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专题02 圆与方程（16大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练）
【苏教版】
【知识清单1 圆的方程】
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径).
圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
【知识清单2 二元二次方程与圆的方程】
1．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是.
【知识清单3 点与圆的位置关系】
1．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
位置关系 判断方法
几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程)
点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
点在圆内 |MA|点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
【知识清单4 轨迹方程】
1．轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).
(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.
2．求轨迹方程的步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；
(2)列出关于x,y的方程；
(3)把方程化为最简形式；
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；
(5)作答.
【知识清单5 与圆有关的对称问题】
1．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
【知识清单6 直线与圆的位置关系及判定】
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
位置 相交 相切 相离
交点个数 两个 一个 零个
图形
d与r的关系 dr
方程组解的情况 有两组不
同的解 仅有一组解 无解
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的
实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.
【知识清单7 圆的切线及切线方程】
1．自一点引圆的切线的条数：
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程：
(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
(2)重要结论：
①经过圆上一点P的切线方程为.
②经过圆上一点P的切线方程为.
③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为
.
【知识清单8 圆的弦长】
1．圆的弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
2．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d
为圆心到直线的距离；
②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；
③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.
(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题
解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选
用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
【知识清单9 圆与圆的位置关系及判定】
1．圆与圆的位置关系及判断方法
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.
(2)圆与圆的位置关系的判定方法
①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：
设两圆与的圆心距为d，则
d=，两圆的位置关系表示如下：
位置关系 关系式 图示 公切线条数
外离 d>r1+r2 四条
外切 d=r1+r2 三条
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2| 一条
内含 0≤d<|r1-r2| 无
②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.
当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，
两圆无公共点，包括内含与外离.
【知识清单10 两圆的公切线】
1．两圆的公切线
(1)两圆公切线的定义
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.
(2)两圆的公切线位置的5种情况
①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
③相交时，有2条公切线，都是外公切线；
④内切时，有1条公切线；
⑤内含时，无公切线.
判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。
(3)求两圆公切线方程的方法
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，
设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.
【知识清单11 两圆的公共弦】
1．两圆的公共弦问题
(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法
两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.
设圆:，①
圆:，②
①-②，得，③
若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点
满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.
(2)求两圆公共弦长的方法
①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦长.
1．（2026高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解.
【解答过程】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为，
则圆的方程为，因为点、在圆上，
所以有，整理得：，
解得：，所以圆的方程为：.
故选：D.
2．（2026高二上·江西抚州·期末）圆心为且过点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据各项给定圆的方程确定圆心，判断是否在圆上即可.
【解答过程】由的圆心为，A错；
由的圆心为，B错；
由的圆心为，显然点在圆上，C对；
由的圆心为，D错；
故选：C.
3．（2026高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】根据题意，由求解.
【解答过程】解：设圆的标准方程为，
由题意得，
解得，
故圆的方程为，
故选：B.
4．（2026高二上·河南开封·期末）圆C的圆心在x轴上，且经过，两点，则圆C的标准方程为 .
【答案】
【解题思路】设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心坐标与半径，可得圆的方程.
【解答过程】解：设圆心坐标为，则，
解得，即圆心为，半径为，
所以圆C的标准方程为
故答案为：.
5．（2026高二上·四川眉山·期末）已知圆过，两点，且圆心在上．
(1)求线段的垂直平分线的方程；
(2)求圆的标准方程
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）先根据直线与CD垂直得到斜率，再由CD的中点坐标为 求解；
（2）法一：直线与CD的垂直平分线的方程联立求得圆心，然后求得半径即可；法二：根据圆心在上，设，圆的半径为，再将点，坐标代入求解；
【解答过程】（1）解： ，
，又因为CD的中点坐标为 ，
所以线段的垂直平分线的方程为：；
（2）法一：由，
，
所以圆的标准方程为：，
法二：由题意，因为圆心在上，所以可设，
设圆的半径为，
又圆过，两点，
所以，解得，则圆心为，
所以圆的方程为.
6．（2026高二上·陕西汉中·期末）圆的圆心和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程求圆心与半径即可.
【解答过程】由，
所以圆心和半径分别为.
故选：D.
7．（2026高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．， B．， C．，3 D．，3
【答案】A
【解题思路】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.
【解答过程】圆的圆心坐标为，半径为.
故选：A.
8．（2026高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径.
【解答过程】根据圆的标准方程，
即可得圆心坐标为，半径为.
故选：D.
9．（2026高二上·浙江宁波·期末）已知圆C的方程为，则圆C的半径为 .
【答案】
【解题思路】将一般式转化为标准式即可求解半径.
【解答过程】由可得，
所以半径为，
故答案为：.
