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专题1.2 集合的基本关系
教学目标 1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集; 2.理解子集、真子集的概念; 3.能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
教学重难点 1.重点 (1)集合间的包含与相等关系; (2)子集与真子集的概念． 难点： (1)属于关系与包含关系的区别; (2)由集合的包含关系求参.
知识点01 子集
1.Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用平面上_________表示集合，这种图称为Venn图.这种表示集合的方法叫作Venn图法
2.子集的概念
(1)定义：一般地，对于两个集合A与B,如果集合的______都属于集合，即若，则_____，那么称集合A是集合B的子集.
(2)记法与读法：当集合A是集合B的子集时，我们说这两个集合有包含关系，记作：.读作：包含于，或包含.
(3)用Venn图表示如下:
(4)当A不是B的子集时，我们记作“”或），读作：“A不包含于B”（或“B不包含A”）.
3.子集的性质
（1）任何集合是它_____子集，即.
（2）传递性:对于集合、、，如果且那么____.
（3）我们规定:是______的子集，即对于任意的集合A,都有.
【即学即练】
1.（多选）下列表述正确的是
A. B.
C. D.
2.下列给出的几个关系中：①;②;③; ④，正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
知识点02 集合相等
1.集合相等的定义
对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且____________，那么称集合A与集合B相等.记作A=B.
2．用Venn图表示两集合相等
【即学即练】
1.下列集合与集合A＝{2026，1}相等的是（　　）
A．（1，2026） B．{（x，y）|x＝2026，y＝1}
C．{x|x2﹣2027x+2027＝0} D．{（2026，1）}
知识点03 真子集
1.真子集的定义
对于两个集合A与B,如果，且_______,那么称集合A是集合B的真子集,记作AB（或BA）.
用Venn图表示如下:
由真子集的定义可知, 包含两种可能,即______或.
【易混提醒】 子集与真子集的区别在于“”允许或，而是不允许“”的，所以如果成立，则一定有成立；但如果有成立，不一定成立.
2.真子集的性质
(1)是任何________的真子集，即：当时，;
(2)传递性:对于集合、、，如果，且，那么______.
【即学即练】
1. 已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
知识点04 有限集的子集个数（拓展）
请牢记下面四个结论,解题时可以依据这四个结论检验答案是否正确,其中n∈N*. (1)由n个元素构成的集合有___个子集; (2)由n个元素构成的集合有______个真子集; (3)由n个元素构成的集合有______个非空子集; (4)由n个元素构成的集合有______个非空真子集. 【即学即练】 1.已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，则A的子集共有（　　） A．3个 B．4个 C．8个 D．16个 2.已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，则A的真子集共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．7个
题型01 判断集合与集合的关系
1.枚举法
【典例1】设集合{不大于5的自然数}，，，，，请说明集合A，B，C，D之间的关系.
对于元素为离散型(即元素可逐一列举出来)的集合，它们之间关系的判断常常利用枚举法，即将两集合分别用列举法表示，通过观察集合元素之间的关系作出判断.
【变式1】给出下列关系：①；②；③；
④，其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.元素特征法
【典例2】判断下列各组中两个集合的关系
(1)，B=
(2)A={x|x=3k,
(3),,
当用描述法表示集合时，集合之间的关系有时不易看出，这时候常从元素的结构特征入手，结合通分、变形等技巧，使元素结构一致，再分析元素之间的差异，判断集合之间的关系.
【变式1】已知集合， ，则
A. B. C. D. 与的关系不确定
【变式2】已知集合，，则集合M，N的关系是（　　）
A．M＝N B．M N C．M N D．M∩N＝
3．数形结合法
【典例3】设集合，集合，则集合与集合的关系是（ ）
A． B． A．＝ A．
判断两个连续型无限集间的包含关系时，常常在数轴上表示出这两个集合，若一个集合A所包含的区域(点)全部在另一个集合B所包含的区域中，则，若集合B中还包含其它其它区域(点)，则.另外还要特别注意用数轴表示集合时，集合端点值的取舍.
【变式】已知集合A＝{x|x>-4},B＝{x|﹣3≤x-1≤0}，则下列关系正确的是（　　）
A．A＝B B．AB C．B A D．AB
题型02 确定集合的子集、真子集
【典例】满足 M {1，2，3}的集合M共有（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．15个
（1）在写集合的子集或真子集时，一般是按照集合中的元素的个数的多少，遵循由少到多的原则，做到不重不漏.需要特别注意的是，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,因此，在写集合的子集或真子集的时候，不要遗漏空集.
（2）确定集合的子集、真子集的个数时，可以利用“若集合A中元素的个数为n，则集合A中有个子集，个真子集，个非空真子集”直接求解.
