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专题03不等式中含参问题的六大常考题型
题型一：根据不等式的性质求参
题型二：根据基本不等式求参
题型三：根据一元二次不等式的解集求参
题型四：由一元二次方程的实根分布求参
题型五：由一元二次不等式恒成立求参
题型六：由不等式有解求参
题型一：根据不等式的性质求参
1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据的范围利用不等式的性质直接求解即可.
【解析】由已知，得，
由同向不等式相加得到．
故选：D．
2．（多选）（24-25高一上·四川泸州·期末）已知，，若，则（ ）
A．b的取值范围是 B．ab的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为8
【答案】ABD
【分析】利用不等式性质判断A；由，结合二次函数性质求最值判断B；由，应用基本不等式求最值，注意取值条件判断C；应用基本不等式“1”的代换求最值判断D.
【解析】由题设，则，又，故b的取值范围是，A对；
由，且，故的最大值为，B对；
由，当且仅当取等号，
而，所以取不到，C错；
由，
当且仅当时取等号，故的最小值为8，D对.
故选：ABD
3．（多选）（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的取值范围是
D．的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断.
【解析】不等式，，
对于A，，即，解得，A正确；
对于B，∵，∴，，
又，∴，
即，解得，B错误；
对于C，∵，，∴，
即，解得，C正确；
对于D，∵，，
又，
∴，所以，D正确.
故选：ACD.
4．（多选）（24-25高一上·江苏·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若且，则
D．若，则的取值范围是
【答案】BCD
【分析】特殊值判断A；利用不等式性质判断BC；利用不等式性质求的范围判断D.
【解析】对于A，由，但，即，错误；
对于B，因为，，所以，又因为，，所以，
所以，正确；
对于C，由得，所以，又，所以，正确；
对于D，因为，所以，
两个不等式相加，得到，即的取值范围是，正确.
故选：BCD.
5．（25-26高一上·全国·课后作业）若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若x，y满足，则，从而．若，设，所以解得，则有，所以．
6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ．
【答案】，
【解析】若，则，而，所以有．设，则解得若，，则有，所以，即．
易错警示 题中的第二空易错误的利用如下解法：先由条件得出a，b的范围，再由此得出的范围，即得出的错误结果（其取值范围扩大了）.
7．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）若实数x，y满足，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据不等式的性质计算即可求解.
【解析】由，得，
又，所以.
即的取值范围为.
8．（2025·广东中山·一模）已知，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】将不等式可化为，再进一步化为一元二次不等式进行求解即可.
【解析】将不等式可化为，
由不等式可得，即，求解得：或；
由不等式可得，即，求解得：或；
综上：.
9．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知正数a，b满足，求的最大值；
（2）已知，，求的取值范围．
【分析】（1）根据题意，利用基本不等式，求得，进而求得的最大值；
（2）令，取得，得到，结合不等式的基本性质，即可求解.
【解析】（1）由正数满足，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即，所以，即的最大值为；
（2）令，即，
所以，解得，所以，
因为，，可得，
所以，所以，即的取值范围为.
10．（24-25高二下·天津南开·阶段练习）（1）已知实数、满足，.求的取值范围.
（2）已知，求的最小值.
【分析】（1）利用待定系数法得出，再利用不等式的基本性质可求得的取值范围；
（2）由已知条件得出，结合基本不等式可求得的最小值.
【解析】（1）设，其中、，
所以，解得，，即，
因为，，所以，，
由不等式的基本性质可得，即，
因此，的取值范围是；
（2）因为，即，即，
由基本不等式可得，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
题型二：根据基本不等式求参
11．（25-26高一上·全国·课后作业）设，不等式恒成立，则a的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】因为恒成立，所以恒成立，即恒成立．又，当且仅当时，等号成立，所以，即．
12．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对
【答案】B
【分析】由题意可得，求得即可.
【解析】因为x，，所以，所以，
又，
当且仅当时，取等号，所以，
所以实数a的最小值是.
