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专题1.3 两条直线的平行与垂直（举一反三讲义）
【题型1 两条直线平行的判定】 2
【题型2 已知直线平行求参数】 2
【题型3 两条直线垂直的判定】 3
【题型4 已知直线垂直求参数】 3
【题型5 求与已知直线平行的直线方程】 4
【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】 5
【题型7 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 6
知识点1 两条直线平行、垂直的判定
1．两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线的斜率都不存在
图示
2．两条直线垂直的判定
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在) k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2
【注】判断两条直线是否垂直时：
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
【题型1 两条直线平行的判定】
【例1】（2026高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
【变式1-1】（2026高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【变式1-2】（2026高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（ ）
A．直线经过点，直线经过点
B．直线经过点，直线经过点
C．直线经过点，直线经过点
D．直线经过点，直线经过点
【变式1-3】（2026高二·全国·课后作业）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ）
A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交
【题型2 已知直线平行求参数】
【例2】（2026高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或1
【变式2-1】（2026高二上·福建三明·期中）已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2026高二上·天津南开·期末）如果直线与直线平行，则（ ）
A．0 B． C．0或1 D．0或
【变式2-3】（2026高二上·河北·阶段练习）已知直线：与：平行，且过点，则（ ）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
【题型3 两条直线垂直的判定】
【例3】（2026高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2026高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（ ）
A．垂直 B．平行
C．重合 D．相交但不垂直
【变式3-2】（2026高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【变式3-3】（2026高二上·陕西渭南·阶段练习）直线与 (不同时为0)的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交 D．与的值有关
【题型4 已知直线垂直求参数】
【例4】（2026高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线与垂直，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【变式4-1】（2026高二上·河南驻马店·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式4-2】（2026高二上·全国·课前预习）已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值．
【变式4-3】（2026高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点.
(1)若 ，求的值；
(2)若，求的值.
知识点2 两条直线的位置关系
1．两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程 l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交 k1≠k2 （当时，记为）
垂直 k1·k2=-1 （当时，记为）
平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为）
重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为）
2．平行的直线的设法
平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.
3．垂直的直线的设法
垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
【题型5 求与已知直线平行的直线方程】
【例5】（2026高二上·浙江温州·期中）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2026高二上·山西太原·期中）已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2026高二上·安徽阜阳·期中）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】
【例6】（2026高二上·安徽·阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2026高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2026高二上·江苏镇江·期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2026·吉林·模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】
【例7】（2026高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.

【变式7-1】（2026高二上·四川·期中）已知，，，.
(1)若直线与平行，求的值；
(2)若为直角三角形，求的值.
【变式7-2】（2026高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .

【变式7-3】（2026高二·全国·课后作业）已知，，.
（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.3 两条直线的平行与垂直（举一反三讲义）
【题型1 两条直线平行的判定】 2
【题型2 已知直线平行求参数】 3
【题型3 两条直线垂直的判定】 5
【题型4 已知直线垂直求参数】 6
【题型5 求与已知直线平行的直线方程】 8
【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】 9
【题型7 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 11
知识点1 两条直线平行、垂直的判定
1．两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线的斜率都不存在
图示
2．两条直线垂直的判定
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在) k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2
【注】判断两条直线是否垂直时：
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
【题型1 两条直线平行的判定】
【例1】（2026高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
【解题思路】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系.
【解答过程】由题意，由点和点，可得，所以的方程为，
又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行.
故选：B．
【变式1-1】（2026高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【解题思路】根据直线的斜率来进行判断.
【解答过程】，
由图可知不共线，所以．
故选：B.