【变式1】已知{1，3} A {1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2】集合，则的子集有（ ）个
A．8 B．7 C．6 D．3
【变式3】已知集合，，，则集合C的子集有（ ）
A．64个 B．63个 C．16个 D．15个
题型03 集合相等的证明
【典例】已知集合，，试证明.
(1)证明两个无限集相等时，要分两步进行，一是证明，二是证明.
(2)要证明集合A是集合B的子集，必须证明集合A中的任一元素在集合B中，通常先设是集合A中的元素，并将用集合A中元素所满足的式表示出来，再通过等价转化，说明它也符合集合B中元素所满足的式子即可.
【变式】已知，求证：
题型04 空集在集合关系中的特殊性
【典例】给出下列说法:①空集没有子集;②任何一个集合必有两个或两个以上的子集;③空集是任何集合的真子集;④若 A,则A≠ ,其中正确的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
在与集合关系有关的题中特别要注意空集的特殊性:
(1)空集是任何集合的子集,其中任何集合包含 ,故 .
(2)空集是任何非空集合的真子集,即 A(A≠ ),因为A≠ ,所以必存在a∈A,而a ,所以 A.
(3)空集的存在,使关于子集定义中的某些说法错误,如“若A B,则A为B中的部分元素所组成的集合”,因为从“部分元素”的角度无法理解“ A”“A A”“ ”等结论,所以“若A B,则A为B中的部分元素所组成的集合”是错误的.
(4)应注意理解下列式子:若A B,则A= ,或A≠ 且A B,或A=B.
【变式】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥ ；其中正确的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个
题型05 利用集合相等求参
【典例】已知集合，,且,求的值.
若已知有限数集A=B，求集合中的参数，常规思路是利用“若两个集合相等，则两个集合中的对应元素完全相同”这一结论分类讨论求解.
此外，也可利用集合相等的两个拓展性质巧解：若有限数集A=B，则(1)两个集合的所有元素之和相等；(2) 两个集合的所有元素之积相等.
【变式1】设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若P＝Q，则a+b＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【变式2】已知实数集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
题型06 利用集合间包含关系求参——与方程有关
【典例】设集合，．
(1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．
【变式1】若 {(x,y)|y=3x+c},则c=　　　　.
【变式2】若集合，且，求实数的值.
【变式3】已知集合，，若，则实数m＝ ．
题型07 利用集合间关系求参——与不等式有关
【典例】已知集合 ，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
(1)已知两个无限集的包含关系求参数问题，常常借助数轴，先把静集合（不含参数）在数轴上表示出来，然后利用条件，确定动集合（含参数）的端点与静集合的端点的位置关系，并建立不等式进行求解，还要特别注意端点值能否取到.
(2)由于空集是是任何集合的子集，因此利用解决问题时，一定要分两种情况进行讨论.
(3) 求得时参数的取值范围后，再剔除A=B时参数的值，即得时参数的取值范围.
【变式1】已知集合或，或，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（1）已知集合，．若 ，求实数的取值范围．
（2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围．
题型08 与集合关系有关的探究问题
【典例】已知三个集合 ，
，同时满足的实数是否存在？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
对集合包含关系的考查常常会出现在探究性问题中，解决这类问题，首先要分清集合的代表元素，进而将集合语言转化为我们习惯的语言形式来求解.
【变式】已知集合，集合.
（1）是否存在实数，使得对于任意实数都有？若存在，求出对应的值；若不存在，说明理由；
（2）若成立，求出对应的实数．
题型09 与集合关系有关的新定义题
【典例】定义集合A★B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，设A＝{2，3}，B＝{1，2}，则集合A★B的非空真子集的个数为（　　）
A．12 B．14 C．15 D．16
以集合为背景的新信息题.常见的有新概念型,定义新运算型等.解决此类问题的关键是先正确理解新的概念或运算,再结合题中集合的新定义来解决.
【变式1】集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（　　）
A．31 B．63 C．32 D．64
【变式2】定义集合中的一种运算“*”，A*B＝{ω|ω＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则A*B的非空子集个数是（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
【变式3】含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5.
(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和.
(2)已知集合，根据提示解决问题.
①求集合M所有非空子集的元素和的总和；
提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是；
②求集合M所有非空子集的交替和的总数.
单选题
1．下列结论正确的是（ ）
A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集
C． D．
2.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是(　　)
3．已知集合，则A子集的个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．满足 的集合A的个数为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．15
5．下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．已知集合，，则集合的非空真子集个数为（ ）
A．32 B．62 C．64 D．30
7．集合，，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
多选题
9．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10.已知集合，且 ，则的值可以是（ ）
A．4 B．3 C． D．0
11已知集合，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则可以取3
填空题
12．已知集合．若，则a的最大值为 ．
13．已知集合，集合，若，则实数的值是 ．
14．已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有 个元素.