故选：B.
13．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变换得到，计算得到答案.
【解析】不等式恒成，即，
，
当且仅当，即时等号成立，故.
故选：.
14．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案.
【解析】因为正实数,满足，所以，
则：，
当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以．
故选：B．
15．（24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据条件，得到，又，利用基本不等式，即可求解.
【解析】因为，则，又恒成立，
即恒成立，
又，
当且仅当，即时取等号，所以，
故选：B.
16.（多选）（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为1
C．若，则的最小值为8
D．若恒成立，则的最小值为
【答案】AC
【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可.
【解析】对于A，，当且仅当时取等号，
即，得到，解得．故A正确；
对于B，，
当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误；
对于C，因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当时取等，此时解得，
则的最小值为8，故C正确，
对于D，因为恒成立，且，，
所以恒成立，而
，
令，则可化为，
令，则，
化简得，
而该一元二次方程一定有实数根，得到，
解得，当时，，
故，故即，
得到，则的最小值为，故D错误.
故选：AC
17．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 .
【答案】8
【分析】利用代换1法结合基本不等式来求的最小值，即可求出的最大值.
【解析】由，
因为，，所以有，
当且仅当时取等号，
所以有，
18．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果.
【解析】设 ，，则 ，且 ，，
，
当且仅当时，即时取等；
，
.
19．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：；
（2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）法1：应用作差法比较大小即可证；法2：将不等式左侧展开并结合基本不等式证明结论即可；
（2）问题化为，应用“1”的代换及基本不等式求左式最小值，可得，再解不等式求参数范围.
【解析】（1）方法1：
，
∴；
方法2：∵，，，
∴
，当且仅当时，等号成立，
故.
（2）由恒成立，知，
∵，，，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，即，
∴，解得或，
故m的取值范围为.
20．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知：，求：
(1)的最小值；
(2)，恒成立，求实数的取值范围.
【分析】（1）由基本不等式得到，然后以解出的范围；
（2）由等式化简，然后由基本不等式得到的最小值，由不等式恒成立建立不等式求得实数的取值范围.
【解析】（1），
，当且仅当时等号成立，
，
或（舍去），
则的最小值为4.
（2），
当且仅当，即时等号成立，
即，
∴
21.（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若两个正实数x，y，满足，
(1)求的最小值，并说明此时x，y的值；
(2)若不等式恒成立，则实数m的取值范围.
【分析】（1）根据已知条件，应用基本不等式得，解一元二次不等式求最小值，注意取值条件；
（2）应用“1”的代换求的最小值，问题化为求参数范围.
【解析】（1）若两个正实数x，y，则，
整理得，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以时最小值为2.
（2）由，
当且仅当，即时取等号，
要使已知不等式恒成立，即，则，
所以.
题型三：根据一元二次不等式的解集求参
22．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集.
【解析】由题知，方程的两个根分别为，且，
则，
又，即，
所以的解集为.
故选：A.
23．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集是，则的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】首先根据不等式的解集求出的值，可求出的解集.
【解析】因为不等式的解集是，
所以是方程的两个根.
所以，解得.
所以不等式化简得.
所以.
故选：B.
24．（25-26高一上·全国·课后作业）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】由题意知，1为方程的两根，所以解得则不等式可化为，即，解得．
25．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解.
【解析】因为关于的不等式的解集是，
所以且，
解得，所以的取值范围是.
故选：.
26．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将不等式化为，讨论和两种情况，求出不等式的解集，从而求得的取值范围．
【解析】原不等式可化为，
若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数；
所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，，
令，解得,所以的取值范围是．
故选：B．
27.（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知，若不等式组的解集为，则 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，按方程的判别式大于0和不大于0分类探讨，确定不等式组的解集，结合已知解集及韦达定理求解.