10．（2026高二上·湖南张家界·期末）已知直线：和圆：.
(1)求圆C的圆心坐标和半径；
(2)求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程.
【答案】(1)半径为2，圆心坐标为
(2)
【解题思路】（1）将圆的一般方程化为标准方程，即可求解；
（2）首先利用垂直关系设所求直线方程为，再代入圆心坐标，即可求解.
【解答过程】（1）圆可化为，则圆心为，半径为2；
（2）设与直线垂直的直线的方程为
已求出圆的圆心坐标为，
又因为直线经过圆心，所以，即，
故所求直线方程为.
11．（2026高二上·河南周口·期末）已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】根据二元二次方程表示圆可得答案.
【解答过程】若曲线表示圆，
则由圆的一般方程可知，，解得或.
故选：B.
12．（2026高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围.
【解答过程】依题意，，
，解得，
所以的取值范围是.
故选：B.
13．（2026高二上·四川眉山·期末）若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】根据圆的一般方程，由求解.
【解答过程】解：因为方程表示圆，
所以，
解得，
故选：B.
14．（2026高二上·浙江舟山·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解题思路】根据圆的一般方程条件计算即可得到答案.
【解答过程】方程表示一个圆，
则，得.
故答案为：.
15．（2026高二上·陕西渭南·月考）已知方程表示一个圆.
(1)求t的取值范围；
(2)求这个圆的圆心和半径；
【答案】(1)；
(2)圆心坐标为，半径为.
【解题思路】（1）由二元二次方程表示圆的条件列不等式求解；
（2）配方得圆的标准方程后可得圆心坐标与半径.
【解答过程】（1）由题意，解得：，
所以的取值范围是；
（2）圆的标准方程是，
圆心坐标为，半径为.
16．（2026高二上·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论.
【解答过程】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程，
只有C选项满足该方程.
故选：C.
17．（2026高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据圆的方程及点在圆外有且，即可求参数范围.
【解答过程】由题设，圆，则①，
由点在圆外，则有②，
联立①②得：或
所以实数m的取值范围为
故选：C.
18．（2026高二上·江苏扬州·期末）设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定
【答案】C
【解题思路】根据直线与圆的位置关系得到方程，求出，确定点与圆的位置关系.
【解答过程】由圆，圆心为，半径为2，
因为直线与圆相切，
故，故，所以点在圆内.
故选：C.
19．（2026高二上·甘肃·期末）若点是圆外的一点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解题思路】根据点与圆的位置关系建立不等式组，解之即可求解.
【解答过程】圆的标准方程为，
又点是圆 外的一点，
所以，解得，即的取值范围是．
故答案为：.
20．（2026高二上·江苏常州·期末）已知圆，，为坐标原点.
(1)若在圆内，求实数的取值范围；
(2)若直线与圆相切，求实数的值，
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）利用点与圆的位置关系列式求解.
（2）求出直线的方程，利用切线性质，结合点到直线距离公式计算得解.
【解答过程】（1）圆，则，
由在圆内，得，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，圆的圆心，半径，
直线方程为：，即，由直线与圆相切，得，解得，
所以实数的值为.
21．（2026高二上·安徽六安·期末）已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解.
【解答过程】设，则，由于在上运动，
故，化简得，
故选：D.
22．（2026高二上·重庆·期末）方程所表示的图形是（ ）
A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆
【答案】D
【解题思路】根据和，平方化简可得圆的方程，即可求解.
【解答过程】由于，故或，
当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的右半圆，
当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的左半圆，
故选：D.
23．（2026高二上·辽宁辽阳·期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据题意结合两点间距离公式运算求解即可.
【解答过程】因为，即，
则，整理可得．
故选：C.
24．（2026高二上·甘肃甘南·期末）若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为 .
【答案】
【解题思路】设的重心的坐标是，点的坐标是，根据重心的坐标公式得到，，再由点在圆上运动，即满足圆的方程，从而求出重心的轨迹方程.
【解答过程】设的重心的坐标是，点的坐标是.
已知点，的坐标分别是，，
则的重心的坐标满足，.
因此有，①.
因为点在圆上运动，
所以点的坐标满足方程，
即满足方程②.
将①代入②，得.
即所求轨迹方程为.
故答案为：.
25．（2026高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)求的最小值和最大值．
【答案】(1)
(2)最小值是，最大值是
【解题思路】（1）设，由，整理可得；
（2）由圆心，半径是2，先判断即在圆外，故的最小值为，最大值为.
【解答过程】（1）
设动点，则，
即，整理得，
故动点的轨迹的方程为，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆.
