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第七章 概率（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（ ）
A．至少有名女生 B．至少两名男生
C．至多一名女生 D．全是男生
2．打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（ ）
A．“全部击中” B．“至少击中1次”
C．“至多击中1次” D．“至少击中2次”
3．已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（ ）
A．与相互独立且 B．与不相互独立且
C．与相互独立且 D．与不相互独立且
4．高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的.假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为m，n，，该同学只进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
5．河图的排列结构如图，“一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中”，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（ ）
A．甲180枚，乙180枚
B．甲288枚，乙72枚
C．甲240枚，乙120枚
D．甲270枚，乙90枚
7．小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有3张黑色牌和3张红色牌，小王手中有3张黑色牌和2张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有7张牌的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）．现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是（ ）
A． B． C． D．
二 选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9．下列事件是随机事件的是（ ）
A．明天是阴天
B．方程有两个不相等的实数根
C．明年长江武汉段的最高水位是
D．一个三角形的大边对小角，小边对大角
10．已知甲、乙两鱼塘均养有草鱼、青鱼、鲢鱼三种不同类型的鱼，已知甲鱼塘的草鱼和青鱼的频率分别为0.3，0.4，乙鱼塘的草鱼和青鱼的频率分别为0.4，0.2．现从甲、乙两鱼塘各随机打捞一条鱼，则（ ）
A．两条鱼中一条为草鱼一条为青鱼的概率为0.22
B．两条鱼都是青鱼的概率为0.12
C．两条鱼中至少有一条为草鱼的概率为0.58
D．两条鱼中恰好有一条为鲢鱼的概率为0.36
11．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（ ）
A．这两个图都是二部图的概率为
B．这两个图至少有一个是二部图的概率为
C．这两个图不都是二部图的概率为
D．这两个图恰有一个是二部图的概率为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．如图为竖平面内的一些通道，图中线条均表示通道，一钢珠从入口处自上而下沿通道自由落下，则落入B处的概率是 ．
13．在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是
14．甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），第一局甲获胜的概率为，之后两人每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，设甲每局比赛概率获胜概率为（），其中，若上局获胜，则下一局获胜的概率比上局获胜概率更大且满足（），若上局未获胜，则下一局获胜的概率为，若甲乙比赛三局结束的概率为，则4局结束比赛并且甲获胜的概率为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）
有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．
(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率；
(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，求恰有1人做对的概率.
16．(15分)
2025年6月10日，“2025年湖南·怀化屈原爱国怀乡诗歌文化推广季暨传统龙舟赛”在溆浦县盛大开幕．此次活动吸引了35支龙舟队参赛，线上线下观众达数十万人．怀化市某校乘势举行纪念爱国诗人屈原的挑战赛，比赛设置了三道题，三道题的分值依次为1，2，3分，每个挑战者按题目顺序依次答题，答错不停止挑战，直至答完三道题．同学甲三道题答对的概率分别为，且每道题的答题互不影响．
(1)求同学甲得0分的概率；
(2)若得分不低于4分可获得挑战赛纪念品，求同学甲获得纪念品的概率．
17．（17分）
不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5.
(1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为n”，当时，分别求事件A，B的概率；
(2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签.
游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜；
游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜；
游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为n时获胜.
小明同学决定先玩游戏一，当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？
18．(15分)
某大学就业部从该大学2025年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下的频率分布直方图：
若月薪落在区间的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见．其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈1500元（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）现该校2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生？
（2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；
（3）位于某省的一高校2018届某专业本科毕业生共200人，现他们决定于2019年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用．假定这200人与所抽取样本中的100人月薪分布情况相同，并用样本频率进行估计，现有两种收费方案：
方案一：按每人一个月薪水的10%收取；
方案二：月薪高于样本平均数的每人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何用．
问：哪一种收费方案最终总费用更少？
19．（17分）
数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为；发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为.假设每次数字的传输相互独立，且.