【变式1-2】（2026高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（ ）
A．直线经过点，直线经过点
B．直线经过点，直线经过点
C．直线经过点，直线经过点
D．直线经过点，直线经过点
【解题思路】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论.
【解答过程】对于A，因为，所以，故A对；
对于B，因为，所以直线不平行，故B错；
对于C，由直线经过点，，直线经过点，，
得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错；
对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在，
而，所以直线不平行，故D错.
故选：A.
【变式1-3】（2026高二·全国·课后作业）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ）
A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交
【解题思路】利用两直线平行的等价条件即可求解.
【解答过程】因为直线和直线平行，
所以，
故直线为，与直线平行
故选：B.
【题型2 已知直线平行求参数】
【例2】（2026高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或1
【解题思路】利用两条直线平行的条件列式求解.
【解答过程】由直线与直线平行，得，解得或，
所以实数a的值为或1.
故选：D.
【变式2-1】（2026高二上·福建三明·期中）已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据直线的平行关系求出的值，结合充分必要条件的定义判断即可.
【解答过程】 直线：，：，
若，则，解得或.
当时，：，即=0，：，∴.
当时，：，：，.
∴当时，或
而是或的充分不必要条件.
故选：A.
【变式2-2】（2026高二上·天津南开·期末）如果直线与直线平行，则（ ）
A．0 B． C．0或1 D．0或
【解题思路】根据一般式方程中两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再代入检验即可.
【解答过程】因为直线与直线平行，
所以，解得或；
当时，直线与直线平行，符合题意；
当时，直线与直线平行，符合题意；
综上可得或.
故选：D.
【变式2-3】（2026高二上·河北·阶段练习）已知直线：与：平行，且过点，则（ ）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
【解题思路】利用两直线平行，斜率相等来求解即可.
【解答过程】由直线：可得：，可知直线的斜率为：，
再由直线：可得：，可知直线的斜率为：，
由两直线平行，斜率相等可知：，即，
再由直线过点可得，，即，检验符合，
所以，
故选：D.
【题型3 两条直线垂直的判定】
【例3】（2026高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解.
【解答过程】直线的斜率为2,
若直线m与直线垂直，则，，
对于A,的斜率为2,不与直线垂直;
对于B,的斜率为2,不与直线垂直;
对于C,的斜率为-1，不与直线垂直；
对于D,的斜率为 ,与直线垂直.
故选:D.
【变式3-1】（2026高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（ ）
A．垂直 B．平行
C．重合 D．相交但不垂直
【解题思路】由两直线的斜率关系即可判断.
【解答过程】直线和直线的斜率分别为，
因为，所以．
故选：A．
【变式3-2】（2026高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【解题思路】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系.
【解答过程】直线和直线的斜率分别为，，
因为，所以.
故选：A.
【变式3-3】（2026高二上·陕西渭南·阶段练习）直线与 (不同时为0)的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交 D．与的值有关
【解题思路】判断两条直线的位置关系，分类讨论，通过计算斜率的乘积来确定即可.
【解答过程】当、都不为时,直线的斜率为，直线的斜率为.因为两条直线斜率的乘积为：，所以两条直线垂直.
当，时,直线可化为，其斜率不存在.
直线可化为，其斜率为，此时两条直线垂直.
当，时,直线可化为，其斜率为.
直线可化为，其斜率不存在，此时两条直线垂直.
故选：B.
【题型4 已知直线垂直求参数】
【例4】（2026高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线与垂直，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【解题思路】利用一般式方程下两直线垂直的公式代入求解即可得到结果.
【解答过程】因为直线与垂直，
所以，解得．
故选：C．
【变式4-1】（2026高二上·河南驻马店·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】先根据直线一般方程垂直系数关系求参，再结合充分必要条件定义判断即可.
【解答过程】因为“直线与直线互相垂直”可得,
所以，故或.
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式4-2】（2026高二上·全国·课前预习）已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值．
【解题思路】分析两直线的斜率是否存在，再根据直线垂直判断斜率之间的关系求出a.
【解答过程】因为直线经过点，，且，
所以的斜率存在，设斜率为，
当时，直线斜率不存在，，则，此时与垂直．
当时，，此时直线斜率存在．
由，得．解得．
综上，的值为或．
【变式4-3】（2026高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点.
(1)若 ，求的值；
(2)若，求的值.
【解题思路】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解；
（2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解.
【解答过程】（1）由题可知直线的斜率存在且，
若则直线的斜率也存在，
由，
得，即解得或，
经检验，当或时，；
（2）若，当时，此时斜率存在，不符合题意，
当时，直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率也存在，且，
即，即，
解得或，
所以当或时，.
知识点2 两条直线的位置关系
1．两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程 l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交 k1≠k2 （当时，记为）
垂直 k1·k2=-1 （当时，记为）
平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为）
重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为）
2．平行的直线的设法
平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.
3．垂直的直线的设法
垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
【题型5 求与已知直线平行的直线方程】
【例5】（2026高二上·浙江温州·期中）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设所求直线方程为，代入点求出即可.
【解答过程】设过点且与直线平行的直线方程为，
则，解得，
所以所求的直线方程为.
故选:B.
【变式5-1】（2026高二上·山西太原·期中）已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，设与直线平行的直线为，再将代入，即可得到结果.
【解答过程】因为直线，即，
设与平行的直线为，
将代入可得，解得，
所以直线方程为.
故选：A.
【变式5-2】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【解答过程】直线的斜截式方程为，则其斜率为，
因为直线过点，且与直线平行，所以，
则直线的点斜式方程为，即为．
故选：B.
【变式5-3】（2026高二上·安徽阜阳·期中）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出已知直线的斜率，再结合平行关系及直线的点斜式方程求解即得.
【解答过程】直线的斜率为，则所求直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故选：A.
【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】
【例6】（2026高二上·安徽·阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】直接设直线的一般式方程，然后把点代入方程即可求解.
【解答过程】设与直线垂直的直线方程是，代入点，得，
解得，所以所求的直线方程是.
故选：A.
【变式6-1】（2026高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解.
【解答过程】由题意知，，则直线的斜率,
因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为，
所以直线的斜率，再由直线经过点，
则由点斜式方程可得直线的方程为，
即，
故选：A.
【变式6-2】（2026高二上·江苏镇江·期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意可知：，所以，可得到的斜率，再由点斜式方程，即可得到答案.
【解答过程】由方程可知：的斜率为，
由题意可知：，所以，所以，
因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：，
即.
故选：C.
【变式6-3】（2026·吉林·模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.
【解答过程】设边上的高所在的直线为，
由已知可得，，所以直线l的斜率.
又过，所以的方程为，
整理可得，.
故选：A.
【题型7 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】
【例7】（2026高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.

