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专题01 直线与方程全章14大重点题型（期中专项训练）
【苏教版】
1．（2026高二上·江苏南通·期中）若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．2
2．（2026高二上·河南驻马店·期中）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ．
4．（2026高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点．
(1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值．
(2)三点可能共线吗？若能，求出m值．
5．（2026高二上·全国·课后作业）直线过点和点．
(1)若直线的斜率是，求；
(2)求直线的倾斜角的最小值．
6．（2026高二上·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（ ）
A． B．
C． D．
7．（2026高二上·河南信阳·期中）已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2026高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，则直线的斜率的取值范围为 .
9．（2026高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围.
(2)求直线l的倾斜角的取值范围.
10．（2026高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，.
(1)求直线AC的倾斜角；
(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
11．（2026高二上·广东广州·期中）已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2026高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
13．（2026高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为 ．
14．（2026高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点．
(1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程；
(2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.
15．（2026高二上·江苏泰州·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高.
(1)求所在直线的方程；
(2)求高所在直线的方程.
16．（2026高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
17．（2026高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
18．（2026高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标为 .
19．（2026高二上·浙江温州·期中）已知直线.
(1)证明：直线过定点；
(2)求过点且横截距与纵截距相等的直线方程.
20．（2026高二上·四川南充·期中）已知直线.
(1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点；
(2)在（1）的条件下，若直线与轴相交于点A，与轴相交于点，且恰为线段的中点，求直线的斜截式方程.
21．（2026高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
22．（2026高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
23．（2026高二上·陕西安康·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 .
24．（2026高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，.
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值.
25．（2026高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线
(1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点；
(2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程.
26．（2026高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（ ）
A．垂直 B．平行
C．重合 D．相交但不垂直
27．（2026高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（ ）
A． B．
C． D．
28．（2026高二上·云南文山·期中）已知直线和，下列命题：
①的充要条件是； ②的充分条件是；
③的必要条件是；④的充要条件是；
⑤的充分条件是；⑥的必要条件是；
正确的是 .
29．（2026高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上；
（2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直.
30．（2026高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直：
(1)；
(2) ；
(3)的斜率为，经过点；
(4)经过点，经过点.
31．（2026高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或1
32．（2026高二上·湖南·期中）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
33．（2026高二上·福建福州·期中）若直线与直线平行，则实数=
．
34．（2026高二上·湖南长沙·期中）已知直线和，
(1)若与平行，求m的值；
(2)若与垂直，求m的值．
35．（2026高二上·四川广元·期中）求经过直线的交点，且满足下列条件的直线的方程.
(1)与直线平行，
(2)与直线垂直.
36．（2026高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
37．（2026高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
38．（2026高二上·重庆·期中）直线与直线的交点坐标为 .
39．（2026高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，，
(1)若直线与直线平行，求m的值；
(2)若直线与直线垂直，求m的值.
40．（2026高二上·江苏常州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且．
(1)求直线和直线的交点坐标；
(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线的方程．
41．（2026高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
42．（2026高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
43．（2026高一下·陕西渭南·阶段练习）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ．
44．（2026高二上·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值．
45．（2026高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：．
(1)若，且过点，求a、b的值；
(2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围．
46．（2026高二上·安徽合肥·期中）已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ）
A．3 B． C．0或3 D．0或
47．（2026高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
48．（2026高二上·福建泉州·期中）原点到动直线距离的最大值为 .
49．（2026高二上·江苏常州·期中）已知点，直线.
(1)求点到直线的距离；
(2)求点关于直线l的对称点的坐标.
50．（2026高二上·内蒙古包头·期中）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点．
(1)求直线的方程．
(2)直线恒过定点，求点到直线的距离．
51．（2026高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（ ）
A． B． C． D．
52．（2026高二上·四川绵阳·期中）已知直线和平行，则这两条平行线之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
53．（2026高二上·全国·课后作业）若直线与直线平行，且与间的距离为，则 ．
54．（2026高二上·重庆·期中）已知a为实数，设直线：，：.
(1)若，求a的值；
(2)若，求与的距离.
55．（2026高二上·湖南邵阳·期中）已知直线.
(1)若直线过点，且，求直线的方程；
(2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.
56．（2026高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
57．（2026高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
58．（2026高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 .
59．（2026高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，直线的方程为，求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线关于点的对称直线的方程．
60．（2026高二上·江苏镇江·期中）已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程.