解答题
15．已知集合，且.
(1)求的值；
(2)写出集合的所有真子集.
16.已知集合
(1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围；
(2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围.
17. 已知全集，集合，．
(1)若，存在集合P，使得，求出这样的集合P．
(2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
18.《九章算术》第八章“方程”问题九：今有五雀、六燕，集称之衡①，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处②，衡适平③.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的重量和为一斤.问燕、雀每只各重多少斤？①集称之衡：集中在一起用衡器称；②交而处：交换位置放；③衡适平：重量恰好相等.
(1)设每只雀重n斤，每只燕重m斤，请列方程组求解这个问题；
(2)在（1）的条件下，设集合，，若 ，求p的取值范围.
19.定义：若任意（可以相等），都有（保证集合B中的元素分母不为0），则集合称为集合的生成集（由可得到生成集中的元素x与A中元素m,n的关系）．
(1)求集合的生成集；
(2)若集合，的生成集为，的子集恰有4个，求实数的值；
(3)若集合，的生成集为，求证:．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.2 集合的基本关系
教学目标 1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集; 2.理解子集、真子集的概念; 3.能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
教学重难点 1.重点 (1)集合间的包含与相等关系; (2)子集与真子集的概念． 难点： (1)属于关系与包含关系的区别; (2)由集合的包含关系求参.
知识点01 子集
1.Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，这种图称为Venn图.这种表示集合的方法叫作Venn图法
2.子集的概念
(1)定义：一般地，对于两个集合A与B,如果集合的任何一个元素都属于集合，即若，则，那么称集合A是集合B的子集.
(2)记法与读法：当集合A是集合B的子集时，我们说这两个集合有包含关系，记作：.读作：包含于，或包含.
(3)用Venn图表示如下:
(4)当A不是B的子集时，我们记作“”或），读作：“A不包含于B”（或“B不包含A”）.
3.子集的性质
（1）任何集合是它本身的子集，即.
（2）传递性:对于集合、、，如果且那么.
（3）我们规定:是任何集合的子集，即对于任意的集合A,都有.
【即学即练】
1.（多选）下列表述正确的是
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【分析】从子集的概念入手作出判断.
【解析】2025
故,A正确;
2025与集合的关系是元素与集合的关系，且2025是该集合中的元素，故
,即，元素与集合之间不能用符号表示，故B不正确,C正确;
是同一个集合，故D正确.故选ACD.
2.下列给出的几个关系中：①;②;③; ④，正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C
【分析】结合子集的含义及子集的有关性质逐一进行判断.
【解析】 并不表示空集,故，①错；与{a,b}的元素不同，故②错；因为，所以,③正确;是任何集合的子集,故④正确．
知识点02 集合相等
1.集合相等的定义
对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等.记作A=B.
2．用Venn图表示两集合相等
【即学即练】
1.下列集合与集合A＝{2026，1}相等的是（　　）
A．（1，2026） B．{（x，y）|x＝2026，y＝1}
C．{x|x2﹣2027x+2027＝0} D．{（2026，1）}
【答案】C
【分析】利用集合相等的定义直接判断．
【解析】对于A，（1，2022）≠{2022，1}，故A错误；
对于B，{（x，y）|x＝2022，y＝1}≠{2022，1}，故B错误；
对于C，{x|x2﹣2023x+2022＝0}＝{2022，1}，故C正确；
对于D，{（2022，1）}≠{2022，1}，故D错误．
故选：C．
知识点03 真子集
1.真子集的定义
对于两个集合A与B,如果，且,那么称集合A是集合B的真子集,记作AB（或BA）.
用Venn图表示如下:
由真子集的定义可知, 包含两种可能,即或.
【易混提醒】 子集与真子集的区别在于“”允许或，而是不允许“”的，所以如果成立，则一定有成立；但如果有成立，不一定成立.
2.真子集的性质
(1)是任何非空集合的真子集，即：当时，;
(2)传递性:对于集合、、，如果，且，那么.
【即学即练】
1. 已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定集合，再进行选项判断.
【解析】集合A中所有的元素都是集合B的子集，
即集合A是由集合B的子集组成的集合，
所以，
故B是集合A中的一个元素，D正确．
故选：D
2．已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出.