(1)若发送的数据为“01”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率；
(2)用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为，如“001”，则，对应的概率记为.
（ⅰ）若发送的数据为：“011”，且，求；
（ⅱ）若发送的数据为“0101”，求的最大值.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第七章 概率（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（ ）
A．至少有名女生 B．至少两名男生
C．至多一名女生 D．全是男生
【答案】D
【分析】根据互斥与对立事件的概念直接判断即可.
【详解】A选项：事件“至少有名女生”与事件“至多一名男生”可以同时发生，不满足互斥事件的概念，A选项错误；
B选项：事件“至少两名男生”与事件“至多一名男生”互为对立事件，B选项错误；
C选项："至多一名女生"即为“至少二名男生”，与事件“至多一名男生”为对立事件，
，C选项错误；
D选项：事件“全是男生”与事件“至多一名男生”，不能同时发生，满足互斥事件概念，
又除两事件外还有可能发生事件“恰好两名男生”，所以两事件不对立，D选项正确；
故选：D.
2．打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（ ）
A．“全部击中” B．“至少击中1次”
C．“至多击中1次” D．“至少击中2次”
【答案】C
【分析】根据题意用自然语言描述出事件，即可得.
【详解】由题意，表示共击中0次，表示共击中1次，
所以表示打靶3次，其中“至多击中1次”，或“击中不超过1次”.
故选：C
3．已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（ ）
A．与相互独立且 B．与不相互独立且
C．与相互独立且 D．与不相互独立且
【答案】C
【分析】根据已知判断是否成立，结合概率的性质求，即可得.
【详解】由题设，，，
所以事件与事件相互独立；
由概率的性质，有.
故选：C
4．高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的.假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为m，n，，该同学只进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于，的方程组，求解即可．
【详解】由该同学可以进入两个社团的概率为，得，
由三个社团都进不了的概率为，得，
整理得，解得.
故选：D
5．河图的排列结构如图，“一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中”，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定河图确定阳数、阴数，再利用古典概率公式求解即得.
【详解】由题图知，阳数为，阴数为，
因此从阳数和阴数中各取一数的所有情况共有（种），
满足差的绝对值大于5的有，共4个，
所以所求概率.
故选：A
6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（ ）
A．甲180枚，乙180枚
B．甲288枚，乙72枚
C．甲240枚，乙120枚
D．甲270枚，乙90枚
【答案】D
【分析】利用独立事件的概率公式进行求解即可.
【详解】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为，
假设两人继续进行比赛，
甲获取360枚金币有：第四局甲赢，或第四局甲输，第五局甲赢，
故概率为，
乙获取360枚金币有：第四、五局乙都赢，
故概率为，
则甲应该获得枚金币，乙应该获得枚金币，
故选：D
7．小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有3张黑色牌和3张红色牌，小王手中有3张黑色牌和2张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有7张牌的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用独立事件概率的乘法原理计算即可.
【详解】进行两次后，小王手中有7张牌意味着小王这两次都赢了，
第一次总事件数为种，小王赢的事件数是种，
则第一次小王赢的概率是，
第一次赢之后小张有5张牌，第一种情况是有2张黑色牌，3张红色牌，
小王有4张黑色牌，有2张红色牌，
第二次总事件数为种，小王赢的事件数是种，
则第二次小王赢的概率是：
第二种情况是有3张黑色牌，2张红色牌，小王有3张黑色牌，有3张红色牌，
第二次总事件数为种，小王赢的事件数是种，
则第二次小王赢的概率是：
出现第一种情况是第一次小王出红色牌，概率是，
出现第二种情况是第一次小王出黑色牌，概率是，
则两次均赢的概率为：.
故小王手中有7张牌的概率为.
故选：D.
8．在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）．现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，共有8种可能，然后再考虑能打结的有几种，即可解题.
【详解】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，所以共有8种可能.
