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专题02 圆与方程全章18大重点题型（期中专项训练）
【苏教版】
1．（2026高二上·湖南长沙·期中）以点为圆心，且经过点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】根据圆心和经过的点求得半径即可.
【解答过程】解：因为圆是以点为圆心，且经过点，
所以圆的半径为：，
所以圆的方程为，
故选：A.
2．（2026高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解.
【解答过程】因为，，则的中点为，且，
所以为直径的圆的方程为，即，
故选：A.
3．（2026高二上·江苏镇江·期中）已知点，，，则的外接圆的标准方程为 ．
【答案】
【解题思路】对于本题，我们先求出线段的垂直平分线方程，然后联立求出圆心坐标，再根据圆心到顶点的距离求出半径，最后写出外接圆的标准方程.
【解答过程】对于和，中点坐标为.
再求线段的斜率.
那么垂直平分线的斜率为（因为两条垂直直线的斜率乘积为）.
利用点斜式，可得线段垂直平分线方程为，即.
线段的中点坐标为.
线段在轴上，其垂直平分线为.
联立，把代入，
得，解得.
所以圆心坐标为.
根据两点间距离公式，圆心到的距离就是半径.
.
根据圆的标准方程，可得.
则的外接圆的标准方程为.
故答案为：.
4．（2026高二上·四川南充·期中）已知，两点，直线：.
(1)求直线AB的垂直平分线方程；
(2)若圆过，两点，且圆心在直线上，求圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）设垂直平分线斜率，斜率，利用两点式求出斜率，再根据中点坐标公式求其中点坐标，利用求斜率奇为，即可求解；
（2）设圆心坐标为，根据两点到圆心距离相等以及圆心在直线上列方程组可得圆心坐标，可求出半径，根据圆的标准方程可求解.
【解答过程】（1）设垂直平分线斜率，斜率，中点为
所以，所以，
又因，所以可得，
所以根据点斜式可求出直线垂直平分线为，
即；
（2）设圆心坐标为，因为圆心在直线，
所以，又因，两点在圆上，则圆心到两点距离相等
所以根据两点之间距离公式可知，
将两式联立可得
解之可得，根据圆心到点距离为半径可得，
所以圆的标准方程为.
5．（2026高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、.
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求的外接圆（为圆心）的标准方程.
【答案】(1)的方程为
(2)
【解题思路】（1）求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程；
（2）圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，可得出圆的一般方程，再化为标准方程即可.
【解答过程】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为，
所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为．
（2）设圆的方程为（其中，
因为、、三点都在圆上，可得，
解得，，，满足，
所以所求圆的方程为，即.
6．（2026高二上·浙江·期中）已知圆的方程为：，则圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据圆的一般方程与标准方程互化可得圆心坐标.
【解答过程】易知圆方程可化为，
因此圆心坐标为.
故选：D.
7．（2026高二上·福建泉州·期中）圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和2 D．和
【答案】C
【解题思路】将方程化为圆的标准方程，即可得圆心和半径.
【解答过程】由，得，故圆心坐标为，半径为2.
故选：C.
8．（2026高二上·广东·期中）已知圆，则圆的半径为 .
【答案】4
【解题思路】将圆化简为标准方程求解即可.
【解答过程】根据题意圆，可得圆的半径为.
故答案为：4.
9．（2026高二上·安徽淮南·期中）已知圆 关于直线对称，且过点.
(1)求圆的圆心和半径；
(2)若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)圆心坐标为，半径为
(2)或
【解题思路】（1）根据圆关于直线对称可得，代入点，即可得，进而可得圆心和半径；
（2）可知：圆心到直线的距离为，分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解.
【解答过程】（1）圆化为标准方程，即，
可知圆心为，半径，
则因为圆关于直线对称，所以，所以，
因为圆过点，所以，且，所以，
得，所以圆方程为 ，
故圆心坐标为，半径为.
（2）由题意可知：圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，即，
所以，得，则直线的.
故直线 或.
10．（2026高二上·上海·期中）已知圆关于直线对称，且过点
(1)求圆的圆心坐标和半径；
(2)若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程．
【答案】(1)圆心坐标为，半径为
(2)或
【解题思路】（1）根据圆心在直线上和点在圆上，列方程可求，进而可得圆的圆心和半径.
（2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可求直线的斜率，进而得到的方程.