【解析】由题意可得，故集合是集合的真子集．
故选：B
知识点04 有限集的子集个数（拓展）
请牢记下面四个结论,解题时可以依据这四个结论检验答案是否正确,其中n∈N*. (1)由n个元素构成的集合有2n个子集; (2)由n个元素构成的集合有(2n-1)个真子集; (3)由n个元素构成的集合有(2n-1)个非空子集; (4)由n个元素构成的集合有(2n-2)个非空真子集. 【即学即练】 1.已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，则A的子集共有（　　） A．3个 B．4个 C．8个 D．16个 【答案】C 【分析】化简集合A，再求子集个数即可． 【解析】∵A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}＝{0，1，2}， ∴A的子集共有23＝8， 故选：C． 2.已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，则A的真子集共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．7个 【答案】C 【分析】可得出集合A＝{0，1}，然后可得出集合A的真子集个数． 【解析】∵A＝{x|x2＜3，x∈N}＝{0，1}， ∴A有22﹣1个真子集，即3个真子集． 故选：C．
题型01 判断集合与集合的关系
1.枚举法
【典例1】设集合{不大于5的自然数}，，，，，请说明集合A，B，C，D之间的关系.
【答案】，，，，
【分析】由已知可知各集合中的元素均可一一列举出来，故用枚举法求解.
【解析】，，，，又集合A的子集有共四个，因此，所以，，集合与集合无从属关系及包含关系，，，集合与集合无从属关系及包含关系.
对于元素为离散型(即元素可逐一列举出来)的集合，它们之间关系的判断常常利用枚举法，即将两集合分别用列举法表示，通过观察集合元素之间的关系作出判断.
【变式1】给出下列关系：①；②；③；
④，其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由元素与集合关系，集合与集合关系逐个判断即可.
【解析】显然，，①③正确；
，②正确
在中，当时，
即有
因此，④正确
正确命题的个数是
故选：D
【变式2】已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出.
【解析】由题意可得，故集合是集合的真子集．
故选：B
【变式3】已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定集合，再进行选项判断.
【解析】集合A中所有的元素都是集合B的子集，
即集合A是由集合B的子集组成的集合，
所以，
故B是集合A中的一个元素，D正确．
故选：D
2.元素特征法
【典例2】判断下列各组中两个集合的关系
(1)，B=
(2)A={x|x=3k,
(3),,
【答案】（1）A=B；（2）；（3）AB.
【分析】先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系.
【解析】(1)A,B都表示奇数集,故，即A=B.
(2)A中的元素都是3的倍数，B中的元素都是6的倍数，对于任意的,6z=3×(2z),因为,所以2,从而可得6,从而有.设6z=3,则故3但,所以.
(3)方法一：取k=…,0,1,2,3,4,5,…,可得
,
易知A中任一元素均为B中的元素,但B中的有些元素不在集合A中，故AB..
方法二：集合M的元素为：（k∈Z）,集合N的元素为：x=（k∈Z）,而2k+1为奇数,k+2为整数,∴AB.
当用描述法表示集合时，集合之间的关系有时不易看出，这时候常从元素的结构特征入手，结合通分、变形等技巧，使元素结构一致，再分析元素之间的差异，判断集合之间的关系.
【变式1】已知集合， ，则
A. B. C. D. 与的关系不确定
【答案】A
【解析】对于集合，当分母为时，分子为，能取遍全体偶数，而对于集合，当分母为时，分子为，能取遍全体整数，显然，“全体偶数”是“全体整数”的子集，即是的子集（也是真子集），故选A.
【变式2】已知集合，，则集合M，N的关系是（　　）
A．M＝N B．M N C．M N D．M∩N＝
【答案】A
【分析】通过分析两个集合中元素的关系，结合集合子集的定义分析求解即可．
【解析】因为集合M＝{y|y，x∈Z}，
集合N＝{y|yx﹣1，x∈Z}＝{y|y，x∈Z}，
即M＝N．
故选：A．
3．数形结合法
【典例3】设集合，集合，则集合与集合的关系是（ ）
A． B． A．＝ A．
【答案】B
【分析】将集合A与B分别在数轴上表示出来，便容易观察出它们的关系.
【解析】由得，所以，分别在数轴上表示两个集合，如下图所示.
从数轴上可以看出，集合A中的所有元素都在集合B中，因此，又集合B还有其它不属于集合A的元素，因此，故选B.
判断两个连续型无限集间的包含关系时，常常在数轴上表示出这两个集合，若一个集合A所包含的区域(点)全部在另一个集合B所包含的区域中，则，若集合B中还包含其它其它区域(点)，则.另外还要特别注意用数轴表示集合时，集合端点值的取舍.
【变式】已知集合A＝{x|x>-4},B＝{x|﹣3≤x-1≤0}，则下列关系正确的是（　　）
A．A＝B B．AB C．B A D．AB
【答案】C
【解析】A＝{x|x>﹣4}，B＝{x|﹣3分别在数轴上表示两个集合，如下图所示.
