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专题1.4 随机事件的运算
教学目标 1.了解随机事件的并、交与互斥的含义. 2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.
教学重难点 1.重点：用简单随机事件的并、交表示复杂的随机事件 2.难点：对互斥事件、对立事件的理解.
知识点01 事件的运算（重点）
定义 记法 图示
事件A与事件B的并事件（和事件） 事件A与事件B 所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件（和事件），这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B 中 A∪B(或A+B)
事件A与事件B的交事件（积事件） 事件A与事件B 所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件（或积事件），这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中 A∩B(或AB)
【知识剖析】
（1）和事件
①按照定义可知，事件A+B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生.
②不难看出，A（A+B）且 B（A+B）
（2）积事件
按照定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生.
【即学即练】
1．打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（ ）
A．“全部击中” B．“至少击中1次”
C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次”
2．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（ ）
A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1
知识点02 事件的关系（重点）
定义 记法 图示
包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B ，则称“A包含于B”（或B“包含A”） 或
相等关系 如果事件A发生时，事件B ；而且事件B发生时，事件A也 ，则称“ A与B相等”记作A=B.A=BAB且BAA与B有相同的样本点 A=B
互斥事件 给定事件A，B，若事件A与B ，则称A与B互斥， AB= 或AB=
对立事件 若 ，且 ,则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作 = ,=Ω
【知识剖析】
（1）包含关系
①不可能事件记作 ，任何事件都包含不可能事件，即C （C为任一事件）.
②事件A也包含于事件A，即AA.
③事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生.
④AB也可用充分必要的语言表述为∶A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件.
（2）相等关系
①两个相等事件总是同时发生或同时不发生.
②所谓事件A=B，就是说事件A，B是同一事件.
③在验证两个事件是否相等时，常用到相等事件的定义.
④A=BAB且 BA，A=B也可用充分必要的语言表述为∶A发生是 B发生的充要条件·
(3)互斥与对立的理解
①事件A与事件B互斥:表示事件A与事件B不可能同时发生，即A与B两个事件
同时发生的概率为0.
②用集合的观点来看，是A在Ω中的补集，如果B=，则称A与B 相互对立.
【即学即练】
1.(2025湖北省新八校协作体高二上联考，易)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生
C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生
2．（多选）（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（ ）
A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球”
C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球”
3.连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系．
题型01 进行事件的运算
【典例1-1】（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
互斥事件与对立事件的判断方法
要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，知道它们对事件结果的影响．必要时可以把具体的事件列举出来，更易于分辨．
【变式1-1】（2025吉林通化高二上联考）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（ ）
A．
B．表示向上的点数是1或3或5
C．表示向上的点数是1或3
D．表示向上的点数是1或5
【变式1-2】(多选)从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动,有如下随机事件:A=“至少有一个女生”,B=“至少有一个男生”,C=“恰有一个男生”,D=“两个都是女生”,E=“恰有一个女生”.下列结论正确的有(　　)
A.C=E　　　B.A=B C.D∩E≠ 　　　D.B∩D= ,B∪D=Ω
题型02 互斥事件与对立事件
【典例2-1】（24-25高一下·全国·课后作业）若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
【典例2-2】（23-24高一下·北京通州·期末）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A．2个小球恰有一个红球 B．2个小球至多有1个红球
C．2个小球中没有绿球 D．2个小球至少有1个红球
【变式2-1】从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是( )
A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B．至少有一个黄球与都是黄球
C．至少有一个黄球与都是蓝球 D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球
【变式2-2】(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）从一批产品（其中正品 次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是 .①恰好有1件次品和恰好有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品.
题型03 事件的包含与相等
【典例3-1】（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　)
A． B．
C． D．与之间没有关系
【典例3-2】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题．
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
判断事件间关系的方法
（1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的.
（2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.
【变式3-1】（多选）（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）抛一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数小于5”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则（ ）
A．A与B是互斥事件，但不是对立事件 B．
C．A与C是互斥事件 D．
【变式3-2】从一副52张的扑克牌中任取一张，设事件A：抽出红桃，事件B：抽出黑桃，事件C：抽出红色牌，事件D：抽出黑色牌．分别讨论以下事件之间的关系：
(1)A与B；
(2)C与D；
(3)B与D．
练基础
1．事件M N，当N发生时，下列必发生的是(　　)
A．M B．M∩N
C．M∪N D．M的对立事件
2．若干人站成一排，其中为互斥事件的是(　　)
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头”
D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
3.(2025广东佛山市顺德区乐从中学高二上月考)向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（ ）
A． B．
C． D．
4.(2025湖北省新八校协作体高二上联考)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生
C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生
5．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是( )
A． B． C． D．
6．（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品，以下结论正确的是（ ）
A． B．是必然事件
C． D．
7．向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是 ．
8.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件
与事件B，C，E的关系；
(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.
