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专题02 数列的通项公式的求法（举一反三专项训练）
【苏教版】
【类型1 观察法】 3
【类型2 由an与Sn的关系求通项】 5
【类型3 累加法】 7
【类型4 累乘法】 10
【类型5 构造法】 12
【类型6 由等差数列的通项公式求数列通项】 15
【类型7 由等比数列的通项公式求数列通项】 17
【类型8 双数列的通项问题】 20
知识点1 数列的通项公式
1．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
2．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{an}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 (n≥2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.
知识点2 数列的通项公式的常见求法
1．观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.
2．定义法：
已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项.
3．公式法：
由an与Sn的关系求通项：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2) Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
4．累加法：
形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
5．累乘法：
形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.
6．构造法：
①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}.
③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}.
④倒数法：形如(A,B,C为不为0的常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
7．等差数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.
8．等比数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.
【类型1 观察法】
1．（2026高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式.
【解答过程】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负.
根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示.
分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为.
结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为.
故选：A.
2．（2026高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，…的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由前5项的共同属性写出一个通项公式.
【解答过程】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2，
则第项的分子为，对应的分母为，
所以.
故选：B.
3．（2026高二上·河北沧州·阶段练习）数列的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】结合通项公式，逐项验证即可得.
【解答过程】对A：，不符，故A错误；
对B：，不符，故B错误；
对C：，不符，故C错误；
对D：、、
、，符合要求，故D正确；
故选：D.
4．（2026高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ．
【答案】
【解题思路】分别观察分子和分母的规律可得通项.
【解答过程】由前四项可知，其分子为奇数，
其分母后一项是前一项的二倍，
所以数列的通项公式为.
故答案为：.
5．（2026高二上·全国·课后作业）写出下面各数列的一个通项公式．
(1)；
(2)6，66，666，6666，…；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解题思路】（1）分析分子分母的关系结合分母特点写出通项公式；
（2）分析数值的组成形式，得出规律，由此可写出通项公式；
（3）根据奇偶项、分子、分母的规律写出通项公式；
（4）分别考虑分子分母的通项公式，由此可得结果.
【解答过程】（1）这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为，
所以它的一个通项公式为．
（2）这个数列的前4项可写为，，
所以它的一个通项公式为．
（3）这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为，
分子依次为，
所以它的一个通项公式为.
（4）将数列变形为对于分子可得分子的通项公式为，
对于分母联想到数列可得分母的通项公式为，
所以原数列的一个通项公式为．
【类型2 由an与Sn的关系求通项】
6．（2026·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】由题中等式，可得，再结合时，可得.
【解答过程】当时，有，所以，
当时，由，，
两式相减得，
此时，，也满足，
所以的通项公式为.
故选：B.
7．（2026高二上·广东江门·期末）已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】已知和求通项公式：进行计算.
【解答过程】当时，
当时，
故选：C.
8．（2026高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】利用关系求通项公式.
【解答过程】当，则，
而，显然不满足上式，所以.
故选：D.
9．（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，则 .
【答案】
【解题思路】根据与的关系求解可得.
【解答过程】当时，；
当时，.
综上，.
故答案为：.
10．（2026·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）首先根据时，利用公式，得到关于数列的递推关系式，再通过构造证明数列是等差数列，即可求通项公式；
（2）根据（1）的结果，将通项放缩为，，再相消求和.
【解答过程】（1），①
当时，，②
①-②，得，
两边同时除以，得.
当时，.
，
，解得，
此时，也满足，
数列是以为首项，1为公差的等差数列，
，即.
（2）证明：当时，，
当时，，
，
【类型3 累加法】
11．（2026高二上·山东枣庄·阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由，利用累加法可求通项公式.
【解答过程】由题意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
故选：B.
12．（2026高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由，可以采用累加法进行求解.
【解答过程】由，则
，
，
，
，
…
，
以上各式累加得．
所以．
因为也适合上式，
所以．
故选：B.
13．（2026高三上·全国·阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】对同时除以可得，再由累加法求解即可得出答案.
【解答过程】若，则，则，
这与矛盾，所以，
对同时除以，
所以，则，，
……，，
上面的式子相加可得：
，
所以，所以，
故选：D.