（2）
由（1）可知：，半径是2，圆心．
因，故在圆外，
故的最小值是，最大值是.
26．（2026高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
【答案】B
【解题思路】由直线方程可得直线过定点，证明点在圆内，由此判断结论.
【解答过程】由直线：，可知直线过定点，
由圆：，可知圆心，半径为，
则，
所以点在圆的内部，从而直线与圆相交.
故选：B.
27．（2026高二上·重庆北碚·期末）若直线与圆只有一个公共点，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】C
【解题思路】分析直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式可求的值.
【解答过程】因为直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切.
又 ，所以圆心为，半径为1.
由 .
故选：C.
28．（2026高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】B
【解题思路】根据点在圆外可得，即可利用点到直线的距离公式求解.
【解答过程】点在圆上，故，
圆心到直线的距离为，故直线与圆相切.
故选：B.
29．（2026高二上·海南海口·期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交
C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交
【答案】A
【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断.
【解答过程】圆的圆心，半径，
又，所以点在圆上，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切.
故选：A.
30．（2026高二上·北京昌平·期末）已知圆.
(1)过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；
(2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)或.
(2)直线与圆相交，理由见解析
【解题思路】（1）易知直线符合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程，利用点线距公式和几何法求弦长建立关于的方程，解之即可求解；
（2）法一：求出直线恒过定点，将定点代入圆的方程，结合点与圆的位置关系即可下结论；
法二：利用点线距公式，结合直线与圆的位置关系计算即可下结论.
【解答过程】（1）由圆可得，圆心，半径.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为.
圆心到直线的距离为，
此时，符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即.
圆心到直线的距离为.
因为，所以.所以.
解得.所以直线的方程为，即.
综上，所求直线的方程为或.
（2）法一：
因为直线过定点，
又因为，
所以点在圆内.
所以直线与圆相交.
法二：
圆心到直线的距离，
因为，所以.
所以.
所以直线与圆相交.
31．（2026高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围即可．
【解答过程】解：曲线是圆的上半部分，且含端点，
由过定点，如下图：
由图知，当与半圆左上部相切时，
即且，可得，
结合图知：实数k的取值范围为：．
故选：D.
32．（2026高二上·广西南宁·期末）直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】是过定点的直线，曲线表示以为圆心，半径为的圆的上半部分，画出直线与曲线通过数形结合求得答案.
【解答过程】记曲线，
由题意，，
∴曲线表示以 为圆心，半径为的圆的上半部分，
记直线，即，∴直线过定点.
如图所示：
，
当直线与曲线相切时，.
由图可知，当直线与曲线有两个相异的交点时，.
故选：B.
33．（2026高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】首先根据曲线的方程确定为以为圆心，2为半径的下半圆，进一步利用经过定点的直线系和曲线的交点确定直线的斜率，最后确定实数k的取值范围．
【解答过程】 ,所以直线恒过定点，且斜率为；
曲线，整理得，
故该曲线是以为圆心，2为半径的下半圆，
如图所示，令，代入，整理得，解得或；
故，
，所以直线与曲线有交点，只需或即可，
故选：B.
34．（2026高二上·湖北咸宁·期末）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 .
【答案】
【解题思路】画出曲线，数形结合求出直线与曲线有两个交点的范围.
【解答过程】依题意，，
则曲线表示为圆心，1为半径在直线及上方的半圆，如图：

当直线为曲线的切线时，，，解得，令切线为，
当直线过点时，它还过点，且这两点都在曲线上，此时，令此直线为，
当直线在直线与之间（不含，含）平行移动时，它与曲线始终有两个交点，
当直线由向右平移时，该直线与曲线最多一个交点，
所以实数b的取值范围是.
故答案为：.
35．（2026高二上·上海·期末）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解题思路】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可
【解答过程】直线过定点，
曲线为以为圆心，1为半径，且位于轴上半部分的半圆，如图所示：
当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，此时，解得.
当直线和曲线相切时，直线和半圆有一个交点，圆心到直线的距离，解得，
结合图像可知，当时，直线和曲线恰有两个交点.
故答案为：.
36．（2026高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】由圆心到直线的距离等1求解即可；
【解答过程】因为圆的半径为2，
由题意可知：圆心到直线的距离为1，
即，解得：，
故选：C.
37．（2026高二上·河南三门峡·期末）若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】由圆的标准方程可得圆心与半径，分直线与圆的位置为相离、相切与相交三种情况，建立不等式，可得答案.
【解答过程】由圆可得圆心，半径，
圆心到直线的距离，
当直线与圆相离或相切时，即，圆上的点到直线的距离最小值为，
由题意可得，解得或；
当直线与圆相交时，即，圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为，
由题意可得，由，不等式显然成立，由不等式，解得.
