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专题1.1 直线的斜率与倾斜角（举一反三讲义）
【题型1 求直线的斜率】 2
【题型2 求直线的倾斜角】 3
【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 5
【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 6
【题型5 斜率公式的应用】 8
【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 10
知识点1 直线的斜率
1．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
(2)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在.
对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作.
【注】(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜；
(2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜；
(3)当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合.
【题型1 求直线的斜率】
【例1】（2026高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ）
A．0 B．1 C．90 D．不存在
【解题思路】根据给定直线的特征确定其斜率情况.
【解答过程】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在.
故选：D.
【变式1-1】（2026高二上·新疆巴音郭楞·期末）若直线经过点，，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据斜率公式即可求解.
【解答过程】由于直线经过点，，故斜率为，
故选：D.
【变式1-2】（2026高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线经过点，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由斜率公式即可求解；
【解答过程】由，
可得：，
故选：C.
【变式1-3】（2026高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据即可求解出斜率．
【解答过程】直线的斜率为，
故选：C．
知识点2 直线的倾斜角
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．
(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．
【题型2 求直线的倾斜角】
【例2】（2026高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出直线的斜率，即得直线的倾斜角.
【解答过程】由，可得直线的斜率为，
故直线的倾斜角为.
故选：B.
【变式2-1】（2026高二上·浙江杭州·期末）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角.
【解答过程】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，
故，解得.
故该直线的倾斜角为.
故选：D.
【变式2-2】（2026高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据直线表示出斜率，求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围.
【解答过程】因为，所以，
设其倾斜角为，当时，直线为，，
当，直线的斜率，则，
由正切函数性质可知.
故直线的倾斜角的范围是
故选：C.
【变式2-3】（2026高二上·重庆·期中）直线的倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先对进行讨论，当时得到直线倾斜角为，当时，由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围.
【解答过程】当时，直线为：，
故直线的倾斜角为：；
当时，直线为：，
设直线的倾斜角为，
即，
当时，，
当且仅当“”，即时取等号；
即，
当时，，
当且仅当“”，即时取等号；
即，
综上所述：.
故选：A.
【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】
【例3】（2026高二上·天津红桥·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可.
【解答过程】设直线,的倾斜角为，
由图可知，
所以，即，，所以．
故选：D.
【变式3-1】（2026高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解.
【解答过程】设的倾斜角为，则，且，
如图，由正切函数的性质知.
故选：C.
【变式3-2】（2026高二上·北京·阶段练习）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论.
【解答过程】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，
所以，，
取，，满足，可求得，，此时，
所以“”是“”的不充分条件；
取，，满足，但，此时，
所以“”是“”的不必要条件；
所以“”是“”的既不充分又不必要条件.
故选：D.
【变式3-3】（2026高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围.
【解答过程】函数在上单调递增，
又，，
故的取值范围是.
故选：C.
【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】
【例4】（2026高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【解题思路】根据斜率公式结合已知斜率可求实数.
【解答过程】过，两点的直线斜率为，
所以，解得，．
故选：B．
【变式4-1】（2026高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C．或 D．2
【解题思路】根据题意，由直线斜率的计算公式代入计算，然后检验，即可得到结果.
【解答过程】由题意可得，，化简可得，
解得或，
当时，，两点重合，故舍去.
所以.
故选：A.
【变式4-2】（2026高二上·河北张家口·期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解题思路】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可.
【解答过程】显然，则，即，解得.
故选：D.
【变式4-3】（2026高二上·辽宁·期末）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据直线倾斜角与斜率的关系，已知可求出直线斜率取值范围，再根据直线的方程求出的取值范围.
【解答过程】因为，所以，
即直线的斜率.
又由直线方程可得，所以，
解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
【题型5 斜率公式的应用】
【例5】（2026高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可.
【解答过程】由题意三点共线，设，因为，，
所以，解得，所以.
故选：B.
【变式5-1】（2026高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（ ）

A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8
【解题思路】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案.
【解答过程】因为，所以，
不妨设，则 ．
由题意，知，即．
解得．
故选：A．
【变式5-2】（2026高二上·河南·阶段练习）判断下列三点是否在同一条直线上：
(1)；
(2).
【解题思路】（1）计算和，根据其是否相等即可判断；
（2）计算和，根据其是否相等即可判断.
【解答过程】（1）因为，，
所以，
所以A，B，C三点不在同一条直线上.
（2）因为，，
所以.
又直线DE与直线DF有公共点D，
所以D，E，F三点在同一条直线上.
【变式5-3】（2026高二上·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围．
【解题思路】首先求出的斜率，再分、两种情况讨论，由得到不等式，解得即可.
【解答过程】因为、、，
所以，
当，即，此时，，，则的斜率不存在，
此时、、三点能构成一个三角形，
当，即时，，
要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得，
综上，可得实数的取值范围.
【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】
【例6】（2026高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案.
【解答过程】由题意作图如下：
设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，
由图可知，
由，，，则，，
所以.
故选：B.
【变式6-1】（2026高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解.
【解答过程】由，得，
所以直线的方程恒过定点，斜率为．
因为，
所以．
由题意可知，作出图形如图所示，

由图象可知，或，
所以实数的取值范围为．
故选：B．
【变式6-2】（2026高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交.
(1)求直线的斜率k的取值范围；
(2)求直线的倾斜角的取值范围.
【解题思路】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围；
（2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围．
【解答过程】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图：
，
直线过点，且与以和为端点的线段相交.
所以直线的斜率的取值范围.
（2）由（1）可知，，
直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
由此可得此时直线的倾斜角的取值范围，
由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角，
综上，直线的倾斜角的取值范围.
【变式6-3】（2026高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，.
(1)求直线AC的倾斜角；
(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
【解题思路】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可
（2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可.
【解答过程】（1）由，得，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为.
（2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，

此时由增大到，又，，
所以的取值范围为，即直线CD的倾斜角的取值范围为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.1 直线的斜率与倾斜角（举一反三讲义）
【题型1 求直线的斜率】 2
【题型2 求直线的倾斜角】 2
【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 3
【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 4
【题型5 斜率公式的应用】 4
【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 5
知识点1 直线的斜率
1．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
(2)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在.
对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作.
【注】(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜；
(2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜；
(3)当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合.
【题型1 求直线的斜率】
【例1】（2026高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ）
A．0 B．1 C．90 D．不存在
【变式1-1】（2026高二上·新疆巴音郭楞·期末）若直线经过点，，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2026高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线经过点，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2026高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
知识点2 直线的倾斜角
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．
(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．
【题型2 求直线的倾斜角】
【例2】（2026高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2026高二上·浙江杭州·期末）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2026高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2026高二上·重庆·期中）直线的倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】
【例3】（2026高二上·天津红桥·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2026高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2026高二上·北京·阶段练习）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-3】（2026高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】
【例4】（2026高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【变式4-1】（2026高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C．或 D．2
【变式4-2】（2026高二上·河北张家口·期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式4-3】（2026高二上·辽宁·期末）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 斜率公式的应用】
【例5】（2026高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2026高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（ ）

A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8
【变式5-2】（2026高二上·河南·阶段练习）判断下列三点是否在同一条直线上：
(1)；
(2).
【变式5-3】（2026高二上·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围．
【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】
【例6】（2026高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2026高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2026高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交.
(1)求直线的斜率k的取值范围；
(2)求直线的倾斜角的取值范围.
【变式6-3】（2026高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，.
(1)求直线AC的倾斜角；
(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
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