先固定中间，有如图所示的四种情形，
这四种情形只有最后一种可以拉成结（可利用头发实验），
将这四种情形翻转得到另外四种情形，
所以共有两种情形可以拉成结，故所求概率为.
故选：B
二 选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9．下列事件是随机事件的是（ ）
A．明天是阴天
B．方程有两个不相等的实数根
C．明年长江武汉段的最高水位是
D．一个三角形的大边对小角，小边对大角
【答案】AC
【分析】根据随机事件的定义分别判断即可．
【详解】对于A，明天的天气不一定阴天，不一定发生的是随机事件，故A合题意；
对于B，方程的判别式，所以方程有两个不相等的实根是不可能事件，故B不合题意；
对于C，明年长江武汉段的最高水位目前不能预测，所以是随机事件，故C合题意；
对于D，根据三角形中，大边对大角可知一个三角形中大边对小角，小边对大角是不可能事件，故D不合题意；
故选：AC．
10．已知甲、乙两鱼塘均养有草鱼、青鱼、鲢鱼三种不同类型的鱼，已知甲鱼塘的草鱼和青鱼的频率分别为0.3，0.4，乙鱼塘的草鱼和青鱼的频率分别为0.4，0.2．现从甲、乙两鱼塘各随机打捞一条鱼，则（ ）
A．两条鱼中一条为草鱼一条为青鱼的概率为0.22
B．两条鱼都是青鱼的概率为0.12
C．两条鱼中至少有一条为草鱼的概率为0.58
D．两条鱼中恰好有一条为鲢鱼的概率为0.36
【答案】AC
【分析】根据从甲、乙两鱼塘打捞出草鱼、青鱼、鲢鱼，分别设出事件，依题求出它们的概率，利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的概率公式，分别对各选项相关事件的概率计算判断即可.
【详解】记事件，，分别为从甲鱼塘打捞到草鱼、青鱼、鲢鱼，
由频率估计概率可知，，，
记事件，，分别为从乙鱼塘打捞到草鱼、青鱼、鲢鱼，
则，，．
对于A，两条鱼中一条为草鱼一条为青鱼的概率为，故A正确；
对于B，两条鱼都是青鱼的概率为，故B错误；
对于C，两条鱼中至少有一条为草鱼的概率为：，故C正确；
对于D，两条鱼中恰好有一条为鲢鱼的概率为，故D错误．
故选：AC.
11．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（ ）
A．这两个图都是二部图的概率为
B．这两个图至少有一个是二部图的概率为
C．这两个图不都是二部图的概率为
D．这两个图恰有一个是二部图的概率为
【答案】BC
【分析】首先根据二部图的定义确定这6个图中，二部图的个数，再根据古典概型，通过列举的方法，即可概率.
【详解】
对于图（1），图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内，
这显然不符合二部图的定义，图（4）也是如此，所以图（1）与图（4）不是二部图．
除了这两个图，其他四个图都是二部图，
例如，对于图（3），当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，
另一个关联结点必在中；
对于图（5），当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，
另一个关联结点必在中．从这六个图中任选两个，所有的选择为
，
，
，共15种．
这两个图都是二部图的选择共有6种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有14种，
这两个图不都是二部图的选择共有9种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有8种，
故这两个图都是二部图的概率为，故A错误；
这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确；
这两个图不都是二部图的概率为，故C正确；
这两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误.
故选：BC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．如图为竖平面内的一些通道，图中线条均表示通道，一钢珠从入口处自上而下沿通道自由落下，则落入B处的概率是 ．
【答案】
【分析】通过分析钢珠落入各通道的路径情况来计算概率.
【详解】钢珠每次从竖直通道出来，都有向左或向右2种选择，
当钢珠进入第4层竖直通道，共有种等可能的路径，
落入B处的路径有3种（左左右、左右左、右左左），所以落入B处的概率为.
13．在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是
【答案】
【分析】灯亮即开关闭合，且，至少有一个闭合，结合对立事件和独立事件的概率可解得结果.