(1)过点且与直线平行；
(2)过点且到原点的距离等于2；
(3)直线关于直线对称的直线.
61．（2026高二上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
62．（2026高二上·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
63．（2026高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为 ．
64．（2026高二上·安徽·期中）已知直线的方程为．
(1)证明：直线过定点．
(2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大值是多少？
65．（2026高二·江苏·专题练习）已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，
(1)求反射光线所在的方程；
(2)在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值．
66．（2026高二上·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
67．（2026高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
68．（2026高二上·广东广州·期中）在等腰直角三角形中，以为原点，、所在直线分别为、建立平面直角坐标系，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的坐标等于 ．
69．（2026高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 .
(1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程；
(2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程.
70．（2026高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有.
(1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标；
(2)求点的坐标；
(3)求的周长.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 直线与方程全章14大重点题型（期中专项训练）
【苏教版】
1．（2026高二上·江苏南通·期中）若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解题思路】由斜率公式与斜率的定义求解即可
【解答过程】由题意斜率，
解得：，
故选：D.
2．（2026高二上·河南驻马店·期中）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围.
【解答过程】当时，.
当时，.
因为在上单调递增，在上也单调递增.
当时，；
当时，.
所以的取值范围是.
故选：C.
3．（2026高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ．
【答案】
【解题思路】根据斜率公式列式求解即可.
【解答过程】根据题意可得，解得或，
当时，点A，B重合，不符合题意，舍去；
当时，经验证，符合题意；
综上所述：.
故答案为：.
4．（2026高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点．
(1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值．
(2)三点可能共线吗？若能，求出m值．
【答案】(1)1
(2)3
【解题思路】（1）利用斜率与倾斜角的关系式及斜率公式即可求解；
（2）三点共线，则 ，结合斜率公式即可求解.
【解答过程】（1）过两点的直线斜率，
所以，解得.
（2），，
若三点共线，则 ，
即，解得，
所以当时，三点共线.
5．（2026高二上·全国·课后作业）直线过点和点．
(1)若直线的斜率是，求；
(2)求直线的倾斜角的最小值．
【答案】(1)
(2)．
【解题思路】（1）根据直线斜率公式进行求解即可；
（2）根据直线斜率与直线倾斜角的关系，分类讨论进行求解即可.
【解答过程】（1）由直线的斜率，可得，即．
（2）当时，直线的倾斜角；
当时，直线的斜率，
当时，；
当时，，
又直线的倾斜角为，则有或，
所以直线的倾斜角的取值范围是或．
故直线的倾斜角的最小值为．
6．（2026高二上·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】由题知，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【解答过程】
设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，即，
因为，
所以或，
故直线的倾斜角的取值范围是．
故选：C．
7．（2026高二上·河南信阳·期中）已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】由题知，或，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【解答过程】设直线l的斜率为，直线l的倾斜角为，则，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线l经过点，且与线段没有公共点，
所以，或，
即或，
因为，所以，
故直线l的倾斜角的取值范围是．
故选：C．

8．（2026高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，则直线的斜率的取值范围为 .
【答案】
【解题思路】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围.
【解答过程】设点，依题意，．
因为直线与线段有交点，所以或，
由图可知直线的斜率的取值范围是．
故答案为：．
9．（2026高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围.
(2)求直线l的倾斜角的取值范围.
【答案】(1)或斜率不存在
(2)
【解题思路】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可；
（2）由斜率与倾斜角的关系求解即可；
【解答过程】（1）如图，由题意可知
，
要使直线l与线段有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在.
（2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间.
又的倾斜角是，的倾斜角是，
所以直线l的倾斜角的取值范围是.
10．（2026高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，.
(1)求直线AC的倾斜角；
(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可
（2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可.
【解答过程】（1）由，得，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为.
（2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，

此时由增大到，又，，所以的取值范围为，
即直线CD的倾斜角的取值范围为.
11．（2026高二上·广东广州·期中）已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】利用斜率定义及点斜式直线方程即可得到选项.
【解答过程】由直线l倾斜角为，得直线l的斜率为，
又由直线l过点，则由点斜式直线方程可得：，
故选：C.
12．（2026高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解题思路】当直线过原点时直线方程为，满足题意，当直线不过坐标原点时，设直线的截距式，代入点坐标可得解.
