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专题2.1 必要条件与充分条件
教学目标 (1)理解充分条件、必要条件与充要条件的概念； (2)掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法.
教学重难点 1.重点 (1)充分条件、必要条件与充要条件的判断方法； (2)由充分性、必要性求参数的取值范围． 2.难点 (1)对充分条件、必要条件与充要条件概念的理解； (2)充要条件的证明．
知识点01 必要条件与性质定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称_q___是_p___的必要条件，即 q __p__.
也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的．
说明：q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可．
【即学即练】
1．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：
（1） ；
（2）a，b都是偶数 是偶数；
（3） ；
（4）n是偶数 n是4的倍数.
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解法，偶数的性质、一元二次方程的解法、绝对值的性质进行逐一求解即可.
【解析】（1）因为，或，所以.
（2）因为a，b都是偶数，所以设，
，因为，所以，
所以是偶数，但是当时，是偶数，但是a，b都不是偶数，
所以a，b都是偶数是偶数.
（3）因为，
所以；
（4）当时，n是偶数，但是n不是4的倍数，
所以n是偶数 n是4的倍数.
2.下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有
（1）若是无理数，则是无理数．
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等．
（3）若，则.
（4）若和都是偶数，则是偶数．
【答案】（1）（2）（4）
【分析】根据必要条件的定义即可逐一求解.
【解析】（1）若是无理数，则是无限不循环小数，所以是无限不循环小数，
所以是无理数，所以，所以是的必要条件．
（2）全等三角形面积相等，所以，所以是的必要条件．
（3）若，则或；
所以，所以是的不必要条件．
（4）两个偶数的乘积仍是偶数．所以，所以是的必要条件．
知识点02 充分条件与判定定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称_p__是_q___的充分条件，即 p __ q___.
说明：若p q，则p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了．
【即学即练】
1．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由p是q的充分条件，知p可推出q，所以；由p是q的必要条件，知q可推出p，所以．
2.已知p:x=0,q:xy=0,p是q的充分条件吗？
(2)已知p:x=1,q:则q是p的必要条件吗？
【答案】(1)是；（2）是
【解析】(1)命题“若x=0,则xy=0”是真命题，所以p是q的充分条件.
(2)命题“若x=1,则”是真命题，可写成：x=1
所以p是q的必要条件.
知识点03 充要条件
一般地，如果p q，且q p，那么称__p__是_q___的充分且必要条件，简称_p___是_q___的充要条件，记作___p q_____．
【即学即练】“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】x＝1时，x2－2x＋1＝0成立，故是充分的，又当x2－2x＋1＝0时，即(x－1)2＝0，x＝1故是必要的，因此是充要条件．
题型01 用必要条件的语言表述定理
【典例】将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述：
(1)平面四边形的外角和是360°；
(2)在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同．
【答案】见解析
【解析】(1)“平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”，所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件；
(2)“在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“若平面直角坐标系中的两个点关于x轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于x轴对称”的必要条件．
用必要条件的语言表述定理的一般步骤
(1)分析定理的条件和结论；
(2)将定理写成“若p，则q”的形式；
(3)利用必要条件的概念来表述定理．
【变式】判断下列各组中是否有p q或q p成立，并用必要条件的语言表述：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.
【答案】见解析
【解析】(1)因为两个三角形相似D ?两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，所以q p成立，所以“p：两个三角形相似”是“q：两个三角形全等”的必要条件．
(2)因为矩形的对角线相等，而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以p q成立，所以“q：四边形的对角线相等”是“p：一个四边形是矩形”的必要条件．
(3)因为(x－1)(x－2)＝0x＝1，但x＝1 (x－1)(x－2)＝0，所以p q成立，所以“q：(x－1)(x－2)＝0”是“p：x＝1”的必要条件．
题型02 用充分条件的语言表述定理
【典例】用充分条件的语言表述下面的命题：
(1)若a＝－b，则|a|＝|b|；
(2)若点C是线段AB的中点，则|AC|＝|BC|；
(3)当ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
【答案】见解析
【解析】(1)“a＝－b”是“|a|＝|b|”的充分条件；
(2)“点C是线段AB的中点”是“|AC|＝|BC|的充分条件”；
(3)“ac<0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的充分条件．
充分条件的两种判断方法
(1)定义法
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
(2)命题判断法
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
【变式】用充分条件的语言表述下面的命题：
(1)若a＝－b，则|a|＝|b|；
(2)若点C是线段AB的中点，则|AC|＝|BC|；
(3)当ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
【答案】见解析
【解析】(1)“a＝－b”是“|a|＝|b|”的充分条件；
(2)“点C是线段AB的中点”是“|AC|＝|BC|的充分条件”；
(3)“ac<0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的充分条件．
题型03 定义法判断充分性与必要性
【典例】在下列各题中，分析p是q的什么条件：(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种)
(1)
(2)
(3)p:x>0,y>0,q:xy>0.