综上所述，的取值范围为.
故选：A.
38．（2026高二上·四川成都·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解题思路】求得圆心到直线的距离，根据题意可得，求解即可.
【解答过程】由圆，可得圆心，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
由圆上至少有3个点到直线的距离为1，
所以.
故选：A.
39．（2026高二上·江苏南京·期末）若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解题思路】利用平行线间距离公式根据圆上满足题意的点的个数即可求得结果.
【解答过程】如图所示：
设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，即.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
40．（2026高二上·山东临沂·期末）已知圆：，点.
(1)若直线与相切，切点为，求；
(2)已知直线过点，若圆上恰有三个点到的距离都等于1，求的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【解题思路】（1）利用切线的性质，结合勾股定理计算即得.
（2）根据给定条件，把问题转化为圆心到直线距离为1，再列式计算得解.
【解答过程】（1）圆：的圆心，半径，，
由直线与相切于点，得.
（2）要圆上恰有三个点到的距离都等于1，当且仅当圆心到直线的距离为1，
而点在圆外，直线与圆相离，则直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，由，解得或，
所以直线的方程为或.
41．（2026高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解题思路】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长.
【解答过程】圆圆心坐标为，半径为，
所以点到直线的距离可以求得弦心距为，
所以根据几何法得弦长为．
故选：B.
42．（2026高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A．或3 B．2 C．或5 D．4
【答案】C
【解题思路】由题可得到圆心距离，由点到直线距离公式可得答案.
【解答过程】，
则圆心坐标为：，半径为4.又因弦长为，
则圆心到弦距离满足.
则由点到直线距离公式可得：或.
故选：C.
43．（2026高二上·河南开封·期末）已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为4，则直线的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】利用垂径定理和点到直线的距离公式逐项判断即可.
【解答过程】圆的圆心为，半径为，
因为弦长为4，所以圆心到直线的距离，
对于A，，不符合题意；
对于B，，符合题意；
对于C，，不符合题意；
对于D，，不符合题意；
故选：B.
44．（2026高二上·安徽六安·期末）已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 .
【答案】2
【解题思路】先求出圆心的坐标和半径，设，则过点与垂直的直线被圆所截的弦最短，利用半径、弦心距和弦的关系可求出弦长.
【解答过程】由，可得圆心，半径，
设，则过点与垂直的直线被圆所截的弦最短，
，
此时弦长为，
故答案为：2.
45．（2026高二上·江苏镇江·期末）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】根据圆心在弦的中垂线上，也在直线上求解可得圆心，进而求得半径即可得圆的方程；
先讨论直线l斜率不存在时，再设直线l的点斜式，根据垂径定理求解即可.
【解答过程】（1）由题意圆心在弦的中垂线上，
又中点，，
则弦的中垂线斜率，故中垂线方程：，即，
联立可得，，即，
故圆的半径.
故圆的方程：
（2）当直线斜率不存在时，直线l与圆不相交；
当直线斜率存在时，设方程，
因为直线l截圆C所得的弦长为2，故圆心到的距离.
则到的距离，
则，即，解得或.
故方程，即或.
46．（2026高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解题思路】就直线的斜率是否存在分类讨论，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径可求直线方程，故可得正确的选项.
【解答过程】若直线的斜率不存在，则直线的方程为：，
圆心，半径为，圆心到直线的距离为，符合要求；
若直线的斜率存在，设直线的方程为即，
故圆心到直线的距离为，故，
故此时直线的方程为，
故选：D.
47．（2026高二上·贵州贵阳·期末）过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】B
【解题思路】求出圆的圆心坐标和半径，求出，根据勾股定理求出.
【解答过程】圆心，半径，
，
由勾股定理得.
故选：B.
48．（2026高二上·广东湛江·期末）已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】由结合切线长定理可得，再借助圆心到直线的距离建立不等式求解.
【解答过程】圆的圆心为，半径，
由，得，又，则，
而直线上存在点P，满足，于是点到该直线的距离，
解得，所以的取值范围是.
故选：C.
49．（2026高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可）
【答案】或（写出一条即可）
【解题思路】设出直线方程，根据点到直线的距离等于半径即可求解.
【解答过程】由可知：直线一定有斜率，
故设：，
则，化简可得，故或，
当时，切线方程为，当时，切线方程为，
故切线方程为：或，
故答案为：或.
50．（2026高二上·广西钦州·期末）已知圆过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】（1）设圆的方程为，带入A、B点的坐标以及将圆心带入直线方程构成方程组，解方程组可得答案；
（2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式即可求得切线l的方程.
