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2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2019必修第一册第一章-第七章。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
2．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，8，，14，16，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．若，则下列选项一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
5．已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（ ）
A．若与相互独立，则
B．若与互斥，则
C．若，则事件与相互独立
D．若发生时一定发生，则
6．农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1200倍.
（参考数据：，，，）
A．122 B．124 C．130 D．136
7．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义域为的函数满足当时，，且对任意都有，则当时，关于的方程的实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ）
A．甲和乙为互斥而不对立事件 B．丙和丁为互斥而不对立事件
C． D．甲和丁为独立事件
10．设正实数a、b满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为9 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
11．正数，，满足，则（ ）
A．当时， B．
C．当时， D．当时，
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成．现从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是 ．
13．已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 ．
14．已知定义在上的函数为增函数，当时，满足，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知集合.
(1)求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．(15分)北京时间2023年12月15日21时41分，我国在海南文昌航天发射中心用长征五号运载火箭成功将遥感四十一号卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功.据了解，在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度（单位：米/秒），其中（单位：米/秒）是喷流相对速度（即喷流相对火箭箭体喷出的速度，由火箭发动机性能决定，运动过程中视为常数），是指火箭的初始速度（单级火箭初始速度视为0，二级火箭视为上一飞行阶段火箭的最大速度），在每个飞行阶段中，（单位：吨）是火箭消耗的推进剂的质量，（单位：吨）是指火箭在该阶段的总质量（含推进剂），称为总质比，已知型火箭是一枚单级火箭，型火箭是一枚二级火箭，它们的喷流相对速度均为1000米/秒.（参考数据：，）.
(1)型火箭飞行时会经历两个飞行阶段，先点燃一级助推器，一级助推器燃料耗尽后将其抛掉，再点然二级火箭进入第二阶段，型火箭的总质量共12吨，其中一级助推器总重量7吨，装载了6吨推进剂，二级火箭总重为5吨，装载了4吨推进剂，求理想状态下型火箭的最大速度；
(2)型火箭只有一个飞行阶段，经过技术改进后其喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使型火箭在理想状态下的最大速度至少增加500米/秒，求在技术改进前总质比的最小整数值
17．（15分）已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于．
(1)求的表达式；
(2)函数，求x满足的最大整数．
18．（17分）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图：
(1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；
(2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②.
19．（17分）已知函数
(1)求的单调区间;
(2)设函数
（i） 证明:有两个零点，且. ；
（ii）若关于x的方程 的解集中只含有一个元素，求a的取值范围.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2025-2026学年高一上学期期末模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：北师大版2019必修第一册第一章~第七章。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
2．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，8，，14，16，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．若，则下列选项一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
5．已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（ ）
A．若与相互独立，则
B．若与互斥，则
C．若，则事件与相互独立
D．若发生时一定发生，则
6．农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1200倍.
（参考数据：，，，）
A．122 B．124 C．130 D．136
7．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义域为的函数满足当时，，且对任意都有，则当时，关于的方程的实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ）
A．甲和乙为互斥而不对立事件 B．丙和丁为互斥而不对立事件
C． D．甲和丁为独立事件
10．设正实数a、b满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为9 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
11．正数，，满足，则（ ）
A．当时， B．
C．当时， D．当时，
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成．现从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是 ．
13．已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 ．
14．已知定义在上的函数为增函数，当时，满足，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知集合.
(1)求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．（15分）北京时间2023年12月15日21时41分，我国在海南文昌航天发射中心用长征五号运载火箭成功将遥感四十一号卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功.据了解，在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度（单位：米/秒），其中（单位：米/秒）是喷流相对速度（即喷流相对火箭箭体喷出的速度，由火箭发动机性能决定，运动过程中视为常数），是指火箭的初始速度（单级火箭初始速度视为0，二级火箭视为上一飞行阶段火箭的最大速度），在每个飞行阶段中，（单位：吨）是火箭消耗的推进剂的质量，（单位：吨）是指火箭在该阶段的总质量（含推进剂），称为总质比，已知型火箭是一枚单级火箭，型火箭是一枚二级火箭，它们的喷流相对速度均为1000米/秒.（参考数据：，）.
(1)型火箭飞行时会经历两个飞行阶段，先点燃一级助推器，一级助推器燃料耗尽后将其抛掉，再点然二级火箭进入第二阶段，型火箭的总质量共12吨，其中一级助推器总重量7吨，装载了6吨推进剂，二级火箭总重为5吨，装载了4吨推进剂，求理想状态下型火箭的最大速度；
(2)型火箭只有一个飞行阶段，经过技术改进后其喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使型火箭在理想状态下的最大速度至少增加500米/秒，求在技术改进前总质比的最小整数值
17．（15分）已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于．
(1)求的表达式；
(2)函数，求x满足的最大整数．
18．（17分）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图：
(1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；
(2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②.
19．（17分）已知函数
(1)求的单调区间;
(2)设函数
（i） 证明:有两个零点，且. ；
（ii）若关于x的方程 的解集中只含有一个元素，求a的取值范围.