【解析】依题意，方程有两个不等实根，设为，
则，而，解得，
由韦达定理得，故均为正数，
不等式解集为，
若方程有两个不等的根，设为，，
则有，，故均为正数，
因为，所以，又，
故，，
故，而函数在上单调递增，
因此，
由不等式，得或，
不等式组的解集为，与已知矛盾，
则，解得，不等式解集为R，
不等式组的解集为，即，
于是且，解得，符合题意，
所以.
28．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数定义域非空集，则，解得.记，因为，所以的解集为，依题意有或，所以或.又，，所以.
题型四：由一元二次方程的实根分布求参
29．（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（ ）
A．方程的两个实数根满足
B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根
C．已知方程的两个实数根，则
D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则
【答案】D
【分析】根据判别式判断A、B；整理方程求解可得判断C；求一元二次方程的解判断D.
【解析】A：由中，即方程无实根，错；
B：由方程知不一定恒成立，故方程不一定有两个不等的实根，错；
C：由，显然，错；
D：由题设中，对.
故选：D
30．（多选）（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】BC
【分析】根据题设可得，则在上有两个不等的实数解，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围，即可得答案.
【解析】由，则至少有一个元素属于，
由，则至少有一个元素不属于，
又，故，
由有两个不相等的实数解，
对于二次函数，开口向上且对称轴为，
所以，可得.
故选：BC
31．（多选）（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】在题干中的等式两边平方得出，然后对实数的取值进行分类讨论，根据原方程只有一个实数解，可得出关于的等式与不等式，综合可解得实数的取值范围.
【解析】由可得，整理得.
由于方程恰有一个实根，分以下几种情况讨论：
（i）当时，或.
若，则，矛盾；
若，则，解得，满足方程；
（ii）当时，即当且时，
若，解得，
此时方程为，即，解得，
满足方程；
若，方程有两个不等的实根、，
因为，所以，，
所以，，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
故选：BD.
32．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据两根之积小于0列不等式，求解可得结果.
【解析】设方程的两根为，由韦达定理得.
∵方程有一正根一负根，
∴，即，解得，
∴实数的取值范围是.
33．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知关于x的方程（其中均为实数）有两个不等实根.
(1)若，求m的取值范围；
(2)若满足，且，求p的取值范围.
(3)若为两个整数根，p为整数，且，求.
【分析】（1）由题意得二次项系数不为0且判别式大于0，列出不等式即可求解；
（2）结合韦达定理以及判别式大于0，解一元二次不等式即可求解；
（3）由题意首先得到，，再结合均为整数，即可得的值，分类讨论解一元二次方程即可求解.
【解析】（1）当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根，
若方程有两个不等的实数解，
则，解得且，
所以的范围是 .
（2），方程为，，
则，又，即
∴，即，
所以，解得．
所以的取值范围为．
（3）依题意：，且，
，，
因为均为整数，
所以也是整数，
∴或，
时，，又且，∴，
时，，又且，∴．
综上，或．
34．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围．
(1)两根都大于0；
(2)一根大于，另一根小于；
(3)一根在内，另一根不在内；
(4)一根小于1，另一根大于2；
(5)两根都在区间内；
【解析】（1）设
两根都大于0，应满足解得
（2）一根大于，另一根小于，应满足 ,
即 ,
解得 或
（3）一根在内,另一根在内,应满足
即
解得
（4）一根小于1，另一根大于2，应满足
即，解得．
（5）两根都在内，应满足
解得．
题型五：由不等式恒成立求参
35．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式恒成立得出判别式范围即可求解.
【解析】不等式对一切实数恒成立，
则
则实数.
故选：B.
36．（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可.
【解析】不等式在R上恒成立，
∴，解得，这是其充要条件，
是的真子集，其充分不必要条件可以是.
故选：D.
37．（24-25高二下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解.
【解析】因为，不等式恒成立，
当时，不恒成立，不合题意；
当时，满足且，
即，所以，所以，
所以，，
当且仅当即，取的最小值为.