从数轴上可以看出，集合A中的所有元素都在集合B中，因此，又集合B还有其它不属于集合A的元素，因此，故选B.
题型02 确定集合的子集、真子集
【典例】满足 M {1，2，3}的集合M共有（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．15个
【答案】B
【分析】利用真子集、子集的定义，结合列举法能求出结果．
【解析】满足 M {1，2，3}的集合M有：
{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，[2，3}，{1，2，3}，
共7个．故选：B．
（1）在写集合的子集或真子集时，一般是按照集合中的元素的个数的多少，遵循由少到多的原则，做到不重不漏.需要特别注意的是，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,因此，在写集合的子集或真子集的时候，不要遗漏空集.
（2）确定集合的子集、真子集的个数时，可以利用“若集合A中元素的个数为n，则集合A中有个子集，个真子集，个非空真子集”直接求解.
【变式1】已知{1，3} A {1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】A是至少含有1和3这2个元素是本题的关键．
【解析】A＝{1，3}或A＝{1，3，2}或A＝{1，3，4}或A＝{1，3，5}或A＝{1，3，2，4}或A＝{1，3，2，5}或A＝{1，3，4，5}．
故选：C．
【变式2】集合，则的子集有（ ）个
A．8 B．7 C．6 D．3
【答案】A
【分析】由题可解集合，再利用子集个数求解公式可求.
【解析】因为，
所以则的子集有个，
故选：A.
【变式3】已知集合，，，则集合C的子集有（ ）
A．64个 B．63个 C．16个 D．15个
【答案】C
【分析】根据题意，求得集合，结合集合子集个数的计算方法，即可求解.
【解析】由集合，，且，
因为，，可得集合，所以集合的子集有个.
故选：C.
题型03 集合相等的证明
【典例】已知集合，，试证明.
【分析】要证明，根据定义，只要证明和同时成立.
【证明】(1)设，则存在，满足，又
，∵，∴，∴；
(2)设，则存在，满足，又，∵，∴，∴.
综上所述，.
(1)证明两个无限集相等时，要分两步进行，一是证明，二是证明.
(2)要证明集合A是集合B的子集，必须证明集合A中的任一元素在集合B中，通常先设是集合A中的元素，并将用集合A中元素所满足的式表示出来，再通过等价转化，说明它也符合集合B中元素所满足的式子即可.
【变式】已知，求证：
【证明】（1）显然，欲使，必须且只需即可.
由于可得，此时＝.
综上可知，当时，
（2）设，即
当时，有；
当时，有
从而；
另一方面，设，即，因为是奇数，所以，即.
综上可知，
题型04 空集在集合关系中的特殊性
【典例】给出下列说法:①空集没有子集;②任何一个集合必有两个或两个以上的子集;③空集是任何集合的真子集;④若 A,则A≠ ,其中正确的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【分析】紧扣集合中的相关概念，逐项判断真假.
【解析】空集是空集的子集,即 ,所以①不正确;空集只有一个子集,故②不正确; 不是 的真子集,故③不正确;空集是任何非空集合的真子集,故④正确.
在与集合关系有关的题中特别要注意空集的特殊性:
(1)空集是任何集合的子集,其中任何集合包含 ,故 .
(2)空集是任何非空集合的真子集,即 A(A≠ ),因为A≠ ,所以必存在a∈A,而a ,所以 A.
(3)空集的存在,使关于子集定义中的某些说法错误,如“若A B,则A为B中的部分元素所组成的集合”,因为从“部分元素”的角度无法理解“ A”“A A”“ ”等结论,所以“若A B,则A为B中的部分元素所组成的集合”是错误的.
(4)应注意理解下列式子:若A B,则A= ,或A≠ 且A B,或A=B.
【变式】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥ ；其中正确的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个
【答案】D
【分析】利用子集的概念及性质可判断①，利用相等集合的概念可判断②，利用空集的定义可判断③、⑥，利用元素与集合的关系进行判断④，利用集合与集合间的关系可判断⑤．
【解析】根据任意集合是自身的子集，可知①正确；
根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确；
因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确；
根据元素与集合之间可知④正确；
根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确；
根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．
所以①④⑥正确
故选：D.
题型05 利用集合相等求参
【典例】已知集合，,且,求的值.
【答案】或.
【分析】分类讨论求解或利用集合的拓展性质求解.
【解析】解法1:根据题意得或 .解得 或 或.
验证，当时，，这与集合中元素的互异性相矛盾.
或.
解法2: 根据题意得
即 .
集合中元素互异，x,y不能同时为0. .