【答案】(1)必要不充分条件；（2）充要条件；（3）既不充分也不必要.
【解析】 (1)∵，
∴p是q的必要不充分条件.
(2) ∵,∴p是q的充要条件.
(3) x>0,y>0xy>0,xy>0 x>0,y>0, ∴p是q的充分不必要条件．
利用定义判断充分性与必要性：
(1)若pq，但p,则称p是q的充分而不必要条件；
(2)若p不能推出q，但qp,则称p是q的必要而不充分条件；
(3)若pq，且qp(即)则说p是q的充要条件；
(4)pq，且qp，则说p是q的既不充分也不必要条件.
【变式1】设x，y都是实数，则“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（　　）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】A
【分析】利用或和且的含义，再结合充要条件的定义判定即可．
【解析】①当x＞2且y＞3时，则x＞2或y＞3，∴充分性成立，
②∵x＞2或y＞3 x＞2或y＞3或x＞2且y＞3，∴必要性不成立，
∴x＞2且y＞3是x＞2或y＞3的充分不必要条件，
故选：A．
【变式2】设m∈R，则“m＜0”是“m＜1”的（　　）
A．充分必要条件 B．即不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】C
【分析】“m＜0” “m＜1”，反之不成立，取m．即可判断出．
【解析】“m＜0” “m＜1”，反之不成立，取m．
因此“m＜0”是“m＜1”的充分不必要条件．
故选：C．
【变式3】设x∈R，则“x＞2”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先将结论等价化简，再根据充分与必要条件的概念即可求解．
【解析】∵“”等价于：，即，即x（x﹣2）＞0，即x＜0或x＞2，
∴“x＞2”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
题型04 集合法判断充分性与必要性
【典例1】“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出的解集即可求解.
【解析】，
因为，
所以“”是“” 必要不充分条件.
故选：B.
【典例2】已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得.
【解析】因为是的真子集，故是的充分不必要条件.
故选：A.
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A B，则p是q的充分条件．
(2)若B A，则p是q的必要条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
(4)若A B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件．
(5)若B A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件．
(6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件.
【变式1】已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，则x∈A是x∈B的（　　）
A．充分不要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分他不要条件
【答案】B
【分析】分别化简集合A＝[0，+∞），B＝（2，+∞），即可判断出．
【解析】由集合A＝{x|x≥0}，
集合B：x﹣2＞0，解得x＞2，即B＝（2，+∞）．
因此“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．
故选：B
【变式2】设p: -1A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为,所以p是q成立的必要不充分条件.
故选：A.
题型05 递推法判断充分性与必要性
【典例】已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
【答案】（1）充要条件；（2）充要条件；（3）必要条件
【分析】利用箭头画出示意图，再作判断.
【解析】由题意画出网络示意图.
由图可知：
(1)qs，srq，所以s是q的充要条件．
(2)rq，qsr，所以r是q的充要条件．
(3)qsrp，所以p是q的必要条件．
由于逻辑联结符号“ ”“”“ ”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系．
【变式1】已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可.
【解析】因为是的充分非必要条件，所以，，
又的充要条件是，所以，所以，，
所以是的必要非充分条件.
故选：B.
【变式2】若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（ ）
A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件
C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件
【答案】AB
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
【解析】依题，四个命题的关系图可化为：.
则，所以乙是甲的必要不充分条件，A正确；
，甲是丙的充分不必要条件，B正确；
若甲：，丁：，乙和丙均为，满足题设，但此时丁是甲的充分必要条件， C错误；
，所以乙是丁的必要不充分条件，D错误.
故选：AB
题型06 充要条件的证明
【典例】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【证明】必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根，
∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0.
充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．
综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负.