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全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2019必修第一册第一章~第七章。
第一部分（选择题 共58分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图可知所求集合为，由交集、并集和补集运算可求得结果.
【详解】由题意知：阴影部分表示的集合为，
，，.
故选：B.
2．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，8，，14，16，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】先由中位数和极差的概念得到，再由百分位数的计算方法求出即可；
【详解】该组数据的中位数为，极差为15，故，
则，，则第60百分位数为10.
故选：D.
3．若，则下列选项一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应用特殊值法判断AB；利用指数函数单调性CD.
【详解】当时，，，故AB选项错误；
因为，所以，由在定义域上单调递增，
所以，，C选项错误，D选项正确.
故选：D
4．已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】由题知，，再根据计算求解．
【详解】由，，
故选：B．
5．已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（ ）
A．若与相互独立，则
B．若与互斥，则
C．若，则事件与相互独立
D．若发生时一定发生，则
【答案】B
【分析】根据互斥事件和相互独立事件的概率公式逐项判断.
【详解】对于A，若A与B相互独立，则，
所以，故A正确；
对于B，若A与B互斥，则，故B错误；
对于C，因为，则，
因为，所以事件A与相互独立， 故C正确；
对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D正确．
故选：B.
6．农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1200倍.
（参考数据：，，，）
A．122 B．124 C．130 D．136
【答案】A
【分析】设经过天后蝗虫数量达到原来的倍，列出方程，结合对数的运算性质即可求解
【详解】由题意可知，蝗虫最初有只且日增长率为6%；
设经过n天后蝗虫数量达到原来的1200倍，则
，∴，
∴，
∵，∴大约经过122天能达到最初的1200倍.
故选：A.
7．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】首先利用与比较大小，得，然后判断内函数与外函数的单调性，再根据同增异减得函数的单调性，然后判断出.
【详解】因为；；，所以；令，则，已知函数在定义域上单调递增，函数在定义域上单调递减，由复合函数同增异减，即可得函数在定义域上单调递减，所以.
故选：D.
【点睛】比较指对数大小时，当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“”或“”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小；关于复合函数的单调性的判断，需要先分析内函数与外函数的单调性，然后利用同增异减判断整个函数的单调性.
8．已知定义域为的函数满足当时，，且对任意都有，则当时，关于的方程的实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】画出及的图象，结合图象即可求解.
【详解】由任意都有，可知当时，的周期为1，
画出及的图像，
则，对应的直线在中间，包含 ，
由图象可知：与，恒有4个交点，
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ）
A．甲和乙为互斥而不对立事件 B．丙和丁为互斥而不对立事件
C． D．甲和丁为独立事件
【答案】AD
【分析】根据题意，列出试验的样本空间，利用互斥、对立事件的定义即可判断A，B两项；通过枚举法计算出相应事件的概率，利用独立事件的乘法公式判断即可.
【详解】因在一次取球中，甲事件与乙事件不可能同时发生，除了这两个基本事件外，还有事件“恰有2个红球”，
故甲和乙为互斥而不对立事件，即A正确；
而在一次取球中，丙事件与丁事件可以同时发生，如同时取到了编号为1和3的小球，则两事件都发生了，
即丙和丁不是互斥事件，即B错误；
因为从袋子中随机地取出2个球，共有等6种情况，
且，，，
所以甲和丁为独立事件，故C错误，D正确．
故选：AD.
10．设正实数a、b满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为9 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】BC
【分析】由已知结合“1”的妙用、均值不等式及不等式性质逐项判断即可作答.
【详解】对于A，因，则，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9，A不正确；
对于B，因，则，当且仅当时取“=”，所以的最大值为，B正确；
对于C，因，则，当且仅当时取“=”，所以的最大值为，C正确；
对于D，因，则，当且仅当时取“=”，所以的最小值为，D不正确.
故选：BC
11．正数，，满足，则（ ）
A．当时， B．
C．当时， D．当时，
【答案】ABC
【分析】根据题目条件结合指数函数与对数函数的性质逐一分析判断选项.
【详解】对于A，此时，易知与均为增函数，
而，，可得，，，故A正确；
对于B，，即，可得，
同理，，于是，故B正确；
对于C，显然，令，
可知是增函数，是增函数，是减函数，故是增函数，
而，，得，于是，故C正确；
对于D，由,，
解得或,与,矛盾，故D错误.
故选：ABC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成．现从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是 ．
【答案】
【分析】由古典概型的概率计算公式可得结果.
【详解】从8个卦中任取一卦，基本事件总数，
其中由2根和1根构成的基本事件个数，
所以从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是.
故答案为：.
13．已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据的奇偶性和在上单调递减，可得在上单调递增，所求可转化为，根据对数函数性质，计算化简，即可得答案.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以可化为，
因为，
所以或，
因为在上单调递增，
所以或，解得或．
故答案为：
14．已知定义在上的函数为增函数，当时，满足，则 .
【答案】
【分析】通过令和，得到，再令，得到，结合函数的单调性，得到，求解并验证即可.