14．（2026高二上·宁夏吴忠·期末）在数列中，，则 .
【答案】
【解题思路】根据给定条件，利用累加法求出通项公式.
【解答过程】在数列中，，
当时，
，而满足上式，
所以.
故答案为：.
15．（2026高二下·广东广州·期末）已知数列的首项为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求满足条件的最大整数．
【答案】(1)
(2)8
【解题思路】（1）利用累加法可求得数列的通项公式；
（2）根据，可求得，进而解不等式可求解.
【解答过程】（1）当时，，
将以上等式两边分别累加，可得，
，
当时，也符合上式．．
（2），
，
，
，
，
的最大值为8.
【类型4 累乘法】
16．（2026高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】利用累乘法可数列的通项公式.
【解答过程】由已知，即
则时，，，，，，，
等式左右分别相乘可得，
又，适合上式，
所以，
故选：B.
17．（2026高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　　）
A．n B． C．2n D．
【答案】C
【解题思路】根据题意可得，再利用累乘法计算可得；
【解答过程】解：由，得，
即，
则，，，…，，
由累乘法可得，因为，所以，
故选：C．
18．（2026高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】利用累乘法即可求得.
【解答过程】因为，
所以，
上述各式相乘得，
因为，所以，
经检验，满足，
所以.
故选：D.
19．（2026高二上·甘肃·阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是 .
【答案】
【解题思路】根据题意可得，再利用累乘法求解．
【解答过程】，，即，
，
满足上式，所以.
故答案为：．
20．（2026高二上·江苏苏州·期末）已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且．
(1)求及；
(2)求的通项公式．
【答案】(1)，
(2)
【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案；
（2）先求出，累乘可求答案.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，则，；
又，所以，所以，
所以，．
（2）因为，所以，
，
以上各式相乘可得，
因为，
所以.
【类型5 构造法】
21．（2026高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的各项为正数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】由已知等式变形得出，结合题意得出，，可知数列为常数列，由此可求得数列的通项公式.
【解答过程】因为数列的各项为正数，且，，
故当时，，
由题意可知，对任意的，，则，所以，，
则有，所以，数列为常数列，
故，所以.
故选：A.
22．（2026高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】利用构造法可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可得结果.
【解答过程】∵，
∴，即，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，
∴.
故选：A.
23．（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可.
【解答过程】设，即，
所以，解得，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以．
故选：C.
24．（2026高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知，当时，，则的通项公式为 .
【答案】
【解题思路】由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案.
【解答过程】由于当时，①，
故设，即②，
由①，②对照可得，，解得，
即，
又，则是以3为首项，为公比的等比数列，
故，则
故答案为：.
25．（2026高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列{}的首项 且满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和Sn.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）先根据题干构造出是以为首项，为公比的等比数列，进而求出数列{}的通项公式；
（2）由（1）可知数列{}的通项公式为等差乘等比，利用错位相减求出前n项和即可.
【解答过程】（1）由于，则，
化简得，
又，则是以为首项，为公比的等比数列，
得，所以．
（2）由(1)得，，则，则
，①
，②
①②，得：，
，
，
，
，
化简后得 ．
【类型6 由等差数列的通项公式求数列通项】
26．（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的公差为1，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据已知关系，应用等差数列的通项公式求基本量，再写出通项公式.
【解答过程】若数列公差为，因为，所以，
又，解得，所以.
故选：C.
27．（2026高二下·广东茂名·期中）已知为等差数列，为其前项和，若，则通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】利用等差数列的通项公式以及前项和的基本量计算，分别求出首项和公差，即可得通项公式.
【解答过程】由题意，，解得，
设等差数列的公差为，则，解得，
所以数列的通项公式为.
故选：A.
28．（2026高二上·天津滨海新·阶段练习）数列中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】由等差数列通项公式可求.
【解答过程】数列中，，，
所以数列是首项，公差的等差数列，
所以.
故选：A.
29．（2026高二·全国·专题练习）已知，，则数列的通项公式 ．
【答案】
【解题思路】由可分别得到方程组和，从而得到，化简后得到，再验证，即可求解.
【解答过程】因为，
所以，，
两式相减得，
即，
即．
因为，所以．
因为，所以，
故是首项为、公差为4的等差数列，则 ．
故答案为：.