【解答过程】（1）设圆的方程为，
则，解得，
所以圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，
则直线的方程为，即.
故直线的方程为或.
51．（2026高二上·云南红河·期末）设直线与圆相交于两点，则的面积为（ ）
A．8 B． C． D．4
【答案】B
【解题思路】根据点到直线的距离公式求得的高，利用圆的几何性质求得的底边长，进而可求的面积.
【解答过程】由题意，圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
则，
由此，.
故选：B.
52．（2026高二上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于，两点，则面积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解题思路】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论.
【解答过程】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内，
圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示：
圆心到直线的距离为，所以，
又，可得；
因此可得，，
所以的面积为.
故选：B.
53．（2026高二上·福建南平·期末）过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】由圆的方程求圆心坐标和半径，再求，结合切线性质求，，再利用三角形面积公式求 的面积，结合对称性可得结论.
【解答过程】圆的圆心为，半径，
由切线性质可得，，，
又点的坐标为，
所以，
所以，
所以的面积，
的面积，
所以四边形的面积.
故选：D.
54．（2026高二上·湖南益阳·期末）已知圆，直线与交于两点，则的面积等于 .
【答案】
【解题思路】根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可根据面积公式求解.
【解答过程】的圆心为半径为，
故圆心到直线的距离为，
弦长，
故，
故答案为：.
55．（2026高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点.
(1)若，求的值；
(2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)1
(2)
【解题思路】（1）利用垂径定理来求直线与圆相交的弦长，从而可得方程求解的值；
（2）利用勾股定理来求切线长，从而可计算面积，然后可用基本不等式来求最值即可.
【解答过程】（1）
由圆可得：
圆心为，半径，其中，
而圆心到直线的距离，
所以，解得，
即的值为1.
（2）由（1）可知，
由勾股定理可得
四边形由两个全等的直角三角形组成。所以
，
当且仅当时成立，
所以当时，四边形有最大面积.
56．（2026高二上·陕西汉中·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解题思路】首先求出点的轨迹方程，然后判断直线恒过定点，再将距离的最大值转化为两点间的距离.
【解答过程】设，又，得，
即点的轨迹为以圆心，以1为半径的圆，
又过定点，又，所以P在圆外，
所以点到直线的距离的最大值为，
故选：C.
57．（2026高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】由圆的方程求得其圆心和半径，求出圆心到直线l的距离，确定当时，取最大值，结合，求出，结合圆的切线性质，即可求得答案.
【解答过程】圆的标准方程为，圆心，半径，
圆心到直线的距离为，即l与圆相离，
由于，故，

故当时，最小，此时最大，则也取最大值，
此时，，
故选：C.
58．（2026高二上·四川成都·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】求出圆心和半径，根据四边形面积得到，要想最小，只需最小，求出最小值，进而得到答案.
【解答过程】的圆心为，半径为2，
圆心到直线的距离为，
故直线与圆相离，
由题意得⊥，⊥，且与全等，
则四边形的面积为，
可得⊥，
四边形的面积为，
故，其中，
故，
要想最小，只需最小，
显然当⊥直线时，最小，最小值为，
此时.
故选：C.
59．（2026高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 .
【答案】
【解题思路】设的坐标为，由题意结合圆的切线的几何性质推出在直线上，继而将的最小值转化为点到直线的距离，即可求解.
【解答过程】根据题意，设的坐标为，圆的圆心为，则.
为圆的切线，则有，
又由，则有，即，
变形可得：，即在直线上，
则的最小值即为点到直线的距离，
且，即的最小值是；
故答案为：.
60．（2026高二上·河南郑州·期末）已知直线过点且与直线平行，圆经过点.
(1)求直线的方程；
(2)求圆的标准方程；
(3)点是圆上的动点，求点到直线的距离最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)最大值，最小值.
【解题思路】（1）法一：利用直线的斜截式方程及两直线平行的条件及点斜式即可求解；
法二：利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解；
（2）法一：根据已知条件及圆心在弦的垂直平分线上，进而求出垂直平分线方程，联立方程组求出圆心，利用两点间的距离求出半径，结合圆的标准方程即可求解；
法二：利用待定系数法设出圆的方程，再结合点在圆上即可求解；
（3）根据圆的性质及点到直线的距离公式即可求解.
【解答过程】（1）法一：由，得，
所以直线的斜率为，
因为直线与直线平行，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
法二：依题意可设直线的方程为，
由于直线过点，所以，所以
所以直线的方程为
（2）法一：由题意知，作出图形如图所示，

圆过，所以中点为，
直线垂直平分线记为，由得，
所以直线的方程为即，
又圆心在轴上，即上，
联立，解得，
所以圆心坐标为，
半径
所以圆的标准方程为.
