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专题1.5 平面上的距离（举一反三讲义）
【题型1 求平面两点间的距离】 2
【题型2 点到直线的距离问题】 2
【题型3 两条平行直线间的距离问题】 2
【题型4 与距离有关的最值问题】 3
【题型5 直线关于点的对称问题】 5
【题型6 求点关于直线的对称点】 6
【题型7 直线关于直线的对称问题】 6
【题型8 光线反射问题】 7
【题型9 将军饮马问题】 8
知识点1 平面上的距离
1．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
4．中点坐标公式
公式：
设平面上两点，线段的中点为，则.
【题型1 求平面两点间的距离】
【例1】（2026高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【变式1-1】（2026高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（ ）
A．10 B．5 C．8 D．6
【变式1-2】（2026高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）过点的直线的斜率为 ，则（ ）
A．10 B． C． D．180
【变式1-3】（2026高二上·广东阳江·阶段练习）直线和直线分别过定点和，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 点到直线的距离问题】
【例2】（2026高二上·全国·课后作业）点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2026高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2026高二上·全国·课后作业）到直线的距离为的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2026高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 两条平行直线间的距离问题】
【例3】（2026高二上·吉林四平·阶段练习）两平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2026高二上·湖南邵阳·期中）两条平行直线和间的距离为，则a，d分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式3-2】（2026高二上·陕西榆林·阶段练习）若直线与平行，则与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2026高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：间的距离为，则（ ）
A．17 B． C．14 D．7
【题型4 与距离有关的最值问题】
【例4】（2026高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2026高二上·内蒙古包头·期中）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式4-2】（2026高二上·安徽·期中）已知直线的方程为．
(1)证明：直线过定点．
(2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大值是多少？
【变式4-3】（2026高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点，求：
(1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程；
(2)过点且与原点距离为2的直线的方程；
(3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离．
知识点2 点、线间的对称关系
1．点关于点的对称
求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解.
设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0).
2．直线关于点的对称
求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤：
(1)由平行直线系设出直线l'的方程；
(2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)；
(3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程.
3．两点关于某直线对称
设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y).
(1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则.
(2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则.
(3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y).
则，由此可求出B(x,y).
(4)几种特殊位置的对称：
点 对称轴 对称点坐标
P(a,b) x轴 (a,-b)
y轴 (-a,b)
y=x (b,a)
y=-x (-b,-a)
x=m(m≠0) (2m-a,b)
y=n(n≠0) (a,2n-b)
4．直线关于直线对称
直线关于直线对称有两种类型：
(1)若已知直线l 与对称轴l相交于点P，则交点P必在l 关于l对称的直线l2上，再求出l 上除点P外
任意一个已知点P 关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2.
(2)若已知直线l 与对称轴l平行，则l 关于l对称的直线l2到直线l的距离和l 到直线l的距离相等，由
平行直线系和对称点即可求出l 关于l对称的直线l2.
【题型5 直线关于点的对称问题】
【例5】（2026高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
【变式5-1】（2026高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2026高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2026高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 求点关于直线的对称点】
【例6】（2026高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2026高二上·福建·期中）点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2026高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2026高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 直线关于直线的对称问题】
【例7】（2026高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2026高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（2026高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型8 光线反射问题】
【例8】（2026高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2026高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）
A．3 B． C． D．
【变式8-2】（2026高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 .
(1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程；
(2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程.
【变式8-3】（2026高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：．
(1)求直线经过的定点坐标；
(2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．
【题型9 将军饮马问题】
【例9】（2026高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2026高二上·上海奉贤·阶段练习）暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为5
【变式9-2】（2026高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【变式9-3】（2026高二上·安徽合肥·期中）暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为．
(1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程；
(2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.5 平面上的距离（举一反三讲义）
【题型1 求平面两点间的距离】 2
【题型2 点到直线的距离问题】 3
【题型3 两条平行直线间的距离问题】 4
【题型4 与距离有关的最值问题】 5
【题型5 直线关于点的对称问题】 9
【题型6 求点关于直线的对称点】 11
【题型7 直线关于直线的对称问题】 12
【题型8 光线反射问题】 14
【题型9 将军饮马问题】 17
知识点1 平面上的距离
1．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
4．中点坐标公式
公式：
设平面上两点，线段的中点为，则.
【题型1 求平面两点间的距离】
【例1】（2026高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【解题思路】利用两点之间的距离公式计算即得.
【解答过程】点和点之间的距离为.
故选：D.
【变式1-1】（2026高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（ ）
A．10 B．5 C．8 D．6
【解题思路】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解.
【解答过程】设，则，
即，
所以.
故选：A.
【变式1-2】（2026高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）过点的直线的斜率为 ，则（ ）
A．10 B． C． D．180
【解题思路】由斜率公式求得，再根据两点之间距离公式计算即可．
【解答过程】由题意得，，解得，
所以，所以，
故选：B．
【变式1-3】（2026高二上·广东阳江·阶段练习）直线和直线分别过定点和，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由直线方程可得定点A，B，然后由两点间距离公式可得答案.
【解答过程】直线过定点，
直线 ，
则，可得过定点，
所以.