由(2)得x=0或y=0.5.
当x=0时，由(1)知,y=1或y=0(舍去);
当b=0.5时，由(1)知,x=0.25.
或.
若已知有限数集A=B，求集合中的参数，常规思路是利用“若两个集合相等，则两个集合中的对应元素完全相同”这一结论分类讨论求解.
此外，也可利用集合相等的两个拓展性质巧解：若有限数集A=B，则(1)两个集合的所有元素之和相等；(2) 两个集合的所有元素之积相等.
【变式1】设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若P＝Q，则a+b＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】A
【分析】由集合元素的互异性，可求出结果．
【解析】∵集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，且P＝Q，
∴﹣b＝1，a＝﹣1，∴a+b＝﹣2，
故选：A．
【变式2】已知实数集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可．
【解析】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）；
当，时，，，不符集合元素的互异性，
所以，，．
故选：A．
题型06 利用集合间包含关系求参——与方程有关
【典例】设集合，．
(1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)或．
【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案；
（2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解.
【解析】（1）由集合，
因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，
故，所以，
所以实数的取值范围是．
（2）由，解得或，所以，
因为，所以集合可能是，，，；
当时，即方程无实数根，
则，解得；
当时，即方程有且只有一个根0，
，解得；
当时，即方程有且只有一个根，
则，方程组无解；
当时，方程有两根和，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是或．
（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．
【变式1】若 {(x,y)|y=3x+c},则c=　　　　.
【答案】2
【解析】由解得
故={(0,2)},
将x=0,y=2代入y=3x+c,得c=2.
【变式2】若集合，且，求实数的值.
【答案】或或.
【分析】可分为和两类讨论.
【解析】 由.
（1）若时，得，此时；
（2）若时，得. 若,满足或，解得或
故所求实数的值为或或.
【变式3】已知集合，，若，则实数m＝ ．
【答案】或
【解析】根据题意若满足可知或，
解得或或；
经检验时，集合中，不合题意，舍去；
所以可得或.
题型07 利用集合间关系求参——与不等式有关
【典例】已知集合 ，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；(2)．
【分析】（1）根据包含关系，分集合是否为空集讨论即可得解；
（2）在包含关系中剔除两集合相等，即得.
【解析】（1）当时，此时，即；
当时，此时，即，
则，解得，
综上，实数的取值范围为．
（2）由（1）知，若，则；
若，则，当时，
解得，
综上，实数的取值范围为．
(1)已知两个无限集的包含关系求参数问题，常常借助数轴，先把静集合（不含参数）在数轴上表示出来，然后利用条件，确定动集合（含参数）的端点与静集合的端点的位置关系，并建立不等式进行求解，还要特别注意端点值能否取到.
(2)由于空集是是任何集合的子集，因此利用解决问题时，一定要分两种情况进行讨论.
(3) 求得时参数的取值范围后，再剔除A=B时参数的值，即得时参数的取值范围.
【变式1】已知集合或，或，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解一元二次方程求出集合，再由得到，即可求出，再得到不等式组，解得即可.
【解析】由，即，解得或，
所以或，因为且，
若时，若时，不符合题意，所以，
则或，所以，解得，
即实数的取值范围为.
故选：D
【变式2】若集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出集合，再分类讨论求出集合，利用求出的取值范围即可得到结果．
【解析】依题意，或，
当时，显然不成立，即，满足，因此；
当时，，由，得，解得；
当时，，由，得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
【变式3】（1）已知集合，．若 ，求实数的取值范围．
（2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合 ，列出不等式组，即可求得的取值范围；
（2）当时，求得，满足题意；当时，结合 ，列出不等式组，即可求得的取值范围.
【解析】（1）由集合，
当时，，解得，此时满足 ；
当时，要使得 ，
则满足且等号不能同时取，解得．
综上可得，实数的取值范围是．
（2）当时，由，得，满足 ；
当时，要使得 ，
则满足，解得，
综上可得，实数m的取值范围是．
题型08 与集合关系有关的探究问题
【典例】已知三个集合 ，
，同时满足的实数是否存在？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】存在， 或
【分析】明确集合，探寻及成立的条件是解决本题的关鋌．
【解析】∵的 ，
又或．
若，则即．
若，则无解，舍去．
又或或或 ．
当时，，得 ；
当时， 不成立；
当时，，不成立；
当时，符合．
综上可知 或时满足要求．
对集合包含关系的考查常常会出现在探究性问题中，解决这类问题，首先要分清集合的代表元素，进而将集合语言转化为我们习惯的语言形式来求解.
【变式】已知集合，集合.