【解答过程】当直线过原点时，直线方程为，即，在两坐标轴上的截距均为，满足题意；
当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数，
设直线方程为，
代入点，得，
解得，
则直线方程为，即，
综上所述直线方程为或，
故选：C.
13．（2026高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为 ．
【答案】
【解题思路】利用两点式方程可得直线的方程.
【解答过程】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即.
故答案为：.
14．（2026高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点．
(1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程；
(2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.
【答案】(1)或
(2)或
【解题思路】（1）利用截距式，设直线的方程为，再根据面积和经过的得到方程组，解出即可；
（2）分直线过原点和不过原点讨论即可.
【解答过程】（1）由题意可设直线的方程为，
代入有，又由题意得，则，
联立解得或，
则直线的方程为或，
即或.
（2）当直线经过原点时，则，则，即；
当直线不经过原点时，设，代入，则有，解得，
即.
综上所述直线的方程为或.
15．（2026高二上·江苏泰州·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高.
(1)求所在直线的方程；
(2)求高所在直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）求出点的坐标，直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解.
（2）由（1）求出直线的斜率，进而求出直线方程.
【解答过程】（1）由，边的中点，得点，又点，
则直线的斜率，直线的方程为，即，
所以所在直线的方程为.
（2）由（1）知，直线的斜率，
所以高所在直线的方程为，即.
16．（2026高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】将直线化为，据此可得定点坐标.
【解答过程】 ，
令，解得，则所过定点为.
故选：C.
17．（2026高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】分离参数，联立方程组可得解.
【解答过程】直线，
即，
令，解得，
即直线恒过定点，
故选：B.
18．（2026高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标为 .
【答案】
【解题思路】整理成关于的方程，从而得到方程组，解出即可.
【解答过程】，即，
则，解得，则其经过定点.
故答案为：.
19．（2026高二上·浙江温州·期中）已知直线.
(1)证明：直线过定点；
(2)求过点且横截距与纵截距相等的直线方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)或者
【解题思路】（1）通过即可求证；
（2）通过截距为0和不为0两类情况求解即可.
【解答过程】（1）即，
令解得，
直线过定点；
（2）当直线横截距等于纵截距为0时，
直线过原点 斜率，
此时直线方程为即，
当直线横截距，纵截距不为0时，可设直线的方程为：，
直线过点，代入方程得，，
直线的方程为：，即直线的方程为：
综上所述直线的方程为或者.
20．（2026高二上·四川南充·期中）已知直线.
(1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点；
(2)在（1）的条件下，若直线与轴相交于点A，与轴相交于点，且恰为线段的中点，求直线的斜截式方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解题思路】（1）将直线方程变换主元，联立方程组解方程即可；
（2）设，由中点坐标公式计算得，得出截距式方程转化为斜截式即可.
【解答过程】（1）由直线变形得，
令，解得：，
由于不论实数取何值，总是方程的一个解，
所以直线恒过这一定点.
（2）设，则由已知有，联立解得：，
所以直线的截距式方程为，即的方程为，.
21．（2026高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积.
【解答过程】依题意得直线的方程为，即，
则直线与坐标轴的交点分别为，
所以．
故选：B.
22．（2026高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【解题思路】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可.
【解答过程】设直线：，，
因为直线过点，所以，即，
所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，
则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积.
故选：B.
23．（2026高二上·陕西安康·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 .
【答案】
【解题思路】设直线的方程为，求出坐标，再求得的面积，由关于的方程有四个不等的实根可求得的范围．
【解答过程】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
令得，令得，
则，
由题意关于的方程有四个不同的实数解，
，
所以有两个不等实根且有两个不等实根，
，解得或．
又，所以．
故答案为：．
24．（2026高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，.
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值.
【答案】(1)或
(2)或
【解题思路】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可；
（2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解.
【解答过程】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意；
当，即时，令得，令，得，
由截距相等得，解得或，
当时，直线的方程为，当时，直线的方程为，
故综上所述，所求直线的方程为或．
（2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、，
所以，解得，
所以的面积，

由题意知，化简得，解得或，均满足条件，
所以或．
25．（2026高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线
(1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点；
(2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解题思路】（1）利用提取参数，来求出方程的一个解，从而得到直线恒过一定点；
（2）利用截距式方程来求解三角形的面积，再利用直线过定点，得到方程组即可求解.