9．（22-23高一下·天津河北·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)写出事件R与G，M与N之间的关系；
(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系．
练提升
10．从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是( )
A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件
C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件
11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则( )
A．甲与丙是互斥事件 B．乙与丙是对立事件
C．甲与丁是对立事件 D．丙与丁是互斥事件
12．（多选）（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（ ）
A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件
C． D．
13．（24-25高一下·全国·课后作业）给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“二次都出现正面”，事件B：“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；（2）在命题（1）中，事件A与事件B是互斥事件；（3）在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数是 ．
14．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取1张，下列每组事件是否为互斥事件？若是互斥事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件、事件的对立事件．
(1)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是方片”；
(2)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是K”；
(3)表示“抽出的牌是红色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”；
(4)表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”；
(5)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”；
(6)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一张方片”，表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一张方片”．
15．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
(1)与互斥；(2)，为对立事件；(3)；(4)；(5)，；
(6)；(7)；(8)E，F为对立事件；(9)；(10)
16．扑克牌中的秘密
扑克牌有54张，52张正牌表示一年有52个星期，2张副牌中的大猫代表太阳，小猫代表月亮；黑桃、红桃、方块、梅花表示春、夏、秋、冬四季，红色牌代表白昼，黑色牌代表黑夜；每一季13个星期与扑克牌每一花色13张正好一致，52张牌的点数相加是364，再加上小猫的一点，是365，与一般年份天数相同；如果再加上大猫的一点，那就正好是闰年的天数.扑克牌的K、Q、J共有12张，既表示一年有12个月，又表示太阳在一年中经过12个星座.
现从52张扑克牌（除去大猫和小猫）中任抽1张.
问题
（1） “抽出代表夏季的牌”与“抽出代表秋季的牌”是不是互斥事件，是不是对立事件？
（2） “抽出代表白昼的牌”与“抽出代表黑夜的牌”是不是互斥事件，是不是对立事件？
（3） “抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”是不是互斥事件，是不是对立事件？
17．连续掷一颗骰子两次，观察掷得的点数．设A：第一次掷得的点数为1，：第一次掷得的点数为1，第二次掷得的点数为j，B：两次掷得的点数之和为6，C：第二次掷得的点数比第一次的大3．
(1)写出下列事件的对应子集：
①A、B至少有一个发生； ②A、B同时发生．
(2)分别判断A与B、A与C、B与C是否为互斥事件？
(3)讨论与A的关系．
练创新
18.(多选)(2025广东佛山高二上联考，中)如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（ ）
A． B． C． D．
19.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
②恰好订阅一种学习资料；
③没有订阅任何学习资料.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.4 随机事件的运算
教学目标 1.了解随机事件的并、交与互斥的含义. 2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.
教学重难点 1.重点：用简单随机事件的并、交表示复杂的随机事件 2.难点：对互斥事件、对立事件的理解.
知识点01 事件的运算（重点）
定义 记法 图示
事件A与事件B的并事件（和事件） 事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件（和事件），这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B 中 A∪B(或A+B)
事件A与事件B的交事件（积事件） 事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件（或积事件），这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中 A∩B(或AB)
【知识剖析】
（1）和事件
①按照定义可知，事件A+B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生.
②不难看出，A（A+B）且 B（A+B）
（2）积事件
按照定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生.
【即学即练】
1．打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（ ）
A．“全部击中” B．“至少击中1次”
C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次”
【答案】D
【详解】“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确.
故选：D．
2．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（ ）
A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1
【答案】C
【分析】列出样本空间，进而可得到事件A与事件B，根据事件的运算求解即可.
【详解】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间．
其中事件A包含的样本点有：，，，共4个．
事件包含的样本点有：，共2个．
所以事件包含的样本点有：，，，，共5个；
事件包含的样本点有：共1个．
故选：C
知识点02 事件的关系（重点）
定义 记法 图示
包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B” （或B“包含A”） 或
相等关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“ A与B相等”记作A=B.A=BAB且BAA与B有相同的样本点 A=B
互斥事件 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥， AB= 或AB=
对立事件 若A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作 = ,=Ω
【知识剖析】
（1）包含关系
①不可能事件记作 ，任何事件都包含不可能事件，即C （C为任一事件）.
