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专题1.2 直线的方程（举一反三讲义）
【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 2
【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 2
【题型3 直线的两点式方程及辨析】 3
【题型4 直线的截距式方程及辨析】 4
【题型5 直线的一般式方程】 6
【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 6
【题型7 直线过定点问题】 7
【题型8 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 8
知识点1 直线的点斜式、斜截式方程
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.
(2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数.
(2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到.
(3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.
【题型1 直线的点斜式方程及辨析】
【例1】（2026高二上·天津·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2026高二上·广东河源·期中）过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2026高二上·湖南·期中）若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2026高二上·天津·期中）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【题型2 直线的斜截式方程及辨析】
【例2】（2026高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2026高二上·广东深圳·期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2026高二上·安徽·期中）纵截距为且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
知识点2 直线的两点式、截距式方程
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
【注】(1)这个方程由直线上两点确定；
(2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程.
2．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示
过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的
坐标求解k，得到直线方程.
【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行
的直线.
(2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距.
【题型3 直线的两点式方程及辨析】
【例3】（2026高二上·全国·课后作业）经过点，的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2026高二上·全国·课后作业）经过两点的直线方程可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2026高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2026高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 直线的截距式方程及辨析】
【例4】（2026高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2026高二上·河南·期中）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式4-2】（2026高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式4-3】（2026高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
知识点3 直线的一般式方程
1．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
2．辨析直线方程的五种形式
方程形式 直线方程 局限性 选择条件
点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知
一点
斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式 不能表示与x轴、
y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距
截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式 Ax+By+C=0
(A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程
3．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
【题型5 直线的一般式方程】
【例5】（2026高二上·湖南邵阳·期中）直线l经过点，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2026高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2026高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式：
(1)经过点，且倾斜角为；
(2)经过点和点
(3)经过点，在x，y轴上有相等的截距．
【变式5-3】（2026高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程．
(1)经过两点，；
(2)经过点，斜率为；
(3)经过点，平行于轴；
(4)斜率为2，在轴上的截距为1．
【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】
【例6】（2026高二上·山东菏泽·阶段练习）如果，那么直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【变式6-1】（2026高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2026高二上·贵州贵阳·阶段练习）写出下列直线的方程，并化为一般式方程．
(1)经过点，倾斜角是30°；
(2)经过两点；
【变式6-3】（2026高二上·宁夏银川·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式：
(1)斜率是，且经过点；
(2)经过两点；
(3)过点且在两坐标轴上截距相等．
【题型7 直线过定点问题】
【例7】（2026高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2026高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线过定点，则定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2026高二上·山西晋城·期中）已知直线：（）恒过定点，则该定点为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2026高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【题型8 直线与坐标轴围成图形的面积问题】
【例8】（2026高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】（2026高二上·山西·阶段练习）直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【变式8-2】（2026高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，.
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值.
【变式8-3】（2026高二上·全国·课后作业）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程：
(1)的周长为12；
(2)的面积为6．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.2 直线的方程（举一反三讲义）
【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 2
【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 3
【题型3 直线的两点式方程及辨析】 5
【题型4 直线的截距式方程及辨析】 6
【题型5 直线的一般式方程】 9
【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 11
【题型7 直线过定点问题】 12
【题型8 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 13
知识点1 直线的点斜式、斜截式方程
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.
(2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数.
(2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到.
(3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.
【题型1 直线的点斜式方程及辨析】
【例1】（2026高二上·天津·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由倾斜角得斜率，再由点斜式直线方程可得.
【解答过程】由直线倾斜角为，则斜率，
又直线过，
故所求直线方程为，即.
故选：D.
【变式1-1】（2026高二上·广东河源·期中）过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据倾斜角可得斜率，即可根据点斜式求解方程.
【解答过程】直线倾斜角为，斜率，直线点斜式方程为．
故选：D.
【变式1-2】（2026高二上·湖南·期中）若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据同角三角函数恒等式，可求得的值，即为直线的斜率，再由点斜式方程得到答案.
【解答过程】由及，可得，
所以的斜率，
所以由点斜式方程得的方程为:
，即.
故选：C.
【变式1-3】（2026高二上·天津·期中）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【解题思路】由倾斜角可得直线的斜率，根据点斜式方程求解即可.
【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又直线经过点，所以直线的方程为，
即.
故选：C.