【解答过程】（1）由题意： .
所以圆： .
所以圆的圆心为，半径.
（2）因为，所以圆心到直线的距离为：.
设直线的点斜式方程为：，即.
由 或.
所以直线的方程为：或.
11．（2026高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】将方程化成，再利用条件，即可求解.
【解答过程】因为方程可变形为，
由题知，得到，
故选：C.
12．（2026高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】将方程化为圆的一般方程，利用列式即可求.
【解答过程】若方程表示一个圆，则，
方程可化为，
所以，解得，且不等于0，
所以或.
故选：D.
13．（2026高二上·江苏扬州·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解题思路】根据二元二次方程与圆的一般式方程之间的关系直接列式求解即可.
【解答过程】若方程表示圆，
则，即，可得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
14．（2026高二上·天津西青·期中）已知方程：，
(1)若方程C表示圆，求实数m的范围；
(2)在方程表示圆时，该圆与直线：相交于、两点，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）若方程表示圆则满足，求解即可；
（2）将圆化为标准方程，得出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，利用半径和弦心距的关系求解即可.
【解答过程】（1）若方程表示圆，
则，所以，
所以方程C表示圆，实数m的范围是；
（2）圆的方程可化为，
圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为，所以，
解得，满足，
所以.
15．（2026高二上·天津·期中）已知关于x，y的方程.
(1)若该方程表示圆C，求m的取值范围；
(2)若圆C与圆外切，求m的值；
(3)若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)4；
(3)或.
【解题思路】（1）化给定方程为，利用方程表示圆，即可求出范围.
（2）根据给定条件，利用两圆相外切，列出方程，求出的值.
（3）由（2）求出圆的方程，由圆的弦长公式求出圆心到直线l的距离，再按斜率存在与否分类求出方程.
【解答过程】（1）方程，变形得，
由方程表示圆，得，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）由圆，得，此圆圆心，半径为，
又圆的圆心，半径，
由圆与圆相外切，得，即，
所以.
（3）由（2）知，圆的圆心，半径，
由圆的弦长，得圆心到直线的距离，
圆心到直线的距离为，且直线过点，因此直线方程可以是；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由，解得，直线的方程为，
所以直线l的方程为或.
16．（2026高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．∪
【答案】B
【解题思路】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可.
【解答过程】圆的方程可化为，则，可得，
又点在圆外，则，可得，
所以.
故选：B.
17．（2026高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】利用代入验证法确定正确答案.
【解答过程】由圆，可知，即，
，A选项正确，
，不一定小于0，B选项错误，
，不一定小于0，C选项错误，
，不一定小于0，D选项错误.
故选：A.
18．（2026高二上·海南·期中）若点在圆外，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】由题意可求出，将圆化为标准方程则，即可得出答案.
【解答过程】因为点在圆外，
所以，则.
又因为圆化为标准方程可得：，
所以，则，解得：或.
所以的取值范围为：.
故选：D.
19．（2026高二上·青海海南·期中）点在圆的 ．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线）
【答案】外部
【解题思路】根据点与圆的位置关系分析判断即可.
【解答过程】因为，所以点在圆C的外部．
故答案为：外部.
20．（2026高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解题思路】利用关于的二元二次方程表示圆的条件及点与圆位置的判断方法，列方程组，即可求解.
【解答过程】因为点在圆的外部，
所以，
解得，
故答案为：.
21．（2026高二上·重庆渝中·期中）已知点P在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】设线段的中点，由中点坐标公式得，将其代入圆方程化简即可得解.
【解答过程】设线段的中点，
则由题，且即，
所以即，
所以线段的中点的轨迹方程为.
故选：A.
22．（2026高二上·广东广州·期中）已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】先设出点和点的坐标，然后根据中点坐标公式得到点坐标与点坐标的关系，再将点的坐标代入已知圆的方程，从而得到动点的轨迹方程.
【解答过程】设点的坐标为，因为点为线段的中点，设点的坐标为.
根据中点坐标公式，已知，则有，.
由此可得，.
点在上，将，代入圆方程可得：
，即，
两边同时除以得.
故选：C.
23．（2026高二上·青海西宁·期中）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 .
【答案】
【解题思路】令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程；
【解答过程】设，
M为线段的中点，，
而A是圆C上一动点，
故，
整理得：，
即，
故动点M的轨迹方程为.