②事件A也包含于事件A，即AA.
③事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生.
④AB也可用充分必要的语言表述为∶A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件.
（2）相等关系
①两个相等事件总是同时发生或同时不发生.
②所谓事件A=B，就是说事件A，B是同一事件.
③在验证两个事件是否相等时，常用到相等事件的定义.
④A=BAB且 BA，A=B也可用充分必要的语言表述为∶A发生是 B发生的充要条件·
(3)互斥与对立的理解
①事件A与事件B互斥:表示事件A与事件B不可能同时发生，即A与B两个事件
同时发生的概率为0.
②用集合的观点来看，是A在Ω中的补集，如果B=，则称A与B 相互对立.
【即学即练】
1.(2025湖北省新八校协作体高二上联考，易)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生
C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生
【答案】C
【解析】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女.
至少有1名女生与全是女生可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；
至少有1名女生与全是男生是对立事件，故B错误；
恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确；
至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误.
故选C.
2．（多选）（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（ ）
A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球”
C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球”
【答案】AB
【分析】由对立事件，互斥事件的定义结合题意逐一判断即可.
【详解】从口袋内一次取出2个球，这个试验的样本空间 (白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，包含6个基本事件，
当事件“两球都为白球”发生时，事件“两球都不是白球”和事件“两球恰有一白球”不可能发生，满足互斥事件的定义，
且“两球都为白球”不发生时，事件“两球都不是白球”不一定发生，事件“两球恰有一白球”不一定发生，故非对立事件，故A、B正确；
“两球都为白球”发生时，事件“两球至少有一个白球”可以发生，故不是互斥事件，故C错误；
事件“两球不都是白球”意思是“两球至少有一个不是白球”与事件“两球都是白球”是对立事件，
故D错误.
故选：AB
3.连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系．
【详解】当事件A发生时，事件一定发生，当事件发生时，事件一定发生，因此有，；
当事件发生时，事件一定不发生，当事件发生时，事件一定不发生，
因此事件与事件之间不存在包含关系．
题型01 进行事件的运算
【典例1-1】（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得.
【详解】表示前两次测试成绩均及格，故A错误；
表示后两次测试都没有及格，故B错误；
表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确；
表示三次测试成绩均不及格，故D错误，
故选：C
【典例1-2】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意，由事件之间的基本关系，逐一判断，即可得到结果.
【详解】“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中，
“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，
故，，，.
故选：BC
互斥事件与对立事件的判断方法
要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，知道它们对事件结果的影响．必要时可以把具体的事件列举出来，更易于分辨．
【变式1-1】（2025吉林通化高二上联考）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（ ）
A．
B．表示向上的点数是1或3或5
C．表示向上的点数是1或3
D．表示向上的点数是1或5
【答案】B
【详解】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件，“向上的点数是1或5”为事件，
所以事件不等于事件，故A错误；
事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误；
事件表示“向上的点数是1”，故D错误；
故选B.
【变式1-2】(多选)从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动,有如下随机事件:A=“至少有一个女生”,B=“至少有一个男生”,C=“恰有一个男生”,D=“两个都是女生”,E=“恰有一个女生”.下列结论正确的有(　　)
A.C=E　　　B.A=B C.D∩E≠ 　　　D.B∩D= ,B∪D=Ω
【答案】AD
【详解】对于A,事件C,E均为“1个男生1个女生”,则C=E,A正确;
对于B,事件A为“1个男生1个女生或2个女生”,B为“1个男生1个女生或2个男生”,则A≠B,B错误;
对于C,事件D为“两个都是女生”,E为“1个男生1个女生”,包含的样本点不相同,则D∩E= ,C错误;
对于D,事件B为“1个男生1个女生或2个男生”,D为“两个都是女生”,则B∩D= ,B∪D=Ω,D正确.故选AD.
题型02 互斥事件与对立事件
【典例2-1】（24-25高一下·全国·课后作业）若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
【答案】A
【分析】利用互斥事件的概念，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A，因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确，
对于选项B，因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确，
对于选项C，因为“甲站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项C不正确，
对于选项D，因为“甲不站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项D不正确，
故选：A.