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件” “结论”，必要性需要证明“结论” “条件”．
【变式】已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
【证明】证法一：①充分性：由xy>0及x>y，
得>，即<.
②必要性：由<，得－<0，即<0.
因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
证法二：< －<0 <0.
由条件x>y y－x<0，故由<0 xy>0.
所以< xy>0，即<的充要条件是xy>0.
题型07 充分、必要条件的探求
【典例】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】探究“题干”的一个必要不充分条件，即找一个“选项”，使“题干”能推出“选项”，但“选项”不能推出“题干”.
【解析】关于的一元二次方程有实数解，
则，解得，
结合选项可知的一个必要不充分条件的是.
故选：A.
探求一个命题成立的充分、必要条件问题，首先要确定“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件，其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件，将充要条件等价转化仍得“结论”的充要条件.
【变式1】 “x﹣1＞0”成立的一个必要不充分条件的是（　　）
A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0
【答案】D
【分析】解不等式，可得x＞1，进而依次分析选项，判断选项所给的不等式与x＞1的关系，可判断选项．
【解析】对于不等式x﹣1＞0，解可得x＞1，根据题意，分析选项可得，
A中，x＞1，即x＞1是x﹣1＞0成立的充分必要条件，
B中，x＞2，当x＞2时，x﹣1＞0成立，反之若有x﹣1＞0成立，则不能推出x＞2成立，故x＞2是x﹣1＞0成立的充分不必要条件，
C中，当x＜3时，x﹣1＞0不一定成立，反之x﹣1＞0成立，则不能推出x＜3成立，故x＜3是x﹣1＞0成立的既不充分也不必要条件，
D中，x＞0，当x＞0时，x﹣1＞0不一定成立，反之若有x﹣1＞0成立，则能推出x＞0成立，故x＞0是x﹣1＞0成立的必要不充分条件，
故选：D．
【变式2】已知p：0＜x＜1，那么p的一个充分不必要条件是（　　）
A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C． D．
【答案】C
【分析】由（，） （0，1），再结合充要条件的定义判定即可．
【解析】∵（，） （0，1），
∴p的一个充分不必要条件是x，
故选：C．
【变式3】已知a，b∈R，则“ab≠0”的一个必要条件是（　　）
A．a+b≠0 B．a2+b2≠0 C．a3+b3≠0 D．
【答案】B
【分析】取特殊值判断ACD，根据充分必要条件的定义判断B．
【解析】对于A，令a＝1，b＝﹣1，推不出a+b≠0，故A错误，
对于B，由“ab≠0”得：a≠0且b≠0，故a2+b2≠0，
反之，若a2+b2≠0，推不出ab≠0，比如a＝1，b＝0，
故a2+b2≠0是ab≠0的必要不充分条件，故B正确，
对于C，令a＝1，b＝﹣1，推不出a3+b3≠0，故C错误，
对于D，令a＝1，b＝﹣1，推不出0，故D错误，
故选：B．
题型08 充要条件的探求
【典例】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
【分析】找充要条件就是找等价条件.
【解析】当a＝0时，符合要求．
当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两个异号的实根，则由根与系数的关系可知a<0；
若方程有两个负实根，则解得0综上所述，若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，则a≤1.
反之，若a≤1，则方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
探求充要条件的两种方法:
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
【变式】等式成立的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件.
【解析】因为，
两边平方得：，
所以，即，
所以等式成立的充要条件是.
故选：B
【变式2】设，则“”的充要条件是（ ）
A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0
C．a，b都为1 D．不都为1
【答案】A
【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可.
【解析】由题意，
则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1，
所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”.
故选：A.
题型09 由充分、必要条件求参数的取值范围
【典例1】（2021秋 赫章县期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　）
A．a≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a≤0或a≥1
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行求解即可．
【解析】因为“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要条件，
所以，即0≤a≤1．
故选：B．
【典例2】已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3
【答案】A
【分析】根据“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，可得P Q，再建立a的不等式组可求解．
【解析】∵“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，∴P Q，
∴，∴﹣1≤a≤5，
故选：A．
根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【变式1】已知条件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]
【答案】D
【分析】利用充分不必要条件的定义建立，建立条件关系即可求实数m的取值范围．
【解析】由p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，
若p是q的充分不必要条件，
则{x|﹣1＜x＜1} {x|x＞m}，
则m≤﹣1，
故选：D．
【变式2】如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】由题意，解不等式|x﹣a|＜1得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式组 则有 ，（等号不同时成立），解可得答案．
【解析】根据题意，不等式|x﹣a|＜1的解集是a﹣1＜x＜a+1，设此命题为p，
命题 ，为q；
则p的充分不必要条件是q，
即q表示的集合是p表示集合的真子集；
则有 ，（等号不同时成立）；
解可得；
故选：B．
题型10 与充分、必要条件相关的数学文化题
【典例】《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判定.