故选：B.
38．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解．
【解析】，
因为不等式对于任意均成立，
所以当时，，符合题意；
当时，则，解得，
综上所述，，
故选：D．
39．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为
【答案】
【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【解析】设，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的，，
不妨代入，得，得，
当时，原不等式可化为，
即，
观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，
故的最小值为.
40．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ．
【答案】
【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解.
【解析】因为不等式对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
又当时，，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，所以实数a的最小值为.
41．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得.
【解析】由时，恒成立，即恒成立，
对于，有，当且仅当时取等号，
又在上单调递减，在上单调递增，且，，
，故的取值范围是.
42．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知二次函数，其中．
(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
【分析】（1）条件可转化为，然后利用基本不等式求出的最小值，即可求得实数的取值范围，
（2）不等式等价于，即，然后分，，，和五种情况讨论求解即可
【解析】（1）不等式即为：，
当时，可变形为：，.
即，
又，当且仅当，即时，等号成立，
∴，即.
实数的取值范围是.
（2），
等价于，即，
①当时，不等式整理为，解得：；
当时，方程的两根为：，.
②当时，可得，解不等式得：或；
③当时
（i）当时，因为，解不等式得：；
（ii）当时，因为，不等式的解集为；
（iii）当时，因为，解不等式得：；
综上所述，不等式的解集为：
①当时，不等式解集为；
②当时，不等式解集为；
③当时，不等式解集为；
④当时，不等式解集为；
⑤当时，不等式解集为.
题型六：由不等式有解求参
43．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
【答案】B
【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可.
【解析】若关于的不等式有解，
则，得
由“”可以推出“”，
由“”不能推出“”，
所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件
故选：B．
44．（23-24高二上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ）
A．9 B．6 C． D．5
【答案】D
【分析】把问题转化为在区间上有解，利用基本不等式求解.
【解析】关于的不等式在区间上有解，
等价于在区间上有解，
即在区间上有解，
又，当且仅当时，取最小值6．
故，可得，则实数的最小值为5．
故选：D．
45．（多选）（24-25高一上·广西玉林·阶段练习）下列四个命题中，是真命题的是（ ）
A．，且，
B．，使得
C．若，，
D．不等式在上有解，则实数a的取值范围是
【答案】BCD
【分析】举例说明判断AB；利用基本不等式推理判断C；分离参数求出最小值判断D.
【解析】对于A，取，，A错误；
对于B，取，，B正确；
对于C，，，当且仅当时取等号，
又，当且仅当时取等号，则，
因此，C正确；
对于D，不等式在上有解，即对成立，
而当时，，，
当且仅当，即时取等号，
则，因此实数a的取值范围是，D正确.
故选：BCD
46．（多选）（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】变换得到在上有解，设，则，得到，根据对勾函数的单调性计算最值得到答案.
【解析】由，即，，
故在上有解，
设，则，
则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且当时，；当时，，
则的最大值为，故.
故选：AB.
47．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知函数.
(1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围；
(2)解关于的不等式；
(3)，使得不等式有解，求实数的取值范围.
【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可；
（2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可；
（3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可.
【解析】（1）不等式的解集为，即恒成立，
当时，的解集不为；
当时，恒成立，则，解得，
所以实数a的取值范围为.
（2）由题意得，
当时，解得；
当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和，
当，即时，的解为或，
当，即时，的解为，
当，即时，的解为或；
当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且，
此时的解为；
综上，当时，的解集为，当时，的解集为，
当时，的解集为，当时，的解集为，
当时，的解集为.
（3）由题意整理得，使得不等式有解，
当时，解得，故使得不等式有解，
当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可，
因为的对称轴为，此时对称轴，
所以当，即时，，
整理得，结合可得此时；
当，即时，，结合可得此时；
当时，是开口向下的抛物线，
当时,所以当时，，使得不等式有解，
综上的取值范围为.
48．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数（）.
