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专题1.4 两条直线的交点（举一反三讲义）
【题型1 求直线交点坐标】 1
【题型2 由直线交点的个数求参数】 3
【题型3 由直线的交点坐标求参数】 4
【题型4 经过两直线交点的直线方程】 6
【题型5 三线能围成三角形的问题】 7
【题型6 直线交点系方程及应用】 10
知识点1 两条直线的交点坐标
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线，直线.
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行
【题型1 求直线交点坐标】
【例1】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出直线的方程与的方程联立,即可解得交点坐标为.
【解答过程】设直线的方程为，因为直线经过两点，
所以，解得，
所以的方程为，
将直线与直线的方程联立，解得，
所以直线与的交点坐标为．
故选：C.
【变式1-1】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据两直线垂直充要条件列式求出，再联立方程组求出交点坐标.
【解答过程】因为直线与直线垂直，
所以，解得，
直线的方程为.
由，解得，故交点坐标为.
故选：A.
【变式1-2】（2026高二上·新疆和田·期中）已知直线方程为，直线方程为，则两直线交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】联立两直线方程，可得出两直线的交点坐标.
【解答过程】联立，解得，因此，两直线的交点坐标为.
故选：A.
【变式1-3】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线与相交于点，若直线经过点，且与垂直，则直线与的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】联立方程组，求得，结合与垂直，利用点斜式方程，求得的直线方程，再由直线和，联立方程组，即可求解.
【解答过程】联立方程组，解得，即，
又因为直线与垂直，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
再联立方程组，解得，
所以与的交点坐标为．
故选：D.
【题型2 由直线交点的个数求参数】
【例2】（2026高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（ ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1
【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求.
【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，
∵直线和直线不平行，
∴直线和直线平行或直线和直线平行，
∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为，
∴或.
故选：C.
【变式2-1】（2026高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（ ）
A． B．1
C． D．
【解题思路】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可.
【解答过程】由，即两直线交点坐标为，
代入得：.
故选：C.
【变式2-2】（2026高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果.
【解答过程】当时，由可得，，当时，解得；
当时，由可得，，由可知，方程的解是，
又的图象与直线有两个不同的交点，
所以，其中，解得；
综上所述，.
故选：B.
【变式2-3】（高二上·江西新余·开学考试）平面上三条直线，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k可能的取值情况是（ ）
A．只有唯一值 B．有两个不同值 C．有三个不同值 D．无穷多个值
【解题思路】由题意可知，任意两条直线平行，且与第三条直线相交或三条直线相交于同一点即可，分情况求出结果即可.
【解答过程】由题意可知，任意两条直线平行，且与第三条直线相交或三条直线相交于同一点即可，
因为直线与不平行，因此分三种情况：
①直线与直线平行，则；
②直线与直线平行，则；
③直线过直线与直线的交点，因为，所以，所以，
故实数k可能的取值是，
故选：C.
【题型3 由直线的交点坐标求参数】
【例3】（2026高二上·全国·课后作业）若直线经过两直线和的交点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解题思路】先求出两条已知直线的交点，再将求得的交点代入直线即可得解.
【解答过程】联立，解得，
将点代入到直线，得，故.
故选：C.
【变式3-1】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ）
A．20 B． C．0 D．24
【解题思路】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值.
【解答过程】已知直线的斜率为，直线的斜率为．
又两直线垂直，则，解得．
，即，
将交点代入直线的方程中，得．
将交点代入直线的方程中，得．
所以，．
故选：B．
【变式3-2】（2026高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】先求两直线的交点，进而得是直线上的点，将点代入直线即可得解.
【解答过程】联立，解得，
所以是直线上的点，
代入直线得，解得.
故选：B.
【变式3-3】（2026高二上·天津南开·期中）若过点的直线l与直线的交点位于第一象限，则直线l斜率的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】用直线l斜率表示出l方程，再求出直线l与直线的交点坐标，利用其位于第一象限，可得答案.
【解答过程】由题直线l斜率存在，则设直线l斜率为，则l方程为：.
将其与联立得：，解得，
故交点坐标为.因其在第一象限，则，
解得.
故选：C.
【题型4 经过两直线交点的直线方程】
【例4】（2026高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程.
【解答过程】联立直线、的方程，，解得，
故直线、的交点坐标为，
因为直线与直线平行，设直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程可得，解得.
因此，直线的方程为.
故选：B.
【变式4-1】（2026高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求直线与的交点，再根据直线垂直求斜率，利用点斜式可得所求直线方程.
【解答过程】联立与，得交点坐标为.
又垂直于直线的直线的斜率为，
故所求直线的方程为，即.
故选：B.
【变式4-2】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】联立两直线方程分别解得点坐标，再由两点式即可得出直线的方程.
【解答过程】联立，即；
联立，即；
故直线的方程为，即．
故选：C.