法二：设圆的一般方程为，圆过，
所以，解得，
所以圆的一般方程为，
即.
所以圆的标准方程为.
（3）由（2）知，圆心，半径为，作出图形如图所示，

所以圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离最大值为；
点到直线的距离最小值为.
61．（2026高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ）（参考数据，）.
A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米
【答案】C
【解题思路】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断.
【解答过程】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，
则，，，，
设圆拱桥所在圆的方程为，
由已知得：；
解得，.
故圆的方程为
令，解得
结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米），
故选：C.
62．（2026高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
【答案】B
【解题思路】建立平面直角坐标系，根据已知条件求出圆的方程为.代入，得出，即可得出答案.
【解答过程】
如图，拱形桥，
以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，如图建立平面直角坐标系，
则，，，圆心在轴上，设为，
则有，即，
整理可得，解得，
所以，圆心为，半径为，
所以，圆的方程为.
设，则有，解得.
所以，要使小船通过圆拱桥，船宽最长为.
因为，所以.
故选：B.
63．（2026高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.
【解答过程】记，则为直线的斜率，
故当直线与半圆相切时，斜率最小，
设，则，解得或（舍去），
即的最小值为.
故选：C.
64．（2026高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：

【答案】0.65
【解题思路】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长.
【解答过程】

以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，
易知点A，B，P的坐标分别为 ，
设圆拱所在的圆的方程是，
因为点A，B，P在所求的圆上，
所以，解得，
故圆拱所在的圆的方程是，
将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）；
即支柱的长约为0.65m．
故答案为：0.65.
65．（2026高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处.
(1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置；
(2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由.
【答案】(1)作图见解析
(2)不会有触礁危险，理由见解析
【解题思路】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可.
（2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断.
【解答过程】（1）
（2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系，
为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为，
轮船所在位置坐标为，
则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为，
轮船航线所在直线的方程为即，
由，得，
由，可知方程组无解．
所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.
66．（2026高二上·吉林长春·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
【答案】C
【解题思路】求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断.
【解答过程】由题可得：,,,,所以，
则，则这两个圆的位置关系为相交；
故选：C.
67．（2026高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（ ）
A．外离 B．相切
C．内含 D．相交
【答案】B
【解题思路】判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论.
【解答过程】圆的圆心为，半径为，
圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为，
故，
故圆与圆的位置关系为相切.
故选：B.
68．（2026高二上·浙江杭州·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外离 C．外切 D．内含
【答案】A
【解题思路】利用几何法可判断两圆的位置关系.
【解答过程】由题意可知，圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为，所以，，
因此，圆与圆相交.
故选：A.
69．（2026高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 .
【答案】相交
【解题思路】首先将圆的方程化为标准方程，求得两圆的圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解.
【解答过程】由题意圆的标准方程为，
所以圆的圆心、半径，
由，可知圆的圆心，半径，
所以两圆的圆心距，所以，
所以圆与圆的位置关系是相交.
故答案为：相交.
70．（2026高二上·广东清远·期末）如图，圆内一点，直线过点，且倾斜角为.
(1)求弦长；
(2)若圆与圆相交，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【解题思路】（1）利用斜率的几何意义求出直线斜率，进而求出直线方程，最后结合勾股定理求解弦长即可.
（2）利用圆与圆的位置关系建立不等式，求解参数范围即可.
【解答过程】（1）由题意得直线过点，且倾斜角为，
由斜率的几何意义得，
则直线的方程为，即，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，
由勾股定理得.
（2）易知圆的圆心坐标为，半径为；
若圆与圆相交，则，
即，解得，
故的取值范围为.
71．（2026高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得.
【解答过程】将两个圆的方程化为一般式，分别为和，
作差整理得，即为所求．
故选：B.
72．（2026高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得.
【解答过程】圆即，圆心，半径；
圆即，圆心，半径，
因为，则，所以两圆相交，
则两圆的公共弦方程为，
则到的距离，
所以.
故选：A.
73．（2026高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】由两圆方程相减即可求解；
【解答过程】①，②，.
② ①化简可得，
方程为，
故选：A．
74．（2026高二上·吉林四平·期末）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 .
【答案】
【解题思路】将两圆作差即可求解.
【解答过程】：和圆：的圆心和半径分别为,
故，故两个圆相交，
因此公共弦所在的直线方程为，即，
故答案为：.
75．（2026高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆，
(1)证明圆与圆相交；
(2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2)公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为.
【解题思路】（1）依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果；
（2）将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用垂径定理可求弦长.