30．（2026高二上·甘肃陇南·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】(1)
(2)，的最小值为
【解题思路】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式；
（2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值.
【解答过程】（1）因为为等差数列的前项和，且，，
则，即，可得公差，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，则，
令，解得，
可知当时，；当时，；
所以的最小值为.
【类型7 由等比数列的通项公式求数列通项】
31．（2026高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】应用化简得出数列是等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解.
【解答过程】因为，则，
当时，作差得，所以，
所以，所以，因为，当时，，
数列是以为首项以为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
故选：D.
32．（2026高二下·山西太原·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】应用等差中项的性质及等比数列的通项公式求得公比，进而写出通项公式.
【解答过程】由题设，若的公比为，则，，
所以 ，则.
故选：D.
33．（2026高二上·全国·课后作业）在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】先证明数列为等比数列，再根据首项和公比求数列的通项公式.
【解答过程】因为，所以，即，
则数列是等比数列，公比为．
又因为，所以或（舍去），
则数列的通项公式为．
故选：A.
34．（2026高三上·江苏·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解题思路】先求得，当时，根据，可得，最后由等比数列的定义求解即可.
【解答过程】当时，则有，解得，
当时，
则有，
所以，
即，
所以，
所以数列是等比数列，其首项为，公比，
所以.
当时也符合，所以.
故答案为：.
35．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知正项数列满足：.
(1)证明是等比数列，并求通项；
(2)若，求数列的前项和的表达式.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式；
（2）根据错位相减法直接求数列的前项和.
【解答过程】（1）由，得，
因为是正项数列，所以，即，又，
所以是公比为的等比数列，又，得，
所以，即.
（2）由（1）知，所以.
所以，
即，
，
所以 ，
所以.
【类型8 双数列的通项问题】
36．（2026高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【解题思路】（1）由，根据与关系求出；将看作数列的前项和，同理可求；
（2）由错位相减法求和.
【解答过程】（1）对于数列，当时，，解得；
当时，，与原式作差可得（），
所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以；
对于数列，当时，，解得，
时，，
与原式作差可得，因为，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以．
（2）由（1）可知，
所以，
所以，
两式作差可得，
所以．
37．（2026高三上·黑龙江·期中）已知数列满足，；数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的通项公式．
(3)设数列满足，若中的三项（）成等差数列，证明：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析
【解题思路】（1）根据给定的递推公式，分奇偶讨论，结合等比数列定义求出通项公式.
（2）根据给定条件，利用变形，再构造常数列求出通项公式.
（3）由（1）（2）的结论，利用反证法推理得证.
【解答过程】（1）数列中，，，
当时，，则，当时，，则，
因此数列均是公比为4的等比数列，，
所以数列的通项公式是.
（2）在数列中，，当时，，
当时，，两式相减得，，
当时，，
即，因此当时，数列是常数列，
，整理得，显然满足上式，
所以数列的通项公式是.
（3）由（1）（2）得，显然且数列是递增的，
由成等差数列，得，
假设，则，即，整理得，
设，则，
因此数列是单调递增数列，则，即与矛盾，
于是假设不成立，所以成立.
38．（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前n项和，，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求的前项和；
【答案】(1)，
(2)
【解题思路】（1）由等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到，由等比数列通项公式可求得；利用可得到，利用累乘法可求得；
（2）由（1）可得，进而整理得到，将相邻两项看作一组，采用分组求和的方式，分别根据等差数列求和公式和错位相减法求得两个部分的和，由此可得.
【解答过程】（1）设等比数列的公比为，
，，成等差数列，，即，，，解得：或（舍）；
，，即，解得：，；
当时，，整理可得：，
；
经检验，当时，满足，
综上所述：.
（2）由（1）得：，
，
令，则其前项和；
令，
则其前项和，
，
，，
.
39．（2026高三上·广东湛江·阶段练习）已知等差数列满足，，数列满足，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【解题思路】（1）利用等差数列的性质可求得首项与公差，可求得，由已知可得是等比数列.，计算可求得；
（2）利用裂项相消法可求得数列的前项和；
（3）利用错位相减法可求得数列的前项和.
