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第一章 预备知识（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（2025·山东烟台·三模）已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合，再利用并集的定义运算.
【解析】因，，
则.
故选：D
2．（24-25高二下·广东汕头·阶段练习）已知命题，则命题的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解.
【解析】命题的否定为，
故选：C
3．（24-25高一下·广东广州·期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由集合的交集和补集运算可得结果.
【解析】由，可得或，则.
故选：B．
4．（2025福建福州高一上期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案.
【解析】由或，则，
由是的充分不必要条件，则，且
可得，解得.
故选：C.
5.(2025·河南周口·二模）已知，，且，则当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】利用基本不等式“1”的巧用求最小值，即可得的值.
【解析】已知，，且，
所以，
当且仅当时，即时，取得最小值，
则.
故选：A.
6．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（）
A．或 B．
C． D．或
【答案】B
【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围.
【解析】设关于x的方程的两个根分别为,
则由根与系数的关系，知
所以由题意知，
即，
解得.
故选：B
7．（24-25高一上·山东临沂·期中）如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
【答案】C
【分析】根据题意，，利用基本不等式求的最小值.
【解析】由题可知，，，
则，即，所以，当且仅当时，等号成立，
又“赵爽弦图”的面积为，
所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为.
故选：C
8．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，解得：，不满足条件；
故，关于的不等式可得，
所以，即，
方程的两根为，
当时，不等式可化为，，
解集为：，不满足条件；
当时，不等式可化为，
当时，则，即，不等式的解集为：，
要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件；
当时，则，即，不等式的解集为空集，
当时，则，即，不等式的解集为，
要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：，
故实数的取值范围是：.
故选：B.
二 选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9．（24-25高二下·山西·阶段练习）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由作差法和基本不等式即可逐一判断各个选项.
【解析】对于A，若，则，故A错误；
对于B，由题意，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，又因为，所以，故C正确；
对于D，，，所以，故D错误.
故选：BC.
10．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”成立的充要条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断.
【解析】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于C选项，当时，，所以由不能推出；
反之当时，若，，则不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D选项，当，时，，所以由不能推出；
反之，当时，且，所以由能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
故选：ABD.
11．（2025·湖南邵阳·模拟预测）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作.以下说法正确的是（ ）
A．若数集中有2025个元素，则一定存在
B．若数集中没有最大值，则不存在
C．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为
D．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为
【答案】AC
【分析】根据集合的上确界的概念判断A，结合反比例函数的性质利用集合的上确界的概念判断B，结合不等式的性质利用集合的上确界的概念判断C，举反例判断D.
【解析】对于，若数集中有2025个元素，则数集中的元素一定有最大值，
数集一定有上确界，故A正确；
对于B，若，当时，，
则数集中的元素没有最大值，
，都有，，
，即数集中有上确界，故B错误；
对于C，若数集A，B有上确界，设，，
由上确界的定义可知，对于，，都有，，，
即，故正确；
对于D，若，，则数集A，B有上确界，且，，
此时，
则，故D错误.
故选：AC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．（2025·江西·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为 ．
【答案】7
【分析】由交集的运算可得，即可得到结果.
【解析】对于集合，当是，，当时，，
当时，，所以，
则其真子集的个数为.
13．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】当时，原不等式为，符合题意；当时，要使关于的不等式的解集为，只需解得．综上，．
14．（2025·广西南宁·模拟预测）由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为 .
【答案】9
【解析】设有个模型合格，道题为难题，则，
依题意有，
所以
所以，
同理
，
要使两式有整数解，则，所以．
当时，若3个模型生答题情况如下表：
题目1 题目2 题目3
1 √ √ ×
2 √ × √
3 √ × ×
则有2个模型合格，2个难题，符合题意，所以的最小值为9．
三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）（24-25高一上·新疆昌吉·期末）设全集，集合，集合
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【解析】（1）当时，，或，
∴，或.（5分）
（2）∵“”是“”的充分不必要条件，
∴ ，（7分）
∴（等号不同时成立），解得，
∴实数a的取值范围为.（13分）
16．（15分）（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数.