【题型2 直线的斜截式方程及辨析】
【例2】（2026高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程.
【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又直线过点，所以直线的方程为.
故选：D.
【变式2-1】（2026高二上·广东深圳·期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】代入直线的截距式方程即可.
【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率.
又直线在轴上的截距是3，由斜截式方程得.
故选：C.
【变式2-2】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程.
【解答过程】由题意可知，直线的斜率为，
又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为.
故选：C.
【变式2-3】（2026高二上·安徽·期中）纵截距为且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据斜截式求得正确答案.
【解答过程】倾斜角为，斜率为，
纵截距为，所以直线方程为.
故选：B.
知识点2 直线的两点式、截距式方程
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
【注】(1)这个方程由直线上两点确定；
(2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程.
2．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示
过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的
坐标求解k，得到直线方程.
【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行
的直线.
(2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距.
【题型3 直线的两点式方程及辨析】
【例3】（2026高二上·全国·课后作业）经过点，的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由直线的两点式方程求解即可；
【解答过程】由题意得，整理得．
故选：A．
【变式3-1】（2026高二上·全国·课后作业）经过两点的直线方程可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据直线两点式方程可得答案.
【解答过程】当经过的直线不与轴、轴平行时，
所有直线均可以用表示，
由于可能相等，也可能相等，
所以只有选项C满足包括与轴、轴平行的直线．
故选：C．
【变式3-2】（2026高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用直线方程的相应形式对各个选项逐个判断即可.
【解答过程】对于选项A：是斜截式方程，故A错误；
对于选项B：是点斜式方程，故B错误；
对于选项C：是截距式方程，故C错误；
对于选项D：是两点式方程，故D正确；
故选：D.
【变式3-3】（2026高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.
【解答过程】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即，
将各个选项中的坐标代入直线方程，
可知点，，都在直线l上，点不在直线l上．
故选：D．
【题型4 直线的截距式方程及辨析】
【例4】（2026高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由截距式得到直线方程.
【解答过程】由截距式可得直线方程为，A正确，BCD错误.
故选：A.
【变式4-1】（2026高二上·河南·期中）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】通过直线过原点，和不过原点两种情况讨论即可.
【解答过程】当直线过原点时，其方程是，符合题意;
当直线不过原点时，设直线方程为，代入，
可得：，解得：，所以方程是.
故选：C.
【变式4-2】（2026高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】设直线在轴上的截距为，分别在，条件下利用待定系数法求直线方程即可.
【解答过程】设直线在轴上的截距为，
当时，所求直线的方程可设为，
因为直线过点，
所以，故，即直线方程为，
当时，可设直线方程为，
由直线过点可得，，
所以，故直线方程为.
所以经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数
的直线方程是或.
故选：C.
【变式4-3】（2026高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【解答过程】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
所以直线方程为，
故所求直线方程为或.故D项正确.
故选：D.
知识点3 直线的一般式方程
1．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
2．辨析直线方程的五种形式
方程形式 直线方程 局限性 选择条件
点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知
一点
斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式 不能表示与x轴、
y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距
截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式 Ax+By+C=0
(A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程
3．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
【题型5 直线的一般式方程】
【例5】（2026高二上·湖南邵阳·期中）直线l经过点，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程，最后化为一般式.
【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又直线过点，所以直线方程为，整理得.
故选：B.
【变式5-1】（2026高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解.
【解答过程】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为，
整理得，即直线的一般式方程为.
故选：C.
【变式5-2】（2026高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式：
(1)经过点，且倾斜角为；
(2)经过点和点
(3)经过点，在x，y轴上有相等的截距．
【解题思路】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可；
（2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可；
（3）分截距为0和不为0两种情况求解.
【解答过程】（1）因为直线经过点，且倾斜角为，
所以直线的斜率为，则直线方程为，
所以直线的一般方程为；
（2）因为直线经过点和点，
所以直线斜率为，直线方程为，
所以直线的一般式方程为；
（3）当直线在x，y轴上截距都为0时，
设直线方程为，则，得，
设直线方程为，即；
当直线在x，y轴上截距都不为0时，
由题设直线方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的一般式方程为,
综上所述，所求直线为或.
【变式5-3】（2026高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程．
(1)经过两点，；
(2)经过点，斜率为；
(3)经过点，平行于轴；
(4)斜率为2，在轴上的截距为1．
【解题思路】（1）根据两点式写出方程转化为一般式方程；
（2）根据点斜式写出方程转化为一般式方程；
（3）根据点斜式写出方程转化为一般式方程；
（4）根据点斜式写出方程转化为一般式方程.