（1）是否存在实数，使得对于任意实数都有？若存在，求出对应的值；若不存在，说明理由；
（2）若成立，求出对应的实数．
【答案】(1)不存在；（2） 或 或 或
【解析】（1）由题意知当且仅当集合中的元素为1,2时，
对于任意实数都有．
∵ 或
解方程组可知无解，
∴不存在实数，使得对于任意实数，都有 ．
（2）由（1）易知，若 ，则有 或 或 或
即 或 或 或
题型09 与集合关系有关的新定义题
【典例】定义集合A★B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，设A＝{2，3}，B＝{1，2}，则集合A★B的非空真子集的个数为（　　）
A．12 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【分析】先求出集合A★B，由此能求出集合A★B的非空真子集的个数．
【解析】∵A★B＝{2，3，4，6}，
∴集合A★B的非空真子集的个数为24﹣2＝14．
故选：B．
以集合为背景的新信息题.常见的有新概念型,定义新运算型等.解决此类问题的关键是先正确理解新的概念或运算,再结合题中集合的新定义来解决.
【变式1】集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（　　）
A．31 B．63 C．32 D．64
【答案】B
【分析】根据条件即可求出集合P*Q的元素个数，从而可得出集合P*Q的真子集个数．
【解析】根据题意得，P*Q的元素个数为个，
∴P*Q的真子集个数为26﹣1＝63个．
故选：B．
【变式2】定义集合中的一种运算“*”，A*B＝{ω|ω＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则A*B的非空子集个数是（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【分析】先根据定义求出集合A*B，再利用集合的非空子集个数公式2n﹣1，即可求出结果．
【解析】若x＝0，不论y取何值，则ω＝0，
若x＝1，y＝2，则ω＝1×2（1+2）＝6，
若x＝1，y＝3，则ω＝1×3（1+3）＝12，
所以A*B＝{0，6，12}，
所以A*B的非空子集个数是23﹣1＝7，
故选：A．
【变式3】含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5.
(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和.
(2)已知集合，根据提示解决问题.
①求集合M所有非空子集的元素和的总和；
提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是；
②求集合M所有非空子集的交替和的总数.
【答案】(1)；(2)①；②.
【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和；
（2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和.
【解析】（1）集合的非空子集为，，，，，，，
集合，，的交替和分别为1，2，3，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
所以集合的所有非空子集的交替和的总和为.
（2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次，
集合所有非空子集为：，，，，，，，，，，
，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次，
在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为，
因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次，
同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次，
所以集合所有非空子集的元素和的总和为.
②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类，
每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个，
所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等），
所以集合所有非空子集的交替和的总和.
单选题
1．下列结论正确的是（ ）
A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集
C． D．
【答案】A
【分析】根据集合、子集的含义及集合间的关系判断.
【解析】对于A，任何集合都有子集，A正确；
对于B，没有真子集，B错误；
对于C，表示没有任何元素的集合，表示集合中有这一元素，C错误；
对于D，集合有一元素0，不为空集，故，D错误.
故选：A
2.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是(　　)
【答案】B
【解的】由x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得N M,其对应的Venn图如选项B所示.
故选B.
3．已知集合，则A子集的个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【分析】结合题意 ，由集合中元素的特性解出集合，再求子集数即可；
【解析】由已知可得，
所以，所以，
所以A子集的个数为个，
故选：D.
4．满足 的集合A的个数为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【分析】由一元二次方程以及集合之间的包含关系，可得答案.
【解析】由，整理可得，解得或，
则 ，设，所以 ，可得.
故选：B.
5．下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可.
【解析】对于A，，，故，所以A错误；
对于B，为点集，为数集，故，所以B错误；
对于C，，，故，所以C错误；
对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确，
故选：D.
6．已知集合，，则集合的非空真子集个数为（ ）
A．32 B．62 C．64 D．30
【答案】B
【解析】由题意可得，
，
故，
故集合的非空真子集个数为.
故选：B.
7．集合，，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论.
【解析】任取，则，，
所以，所以，任取，则，，
所以，所以，所以，
任取，则，，
所以，所以，
又，，所以，
所以，
故选：C.
8．若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由“和谐集”定义对集合中的元素逐一讨论可得只有可以作为“和谐集”中的一组元素，可得结果.
【解析】根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素；
当时，；当时，；当时，；
所以是“和谐集”中的一组元素；
当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素；
综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即.
故选：B
多选题
9．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用集合与集合的关系逐项判断即可.
【解析】对于A，集合中的元素在集合中，，A正确；
对于B，集合与集合中的元素相同，，B正确；
对于C，集合中的元素都在集合中，，C正确；
对于D，集合中的元素不是空集，不正确，D错误.