(1)当时，解关于的不等式；
(2)若不等式对于任意恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）由，则，（2分）
当，即时，解集为；（4分）
当，即时，解集为或；（6分）
当，即时，解集为.(8分)
（2）由题设，时恒成立，
所以，又，
所以上恒成立，
令，则，（11分）
所以，
当且仅当，即时取等号，所以.（15分）
17．（15分）(2025广东华南师大附中高一上期中，中)如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.
(1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？
(2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？
【解析】 (1)由宣传单的面积不超过，可得，（3分）
化简得，（5分）
解得，（7分）
又，所以，故的最大值为.（8分）
（2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，（10分）
则，（13分）
当且仅当，即时取等号.（14分）
所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是.(15分)
18．（23-24高一上·湖北武汉·开学考试）已知二次函数.
(1)求二次函数的顶点坐标和对称轴；
(2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？
(3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值.
【解析】（1）
∵，
∴对称轴为，顶点坐标为.（4分）
（2）∵顶点坐标为，
∴当时，；
∵当时，随着的增大而减小，
∴当时，，
∵当时，随着的增大而增大，
∴当时，；
综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为.（9分）
（3）当时，对进行分类讨论：
①当时，即，随着的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴，∴，
解得：（不合题意，舍去）；（12分）
②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴，
当时，在时，，
，即，
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，在时，，
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去）；（15分）
③当时，随着的增大而增大，
当时，，
当时，，
∴，即，
解得：（不合题意，舍去）；
综上所述：或.（17分）
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
19.(17分)
（2025江西抚州临川一中高一上月考，难）已知含有限个元素的集合A是正整数集的子集，且A中至少含有两个元素，若B是由A中的任意两个元素之和构成的集合，则称集合B是集合A的衍生集.
(1)当时，写出集合A的衍生集B；
(2)若A是由4个正整数构成的集合，求其衍生集B的元素个数的最小值；
(3)判断是否存在5个正整数构成的集合A，使其衍生集，并说明理由.
【解析】（1）由已知，，
故集合.(2分)
（2）设，其中，不妨设，
又因为，集合共6个元素，（4分）
由不等式的性质可知，，（6分）
若时，则集合5个元素；（7分）
若时，则集合6个元素，（8分）
故集合B的元素个数的最小值为5.（8分）
（3）由（2）可知集合，可知集合B最多有10个元素，（9分）
由已知共7个元素，故有3个元素不满足互异性，（10分）
不妨设，故，，
又因为，有且仅有，即，（12分）
当时，因为，故或，
若即，与矛盾（舍去）；
若即，令，则，（舍去）.（14分）
当时，则，则，与已知矛盾（舍去）；（15分）
当时，不符合题意，故舍去；（16分）
故当集合时不存在满足条件的集合A.（17分）
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第一章 预备知识（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（2025·山东烟台·三模）已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·广东汕头·阶段练习）已知命题，则命题的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·广东广州·期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025福建福州高一上期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5.(2025·河南周口·二模）已知，，且，则当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．1
6．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（）
A．或 B．
C． D．或
7．（24-25高一上·山东临沂·期中）如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
8．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二 选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9．（24-25高二下·山西·阶段练习）若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”成立的充要条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
11．（2025·湖南邵阳·模拟预测）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作.以下说法正确的是（ ）
A．若数集中有2025个元素，则一定存在
B．若数集中没有最大值，则不存在
C．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为
D．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．（2025·江西·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为 ．
13．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是
14．（2025·广西南宁·模拟预测）由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为 .
三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）（24-25高一上·新疆昌吉·期末）设全集，集合，集合
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
16．（15分）（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数.
(1)当时，解关于的不等式；
(2)若不等式对于任意恒成立，求的取值范围.
17．（15分）(2025广东华南师大附中高一上期中，中)如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.
(1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？
(2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？
18．（23-24高一上·湖北武汉·开学考试）已知二次函数.
(1)求二次函数的顶点坐标和对称轴；
(2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？
(3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值.
19.(17分)
（2025江西抚州临川一中高一上月考，难）已知含有限个元素的集合A是正整数集的子集，且A中至少含有两个元素，若B是由A中的任意两个元素之和构成的集合，则称集合B是集合A的衍生集.
(1)当时，写出集合A的衍生集B；
(2)若A是由4个正整数构成的集合，求其衍生集B的元素个数的最小值；
(3)判断是否存在5个正整数构成的集合A，使其衍生集，并说明理由.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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