【解答过程】（1）由直线变形得：
，
令，解得：，
由于不论实数取何值，总是方程的一个解，
所以直线恒过这一定点.
（2）由于直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，
所以可设直线的截距式方程为，且，
又由于直线恒过定点，所以，
由于直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则，
把，代入变形后的得：，
联立解得：，
所以直线的截距式方程为，
化简得的方程为.
26．（2026高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（ ）
A．垂直 B．平行
C．重合 D．相交但不垂直
【答案】A
【解题思路】由两直线的斜率关系即可判断.
【解答过程】直线和直线的斜率分别为，
因为，所以．
故选：A．
27．（2026高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解.
【解答过程】直线的斜率为2,
若直线m与直线垂直，则，，
对于A,的斜率为2,不与直线垂直;
对于B,的斜率为2,不与直线垂直;
对于C,的斜率为-1，不与直线垂直；
对于D,的斜率为 ,与直线垂直.
故选:D.
28．（2026高二上·云南文山·期中）已知直线和，下列命题：
①的充要条件是； ②的充分条件是；
③的必要条件是；④的充要条件是；
⑤的充分条件是；⑥的必要条件是；
正确的是 .
【答案】⑤
【解题思路】根据直线平行、垂直，以及充分和必要条件等知识确定正确答案.
【解答过程】若，则可能、的斜率都不存在，故不能得到；
若，则可能、重合，故不能得到，
所以①②③错误.
若，则可能的斜率不存在，的斜率为，故不能得到；
若，，则，
所以⑤正确，④⑥错误.
故答案为：⑤.
29．（2026高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上；
（2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直.
【答案】（1）三点在同一直线上；
（2）与互相垂直
【解题思路】（1）计算可得，可得结论；
（2）计算可得，可得结论.
【解答过程】（1）因为，，，
所以，又直线均过点，
所以点三点在同一条直线上；
（2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
因为直线经过，两点，所以，
所以，所以与互相垂直.
30．（2026高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直：
(1)；
(2) ；
(3)的斜率为，经过点；
(4)经过点，经过点.
【答案】(1)平行
(2)重合
(3)垂直
(4)垂直
【解题思路】（1）由直线平行的充要条件证明即可.
（2）由直线重合的充要条件证明即可.
（3）由直线垂直的充要条件证明即可.
（4）由直线垂直的充要条件证明即可.
【解答过程】（1）因为，而，所以.
（2）因为，而，所以重合.
（3）直线的斜率，直线的斜率，，故.
（4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故.
31．（2026高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或1
【答案】D
【解题思路】利用两条直线平行的条件列式求解.
【解答过程】由直线与直线平行，得，解得或，
所以实数a的值为或1.
故选：D.
32．（2026高二上·湖南·期中）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据直线垂直可得，结合充分、必要条件分析判断.
【解答过程】因为直线与直线垂直，
等价于，即，
所以“”是“直线与直线垂直”的充要条件.
故选：A.
33．（2026高二上·福建福州·期中）若直线与直线平行，则实数=
．
【答案】1
【解题思路】运用直线平行的判定可解.
【解答过程】由于直线与直线平行,
且，可得，且，解得，
所以实数.
故答案为：1.
34．（2026高二上·湖南长沙·期中）已知直线和，
(1)若与平行，求m的值；
(2)若与垂直，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值；
（2）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值．
【解答过程】（1）若与平行，则，解得：或，
当时，直线和，与平行；
当时，直线和，与重合.
综上：.
（2）当时，即时，与垂直，
即时，与垂直.
35．（2026高二上·四川广元·期中）求经过直线的交点，且满足下列条件的直线的方程.
(1)与直线平行，
(2)与直线垂直.
【答案】(1)；
(2)
【解题思路】（1）联立直线方程后可求，利用平行直线系可求直线方程；
（2）利用垂直直线系可求直线方程.
【解答过程】（1）由可得，故，
设所求直线为，代入可得，
故与已知直线平行的直线方程为.
（2）设所求直线为，代入可得，
故与已知直线垂直的直线方程为.
36．（2026高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】先求出两条直线的交点，并根据交点在第一象限，解出的取值范围即可.
【解答过程】由得，
因为两直线的交点在第一象限，所以，
解得：.
故选：B.
37．（2026高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解.
【解答过程】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ；
直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ，
由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ；
故选：D.