【解答过程】（1）由，得.
因为，所以，
则公差为，所以，
所以.
因为，所以，则是等比数列.
设其公比为，因为，，所以，，则.
（2）因为，
所以.
（3）因为，所以，
所以，
两式相减得，
所以.
40．（2026高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项.
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设求数列的前项和.
(3)若对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
(3)
【解题思路】（1）利用及求出，再结合，是和的等比中项可求出；
（2）利用错位相减法即可求出；
（3）由题可得对于恒成立，令，当时，，
当时，单调递减，又，从而可得.
【解答过程】（1）由，，解得，
所以；则，
由是和的等比中项，则，解得，
又由，所以，所以.
（2）由（1）可得，
则，
，
将两式相减得：，
化简得.
（3）若对于恒成立，
即对于恒成立，
化简得对于恒成立，令，
则，当时，；
所以当时，，
所以当时，单调递减，当时，，
所以，所以.
故实数的取值范围为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 数列的通项公式的求法（举一反三专项训练）
【苏教版】
【类型1 观察法】 2
【类型2 由an与Sn的关系求通项】 3
【类型3 累加法】 4
【类型4 累乘法】 5
【类型5 构造法】 5
【类型6 由等差数列的通项公式求数列通项】 6
【类型7 由等比数列的通项公式求数列通项】 7
【类型8 双数列的通项问题】 7
知识点1 数列的通项公式
1．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
2．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{an}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 (n≥2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.
知识点2 数列的通项公式的常见求法
1．观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.
2．定义法：
已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项.
3．公式法：
由an与Sn的关系求通项：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2) Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
4．累加法：
形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
5．累乘法：
形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.
6．构造法：
①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}.
③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}.
④倒数法：形如(A,B,C为不为0的常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
7．等差数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.
8．等比数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.
【类型1 观察法】
1．（2026高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，…的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高二上·河北沧州·阶段练习）数列的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ．
5．（2026高二上·全国·课后作业）写出下面各数列的一个通项公式．
(1)；
(2)6，66，666，6666，…；
(3)；
(4)．
【类型2 由an与Sn的关系求通项】
6．（2026·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2026高二上·广东江门·期末）已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2026高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，则 .
10．（2026·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)证明：.
【类型3 累加法】
11．（2026高二上·山东枣庄·阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2026高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
13．（2026高三上·全国·阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（2026高二上·宁夏吴忠·期末）在数列中，，则 .
15．（2026高二下·广东广州·期末）已知数列的首项为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求满足条件的最大整数．
【类型4 累乘法】
16．（2026高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2026高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　　）
A．n B． C．2n D．
18．（2026高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2026高二上·甘肃·阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是 .
20．（2026高二上·江苏苏州·期末）已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且．
(1)求及；
(2)求的通项公式．
【类型5 构造法】
21．（2026高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的各项为正数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
22．（2026高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
23．（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2026高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知，当时，，则的通项公式为 .
25．（2026高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列{}的首项 且满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和Sn.
【类型6 由等差数列的通项公式求数列通项】
26．（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的公差为1，，则（ ）
A． B． C． D．
27．（2026高二下·广东茂名·期中）已知为等差数列，为其前项和，若，则通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
28．（2026高二上·天津滨海新·阶段练习）数列中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
29．（2026高二·全国·专题练习）已知，，则数列的通项公式 ．
30．（2026高二上·甘肃陇南·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【类型7 由等比数列的通项公式求数列通项】
31．（2026高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
32．（2026高二下·山西太原·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
33．（2026高二上·全国·课后作业）在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
34．（2026高三上·江苏·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ．
35．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知正项数列满足：.
(1)证明是等比数列，并求通项；
(2)若，求数列的前项和的表达式.
【类型8 双数列的通项问题】
36．（2026高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
37．（2026高三上·黑龙江·期中）已知数列满足，；数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的通项公式．
(3)设数列满足，若中的三项（）成等差数列，证明：．
38．（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前n项和，，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求的前项和；
39．（2026高三上·广东湛江·阶段练习）已知等差数列满足，，数列满足，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求数列的前项和.
40．（2026高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项.
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设求数列的前项和.
(3)若对于恒成立，求实数的取值范围.
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