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同步探究学案
课题 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 单元 第二十五章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．通过求根公式推导韦达定理，掌握两根之和、两根之积． 2．不解方程，利用根与系数关系求两根和、积，以及含两根简单代数式的值． 3．能已知两根，构造对应的一元二次方程，体会方程根与系数内在联系．
重点 掌握韦达定理、，能不解方程求两根和、积，会利用两根构造一元二次方程．
难点 自主借助求根公式完成韦达定理代数推导，灵活对含两根的代数式变形，整体代入两根和与积求值．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．上节课我们学习了哪种解一元二次方程的简便解法？解一元二次方程的核心思路是什么？ 2．解方程．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助求根公式，研究一元二次方程的根与系数。 思考：观察求根公式，它有什么特点 由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 分析：整体上看，两个根分别是“”和“”的形式，而且式子“”中含有根号.这种形式的式子相加可以消去“”，相乘可以去掉“”中的根号，从而使形式简洁. 解：因为 所以 归纳：由此得出，一元二次方程的两个根与其系数有如下关系: 这种表示方式中，交换的位置，不影响它们的和、积的值.随着后续的学习，研究一元次方程的根与系数的关系时，我们会认识到这种表示更具一般性. 上述关系还可以用如下方法得出. 我们知道，如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两个根为和.反过来，如果一元二次方程的两个根为和，那么 即 由此可得 因此 注意： 1．在使用两根之和关系式时，不要漏写“－”； 2．能用根与系数的关系的前提条件为b2－4ac≥0 ； 3．方程不是一般式的要先化成一般式． 例：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积: (1)；(2)；(3). 归纳：利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的两点注意： （1）一元二次方程必须有两个实数根(Δ≥0)． （2）两根之和中的负号与方程中a，b的符号不要混淆．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（ ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的两根为，，则______． 3．已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，求的值． 选做题： 4．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（ ） A．10 B．12 C．20 D．24 2．写一个二次项系数为1的一元二次方程，让它的两个根分别为5，（化为一般形式）：______． 3．若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 选做题： 4．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（ ） A．14 B． C． D．10 【综合拓展类作业】 5．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由．
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课题 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 单元 第二十五章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．通过求根公式推导韦达定理，掌握两根之和、两根之积． 2．不解方程，利用根与系数关系求两根和、积，以及含两根简单代数式的值． 3．能已知两根，构造对应的一元二次方程，体会方程根与系数内在联系．
重点 掌握韦达定理、，能不解方程求两根和、积，会利用两根构造一元二次方程．
难点 自主借助求根公式完成韦达定理代数推导，灵活对含两根的代数式变形，整体代入两根和与积求值．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．上节课我们学习了哪种解一元二次方程的简便解法？解一元二次方程的核心思路是什么？ 答案：因式分解法，核心是降次，把二次方程转化为一次方程． 2．解方程． 解：左边分解因式，得 于是 即
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助求根公式，研究一元二次方程的根与系数。 思考：观察求根公式，它有什么特点 由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 分析：整体上看，两个根分别是“”和“”的形式，而且式子“”中含有根号.这种形式的式子相加可以消去“”，相乘可以去掉“”中的根号，从而使形式简洁. 解：因为 所以 归纳：由此得出，一元二次方程的两个根与其系数有如下关系: 这种表示方式中，交换的位置，不影响它们的和、积的值.随着后续的学习，研究一元次方程的根与系数的关系时，我们会认识到这种表示更具一般性. 上述关系还可以用如下方法得出. 我们知道，如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两个根为和.反过来，如果一元二次方程的两个根为和，那么 即 由此可得 因此 注意： 1．在使用两根之和关系式时，不要漏写“－”； 2．能用根与系数的关系的前提条件为b2－4ac≥0 ； 3．方程不是一般式的要先化成一般式． 例：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积: (1)；(2)；(3). 解:(1). (2). (3)方程化为，所以. 归纳：利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的两点注意： （1）一元二次方程必须有两个实数根(Δ≥0)． （2）两根之和中的负号与方程中a，b的符号不要混淆．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．一元二次方程的两根为，，则______． 答案： 3．已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，求的值． 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为、， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或． 选做题： 4．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类练习】 5．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 解：（1）已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（ ） A．10 B．12 C．20 D．24 答案：C 2．写一个二次项系数为1的一元二次方程，让它的两个根分别为5，（化为一般形式）：______． 答案： 3．若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 解：（1）由题意得， ， 解得； （2）由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 选做题： 4．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（ ） A．14 B． C． D．10 答案：A 【综合拓展类作业】 5．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 解：（1）①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3），理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为．
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