故答案为：.
24．（2026高二上·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)或
(2)
【解题思路】（1）利用点到直线的距离为半径可求切线方程，注意就斜率是否存在分类讨论；
（2）利用动点转移法可求点的轨迹方程.
【解答过程】（1）若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为半径，
故直线为圆的切线；
若直线的斜率存在，设切线方程为，
则，故，此时切线方程为，
综上，切线的方程为或.
（2）设点则，由点是的中点得，
所以① ，因为在圆上运动，所以②，
①代入②得 化简得点的轨迹方程是.
25．（2026高二上·广东·期中）已知圆，是圆上的一个动点，点，是线段的中点，为坐标原点．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)当时，求直线的方程及线段的长度．
【答案】(1)
(2)，
【解题思路】（1）设，，根据中点及点在圆上，代入可得轨迹方程；
（2）易知为圆与圆的公共弦，两圆联立可得直线方程，再根据垂径定理可得线段长度.
【解答过程】（1）设，，
则，即，
又点在圆上，
即，即，
代入可得，
即；
（2）
由（1）得点在圆上，
又点在上，
由，可知点与满足，
即与在圆，
即为圆与圆的公共弦，
联立可得，
又圆心到的距离，
所以弦长.
26．（2026高二上·广东湛江·期中）直线l：与圆C：的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】A
【解题思路】根据直线与圆的位置关系求解判断.
【解答过程】由题，圆的圆心，半径为，
圆心到直线的距离为 ，
所以圆与直线相交.
故选：A.
27．（2026高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离
【答案】B
【解题思路】根据点在圆外求出、的关系，再求圆心到直线的距离，从而判断直线与圆的位置关系.
【解答过程】因为点在圆外，所以.
圆的圆心坐标为，半径.
根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离.
由，可得，则，即圆心到直线的距离.
所以直线与圆的位置关系是相交.
故选：B.
28．（2026高二上·北京·期中）直线与圆的位置关系是 ．
【答案】相离
【解题思路】确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心与直线距离，并与半径比大小，即可得答案.
【解答过程】由的圆心为，半径为1，
圆心到的距离，
所以直线与圆相离.
故答案为：相离.
29．（2026高二上·吉林·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点，与直线相切.
(1)求圆的标准方程；
(2)设直线：（）与圆相交于不同两点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据题意求出圆心及圆的半径即可得出圆的标准方程；
（2）联立直线与圆的方程，根据有两解列出不等式求解即可.
【解答过程】（1）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，
由题意可列方程，解得，
所以圆心坐标为、半径为，
所以圆的标准方程为；
（2）联立，并整理得，
因为直线与圆交于、两点，
所以，解得，
所以实数取值范围为.
30．（2026高二上·吉林·期中）已知直线，圆.
(1)证明：直线与圆相交.
(2)记直线与圆的交点为，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解题思路】（1）求出直线所过定点，判断该定点与圆的位置关系即可推理得证.
（2）利用圆的性质求出最短弦长.
【解答过程】（1）直线：，
令，解得，
则直线过定点，
圆的圆心，半径，
而，
因此点在圆的内部，
所以直线与圆相交.
（2）由（1）知，，当且仅当时，弦长最短，
所以的最小值为.
31．（2026高二上·重庆江北·期中）若直线与圆交于两点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解题思路】根据“几何法”求圆的弦长.
【解答过程】因为：圆：，所以圆心 ，圆的半径.
圆心到直线的距离：，所以.
故选：D.
32．（2026高二上·河南濮阳·期中）已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解题思路】根据弦长，利用垂径定理求出圆心到直线的距离.然后分直线斜率存在与不存在两种情况来求直线的方程.
【解答过程】已知弦长，半径.根据垂径定理知圆心到直线的距离为.
把，代入可得.
当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，
所以直线斜率不存在时不满足条件.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
根据点到直线距离公式，由圆心到直线的距离，
可得.对进行求解.
两边平方得，展开得. 解得或.
当时，直线的方程为，即.
当时，直线的方程为，即.
故选：A.
33．（2026高二上·宁夏吴忠·期中）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
【答案】
【解题思路】根据题给条件写出圆的圆心和方程，求得圆心到直线得距离，再根据圆截直线的弦长公式即可计算的值.
【解答过程】根据圆的方程可得圆心为，半径.