(1)若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【分析】（1）原题意等价于有实数解，结合二次函数分析求解即可；
（2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.
【解析】（1）有实数解，等价于有实数解，
且，则，解得，
所以的取值范围是．
（2）依题意，等价于，即，
且，令，解得或，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
49．（24-25高一上·上海·期中）（1）对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
（2）若关于x的不等式的解集不为空集，则实数a的取值范围．
（3）符号表示不大于的最大整数，例如：.设方程的解集为，集合，若，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据绝对值三角不等式可得，即可得求解，
（2）根据对的讨论，结合一次不等式以及二次不等式与二次函数的联系，即可分类讨论求解，
（3）根据的含义可得，即可得，根据，对进行讨论，即可得,根据列不等式即可求解.
【解析】（1）由于，故，即，即，解得，
（2）由于关于x的不等式的解集不为空集，
若，则不等式为，解得，符合解集不为空集，
若，则不等式为，此时解集为空集，不符合题意，舍去，
若，即或，则不等式为一元二次不等式，由于对应的二次函数开口向上，故该不等式的解集一定不为空集，符合题意，
若，即，则不等式为一元二次不等式，由于对应的二次函数开口向下，要使不等式的解集不为空集，则，化简得，解得符合题意，
综上可得或
（3）因为，所以，
当，不等式为，解得，
当，不等式为，解得，
当，不等式为，此时无解，
综上可得，
又，
当时，，则，符合题意；
当时，，
若，则，解得；
当时，，
若，则，解得．
综上所述，实数的取值范围为；
50．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）设．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)当时，解关于x的不等式；
(3)若关于x的不等式在时有解，求实数a的取值范围．
【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案.
（2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法来求得正确答案.
（3）利用分离参数法，结合函数的单调性、最值等知识来求得的取值范围.
【解析】（1）当时，由，得，解得，所以不等式的解集为.
（2）当时，由整理得，
即，令，解得或，
令，解得，
当，即时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或.
（3）依题意，关于x的不等式在时有解，
即在时有解，
由于，
所以在区间上能成立，
由于在区间上单调递增，最小值为，
所以，所以的取值范围是.
【关键点睛】求解含参数的不等式恒成立、能成立问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解，分离参数后，可以利用函数的最值来求得参数的取值范围，在求解的过程中，要注意恒成立问题和能成立问题的区别.
51．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为．
(1)求实数的值；
(2)，都有，求实数的取值范围
(3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）由题意可得是方程的两根，结合韦达定理求解即可；
（2）由（1）可知，求出在上的最小值，即可得答案；
（3）结合（2）求出在上的最大值，即可得答案
【解析】（1）由题意可得是方程的两根，
由韦达定理可得，
解得;
（2）因为，
所以，
当时，则的最小值为，
所以，
所以实数的取值范围为；
（3）由（2）可知当时，则的最大值为，
所以实数的取值范围为.
52．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，关于的不等式有实数解，求实数的取值范围．
【分析】（1）不等式化为，讨论和，从而求出不等式的解集；
（2）不等式化为，讨论和，从而求出的取值范围即可.
【解析】（1）不等式即为，可化为，
由，得；
若，则不等式为，解得；
若，则，解不等式得或；
若，则，解不等式得或；
综上，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为或.