38．（2026高二上·重庆·期中）直线与直线的交点坐标为 .
【答案】
【解题思路】联立两直线的方程，可求出两直线的交点坐标.
【解答过程】联立，解得，
因此，直线与直线的交点坐标为.
故答案为：.
39．（2026高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，，
(1)若直线与直线平行，求m的值；
(2)若直线与直线垂直，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据可求出结果；
（2）根据可求出结果.
【解答过程】（1）因为直线AC与直线BD平行，所以，
所以，经检验两直线不重合，
所以
（2）因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在，
所以，
所以.
40．（2026高二上·江苏常州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且．
(1)求直线和直线的交点坐标；
(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】（1）先求直线的方程，联立，的方程，解方程组可得交点坐标.
（2）设直线的点斜式方程，利用直线在两坐标轴上的截距的数量关系列方程，可求斜率，得到直线的方程.
【解答过程】（1）经过点且与垂直的直线为：：，即.
由 .
所以直线和直线的交点坐标为：.
（2）因为直线与两坐标轴都相交，故斜率一定存在且不为0.
设：.
交轴于点：，交轴于点：.
由 或.
所以的方程为：或.
41．（2026高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值.
【解答过程】直线的斜率分别为，纵截距分别为
由，解得，即直线的交点为，
由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上，
则或或，解得或或，
所以实数的取值集合为.
故选：C.
42．（2026高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解题思路】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，求得的坐标，可得的面积的表达式，然后把各选项代入，根据方程解的个数即可判断.
【解答过程】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，
令，得；令，得，则，
所以的面积为，
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，此方程无解，
所以满足条件的直线有2条，故A错误；
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，解得，
所以满足条件的直线有3条，故B正确；
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，解得，
所以满足条件的直线有4条，故C错误；
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，解得，
所以满足条件的直线有4条，故D错误.
故选：B.
43．（2026高一下·陕西渭南·阶段练习）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ．
【答案】
【解题思路】根据三条直线不能构成三角形，则有任意两条平行或交于同一个点，分类讨论求解.
【解答过程】三条直线不能围成三角形，则有以下情况：
(1) 直线与直线平行，
则有；
(2) 直线与直线平行，
则有；
(3) 三条直线，，相交于同一点，
联立解得，代入可得，
综上，实数m的取值集合为，
故答案为: .
44．（2026高二上·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值．
【答案】或或
【解题思路】根据三条直线“至少有两条直线平行”或“三线共点”来求得的值.
【解答过程】依题意，任意两条直线不重合，若三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三线共点．
当有两条直线平行时，，则三条直线的斜率为，
若，则.
若，则..
若三线共点，由解得，设，
将代入，
得，
综上所述，或或.
45．（2026高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：．
(1)若，且过点，求a、b的值；
(2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【解题思路】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解.
（2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解.
【解答过程】（1）因为：，：，且，所以，
又直线过点，所以，所以，
即，即，解得或
所以或；
（2）因为，则：，：，
①当时，由得，
此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形；
②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形；
③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形；
④当，，交于一点时，，则由,解得
所以与的交点，将M代入到方程得，解得；
综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为．
46．（2026高二上·安徽合肥·期中）已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ）
A．3 B． C．0或3 D．0或
【答案】D
【解题思路】由点到直线的距离公式即可求解.
【解答过程】由题意可得，解得或，
故选：D.
47．（2026高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离．
【解答过程】由得，即，
所以点到直线 的距离为，
故选：A．
48．（2026高二上·福建泉州·期中）原点到动直线距离的最大值为 .
【答案】
【解题思路】先证明距离不超过，再说明当时距离为，即可说明距离的最大值是.
【解答过程】设原点到直线的距离为，则.
当时，.
所以原点到直线的距离的最大值为.
故答案为：.
49．（2026高二上·江苏常州·期中）已知点，直线.
(1)求点到直线的距离；
(2)求点关于直线l的对称点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据条件，利用点到直线的距离公式，即可求解；
（2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解.
【解答过程】（1）因为点，直线，
所以点到直线的距离为.
（2）设，则，即，解得，
所以点关于直线l的对称点的坐标为.
50．（2026高二上·内蒙古包头·期中）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点．
(1)求直线的方程．
(2)直线恒过定点，求点到直线的距离．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程；
（2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案.
【解答过程】（1）∵，∴，
∴直线的斜率，又直线过点，
∴由直线的方程为，即.