【解析】由“小故，有之不必然，无之必不然”，
知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，
故“小故”是逻辑中的必要不充分条件，
所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件.
故选：B.
【变式】在中国传统的十二生肖中，马 牛 羊 鸡 狗 猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【解析】若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必属于六畜；
若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是马.
故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件.
故选：D
题型11 充分、必要条件与集合的交汇题
【典例】已知集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合；
（2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【解析】（1）当时，集合，可得或，
因为，所以.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，即时，此时，满足是的真子集；
当时，则满足，解得，
当时，，此时是的真子集，合乎题意；
当时，，此时是的真子集，合乎题意.
综上，实数的取值范围为.
充分、必要条件与集合的交汇涉及各种题型，但更多的是以解答题的形式出现，往往其中一部分考查集合运算，另一部分考查充分条件、必要条件，对于这类题型，一般采用各个击破法求解.
【变式】已知集合或，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用指数函数和对数函数的性质，化简集合，根据，即可得到满足的条件，求出结果；
（2）结合（1）中的两集合，根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，然后列出不等式，即可求出结果.
【解析】（1）由题知，，，
令，可得，解得或，
令，解得，，
则或，，
若，则，解得，
即实数的取值范围为.
（2）由（1）知，或，，
若是的必要不充分条件，则是的真子集，
所以或，
解得或，
即实数的取值范围为.
单选题
1. “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则，但不一定相等.若，则，故“”是“”的必要不充分条件.
2．使成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，得，因为不能推出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件.
4．已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可得，据此可得答案.
【解析】因是的充分条件，则，故，
则.故选：D
5．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（ ）
A．0 B．2或 C．或 D．0或或
【答案】D
【解析】解法1 ．因为p是q的必要条件，所以 ．当，即时，符合题意；当时，由 ，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或．
解法2（代入法） ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意．
6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可
【解析】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，
因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，
所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件，
故选：D
7．已知p:或，，若是的必要不充分条件，则正实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解不等式求得，成立时的解集，结合条件可得，求解即可.
【解析】解不等式，可得，所以成立时，或，
因为，由，可得，
又是的必要不充分条件，所以，解得.
故选：B.
8.下列命题中，为假命题的是（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件
C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件
【答案】D
【解析】因为，所以“”是“”的必要条件，A是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，B是真命题；因为，C是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，D是假命题．
多选题
9.设，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是的充分不必要条件
B．若，则是的充分不必要条件
C．若，则是的充分必要条件
D．若，，则是的既不充分也不必要条件
【答案】BCD
【解析】若，则由可推出，所以是的充分条件，若，则由可推出，故A错误；若，则推不出，此时是的不必要条件，故B正确；若，则与间可互相推出，此时是的充分必要条件，故C正确；若，，即集合，没有包含关系，与之间不能互相推出，故是的既不充分也不必要条件，故D正确．
10．p是q的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件，r是s的充要条件，p是r的既不充分也不必要条件，则（ ）
A．s是q的必要不充分条件
B．r是q的充分不必要条件
C．q是s的充要条件
D．p是s的既不充分也不必要条件
【答案】BD
【分析】根据题意得出，即可由该条件判断各选项的正误.
【解析】由题意知，
所以是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的既不充分也不必要条件．故BD正确.
故选：BD
11．下列说法正确的是（ ）
A．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件
B．设，是实数，则“”是“”的必要而不充分条件
C．设，一元二次方程有整数根的充要条件是
D．函数的图象关于直线对称的充要条件是
【答案】AD
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解析】对于A，两个三角形全等两个三角形的面积相等，故充分性成立；
但两个三角形的面积相等不能推出两个三角形全等，故必要性不成立，
所以两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故A正确；
对于B：由推不出，如，，满足，但是，故充分性不成立；
由也推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C：当时一元二次方程的根为，故C错误；
对于D：若函数的图象关于直线对称，则，解得，
所以函数的图象关于直线对称的充要条件是，故D正确；
故选：AD
填空题
12.若，则是的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】既不充分也不必要
【分析】解出，再利用集合之间关系以及充要条件的判断方法判断即可.