故选：ABC
10.已知集合，且 ，则的值可以是（ ）
A．4 B．3 C． D．0
【答案】BCD
【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.
【解析】因为 ，则或或，
当时，可得且，解得，则；
当时，可得且，解得，则；
当时，可得，解得，则，
综上可得，的值可以是或或.
故选：BCD.
11已知集合，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则可以取3
【答案】AC
【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.
【解析对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误；
对于CD，由，得，解得，C正确，D错误.
故选：AC.
填空题
12．已知集合．若，则a的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用集合的包含关系求出的取值范围即可.
【解析】集合，又，
则，所以a的最大值为.
13．已知集合，集合，若，则实数的值是 ．
【答案】
【分析】根据集合相等解方程即可求得结果.
【解析】因为，所以；
依题意可得且.
即实数的值是.
14．已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有 个元素.
【答案】921
【分析】根据集合具有的性质和，通过对数字进行合理分组，找出满足条件的元素个数的最大值.
【解析】先说明连续11项中集合中最多选取5项，
以为例.
构造抽屉，，，，，，.
①同时选，因为具有性质和，
所以选5则不选；选6则不选；选7则不选；
则只剩，故中属于集合的元素个数不超过5个.
②选2个，
若只选，则不可选，又只能选一个元素，
可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个.
若选，则只能从中选，但不能同时选，
故中属于集合的元素个数不超过5个.
若选，则不可选，又只能选一个元素，
可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个.
③中只选1个，
又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，
故中属于集合的元素个数不超过5个.
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个，
如取.
因为，则把每11个连续自然数分组，前184组每组至多选取5项，余一个数2025.
给出如下选取方法：从中选取；
然后在这5个数的基础上每次累加11，构造184次.
此时集合的元素为：；；；；
，共个元素，而取也满足题意，
经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个.
解答题
15．已知集合，且.
(1)求的值；
(2)写出集合的所有真子集.
【答案】(1)
(2)，，，，，，.
【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解；
（2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解.
【解析】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意；
当时，解得或，不合题意，
当时，，符合题意；
综上，；
（2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为：
，，，，，，.
16.已知集合
(1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围；
(2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】（1）当时，，即，符合题意；
当时，，解得：.
综上所述，实数k的取值范围为.
（2）集合A最少有一个真子集，则集合中至少有一个元素，
当时，，即，符合题意；
当时，，解得：且.
综上所述，实数k的取值范围为.
17. 已知全集，集合，．
(1)若，存在集合P，使得，求出这样的集合P．
(2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，，，．
(2)存在，或．
【分析】（1）化简，再结合逐个列举即可；
（2）由和两类情况讨论求解.
【解析】（1）当时，
，
．
又因为，所以这样的集合P共有6个：，，，，，．
（2）当，即，时，，满足题意．
当时，若有两个相等的实数根，即，则，
此时，不满足题意；
若有两个不相等的实数根，
又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时．
综上，实数a的取值范围为或．
18.《九章算术》第八章“方程”问题九：今有五雀、六燕，集称之衡①，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处②，衡适平③.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的重量和为一斤.问燕、雀每只各重多少斤？①集称之衡：集中在一起用衡器称；②交而处：交换位置放；③衡适平：重量恰好相等.
(1)设每只雀重n斤，每只燕重m斤，请列方程组求解这个问题；
(2)在（1）的条件下，设集合，，若 ，求p的取值范围.
18.【答案】（1）（2）.
【解析】（1）根据题意，可列方程组为
解得
所以每只燕重斤，每只雀重斤.
（2）由（1）可得集合，
①当时，显然 ，故，解得；
②当时，如图所示，
要使 ，由图可知且等号不同时成立，
解得
所以.
综上，p的取值范围是.
19.定义：若任意（可以相等），都有（保证集合B中的元素分母不为0），则集合称为集合的生成集（由可得到生成集中的元素x与A中元素m,n的关系）．
(1)求集合的生成集；
(2)若集合，的生成集为，的子集恰有4个，求实数的值；
(3)若集合，的生成集为，求证:．
【答案】（1）；（2）或或；（3）见解析．
【分析】(1)对m,n分类讨论→求出x→得到生成集B；(2)对m,n分类讨论→求得3个x的值→由B的子集恰有4个可得B中有2个元素，故3个x的值中必有2个相等→列方程求出a的值;(3)证明→证得A=B.
【解析】（1）由题可知：
①当时，，
②当时，，
③当，或时，，
所以．
（2）①当时，，
②当时，，
③当，或，时，，
的子集恰有4个，则中有2个元素，
所以或或，
解得或或（舍去）．
（3）证明：任取m，，
，
，
，即，
，又，，
综上可得．
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