故选：A.
【题型2 点到直线的距离问题】
【例2】（2026高二上·全国·课后作业）点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将直线方程化为一般方程，然后直接代入点到直线的距离公式计算即可.
【解答过程】直线化为一般式方程为，
所以所求距离为.
故选：B.
【变式2-1】（2026高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离．
【解答过程】由得，即，
所以点到直线 的距离为，
故选：A．
【变式2-2】（2026高二上·全国·课后作业）到直线的距离为的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设出点的坐标，然后根据点到直线的距离公式列式，将选项代入验证即可.
【解答过程】设到直线距离为的点的坐标为，
则由点到直线的距离公式得，解得或.
选项中符合条件的点为.
故选：C.
【变式2-3】（2026高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解.
【解答过程】根据题意，，
所以直线的方程为，即，
点到直线的距离为.
故选：C.
【题型3 两条平行直线间的距离问题】
【例3】（2026高二上·吉林四平·阶段练习）两平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据两直线平行可得，即可根据平行线间距离公式求解.
【解答过程】由于与平行，故，解得，
故两直线为，，
故距离为，
故选：C.
【变式3-1】（2026高二上·湖南邵阳·期中）两条平行直线和间的距离为，则a，d分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】根据两线平行的判定列方程求参数a，再由平行线的距离公式求.
【解答过程】由题设，可得，则直线为，
所以.
故选：D.
【变式3-2】（2026高二上·陕西榆林·阶段练习）若直线与平行，则与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据直线平行求出的值，利用两平行直线间的距离公式可得结果.
【解答过程】∵，∴，解得，
∵直线可化为，
∴与之间的距离为.
故选：B.
【变式3-3】（2026高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：间的距离为，则（ ）
A．17 B． C．14 D．7
【解题思路】根据平行直线间的距离公式计算即可.
【解答过程】因为，所以直线与直线间的距离为，
解得或，
因为，所以.
故选：D.
【题型4 与距离有关的最值问题】
【例4】（2026高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案.
【解答过程】，
则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，
即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值，
即．
故选：A.
【变式4-1】（2026高二上·内蒙古包头·期中）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】利用两点之间的距离公式理解所求式，将问题转化成点到直线上的点的距离最小问题，即当时，由点到直线的距离公式即可求得.
【解答过程】可理解为动点到定点的距离，
而动点在直线上，
故当且仅当时，取得最小值，
即，故的最小值是.
故选：D.
【变式4-2】（2026高二上·安徽·期中）已知直线的方程为．
(1)证明：直线过定点．
(2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大值是多少？
【解题思路】（1）参变分离，令参数系数为0即可；
（2）当时，点到直线的距离最大,用两点间距离公式计算即可.
【解答过程】（1）证明：将直线的方程整理得，
由，解得，所以直线恒过点．
（2）由（1）可得直线过定点，设定点为．
当时，点到直线的距离最大，且最大距离，
即点到直线的最大距离为．
此时，而直线的斜率，所以，解得．
【变式4-3】（2026高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点，求：
(1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程；
(2)过点且与原点距离为2的直线的方程；
(3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离．
【解题思路】（1）分直线过截距为0和截距不为0两种情况讨论即可；
（2）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求；
（3）由题可知过点且与原点距离最大的直线与垂直，由此求出，进而得到直线的方程及最大距离.
【解答过程】（1）①若直线的截距为0时，设直线方程为，
因为过点，所以，
所以，故直线的方程为．
②若直线的截距不为0时，设直线的方程为，
因为过点，所以，
解得，
故直线的方程为．
综上，可得直线的方程为或．
（2）①若直线的斜率不存在，
由于过点，则其方程为，
原点到直线的距离为2，满足题意；
②若直线的斜率存在，设为，
则直线的方程为，即．
由已知，得，解得．
此时的方程为．
综上，可得直线的方程为或．
（3）记原点为，过点且与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线，
设直线、直线的斜率分别为，．
由题意知，
由，得，即．
由直线方程的点斜式得，即．
即直线：是过点P且与原点距离最大的直线，且最大距离为．
知识点2 点、线间的对称关系
1．点关于点的对称
求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解.
设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0).
2．直线关于点的对称
求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤：
(1)由平行直线系设出直线l'的方程；
(2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)；
(3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程.
3．两点关于某直线对称
设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y).
(1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则.
(2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则.
(3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y).
则，由此可求出B(x,y).
(4)几种特殊位置的对称：
点 对称轴 对称点坐标
P(a,b) x轴 (a,-b)
y轴 (-a,b)
y=x (b,a)
y=-x (-b,-a)
x=m(m≠0) (2m-a,b)
y=n(n≠0) (a,2n-b)
4．直线关于直线对称
直线关于直线对称有两种类型：
(1)若已知直线l 与对称轴l相交于点P，则交点P必在l 关于l对称的直线l2上，再求出l 上除点P外
任意一个已知点P 关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2.
(2)若已知直线l 与对称轴l平行，则l 关于l对称的直线l2到直线l的距离和l 到直线l的距离相等，由
平行直线系和对称点即可求出l 关于l对称的直线l2.