【详解】令得：，
令，得，即，
再令，
得，
因为，
即，
所以，又，
又定义在上的函数为增函数，
所以，解得，
当时，
，
，
因为，所以，而，不符合增函数，故舍去，
经验证符合题意，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知集合.
(1)求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或，
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式、分式不等式求集合，再应用集合的交运算求集合；
（2）由必要不充分条件有 ，进而分情况求解参数范围.
【详解】（1）由题意知：集合，
集合或，
所以或，；
（2）由“是的必要不充分条件”知： ，
当时，，即，符合题意，
当时，，即，
综上所述，实数的取值范围是.
16．(15分)北京时间2023年12月15日21时41分，我国在海南文昌航天发射中心用长征五号运载火箭成功将遥感四十一号卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功.据了解，在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度（单位：米/秒），其中（单位：米/秒）是喷流相对速度（即喷流相对火箭箭体喷出的速度，由火箭发动机性能决定，运动过程中视为常数），是指火箭的初始速度（单级火箭初始速度视为0，二级火箭视为上一飞行阶段火箭的最大速度），在每个飞行阶段中，（单位：吨）是火箭消耗的推进剂的质量，（单位：吨）是指火箭在该阶段的总质量（含推进剂），称为总质比，已知型火箭是一枚单级火箭，型火箭是一枚二级火箭，它们的喷流相对速度均为1000米/秒.（参考数据：，）.
(1)型火箭飞行时会经历两个飞行阶段，先点燃一级助推器，一级助推器燃料耗尽后将其抛掉，再点然二级火箭进入第二阶段，型火箭的总质量共12吨，其中一级助推器总重量7吨，装载了6吨推进剂，二级火箭总重为5吨，装载了4吨推进剂，求理想状态下型火箭的最大速度；
(2)型火箭只有一个飞行阶段，经过技术改进后其喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使型火箭在理想状态下的最大速度至少增加500米/秒，求在技术改进前总质比的最小整数值
【答案】(1)米/秒
(2)
【分析】（1）根据已知公式，结合公式中字母代表的意义、对数的运算性质进行求解即可；
（2）根据题意列出不等式，根据对数的性质和对数函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）第一阶段：，，
所以最大速度为，
第二阶段，最大速度为，
因此理想状态下型火箭的最大速度为米/秒；
（2）设，
要使型火箭在理想状态下的最大速度至少增加500米/秒，
则有
，因为，所以，
因此技术改进前总质比的最小整数值为.
17．（15分）已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于．
(1)求的表达式；
(2)函数，求x满足的最大整数．
【答案】(1)
(2)0
【分析】(1)将点的坐标代入函数解析式直接求解即可；
(2)结合(1)，将代入题意中的不等式，得出关于x的一元二次不等式，解不等式即可.
【详解】（1）由题意可知函数的图象过点，
∴，
∴函数的图象过点和点，
∴
解得或（舍去），
∴．
（2），
∵，
∴，即，
解得，
∴x满足的最大整数为0．
18．（17分）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图：
(1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；
(2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②.
【答案】(1)，众数是；
(2)，；
(3)①证明见解析 ；②证明见解析.
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，根据频率分布直方图可计算得出甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数.
（2）将图2中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，可求得，再利用方差公式可求得.
（3）①利用平均数公式可证得结论成立；②推导出，再利用方差公式可证得结论成立.
【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得，
甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是.
（2），
.
（3）①依题意，，所以原等式成立.
② ，
又，则，
同理，
，
所以.
19．（17分）已知函数
(1)求的单调区间;
(2)设函数
（i） 证明:有两个零点，且. ；
（ii）若关于x的方程 的解集中只含有一个元素，求a的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）利用换元法结合复合函数性质求解单调区间即可.
（i）利用对勾函数的性质结合零点存在性定理证明零点存在，再证明，进而得到定值即可.
（ii）利用对给定式子合理变形，结合函数的单调性得到，再将方程有根问题转化为函数交点问题，求解参数范围即可.
【详解】（1）由对数函数性质得的定义域为，
因为，所以，
则，令，
即可化为，
由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
由对数函数性质得在上单调递增，
令，解得，则在上单调递增，
令，解得，则在上单调递减，
综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）（i）因为，所以，
则令，
由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
结合函数的性质得在上单调递增，在上单调递减，
而，
，
则，由零点存在性定理得存在作为零点，
而，
则，由零点存在性定理得存在作为零点，
故一定存在两个零点，，得到，
而，
，
，
，得到，
故，结合，得到，
而，则，结合，
故和都在同一单调区间内，即，解得；
（ii）若，则，
由已知得，故，
则使即可，而，
由基本不等式得，
当且仅当时取等，此时，则
而，故在同一单调区间内，
得到，即，
由题意得，我们开始讨论的取值范围，
当时，方程变为，解得，
此时的解集中只含有一个元素，符合题意，
当时，得到，
即，若解集中只含有一个元素，
则和在上只有一个交点，
而，
，
令，则，代入原函数中，
原函数可化为，
，
化简得，当时，此时符合题意，
当时，，
由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
结合函数的性质得在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增，
而，且当时，，
当时，，
且当时，，即当时，满足题意，
则，综上，.
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