【详解】设“开关，，闭合”分别为事件，，，则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥，
所以.
14．甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），第一局甲获胜的概率为，之后两人每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，设甲每局比赛概率获胜概率为（），其中，若上局获胜，则下一局获胜的概率比上局获胜概率更大且满足（），若上局未获胜，则下一局获胜的概率为，若甲乙比赛三局结束的概率为，则4局结束比赛并且甲获胜的概率为 ．
【答案】
【分析】由已知条件列式求出，若打完4场结束比赛，则需一方以获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可，有第1、2、4场获胜，第1、3、4场获胜，第2、3、4场获胜三种情况，分别出每种情况的概率，并求和即可.
【详解】若三局结束比赛，则可能三局均为甲胜，或者三局均为乙胜，
若均为甲胜，则概率，
若均为乙胜，则概率，
，
即，解得或（舍去），所以，
若打完4场结束比赛，则需一方以获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可，
其中甲在第1、2、4场获胜的概率，
其中甲在第1、3、4场获胜的概率，
其中甲在第2、3、4场获胜的概率，
所以打完4场结束比赛甲获胜的概率.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）
有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．
(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率；
(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，求恰有1人做对的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用频率估计概率即可得解.
（2）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式求解即得.
【详解】（1）依题意，从甲校随机抽取1人，做对题目的概率为.（5分）
（2）记事件A为“从甲校抽取1人做对”，则，，
记事件B为“从乙校抽取1人做对”，则，（10分）
记事件C为“恰有1人做对”，则，
所以.(13分)
16．(15分)
2025年6月10日，“2025年湖南·怀化屈原爱国怀乡诗歌文化推广季暨传统龙舟赛”在溆浦县盛大开幕．此次活动吸引了35支龙舟队参赛，线上线下观众达数十万人．怀化市某校乘势举行纪念爱国诗人屈原的挑战赛，比赛设置了三道题，三道题的分值依次为1，2，3分，每个挑战者按题目顺序依次答题，答错不停止挑战，直至答完三道题．同学甲三道题答对的概率分别为，且每道题的答题互不影响．
(1)求同学甲得0分的概率；
(2)若得分不低于4分可获得挑战赛纪念品，求同学甲获得纪念品的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式可求；
（2）分析答题得分情况，然后利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式可得.
【详解】（1）设同学甲答对三道题的事件分别为，
，同学甲得0分，则三道题都答错，
所以同学甲得0分的概率，
即同学甲得0分的概率.（7分）
（2）得分不低于4分的情况有，
同学甲获得纪念品的概率
，
所以同学甲获得纪念品的概率.（15分）
17．（17分）
不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5.
(1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为n”，当时，分别求事件A，B的概率；
(2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签.
游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜；
游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜；
游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为n时获胜.
小明同学决定先玩游戏一，当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？
【答案】(1)，
(2)n的取值为5，6，7
【分析】（1）先写出样本空间，结合古典概型的概率公式即可得解；
（2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书签的概率，从而得到概率，综合（1），由此得解.
【详解】（1）对于事件A，有放回地依次取出两个球的样本空间，则，
因为，所以，
所以，
对于事件B，不放回地依次取出两个球的样本空间
，则，因为，
所以，所以；（6分）
（2）设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”，
记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，
从盒子中随机取出一个球的样本空间为，
则，，，所以.
则，，，互斥，A，B，C相互独立，
所以
.（12分）
同理，.
因为，所以，解得.
综合（1）知，，对应的均为，比大，所以满足题意；
，对应的均为，小于，不满足题意.