【解析】，解得，
显然与不具备包含关系，
则是的既不充分也不必要条件.
13．已知集合或,，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是 .
【答案】C
【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案.
【解析】由，则，
由是的充分不必要条件，则，且
可得，解得.
14.在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）.
（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解.
【解析】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确；
（2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确；
（3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确；
（4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误.
解答题
15.已知集合．
(1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1);(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是．
（2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在．
16．已知全集．
(1)当时，求阴影部分表示的集合；
(2)在①．②．③，这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答．
问题：设_______，，是否存在实数m，使得p是的必要不充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1);(2)答案见解析
【解析】（1）或，当时，或，则，所以阴影部分表示的集合为．
（2）由（1）可知，命题为．若选①，命题p为或，因为p是的必要不充分条件，则，所以或，则或，故存在m满足题意，且m的取值范围为或．
若选②，命题p为．因为p是的必要不充分条件，则，所以且等号不同时成立，故不存在满足题意的实数m．
若选③，命题p为，因为p是的必要不充分条件，则，所以且等号不同时成立，解得，故存在m满足题意，m的取值范围为．
17．设集合．
(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；
(2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明．
【答案】(1)证明见解析；(2)k为偶数；证明见解析
【解析】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件．
若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件．
综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
（2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数．
充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M．
必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数．
18．已知集合
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】（1）先解分式不等式得集合，再利用集合的并集定义求解；
（2）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得；
（3）由必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得.
【解析】（1）由不等式移项可得，通分得到．
即，解得，故．
当时，，则.
（2）由，可得，
因为，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得，
综上，，故实数的取值范围为.
（3）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集，
又，，
则，解得，故实数的取值范围是．
19．已知集合．
(1)若，求;
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】 利用交集运算即可；利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；
把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围.
【解析】（1）当时，，
所以；
（2）因为，
所以由，得，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得，
综上，，故实数的取值范围为；
（3）由是的充分不必要条件，可得 ，
又，
则，且式等号不同时成立，解得，
故实数的取值范围是．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.1 必要条件与充分条件
教学目标 (1)理解充分条件、必要条件与充要条件的概念； (2)掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法.
教学重难点 1.重点 (1)充分条件、必要条件与充要条件的判断方法； (2)由充分性、必要性求参数的取值范围． 2.难点 (1)对充分条件、必要条件与充要条件概念的理解； (2)充要条件的证明．
知识点01 必要条件与性质定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称_ ___是_ ___的必要条件，即 __ __.
也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的．
说明：q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可．
【即学即练】
1．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：
（1） ；
（2）a，b都是偶数 是偶数；
（3） ；
（4）n是偶数 n是4的倍数.
2.下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有
（1）若是无理数，则是无理数．
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等．
（3）若，则.
（4）若和都是偶数，则是偶数．
知识点02 充分条件与判定定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称_ __是_ ___的充分条件，即 __ ___.
说明：若p q，则p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了．
【即学即练】
1．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ．
2.已知p:x=0,q:xy=0,p是q的充分条件吗？
(2)已知p:x=1,q:则q是p的必要条件吗？
知识点03 充要条件
一般地，如果p q，且q p，那么称__ __是_ ___的充分且必要条件，简称___是__的充要条件，记作_____．
【即学即练】“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
题型01 用必要条件的语言表述定理
【典例】将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述：
(1)平面四边形的外角和是360°；
(2)在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同．
用必要条件的语言表述定理的一般步骤
(1)分析定理的条件和结论；
(2)将定理写成“若p，则q”的形式；
(3)利用必要条件的概念来表述定理．
【变式】判断下列各组中是否有p q或q p成立，并用必要条件的语言表述：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.
题型02 用充分条件的语言表述定理
【典例】用充分条件的语言表述下面的命题：
(1)若a＝－b，则|a|＝|b|；
(2)若点C是线段AB的中点，则|AC|＝|BC|；
(3)当ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
充分条件的两种判断方法
(1)定义法
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
(2)命题判断法
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
【变式】用充分条件的语言表述下面的命题：
(1)若a＝－b，则|a|＝|b|；
(2)若点C是线段AB的中点，则|AC|＝|BC|；
(3)当ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
题型03 定义法判断充分性与必要性
【典例】在下列各题中，分析p是q的什么条件：(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种)
(1)
(2)
(3)p:x>0,y>0,q:xy>0.