【解答过程】（1）由两点式，得直线的方程为，
即．
（2）由点斜式，得直线的方程为，
即．
（3）由题意知，直线的方程为，
即．
（4）由点斜式，得直线的方程为，
即．
【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】
【例6】（2026高二上·山东菏泽·阶段练习）如果，那么直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】将直线的方程化为斜截式，即可根据斜率和截距的正负求解.
【解答过程】因为，故，故直线的斜截式方程为：，
因为，故，
故直线经过第一象限 第三象限 第四象限，
故选：B.
【变式6-1】（2026高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解.
【解答过程】易知，由，得到，
由已知一般式方程为，所以有，
则，解得，
又，，
所以，则，
故选：A.
【变式6-2】（2026高二上·贵州贵阳·阶段练习）写出下列直线的方程，并化为一般式方程．
(1)经过点，倾斜角是30°；
(2)经过两点；
【解题思路】（1）由斜率与倾斜角关系求出斜率，写出点斜式方程，再化为一般式；
（2）由两点坐标求出斜率，写出斜截式方程，再化为一般式．
【解答过程】（1）由已知直线的斜率为，
直线方程为，即；
（2）由题意直线的斜率为，
直线方程为，即．
【变式6-3】（2026高二上·宁夏银川·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式：
(1)斜率是，且经过点；
(2)经过两点；
(3)过点且在两坐标轴上截距相等．
【解题思路】（1）根据直线点斜式方程运算求解；
（2）根据直线的两点式方程运算求解；
（3）根据直线的截距式方程运算求解.
【解答过程】（1）由点斜式得直线方程为，即.
（2）由两点式得直线方程为，即.
（3）当直线截距不为0时，由直线的截距式方程，设求直线方程为，
代入得，所以直线方程为，
当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为，化为一般式为，
综上，直线的方程为或.
【题型7 直线过定点问题】
【例7】（2026高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点.
【解答过程】直线，由，解得，
所以直线恒过定点.
故选：C.
【变式7-1】（2026高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线过定点，则定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将直线化为，即可得定点.
【解答过程】直线可化为，则时有，即恒过定点．
故选：D.
【变式7-2】（2026高二上·山西晋城·期中）已知直线：（）恒过定点，则该定点为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将直线方程变形为，令，即可求解.
【解答过程】直线的方程可整理为，令时，，则恒过定点，
故选：C.
【变式7-3】（2026高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分离参数，联立方程组可得解.
【解答过程】直线，
即，
令，解得，
即直线恒过定点，
故选：B.
【题型8 直线与坐标轴围成图形的面积问题】
【例8】（2026高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可.
【解答过程】，
所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角，
设直线l的倾斜角为，则
因为，所以或舍去
设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，，
由，得，
故直线l的方程可能是，显然ABD不符合，
，或，
故选：C.
【变式8-1】（2026高二上·山西·阶段练习）直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【解题思路】确定直线斜率存在，分别令、得直线的横纵截距，求三角形面积根据面积值解方程得m，即可得结论.
【解答过程】由题可知，直线的斜率存在且不为0，
故，即且，
令，得；令，得；即，
所以，所以，
则或，解得或，
故解得的实数m的解有4个.
故选：D.
【变式8-2】（2026高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，.
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值.
【解题思路】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可；
（2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解.
【解答过程】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意；
当，即时，令得，令，得，
由截距相等得，解得或，
当时，直线的方程为，当时，直线的方程为，
故综上所述，所求直线的方程为或．
（2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、，
所以，解得，
所以的面积，

由题意知，化简得，解得或，均满足条件，
所以或．
【变式8-3】（2026高二上·全国·课后作业）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程：
(1)的周长为12；
(2)的面积为6．
【解题思路】（1）设出直线的截距式方程，根据三角形周长和得到方程组，求出，求出答案；
（2）设出直线的截距式方程，根据三角形面积和得到方程组，求出，求出答案
【解答过程】（1）设直线方程为，
由题意可知，．①
又因为直线过点，
所以，②
由①②可得，
解得或
所以所求直线的方程为或，
即或．
（2）设直线方程为，
由题意可知解得或
所以所求直线的方程为或，
即或．
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