【典例2-2】（23-24高一下·北京通州·期末）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A．2个小球恰有一个红球 B．2个小球至多有1个红球
C．2个小球中没有绿球 D．2个小球至少有1个红球
【答案】A
【分析】根据题意，由互斥事件的定义依次分析选项，即可得到结果.
【详解】2个小球恰有一个红球包括2个小球1个红球1个黄球和2个小球1个红球1个绿球，与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立，符合题意，故A正确；
2个小球至多有1个红球包括2个小球都不是红球和2个小球恰有1个红球，则2个小球至多有1个红球与事件“2个小球都为红色”是对立事件，故B错误；
2个小球中没有绿球包括2个小球都为红色，2个小球都为黄色和2个小球1个红球1个黄球，则事件“2个小球都为红色”是2个小球中没有绿球的子事件，故C错误；
2个小球至少有1个红球包括2个小球都是红球和2个小球1个红球1个不是红球，则事件“2个小球都为红色”是2个小球至少有1个红球的子事件，故D错误；
故选：A
【变式2-1】从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是( )
A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B．至少有一个黄球与都是黄球
C．至少有一个黄球与都是蓝球 D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球
【答案】A
【详解】从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下4种：
①3个球全是黄球；
②2个黄球和1个蓝球；
③1个黄球2个蓝球；
④3个球全是蓝球．
对于A，恰有一个黄球是情况③，恰有一个蓝球是情况②，
∴恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故A正确；
对于B，至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①，
∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
对于C，至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④，
∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故C错误；
对于D，至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④，
∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．
故选：A．
【变式2-2】(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）从一批产品（其中正品 次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是 .①恰好有1件次品和恰好有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品.
【答案】①④
【详解】从一批产品中任取2件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于2件，
恰有1件次品和恰有2件次品是互斥的；
至少有1件次品和全是正品是互斥的；
至少有件正品和至少有件次品能同时发生，两者不是互斥事件；
至少有件次品和全是次品能同时发生，两者不是互斥事件；
∴①④是互斥事件.
故答案为：①④
题型03 事件的包含与相等
【典例3-1】（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　)
A． B．
C． D．与之间没有关系
【答案】C
【分析】根据题意，结合列举法求得事件和事件，进而得到两事件的关系，得到答案.
【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，
其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，
所以.
故选：C.
【典例3-2】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题．
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
【分析】（1）根据事件的包含关系和相等关系的概念，即可得到答案；
（2）根据和事件的定义，即可判断结果.
【详解】（1）因为事件，，，发生，则事件必发生，
所以，，，．
同理可得，事件E包含事件，，，，，；事件包含事件，，；事件F包含事件，，；事件G包含事件，，．
因为在掷骰子的试验中，出现的点数不大于1即为出现1点，
所以事件与事件相等，即．
（2）因为事件{出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点}，
所以（或）．
同理可得，，，，，
即事件,为和事件.
判断事件间关系的方法
（1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的.
（2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.
【变式3-1】（多选）（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）抛一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数小于5”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则（ ）
A．A与B是互斥事件，但不是对立事件 B．
C．A与C是互斥事件 D．
【答案】AD
【分析】根据互斥事件，对立事件，事件的包含关系，事件相等的定义判断各命题即可.
【详解】根据题意，试验的样本空间，，，，.
对于选项A:因为，，所以A与B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确；
对于选项B:因为，，所以，故B错误；
对于选项C:因为，所以A与C不是互斥事件，故C错误；
对于选项D:因为，，所以，故D正确.
故选：AD.
【变式3-2】从一副52张的扑克牌中任取一张，设事件A：抽出红桃，事件B：抽出黑桃，事件C：抽出红色牌，事件D：抽出黑色牌．分别讨论以下事件之间的关系：
(1)A与B；
(2)C与D；
(3)B与D．
【分析】（1）由于“抽出红桃”与“抽出黑桃”不可能同时发生，故A与B是互斥事件．再由这两个事件的和不是必然事件，故A与B不是对立事件．
（2）由于“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，故它们时互斥事件；再由这两个事件的和事件是必然事件，故它们也是对立事件．
（3）根据若事件B发生，事件D一定发生；若事件D发生，则事件B不一定发生，即可解答.