【变式4-3】（2026高二上·福建福州·期中）直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】联立方程组求得交点坐标，由垂直求出直线斜率，然后写出直线方程.
【解答过程】联立方程组解得，即交点为，
，∴，∴，即.
故选：B.
【题型5 三线能围成三角形的问题】
【例5】（2026高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值.
【解答过程】直线的斜率分别为，纵截距分别为
由，解得，即直线的交点为，
由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上，
则或或，解得或或，
所以实数的取值集合为.
故选：C.
【变式5-1】（2026高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值．
【解答过程】当直线平行于时，．
当直线平行于时，，
当 平行于时，，无解．
当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入，
得，解得：或，
综上，满足条件的的集合为为.
故选：C．
【变式5-2】（2026高一·全国·课后作业）已知三条直线，，.
（1）若直线，，交于一点，求实数的值；
（2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值.
【解题思路】（1）联立方程组即可求出；
（2）根据题意可知直线交于一点或有两条直线平行，则可求解.
【解答过程】（1）∵直线，，交于一点，
∴与不平行，∴，
由，得，
即与的交点为，
代入的方程，得，
解得或.
（2）若，，交于一点，则或；
若，则；
若，则；
若，则不存在满足条件的实数.
综上，可得或或4或.
【变式5-3】（高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：．
(1)若，且过点，求a、b的值；
(2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围．
【解题思路】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解.
（2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解.
【解答过程】（1）因为：，：，且，所以，
又直线过点，所以，所以，
即，即，解得或
所以或；
（2）因为，则：，：，
①当时，由得，
此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形；
②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形；
③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形；
④当，，交于一点时，，则由,解得
所以与的交点，将M代入到方程得，解得；
综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为．
知识点2 直线系方程
1．直线系方程
过直线与的交点的直线系方程为
,λ∈R，但不包括直线l2.
【题型6 直线交点系方程及应用】
【例6】（2026高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　）
A．3x-19y=0 B．19x-3y=0
C．19x+3y=0 D．3x+19y=0
【解题思路】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可.
【解答过程】设过两直线交点的直线系方程为，
代入原点坐标，得，解得，
故所求直线方程为，即.
故选：D.
【变式6-1】（2026高二上·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果.
【解答过程】解：设直线方程为，
即
令，得，
令，得.
由，
得或.
所以直线方程为或.
故选：C.
【变式6-2】（2026高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ．
【解题思路】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程.
【解答过程】令所求直线为，
又直线过原点，则，
所以所求直线为.
故答案为：.
【变式6-3】（2026高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式）
【解题思路】设交点系方程，结合直线过求方程即可.
【解答过程】由题设，令直线的方程为，且直线过，
所以，
故直线的方程为.
故答案为：.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.4 两条直线的交点（举一反三讲义）
【题型1 求直线交点坐标】 1
【题型2 由直线交点的个数求参数】 2
【题型3 由直线的交点坐标求参数】 2
【题型4 经过两直线交点的直线方程】 3
【题型5 三线能围成三角形的问题】 4
【题型6 直线交点系方程及应用】 5
知识点1 两条直线的交点坐标
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线，直线.
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行
【题型1 求直线交点坐标】
【例1】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2026高二上·新疆和田·期中）已知直线方程为，直线方程为，则两直线交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线与相交于点，若直线经过点，且与垂直，则直线与的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 由直线交点的个数求参数】
【例2】（2026高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（ ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1
【变式2-1】（2026高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（ ）
A． B．1
C． D．
【变式2-2】（2026高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（高二上·江西新余·开学考试）平面上三条直线，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k可能的取值情况是（ ）
A．只有唯一值 B．有两个不同值 C．有三个不同值 D．无穷多个值
【题型3 由直线的交点坐标求参数】
【例3】（2026高二上·全国·课后作业）若直线经过两直线和的交点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式3-1】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ）
A．20 B． C．0 D．24
【变式3-2】（2026高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-3】（2026高二上·天津南开·期中）若过点的直线l与直线的交点位于第一象限，则直线l斜率的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 经过两直线交点的直线方程】
【例4】（2026高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2026高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2026高二上·福建福州·期中）直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 三线能围成三角形的问题】
【例5】（2026高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2026高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2026高一·全国·课后作业）已知三条直线，，.
（1）若直线，，交于一点，求实数的值；
（2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值.
【变式5-3】（高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：．
(1)若，且过点，求a、b的值；
(2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围．
知识点2 直线系方程
1．直线系方程
过直线与的交点的直线系方程为
,λ∈R，但不包括直线l2.
【题型6 直线交点系方程及应用】
【例6】（2026高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　）
A．3x-19y=0 B．19x-3y=0
C．19x+3y=0 D．3x+19y=0
【变式6-1】（2026高二上·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式6-2】（2026高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ．
【变式6-3】（2026高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式）
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