【题型5 直线关于点的对称问题】
【例5】（2026高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
【解题思路】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。
【解答过程】设直线关于点对称的直线上任意一点，
则关于对称点为，
又因为在上，
所以，即。
故选：B.
【变式5-1】（2026高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解.
【解答过程】因为不在直线l：上，
所以可设直线l：关于点对称的直线方程为，
则，解得或（舍去），
故所求直线方程为：.
故选：A.
【变式5-2】（2026高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.
【解答过程】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.
故选：D.
【变式5-3】（2026高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案.
【解答过程】由可得：，
令，解得：，
所以，设直线关于点的对称直线方程为：，
则到直线与的距离相等，
所以，解得：，即（舍去）或.
故直线关于点的对称直线方程为：.
故选：D.
【题型6 求点关于直线的对称点】
【例6】（2026高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解.
【解答过程】设关于直线的对称点坐标为，
则，解得，故对称点坐标为，
故选：B.
【变式6-1】（2026高二上·福建·期中）点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设对称点，根据线段中点在直线上，所在直线与直线垂直，即斜率相乘为，代入坐标即可求解.
【解答过程】设的对称点坐标为，
则对称点与已知点连线的中点为，
由题意可得，解得．
所以对称点坐标为．
故选：B.
【变式6-2】（2026高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由已知，设点关于直线的对称点为，再由垂直直线的斜率关系和点与点的中点在上，建立方程组，即可得到.
【解答过程】因为点关于直线的对称点在轴上，
设点关于直线的对称点为，
则有 ，解得.
故选：B.
【变式6-3】（2026高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由对称可知直线，且中点在上，设点坐标，可得方程组，解方程组即可.
【解答过程】设，则中点，且，
由，两点关于直线对称，且，
则，解得，
即，
故选：B.
【题型7 直线关于直线的对称问题】
【例7】（2026高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果.
【解答过程】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为，
则,故对称点坐标为，代入直线上，
，
故选：D.
【变式7-1】（2026高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据对称性的性质，用代，以代进行求解即可.
【解答过程】因为直线l：与直线关于直线对称，
所以在方程中，用代，以代，得，
化简，得，
故选：A.
【变式7-2】（2026高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得.
【解答过程】因为，所以，设直线的方程为且.
因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离.
由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）.
所以直线的方程为.
故选：D.
【变式7-3】（2026高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.
【解答过程】因为直线：与：，
所以，
又两条平行直线：与：之间的距离是，
所以解得
即直线：，：，
设直线关于直线对称的直线方程为，
则，解得，
故所求直线方程为，
故选：A.
【题型8 光线反射问题】
【例8】（2026高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，求出发光点关于直线的对称点，再借助光的反射定律求出反射光线所在直线的方程.
【解答过程】设点关于直线的对称点为，则，解得，
因此反射光线所在直线过点，方程为，即.
故选：A.
【变式8-1】（2026高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）
A．3 B． C． D．
【解题思路】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程．
【解答过程】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点，
则，解得，即，又关于轴的对称点为，
，光线所经过的路程即的周长，
而的周长为，
所以光线所经过的路程是．
故选：B.
【变式8-2】（2026高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 .
(1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程；
(2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程.
【解题思路】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可；
（2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程.
【解答过程】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为，
故可设直线的方程为，
因为点在直线上，
所以，
所以，
所以直线的方程为
（2）设点关于直线的对称点为．
由题意得，
解得，所以点的坐标为，
所以反射光线所在直线斜率为，
直线方程为．
【变式8-3】（2026高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：．
(1)求直线经过的定点坐标；
(2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．
【解题思路】（1）分离参数，列方程可得直线过定点；
（2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程.
【解答过程】（1）由直线：，即，
令，解得，
故直线恒过定点；
（2）设关于的对称点，则，
关于的对称点，
由直线的方程为，即，
所以，解得，
所以，
由题意得、、、四点共线，，
由对称性得，
所以入射光线的直线方程为，
即．
【题型9 将军饮马问题】
【例9】（2026高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】作点关于直线的对称点为，则最短路程为.根据点关于
直线的对称问题，列方程组，可求得，再应用两点间的距离公式求即可.
【解答过程】如图，作点关于直线的对称点为，

则，解得，
所以.
则“将军饮马”的最短总路程为.
故选：C.
【变式9-1】（2026高二上·上海奉贤·阶段练习）暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为5
【解题思路】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可.
【解答过程】如图所示：
由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为，
三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”，
则，解得，即，
对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确；
对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确；
对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误；
对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误.
故选：B.
【变式9-2】（2026高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【解题思路】先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解．
【解答过程】设点关于直线的对称点为，
则，解得，
，又点
故“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
【变式9-3】（2026高二上·安徽合肥·期中）暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为．
(1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程；
(2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程．
【解题思路】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解，
（2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程.
【解答过程】（1）由题意可知在的同侧，
设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”，
则，解得，即，
此时“将军饮马”走过的总路程为．

（2）由（1）知,故直线方程为，
故直线的方程是，
联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，
边的中点，则，即，
∴直线斜率，
∴直线的方程为，整理得．
∴△中边中线所在的直线方程为．
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