圆心到直线的距离，
圆截直线的弦长公式为，解得
因为，所以.
故答案为：.
34．（2026高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点．
(1)求圆的圆心坐标和面积；
(2)若直线的斜率为，求弦的长．
【答案】(1)圆心坐标为，面积为
(2)
【解题思路】（1）将圆的一般式化为标准方程，即可得到圆心坐标与半径；
（2）先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得.
【解答过程】（1）由可得，
则圆的圆心坐标为,半径，面积；
（2）依题意直线的方程为，
即，
圆心到直线的距离，
所以；
35．（2026高二上·福建福州·期中）已知圆过点、且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】（1）设圆心为，根据，结合两点间的距离公式，求出的值，可求出圆的半径，进而可得出圆的方程；
（2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程.
【解答过程】（1）根据题意，设圆心为，
由，可得，解得，
所以，圆心为，半径为，
因此，圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，直线与圆相交于点、，且，
则，
又因为直线经过点，
当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，
点到的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，
此时直线的方程为，即．
所以直线的方程为或．
36．（2026高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点，然后结合图形得到直线在之间，最后计算即可.
【解答过程】曲线可整理为，，
所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下：
直线表示过点的直线，
如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点，
与半圆相切，则，解得，
经过点，则，解得，
所以.
故选：B.
37．（2026高二上·天津·期中）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由曲线表示的几何图形，借助直线与圆的位置关系求出范围.
【解答过程】曲线，即表示以原点为圆心，1为半径的上半圆（含端点），
在坐标平面内作出半圆及直线，
当直线与半圆相切时，且，则，
当直线过点时，，即，此时该直线与半圆有一个公共点，
当直线在直线与之间平行移动时，直线与半圆始终有公共点，
此时直线的纵截距在到之间，
当直线在直线与所夹区域外移动时，该直线与半圆无公共点，
所以直线与曲线有公共点，.
故选：B.
38．（2026高二上·海南海口·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可.
【解答过程】由知直线过定点，
由曲线，两边平方得，
则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），
当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，
此时，解得，
当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心到直线的距离，解得，
要使直线与曲线恰有两个交点，
则直线夹在两条直线之间，因此，
即实数的取值范围为.
故选：B.
39．（2026高二上·广东深圳·期中）已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为 .
【答案】
【解题思路】根据已知条件及直线与圆相切的充要条件，结合点到直线的距离公式即可求解.
【解答过程】由可得，整理可得，
所以，曲线表示圆在轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，
结合图形可知，，则，
当直线过原点时，，
结合图形可知，当时，
直线与曲线有两个不同的交点.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
40．（2026高二上·江苏连云港·期中）若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为 .
【答案】
【解题思路】根据题意，先由得，表示以为圆心，以1为半径的半圆，画出图像，由图像根据直线与圆位置关系，即可得出结果.
【解答过程】由得，表示以为圆心，以为半径的半圆，
其图象如下：
由图像可得，当直线过点时，
直线与曲线恰有一个公共点，此时；
当直线过点时，
直线与曲线恰有两个公共点，此时；
当直线与半圆切于半圆的右侧时，只需圆心到直线的距离等于半径，
即，且，解得，
因此，由图像可得，为使直线与曲线恰有一个公共点，
实数b的取值范围为.
故答案为：.
41．（2026高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程.
【解答过程】由圆的方程，可得圆心坐标为，
将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上，
又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1，
所以过点的切线方程为，即.
故选：D.
42．（2026高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解题思路】分切线斜率存在与不存在讨论即可.
【解答过程】，则圆心坐标为，半径为2，
由于，可知点在圆外，
当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则，解得，此时直线方程为，即.
综上所述，切线方程为：或.
故选：D.
43．（2026高二上·宁夏吴忠·期中）已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为 ．
【答案】和
【解题思路】根据相切，结合点到直线的距离，分类讨论即可求解.
【解答过程】圆的圆心和半径分别为，
当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意，
当直线有斜率时，设，
此时圆心到直线的距离为，解得，
此时直线方程为，即，
综上可得和
故答案为：和.
44．（2026高二上·贵州·期中）已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【解题思路】（1）先设圆心坐标再根据两点间距离公式得出半径等于点到切线距离计算求参即可；先设圆心坐标再根据垂直直线斜率关系得出参数再应用两点间距离公式得出半径即可；
（2）分直线的斜率不存在及直线的斜率存在两种情况再应用点到直线距离分别求解.