（2）∵直线整理得：
令，得，∴直线过定点，
则点到直线的距离.
51．（2026高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】利用两条平行直线间的距离公式即可.
【解答过程】可变为，
则两条平行直线间的距离为.
故选：B.
52．（2026高二上·四川绵阳·期中）已知直线和平行，则这两条平行线之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】利用两直线平行的充要条件先计算参数，再根据平行线的距离公式计算即可.
【解答过程】由题意可知，即，可化为，
所以两平行线的距离为.
故选：B.
53．（2026高二上·全国·课后作业）若直线与直线平行，且与间的距离为，则 ．
【答案】或
【解题思路】根据两直线平行可求出的值，根据平行线间的距离公式求出的值，即可求得的值.
【解答过程】因为直线与直线平行，
则，解得，
所以，直线的方程为，可化为，
因为与间的距离为，则，解得或，
当时，；
当时，.
故答案为：或.
54．（2026高二上·重庆·期中）已知a为实数，设直线：，：.
(1)若，求a的值；
(2)若，求与的距离.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据两直线的位置关系求出即可；
（2）根据两直线的位置关系求出，检验并利用两平行线间的距离公式计算即可求解.
【解答过程】（1）由题意知，若，
则，解得.
（2）若，则，即，解得或.
当时，，此时，
两平行线之间的距离为；
当时，，此时重合，不符合题意.
所以两平行线之间的距离为.
55．（2026高二上·湖南邵阳·期中）已知直线.
(1)若直线过点，且，求直线的方程；
(2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【解题思路】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，可求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可写出直线方程；
（2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式即可求出．
【解答过程】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.
因为，所以直线的斜率为.
因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）因为直线，所以可设直线的方程为，
直线与直线之间的距离为，
所以，解得或.
故直线的方程为或.
56．（2026高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解.
【解答过程】设关于直线的对称点坐标为，
则，解得，故对称点坐标为，
故选：B.
57．（2026高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得.
【解答过程】因为，所以，设直线的方程为且.
因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离.
由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）.
所以直线的方程为.
故选：D.
58．（2026高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 .
【答案】或
【解题思路】利用数形结合计算l的斜率结合直线与的交点计算即可.
【解答过程】

易知与纵轴交于，交横轴于点，
联立直线与方程，得两直线交点为，
如上图所示网格中构造直角三角形，易知，
即，
又，
所以，
即为两直线与夹角的平分线，
所以直线符合题意，易知其方程为；
当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为.
故答案为：或.
59．（2026高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，直线的方程为，求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线关于点的对称直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据点关于线对称列式求解即可；
（2）根据相关点法分析运算即可.
【解答过程】（1）设，由题意可得，解得，
所以点的坐标为.
（2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为，
则，解得，
由于在直线上，则，即，
故直线关于点的对称直线的方程为.
60．（2026高二上·江苏镇江·期中）已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程.
(1)过点且与直线平行；
(2)过点且到原点的距离等于2；
(3)直线关于直线对称的直线.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【解题思路】（1）联立方程解交点坐标，由平行关系设直线方程，代入点坐标待定系数可得；
（2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可；
（3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得.
【解答过程】（1）联立方程，解得，．
设与直线平行的直线为，
由题意得：，，
故满足要求的直线方程为：．
（2）①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2；
②当所求直线斜率存在时，设直线方程为，
即，
原点到该直线的距离为， 解得，
直线方程为，
综上所述，符合题意的直线方程为或．
（3）在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则
，解得，，
又，则直线的方程即所求直线方程，为，
化简得，.
故所求的直线方程为：．
61．（2026高二上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【解题思路】表示动点到定点和的距离之和，作关于直线的对称点，，即可求解
【解答过程】
表示动点到定点和的距离之和，
因为点在直线上运动，
作关于直线的对称点，则，
故，
当且仅当三点共线时取等，
故的最小值为
故选：C.
62．（2026高二上·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得.
【解答过程】因为
表示到点和的距离之和.
又在直线上，关于的对称点为，
所以，三点共线时等号成立，
所以，所求最小值为：.
故选：B.
63．（2026高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为 ．
【答案】
【解题思路】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可.
【解答过程】表示、的距离，
表示、的距离，
又关于x轴的对称点，如图，

所以，
所以．
故答案为：.