利用定义判断充分性与必要性：
(1)若pq，但p,则称p是q的充分而不必要条件；
(2)若p不能推出q，但qp,则称p是q的必要而不充分条件；
(3)若pq，且qp(即)则说p是q的充要条件；
(4)pq，且qp，则说p是q的既不充分也不必要条件.
【变式1】设x，y都是实数，则“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（　　）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【变式2】设m∈R，则“m＜0”是“m＜1”的（　　）
A．充分必要条件 B．即不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【变式3】设x∈R，则“x＞2”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
题型04 集合法判断充分性与必要性
【典例1】“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A B，则p是q的充分条件．
(2)若B A，则p是q的必要条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
(4)若A B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件．
(5)若B A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件．
(6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件.
【变式1】已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，则x∈A是x∈B的（　　）
A．充分不要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分他不要条件
【变式2】设p: -1A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
题型05 递推法判断充分性与必要性
【典例】已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
由于逻辑联结符号“ ”“”“ ”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系．
【变式1】已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【变式2】若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（ ）
A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件
C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件
题型06 充要条件的证明
【典例】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件” “结论”，必要性需要证明“结论” “条件”．
【变式】已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
题型07 充分、必要条件的探求
【典例】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
探求一个命题成立的充分、必要条件问题，首先要确定“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件，其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件，将充要条件等价转化仍得“结论”的充要条件.
【变式1】 “x﹣1＞0”成立的一个必要不充分条件的是（　　）
A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0
【变式2】已知p：0＜x＜1，那么p的一个充分不必要条件是（　　）
A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C． D．
【变式3】已知a，b∈R，则“ab≠0”的一个必要条件是（　　）
A．a+b≠0 B．a2+b2≠0 C．a3+b3≠0 D．
题型08 充要条件的探求
【典例】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
探求充要条件的两种方法:
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
【变式】等式成立的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】设，则“”的充要条件是（ ）
A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0
C．a，b都为1 D．不都为1
题型09 由充分、必要条件求参数的取值范围
【典例1】（2021秋 赫章县期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　）
A．a≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a≤0或a≥1
【典例2】已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3
根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【变式1】已知条件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]
【变式2】如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．或
题型10 与充分、必要条件相关的数学文化题
【典例】《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式】在中国传统的十二生肖中，马 牛 羊 鸡 狗 猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型11 充分、必要条件与集合的交汇题
【典例】已知集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
充分、必要条件与集合的交汇涉及各种题型，但更多的是以解答题的形式出现，往往其中一部分考查集合运算，另一部分考查充分条件、必要条件，对于这类题型，一般采用各个击破法求解.
【变式】已知集合或，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
单选题
1. “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．使成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（ ）
A．0 B．2或 C．或 D．0或或
【答案】D
【解析】解法1 ．因为p是q的必要条件，所以 ．当，即时，符合题意；当时，由 ，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或．
解法2（代入法） ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意．
6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
7．已知p:或，，若是的必要不充分条件，则正实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8.下列命题中，为假命题的是（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件
C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件
多选题
9.设，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是的充分不必要条件
B．若，则是的充分不必要条件
C．若，则是的充分必要条件
D．若，，则是的既不充分也不必要条件
10．p是q的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件，r是s的充要条件，p是r的既不充分也不必要条件，则（ ）
A．s是q的必要不充分条件
B．r是q的充分不必要条件
C．q是s的充要条件
D．p是s的既不充分也不必要条件
11．下列说法正确的是（ ）
A．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件
B．设，是实数，则“”是“”的必要而不充分条件
C．设，一元二次方程有整数根的充要条件是
D．函数的图象关于直线对称的充要条件是
填空题
12.若，则是的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
13．已知集合或,，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是 .
14.在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）.
（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件.
解答题
15.已知集合．
(1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
16．已知全集．
(1)当时，求阴影部分表示的集合；
(2)在①．②．③，这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答．
问题：设_______，，是否存在实数m，使得p是的必要不充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
17．设集合．
(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；
(2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明．
18．已知集合
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19．已知集合．
(1)若，求;
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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