【详解】（1）从52张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花各13张，且点数都是从1～13）中，任取一张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”不可能同时发生，故它们是互斥事件．
再由这两个事件的和不是必然事件（还有可能是“方片”或“梅花”），故它们不是对立事件．
综上可得，与是互斥事件，但不是对立事件．
（2）由于“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，故C与D是互斥事件；再由这两个事件的和事件是必然事件，故C与D也是对立事件．
（3）若事件B：抽出黑桃发生，则一定是黑色牌，即事件D一定发生；若事件D：抽出黑色牌发生，则不一定是黑桃，即事件B不一定发生，所以
练基础
1．事件M N，当N发生时，下列必发生的是(　　)
A．M B．M∩N
C．M∪N D．M的对立事件
【答案】C
【详解】由于M N，则当N发生时，M不一定发生，M∩N也不一定发生，而M∪N一定发生．
2．若干人站成一排，其中为互斥事件的是(　　)
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头”
D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
【答案】A
【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件．
3.(2025广东佛山市顺德区乐从中学高二上月考)向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】依题意，事件表示两次点数和为6，
因此事件用样本点表示为.
故选A.
4.(2025湖北省新八校协作体高二上联考)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生
C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生
【答案】C
【详解】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女.
至少有1名女生与全是女生可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；
至少有1名女生与全是男生是对立事件，故B错误；
恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确；
至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误.
故选C.
5．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】至少有1名男生包含2名全是男生 1名男生1名女生，故，，
故A，C正确；
事件B与D是互斥事件，故，故B正确，
表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，
故，D错误，故选：D.
6．（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品，以下结论正确的是（ ）
A． B．是必然事件
C． D．
【答案】AB
【详解】表示的事件：至少有1件次品，即事件C，所以A正确，C不正确；
表示的事件：至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情况，所以B正确；
表示的事件：至多有1件次品，即事件D，所以D不正确.
故选：AB.
7．向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是 ．
【答案】
【详解】设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”“点数为2或4或6”，则.
8.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件
与事件B，C，E的关系；
(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.
【详解】(1)事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件，所以B A，C A，E A，A=B+C+E
(2)“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事件D有相同的两个基本事件，即“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或两次正面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，所以AD=B+C
9．（22-23高一下·天津河北·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)写出事件R与G，M与N之间的关系；
(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系．
【详解】（1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，
所以试验的样本空间，
事件，事件，事件，
事件.
（2）由（1）知，，而 ，所以事件互斥，不对立；
，所以事件互为对立事件.
（3）由（1）知，，所以事件是事件与事件的并事件.
练提升
10．从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是( )
A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件
C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件
【答案】A
【详解】根据题意
，
则，所以与是互斥事件，A正确；
，所以与是互斥且对立事件，B错误；
，所以与是互斥且对立事件，C错误；
所以与不是对立事件，D错误.
故选：A.
11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则( )
A．甲与丙是互斥事件 B．乙与丙是对立事件
C．甲与丁是对立事件 D．丙与丁是互斥事件
【答案】D
【详解】对于A，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则两次取球的情况有，
所以事件甲丙可能同时发生，不是互斥事件，A错误；
对于B，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，是互斥不对立的事件，B错误；
对于C，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，
则两次取球的情况有等，所以甲丁可能同时发生，不是互斥事件，C错误；
对于D，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，
丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，两个事件不会同时发生，是互斥事件，D正确；
故选：D．
12．（多选）（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（ ）
A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件
C． D．
【答案】ABC
【详解】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确；
对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；
事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误
故选：ABC．
13．（24-25高一下·全国·课后作业）给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“二次都出现正面”，事件B：“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；（2）在命题（1）中，事件A与事件B是互斥事件；（3）在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数是 ．
【答案】1
【分析】根据题意结合互斥与对立事件的定义，分析每个命题的真假判断即可.
【详解】对于（1）（2），因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，
还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，
所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；
对于（3），若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，
所以事件A和事件B不是互斥事件．
故命题（1）是假命题，命题（2）是真命题，命题（3）是假命题．
14．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取1张，下列每组事件是否为互斥事件？若是互斥事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件、事件的对立事件．
(1)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是方片”；
(2)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是K”；
(3)表示“抽出的牌是红色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”；
(4)表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”；
(5)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”；
(6)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一张方片”，表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一张方片”．
【详解】(1)因为表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是方片”，
所以与互斥，但与不对立．
的对立事件是“抽出的牌不是红心”，
的对立事件是“抽出的牌不是方片”．
(2)因为表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是K”；
当出现红心K时，事件、都发生，所以与不互斥也不对立．
(3)因为表示“抽出的牌是红色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”；
所以与互斥且与对立．
(4)因为表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”；
当出现方片2，3，4，6，10之一，则事件、都发生，所以与不互斥也不对立．
(5)因为表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”；
所以与互斥且与对立．
(6)因为表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一张方片”，
表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一张方片”．
所以与互斥，但与不对立．
的对立事件是“抽出的牌面不是方片2，3，4，5，6，7之一”，
的对立事件是“抽出的牌面不是方片8，9，10，J，Q，K，A之一”．
15．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
(1)与互斥；(2)，为对立事件；(3)；(4)；(5)，；
(6)；(7)；(8)E，F为对立事件；(9)；(10)
【解析】该试验的样本空间可表示为,
由题意知,,,,,.