64．（2026高二上·安徽·期中）已知直线的方程为．
(1)证明：直线过定点．
(2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大值是多少？
【答案】(1)证明见解析
(2)时，最大距离为
【解题思路】（1）参变分离，令参数系数为0即可；
（2）当时，点到直线的距离最大,用两点间距离公式计算即可.
【解答过程】（1）证明：将直线的方程整理得，
由，解得，所以直线恒过点．
（2）由（1）可得直线过定点，设定点为．
当时，点到直线的距离最大，且最大距离，
即点到直线的最大距离为．
此时，而直线的斜率，所以，解得．
65．（2026高二·江苏·专题练习）已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，
(1)求反射光线所在的方程；
(2)在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值．
【答案】(1)
(2) ．
【解题思路】（1）根据题意，求出点关于直线的对称点的坐标，反射光线为直线两点式写出方程，化简整理成一般式方程；
（2）点是线段的垂直平分线与的交点，求出线段的垂直平分线，解方程组求交点坐标即可，设，整理之后为，
转化为求的最小值，这是与线段中点的距离的平方，其最小值为到直线的距离的平方．
【解答过程】（1）如图所示：
设线段中点，点关于直线的对称点，直线与直线交于，
因为直线与直线垂直，并且过点，
所以其方程为，即，
由，，解得，，即坐标为，
因为、两点关于直线对称，所以关于点对称，
所以，，
点坐标为，
根据光线反射定律，反射光线经过、两点，
由直线的两点式方程得：
直线方程为，
即反射光线所在直线的方程为
（2）线段的垂直平分线为，因为，
所以点在直线上，又因为点在直线上，
所以点为直线与交点，
由，的坐标可知，
线段中点，直线斜率为，
所以其垂直平分线斜率，
因其经过点，由直线的点斜式方程得直线的方程为
，即，
与直线的方程联立
解方程组得点坐标为
设点坐标为，令，
则
，
要使最小，则当且仅当最小，
可表示为点到点的距离的平方，
当，即计算点到直线的距离时取到最小值，
此时是点到直线的距离，由点到直线距离公式得，
所以．
66．（2026高二上·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据对称点在反射光线上，即可根据两点求解斜率，即可得直线方程.
【解答过程】点关于轴的对称点为，
故，在反射光线所在的直线上，故，
直线方程为，即，
故选：C.
67．（2026高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标即可求得入射光线所在直线的方程．
【解答过程】设关于直线对称的点为，
则，解得，即，
因为入射光线经过点，所以所在直线的斜率为，
则入射光线所在直线方程为，即．
故选：D.
68．（2026高二上·广东广州·期中）在等腰直角三角形中，以为原点，、所在直线分别为、建立平面直角坐标系，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的坐标等于 ．
【答案】
【解题思路】根据对称性求出直线与直线的方程，再将这两条直线的方程联立，即可求得点的坐标.
【解答过程】如下图所示：
则、，直线方程为 ，即，
三角形重心为 ，即，
设，设点关于直线对称点为，
由题意可得，解得，即点，
由光的反射性可知、、、四点共线，且，
直线斜率为，直线方程为，
因为直线过重心，即，整理得，
解得（舍去）或，即点，
所以，直线的方程为，
联立，解得，即点.
故答案为：.
69．（2026高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 .
(1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程；
(2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可；
（2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程.
【解答过程】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为，
故可设直线的方程为，
因为点在直线上，
所以，
所以，
所以直线的方程为
（2）设点关于直线的对称点为．
由题意得，
解得，所以点的坐标为，
所以反射光线所在直线斜率为，
直线方程为．
70．（2026高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有.
(1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标；
(2)求点的坐标；
(3)求的周长.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【解题思路】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出三个顶点的坐标，即可求出该三角形重心的坐标；
（2）设，求出点直线、的对称点、的坐标，根据、、、共线且光线经过的重心，结合斜率公式可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出点的坐标；
（3）由对称性可知，，可得出的周长为，结合两点间的距离公式求解即可.
【解答过程】（1）在等腰直角三角形中，，则，
以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，
则、、，
故的重心的坐标为，即；
（2）设，关于直线、的对称点分别设为、，则，
设，直线的方程为，
则，解得，即，
由光的反射原理可知、、、共线，且光线经过的重心，
故，解得或（舍去），故.
（3）由（2）可得、，由题意可知，，
故的周长.
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