【解答过程】（1）证明：由题得圆标准方程为，
故圆的圆心是，半径，
圆的标准方程为，
故圆的圆心是，半径．
所以与的距离为．
圆与圆的两半径之和，两半径长之差．
因为，即，
所以圆与圆相交.
（2）将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为,
而，半径，该圆心到公共弦的距离，
故公共弦.
76．（2026高二上·甘肃庆阳·期末）圆与圆的公切线的条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】判断两圆的位置关系，即可得出结论.
【解答过程】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为，故两圆外切，
因此，两圆的公切线条数为.
故选：B.
77．（2026高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解题思路】先找出两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系求出公切线的数量.
【解答过程】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条，
故选：C.
78．（2026高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（ ）
A．圆与圆相切
B．两圆公共弦所在直线的方程为
C．两圆的公切线段长为3
D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线
【答案】D
【解题思路】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D.
【解答过程】解：由题可得圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径
对于A，显然，圆与圆相交，故A错误;
对于B，易知两圆相交，将方程与相减，
得公共弦所在直线的方程为，故B错误;
对于C，因为，，
所以公切线段长为，故C错误;
对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，
又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P，
即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确;
故选：D.
79．（2026高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知，，若与有四条公切线，则的取值范围为 .
【答案】
【解题思路】根据公切线的条数可得两圆的位置关系，即可根据圆心距与半径的关系求解.
【解答过程】由于与有四条公切线，所以两圆为外离关系，
由于，，,
所以,故，解得，
故答案为：.
80．（2026高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求：
(1)取何值时两圆外切；
(2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么．
【答案】(1)
(2)，．
【解题思路】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值；
（2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值.
【解答过程】（1）由题意，圆：，可化为：
圆：，可化为：，
可得圆心坐标分别为，，半径分别为，，
当两圆相外切时，可得，
即，
解得，
所以时，两圆外切；
（2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，，
当两圆内切时，可得，
即，
解得，
因为，
可得两圆公切线的斜率是，
设切线方程为，即
则圆心到切线的距离等于圆的半径，
即，解得，
当时，直线与圆：相交，舍去，
故所求公切线方程为 ，即．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 圆与方程（16大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练）
【苏教版】
【知识清单1 圆的方程】
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径).
圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
【知识清单2 二元二次方程与圆的方程】
1．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是.
【知识清单3 点与圆的位置关系】
1．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
位置关系 判断方法
几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程)
点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
点在圆内 |MA|点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
【知识清单4 轨迹方程】
1．轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).
(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.
2．求轨迹方程的步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；
(2)列出关于x,y的方程；
(3)把方程化为最简形式；
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；
(5)作答.
【知识清单5 与圆有关的对称问题】
1．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
【知识清单6 直线与圆的位置关系及判定】
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
位置 相交 相切 相离
交点个数 两个 一个 零个
图形
d与r的关系 dr
方程组解的情况 有两组不
同的解 仅有一组解 无解
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的
实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.
【知识清单7 圆的切线及切线方程】
1．自一点引圆的切线的条数：
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程：
(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
(2)重要结论：
①经过圆上一点P的切线方程为.
②经过圆上一点P的切线方程为.
③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为
.
【知识清单8 圆的弦长】
1．圆的弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
2．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d
为圆心到直线的距离；
②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；
③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.
(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题
解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选
用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
【知识清单9 圆与圆的位置关系及判定】
1．圆与圆的位置关系及判断方法
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.
(2)圆与圆的位置关系的判定方法
①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：
设两圆与的圆心距为d，则
d=，两圆的位置关系表示如下：
位置关系 关系式 图示 公切线条数
外离 d>r1+r2 四条
外切 d=r1+r2 三条
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2| 一条
内含 0≤d<|r1-r2| 无
②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.
当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，
两圆无公共点，包括内含与外离.
【知识清单10 两圆的公切线】
1．两圆的公切线
(1)两圆公切线的定义
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.
(2)两圆的公切线位置的5种情况
①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
③相交时，有2条公切线，都是外公切线；
④内切时，有1条公切线；
⑤内含时，无公切线.
判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。
(3)求两圆公切线方程的方法
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，
设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.
【知识清单11 两圆的公共弦】
1．两圆的公共弦问题
(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法
两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.
设圆:，①
圆:，②
①-②，得，③
若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点
满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.
(2)求两圆公共弦长的方法
①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦长.
1．（2026高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026高二上·江西抚州·期末）圆心为且过点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026高二上·河南开封·期末）圆C的圆心在x轴上，且经过，两点，则圆C的标准方程为 .