(1),,满足,所以与互斥,故正确；
(2),,满足但不满足.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；
根据对应的集合易得,(3)正确；(4)正确；(5)正确；
(6),所以,故正确；(7),故正确；
(8)因为, ,所以E,F为对立事件,故正确；
(9)正确；(10)正确.
16．扑克牌中的秘密
扑克牌有54张，52张正牌表示一年有52个星期，2张副牌中的大猫代表太阳，小猫代表月亮；黑桃、红桃、方块、梅花表示春、夏、秋、冬四季，红色牌代表白昼，黑色牌代表黑夜；每一季13个星期与扑克牌每一花色13张正好一致，52张牌的点数相加是364，再加上小猫的一点，是365，与一般年份天数相同；如果再加上大猫的一点，那就正好是闰年的天数.扑克牌的K、Q、J共有12张，既表示一年有12个月，又表示太阳在一年中经过12个星座.
现从52张扑克牌（除去大猫和小猫）中任抽1张.
问题
（1） “抽出代表夏季的牌”与“抽出代表秋季的牌”是不是互斥事件，是不是对立事件？
（2） “抽出代表白昼的牌”与“抽出代表黑夜的牌”是不是互斥事件，是不是对立事件？
（3） “抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”是不是互斥事件，是不是对立事件？
【详解】(1)“抽出代表夏季的牌”与“抽出代表秋季的牌”，即“抽出红桃”与“抽出方块”，这是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“黑桃”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.
(2)“抽出代表白昼的牌”与“抽出代表黑夜的牌”，即“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们是互斥事件，也是对立事件.
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，也不是对立事件.
17．连续掷一颗骰子两次，观察掷得的点数．设A：第一次掷得的点数为1，：第一次掷得的点数为1，第二次掷得的点数为j，B：两次掷得的点数之和为6，C：第二次掷得的点数比第一次的大3．
(1)写出下列事件的对应子集：
①A、B至少有一个发生； ②A、B同时发生．
(2)分别判断A与B、A与C、B与C是否为互斥事件？
(3)讨论与A的关系．
【详解】（1）①根据和事件的定义可得，A、B至少有一个发生为；②根据积事件的定义可得，A、B同时发生为；
（2）因为，，故A与B不互斥，A与C不互斥，
又，,
所以，所以B与C互斥；
（3）由题意，.
练创新
18.(多选)(2025广东佛山高二上联考，中)如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】 对于A项，由题意得， “甲元件正常”， “乙、丙元件同时故障”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”，故表示电路是通路；
对于B项，“甲、乙元件同时故障”，“甲原件和乙原件至少有一个正常”， “乙、丙元件同时故障”，“乙原件和丙原件至少有一个正常”，不能得到甲原件一定正常，故不能表示电路是通路；
对于C项，“甲元件正常”， “乙元件正常”， “丙元件正常”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”，故表示电路是通路；
对于D项，“甲、乙元件均正常”， “甲、丙元件均正常”， 故表示电路是通路.
故选ACD.
19.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
②恰好订阅一种学习资料；
③没有订阅任何学习资料.
【详解】（1）由给定图形可知，区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料都订阅；
区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料；
区域5表示该生只订阅语文学习资料；
区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅.
（2）①至少订阅一种学习资料的事件即是事件A发生，或者事件B发生，或者事件C发生，
所以至少订阅一种学习资料的事件为：A+B+C；
②恰好订阅一种学习资料的事件包含只订阅数学资料的事件，只订阅语文资料的
事件，只订阅英语资料的事件，它们互斥，
所以恰好订阅一种学习资料的事件为：；
③没有订阅任何学习资料的事件是事件、、同时发生，所以这个事件表示为：.
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