因此，符合题意的n的取值为5，6，7.(15分)
18．(15分)
某大学就业部从该大学2025年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下的频率分布直方图：
若月薪落在区间的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见．其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈1500元（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）现该校2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生？
（2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；
（3）位于某省的一高校2018届某专业本科毕业生共200人，现他们决定于2019年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用．假定这200人与所抽取样本中的100人月薪分布情况相同，并用样本频率进行估计，现有两种收费方案：
方案一：按每人一个月薪水的10%收取；
方案二：月薪高于样本平均数的每人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何用．
问：哪一种收费方案最终总费用更少？
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1），，经比较可知张茗属于就业不理想的学生；（2）月薪不超过5000的有3人，超过5000的有3人，从6人中抽2人共有15种，其中符合恰有1人月薪不超过5000的有9种，由古典概型概率公式可得；（3）方案一收取133000元，方案二收取108000元，经比较可知方案二符合题意．
【详解】（1）=3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015+6500×1000×0.00030
+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015+9500×1000×0.00005=6650，
-2s=6650-3000=3650＞3600，所以张茗属于“就业不理想“的学生．（4分）
（2）第一组有1000×0.00005×100=5人，第二组有1000×0.00010×100=10人，第三组有1000×0.00015×100=15人，所以按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为A，第二组抽2人，记为B，C，第三组抽3人，记为D，E，F，
从这6人中抽2人共有15种：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）．其中恰有一人月薪不超过5000元的有9种：（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）．
根据古典概型概率公式可得P==．（10分）
（3）同一组中的数据用该组区间的中点值作代表可得：
方案一：月薪在3000-4000之间的收取1000×0.00005×200×3500×0.1=3500；
月薪在4000-5000之间的收取1000×0.00010×200×4500×0.1=9000；
月薪在5000-6000之间的收取1000×0.00015×200×5500×0.1=16500；
月薪在6000-7000之间的收取1000×0.00030×200×6500×0.1=39000；
月薪在7000-8000之间的收取1000×0.00020×200×7500×0.1=30000；
月薪在8000-9000之间的收取1000×0.00015×200×8500×0.1=25500；
月薪在9000-10000之间的收取1000×0.00005×200×9500×0.1=9500；
共收取133000元．（14分）
方案二：月薪高于6650的收取800×200×1000×（0.00020+0.00015+0.00005）=64000；
月薪不低于4000但低于6650的收取400×200×1000×（0.00010+0.00015+0.00030）=44000；
共收取108000．
故方案二最终总费用更少．（17分）
19．（17分）
数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为；发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为.假设每次数字的传输相互独立，且.
(1)若发送的数据为“01”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率；
(2)用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为，如“001”，则，对应的概率记为.
（ⅰ）若发送的数据为：“011”，且，求；
（ⅱ）若发送的数据为“0101”，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）接收到的两个数字中有且只有一个正确，包括数字0接收正确数字1错误和数字0接收错误数字1正确两种情况，利用事件独立性和互斥性计算即可求解；
（2）（i）事件表示接收到的数据中含两个0，包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误，②数学0错误，数字1都错误，事件表示接收到的数据中含三个0，只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误，然后建立等式，将代入等式中消元，然后根据范围确定取值：（ii）理解事件包含以下三种情况：①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确，③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，分别求出概率再相加，利用换元的思想，令，利用二次函数的性质研究最值即可求解，注意需要确定的范围.
【详解】（1）记“接收到的两个数字中有且只有一个正确”为事件A，由已知，
事件包含两种情况：
第一种数字0接收正确数字1错误，概率为：，
第二种数字0接收错误数字1正确，概率为：，
所以；（5分）
（2）（i）由发送的数据为“011“可知，事件表示接收到的数据中含两个0，
包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误，（7分）
②数学0错误，数字1都错误，
所以，
事件表示接收到的数据中含三个0，
只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误，
所以，
由得：
，
化简得，
又，上式可化为：
或（舍去）；（11分）
（ⅱ）当发送的数据为“0101”，事件包含以下三种情况：
①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为，
②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确，
其概率为，
③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为
，
，
令，则，
又且，，
，
，（15分）
记，
由二次函数的性质可知，在单调递减，
得最大值为，
即的最大值为.（17分）
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