解集为.
19.解不等式：
(1)；
(2).
【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求解即可；
（2）法一：分和两种情况求解即可.（2）利用绝对值不等式的解法求解即可.
【解析】（1）原不等式等价于，
由可得或，解的或；
由可得，解的.
综上所述，原不等式的解为，或.
（2）解法一：当，即时，不等式可化为，
解得，∴不存在满足条件的.
当，即时，不等式可化为，解的，∴，
综上所述，原不等式的解为，
解法二：原不等式可化为或，
即或，即
∴原不等式的解为.
题型六：绝对值性质法解绝对值不等式
对于不少于2个绝对值的不等式，有时可利用以下性质能转化为不含绝对值的不等式：
，
从而去掉了绝对值，转化为常见的不等式求解.
20．不等式|x－5|＋|x＋3|≥1的解集是(　　)
A.[－5，7] 　 B.[－4，6]
C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) 　 D.(－∞，＋∞)
【答案】D
【解析】|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8>1 原不等式的解集为R，故选D.
21．（2025·上海·三模）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值三角不等式及题干可得，等式成立需要同号，列不等式求解即可得解.
【解析】因为，又，
所以，则.
22．（24-25高三上·上海·期中）若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据绝对值三角不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围.
【解析】，
当且仅当时等号成立，
所以，解得
23．（24-25高三上·上海·阶段练习）存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，将问题转化为，代入计算，即可得到结果.
【解析】由题意可得
又，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，
即实数的取值范围为.
题型七：零点分段讨论法
对于不少于两个绝对值的不等式，可先求出使各绝对值等于0的x的值（简称为零点），再针对这些零点将x的范围分割成若干部分，通过分类讨论去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解.
24．不等式的解集为_________.
【答案】
【解析】，化为：
或或
解得：或或.
不等式的解集为：
25．不等式的解集为______．
【解析】当时，，解得，
当时，，解得
当时，，解得，
综合得不等式的解集为
26．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数．
(1)求该函数的最小值；
(2)解不等式．
【分析】（1）根据绝对值三角不等式求函数的最小值；
（2）分，和三种情况求解不等式.
【解析】（1），
当且仅当取等号，所以．
（2）当时，，解得，所以．
当时，，无解．
当时，，解得，所以．
综上，或．
不等式解集为
27．（24-25高一上·上海·期中）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若的解集为R，求a的取值范围．
【分析】（1）分类讨论去绝对值，列式求解即可；
（2）分析可知，由绝对值不等式可得，进而可得结果.
【解析】（1）原不等式可化为或或，解得，
所以不等式的解集为．
（2）由已知可得，
因为，当且仅当时，等号成立，
则，即，即或，解得或
所以a的取值范围.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 拓展:分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的七大题型
题型一：解分式不等式 2
题型二：高次不等式的解法 4
题型三：公式法解绝对值不等式 5
题型四：平方法解绝对值不等式 6
题型五：去绝对值法解绝对值不等式 7
题型六：绝对值性质法解绝对值不等式 8
题型七：零点分段讨论法 8
【知识点综述】
分式不等式的解法
解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式.
设A、B均为含x的多项式
（1）
（2）
（3）
（4）
【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母.
二、高次不等式的解法
如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：
1.标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；
2.分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正；
3.求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）
4.穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）
5.得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；
若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间
三、绝对值不等式的解法
1.绝对值的代数意义
正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
2.绝对值的几何意义
一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
3.两个数的差的绝对值的几何意义
表示在数轴上，数和数之间的距离．
4.绝对值不等式的解集
（1）的解集是，如图1．
（2）的解集是，如图2．
（3）．
（4）或
可简记为：大于找两边，小于找中间.
5.绝对值不等式的性质
(1);
(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
题型一：解分式不等式
分式不等式往往化除为乘，转化为整式不等式求其解集,在转化时要注意分母不能为0这一隐含条件.
1．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3.不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4.不等式的解是__________．
5.解下列分式不等式：
(1)≤1；
(2)<0；
(3)
6. 解关于的不等式.
题型二：高次不等式的解法
(1)对于高次不等式一般用穿针引线法求解；
(2)对于高次不等式与分式不等式综合的问题，往往先将分式不等式转化为整式不等式，再利用穿针引线法求解.
7.不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8.不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
9.解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0.
10.解下列分式不等式：
（1）;（2）; （3）; （4）．
题型三：公式法解绝对值不等式
若一个绝对值不等式一边为含绝对值的代数式，另一边为正数，则一般可以类比以下绝对值不等式套用公式求解：
(1)．
(2)或.
上述规律可简记为：大于找两边，小于找中间.
11.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12.不等式的解集是___________
13.解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
14．已知，设集合，．
(1)求集合A和集合B；
(2)求，求实数m的取值范围．
题型四：平方法解绝对值不等式
对于绝对值不等式（其中A,B为含未知数的代数式），一般利用平方法求解，
即转化为求解.
15.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
16.不等式的解集为 ；
17.解下列不等式：
(1);
(2).
题型五：去绝对值法解绝对值不等式
对于形如|A|>B或|A|此外，这类不等式其解集具有规律性，最终也可总结成如下公式，利用公式法简解:
.
18．解关于x的不等式：；
19.解不等式：
(1)；
(2).
题型六：绝对值性质法解绝对值不等式
对于不少于2个绝对值的不等式，有时可利用以下性质能转化为不含绝对值的不等式：
，
从而去掉了绝对值，转化为常见的不等式求解.
20．不等式|x－5|＋|x＋3|≥1的解集是(　　)
A.[－5，7] 　 B.[－4，6]
C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) 　 D.(－∞，＋∞)
21．（2025·上海·三模）不等式的解集为 ．
22．（24-25高三上·上海·期中）若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为 .
23．（24-25高三上·上海·阶段练习）存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 .
题型七：零点分段讨论法
对于不少于两个绝对值的不等式，可先求出使各绝对值等于0的x的值（简称为零点），再针对这些零点将x的范围分割成若干部分，通过分类讨论去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解.
24．不等式的解集为_________.
25．不等式的解集为______．
26．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数．
(1)求该函数的最小值；
(2)解不等式．
27．（24-25高一上·上海·期中）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若的解集为R，求a的取值范围．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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