（2）不等式可化为；
时，不等式为，不成立；
时，不等式必有实数解；
时，应满足，解得或，即；
综上，实数的取值范围是．
53．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数．
(1)当时，解关于的不等式；
(2)若，解关于的不等式；
(3)若不等式在上有解，求实数的取值范围．
【分析】（1）把代入，结合二次不等式的求法即可求解；
（2）结合二次不等式的求法对的范围进行分类讨论即可求解；
（3）结合存在性问题与最值关系的转化及基本不等式即可求解．
【解析】（1）当时，，
解得，故不等式的解集为；
（2）由可得，，，
当时，，所以解集为；
当时，，所以解集为；
当时，，所以解集为；
（3）若在上有解，
则在上有解，
故，即在上有解，
由，得，
故，
令，则，
，
当且仅当时取等号，所以．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03不等式中含参问题的六大常考题型
题型一：根据不等式的性质求参
题型二：根据基本不等式求参
题型三：根据一元二次不等式的解集求参
题型四：由一元二次方程的实根分布求参
题型五：由一元二次不等式恒成立求参
题型六：由不等式有解求参
题型一：根据不等式的性质求参
1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（24-25高一上·四川泸州·期末）已知，，若，则（ ）
A．b的取值范围是 B．ab的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为8
3．（多选）（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的取值范围是
D．的取值范围是
4．（多选）（24-25高一上·江苏·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若且，则
D．若，则的取值范围是
5．（25-26高一上·全国·课后作业）若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ．
6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ．
7．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）若实数x，y满足，，则的取值范围是 .
8．（2025·广东中山·一模）已知，则实数的取值范围是 .
9．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知正数a，b满足，求的最大值；
（2）已知，，求的取值范围．
10．（24-25高二下·天津南开·阶段练习）（1）已知实数、满足，.求的取值范围.
（2）已知，求的最小值.
题型二：根据基本不等式求参
11．（25-26高一上·全国·课后作业）设，不等式恒成立，则a的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
12．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对
13．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
16.（多选）（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为1
C．若，则的最小值为8
D．若恒成立，则的最小值为
17．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 .
18．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 .
19．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：；
（2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围．
20．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知：，求：
(1)的最小值；
(2)，恒成立，求实数的取值范围.
21.（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若两个正实数x，y，满足，
(1)求的最小值，并说明此时x，y的值；
(2)若不等式恒成立，则实数m的取值范围.
题型三：根据一元二次不等式的解集求参
22．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
23．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集是，则的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
24．（25-26高一上·全国·课后作业）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．或
25．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
26．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
27.（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知，若不等式组的解集为，则 ．
28．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是 .
题型四：由一元二次方程的实根分布求参
29．（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（ ）
A．方程的两个实数根满足
B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根
C．已知方程的两个实数根，则
D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则
30．（多选）（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
31．（多选）（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
32．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ．
33．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知关于x的方程（其中均为实数）有两个不等实根.
(1)若，求m的取值范围；
(2)若满足，且，求p的取值范围.
(3)若为两个整数根，p为整数，且，求.
34．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围．
(1)两根都大于0；
(2)一根大于，另一根小于；
(3)一根在内，另一根不在内；
(4)一根小于1，另一根大于2；
(5)两根都在区间内；
题型五：由不等式恒成立求参
35．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
37．（24-25高二下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
38．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
39．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为
40．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ．
41．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
42．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知二次函数，其中．
(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
题型六：由不等式有解求参
43．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
44．（23-24高二上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ）
A．9 B．6 C． D．5
45．（多选）（24-25高一上·广西玉林·阶段练习）下列四个命题中，是真命题的是（ ）
A．，且，
B．，使得
C．若，，
D．不等式在上有解，则实数a的取值范围是
46．（多选）（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
47．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知函数.
(1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围；
(2)解关于的不等式；
(3)，使得不等式有解，求实数的取值范围.
48．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数（）.
(1)若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
49．（24-25高一上·上海·期中）（1）对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
（2）若关于x的不等式的解集不为空集，则实数a的取值范围．
（3）符号表示不大于的最大整数，例如：.设方程的解集为，集合，若，求实数的取值范围．
50．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）设．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)当时，解关于x的不等式；
(3)若关于x的不等式在时有解，求实数a的取值范围．
51．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为．
(1)求实数的值；
(2)，都有，求实数的取值范围
(3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围．
52．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，关于的不等式有实数解，求实数的取值范围．
53．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数．
(1)当时，解关于的不等式；
(2)若，解关于的不等式；
(3)若不等式在上有解，求实数的取值范围．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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