【解题思路】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状.
【解答过程】由已知可得边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率.
因为，，所以，.
因此四边形是平行四边形.
【变式7-1】（2026高二上·四川·期中）已知，，，.
(1)若直线与平行，求的值；
(2)若为直角三角形，求的值.
【解题思路】（1）根据求解，然后再判断四点不共线即可；
（2）根据直线垂直的斜率关系，分三种情况求解即可.
【解答过程】（1）依题意可得，
即，解得.
又，，
所以，所以A、B、C、D四点不共线，
所以.
（2）若A为直角，则，即，
解得.
若为直角，则，即，
解得.
若为直角，则，即，
解得.
综上，的值为或12或.
【变式7-2】（2026高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .

【解题思路】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证.
【解答过程】由点和点，知直线的斜率为，
由点和点，知直线的斜率为，
因为，所以，即；
由点和点，知直线的斜率为，
由点和点，知直线的斜率为，
则直线与的斜率之积为，
所以.
【变式7-3】（2026高二·全国·课后作业）已知，，.
（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.
【解题思路】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可；
（2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可.
【解答过程】（1）由题意得，
，，设.
若四边形是平行四边形，则，，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，，
即，解得，即.
综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）.
（2）若的坐标为（-1，6），
因为，，
所以，所以，
所以平行四边形为菱形.
若的坐标为（7，2），
因为，，
所以，所以平行四边形不是菱形.
若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形.
因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.
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