5．（2026高二上·四川眉山·期末）已知圆过，两点，且圆心在上．
(1)求线段的垂直平分线的方程；
(2)求圆的标准方程
6．（2026高二上·陕西汉中·期末）圆的圆心和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．， B．， C．，3 D．，3
8．（2026高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2026高二上·浙江宁波·期末）已知圆C的方程为，则圆C的半径为 .
10．（2026高二上·湖南张家界·期末）已知直线：和圆：.
(1)求圆C的圆心坐标和半径；
(2)求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程.
11．（2026高二上·河南周口·期末）已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2026高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．（2026高二上·四川眉山·期末）若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2026高二上·浙江舟山·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围为 ．
15．（2026高二上·陕西渭南·月考）已知方程表示一个圆.
(1)求t的取值范围；
(2)求这个圆的圆心和半径；
16．（2026高二上·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2026高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2026高二上·江苏扬州·期末）设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定
19．（2026高二上·甘肃·期末）若点是圆外的一点，则的取值范围是 ．
20．（2026高二上·江苏常州·期末）已知圆，，为坐标原点.
(1)若在圆内，求实数的取值范围；
(2)若直线与圆相切，求实数的值，
21．（2026高二上·安徽六安·期末）已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2026高二上·重庆·期末）方程所表示的图形是（ ）
A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆
23．（2026高二上·辽宁辽阳·期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2026高二上·甘肃甘南·期末）若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为 .
25．（2026高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)求的最小值和最大值．
26．（2026高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
27．（2026高二上·重庆北碚·期末）若直线与圆只有一个公共点，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
28．（2026高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
29．（2026高二上·海南海口·期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交
C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交
30．（2026高二上·北京昌平·期末）已知圆.
(1)过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；
(2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
31．（2026高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．（2026高二上·广西南宁·期末）直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．（2026高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2026高二上·湖北咸宁·期末）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 .
35．（2026高二上·上海·期末）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 ．
36．（2026高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
37．（2026高二上·河南三门峡·期末）若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
38．（2026高二上·四川成都·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
39．（2026高二上·江苏南京·期末）若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为 ．
40．（2026高二上·山东临沂·期末）已知圆：，点.
(1)若直线与相切，切点为，求；
(2)已知直线过点，若圆上恰有三个点到的距离都等于1，求的方程.
41．（2026高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
42．（2026高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A．或3 B．2 C．或5 D．4
43．（2026高二上·河南开封·期末）已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为4，则直线的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
44．（2026高二上·安徽六安·期末）已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 .
45．（2026高二上·江苏镇江·期末）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．
46．（2026高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
47．（2026高二上·贵州贵阳·期末）过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
48．（2026高二上·广东湛江·期末）已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
49．（2026高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可）
50．（2026高二上·广西钦州·期末）已知圆过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程.
51．（2026高二上·云南红河·期末）设直线与圆相交于两点，则的面积为（ ）
A．8 B． C． D．4
52．（2026高二上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于，两点，则面积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
53．（2026高二上·福建南平·期末）过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
54．（2026高二上·湖南益阳·期末）已知圆，直线与交于两点，则的面积等于 .
55．（2026高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点.
(1)若，求的值；
(2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值.
56．（2026高二上·陕西汉中·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
57．（2026高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
58．（2026高二上·四川成都·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
59．（2026高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 .
60．（2026高二上·河南郑州·期末）已知直线过点且与直线平行，圆经过点.
(1)求直线的方程；
(2)求圆的标准方程；
(3)点是圆上的动点，求点到直线的距离最大值和最小值.
61．（2026高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ）（参考数据，）.
A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米
62．（2026高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
63．（2026高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
64．（2026高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：

65．（2026高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处.
(1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置；
(2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由.
66．（2026高二上·吉林长春·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
67．（2026高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（ ）
A．外离 B．相切
C．内含 D．相交
68．（2026高二上·浙江杭州·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外离 C．外切 D．内含
69．（2026高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 .
70．（2026高二上·广东清远·期末）如图，圆内一点，直线过点，且倾斜角为.
(1)求弦长；
(2)若圆与圆相交，求的取值范围.
71．（2026高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
72．（2026高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
73．（2026高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
74．（2026高二上·吉林四平·期末）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 .
75．（2026高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆，
(1)证明圆与圆相交；
(2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长.
76．（2026高二上·甘肃庆阳·期末）圆与圆的公切线的条数为（ ）
A． B． C． D．
77．（2026高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
78．（2026高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（ ）
A．圆与圆相切
B．两圆公共弦所在直线的方程为
C．两圆的公切线段长为3
D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线
79．（2026高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知，，若与有四条公切线，则的取值范围为 .
80．（2026高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求：
(1)取何值时两圆外切；
(2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么．
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