【解答过程】（1）方法1：由题意，设圆心，半径，
圆经过点，，
圆与直线相切，
圆心到直线的距离为，
，化简得：，解得；
则圆心为，半径，
所以圆的方程为.
方法2：由题意，设圆心，半径；
圆与直线相切于点，
则，解得；
则圆心为，，
所以圆的方程为.
（2）由题意，圆心到直线的距离为，且经过点，
①若直线的斜率不存在，其方程为，
圆心到直线的距离为，显然符合题意；
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得，
则此时直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
45．（2026高二上·北京·期中）已知圆C经过，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求圆C经过点的切线方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【解题思路】（1）求出线段的中垂线方程，求出圆心坐标及半径即可.
（2）按切线斜率存在与否，结合点到直线的距离公式求出切线方程.
【解答过程】（1）线段的中点，直线的斜率，
则线段的中垂线方程为，即，
由，解得，因此圆C的圆心，半径，
所以圆C的标准方程为.
（2）点到直线的距离为2，即直线与圆C相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由，解得，因此方程为，
所以圆C经过点的切线方程为或.
46．（2026高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【解题思路】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离.
【解答过程】对于圆，其圆心坐标为，半径.
根据点到直线的距离公式，
则.
根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径.
由勾股定理，当取最小值时，最小，
此时.
故选：B.
47．（2026高二上·河南南阳·期中）已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解题思路】将切线长问题，转化为圆心到直线的距离问题，当圆心与点的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小.
【解答过程】记圆心到直线的距离为，则．
因为，
所以当直线与垂直，即时，的值最小，
故．
故选：B.
48．（2026高二上·广东广州·期中）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 .
【答案】
【解题思路】首先判断直线与圆的位置关系，再由、，将问题化为先求最小值，进而求最小面积.
【解答过程】由，即，则，半径，
所以到的距离，即直线与圆相离，如下图示，

由题意，且，而，
所以，要使四边形的面积最小，只需最小，
又，即只需最小，显然，
所以，故最小.
故答案为：.
49．（2026高二上·安徽芜湖·期中）已知圆的方程为.
(1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；
(2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值.
【答案】(1)或
(2)6
【解题思路】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，再由弦长公式求得结果；
（2）由切线长公式可知当最小，计算可得的最小值.
【解答过程】（1）圆的标准方程为.
①当斜率不存在时，直线的方程为，
直线截圆所得弦长为，符合题意；
②当斜率存在时，设直线，
圆心到直线的距离为
根据垂径定理可得，即，解得.
即直线的方程为或
（2）圆心.
因为与圆相切，所以.
当最小，所以.
可得.
50．（2026高二上·江苏淮安·期中）已知三点，，在圆上，点为圆心．
(1)求圆的方程；
(2)过点作圆的两条切线，切点为，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据圆的对称性可确定圆心为线段垂直平分线的交点，由此可求得圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程；
（2）根据垂直关系可求得切线长，根据四边形面积可求得结果.
【解答过程】（1）由圆的对称性可知：圆心为线段垂直平分线的交点，
，线段中点为，线段垂直平分线方程为：，即，
又线段的垂直平分线为，，圆的半径，
圆的方程为：.
（2）
，，，
，，
四边形的面积.
51．（2026高二上·河北邢台·期中）圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】分析可知，结合点到直线的距离公式运算求解即可.
【解答过程】由题意可知：圆的圆心为，半径，
且圆心到直线的距离，
若圆上有且仅有两点到直线的距离为，
则，即，解得或，
所以实数的取值范围是.
故选：D．
52．（2026高二上·河南郑州·期中）已知圆，直线，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】结合图形，将题意要求转化为使圆心到直线的距离等于1，由距离公式计算即得.
【解答过程】
如图，因圆的半径为，要使圆上恰有三个点到直线的距离等于1，
等价于圆心到直线的距离等于即可，
即，解得.
故选：B.
53．（2026高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】求出与直线平行且与直线的距离为的直线的方程，判断出圆与两平行线间的位置关系，即可得出结论.
【解答过程】设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为，
由平行线间的距离公式可得，解得或，
圆的圆心为，半径为，
显然直线过圆心，圆心到直线的距离为，
所以，直线与圆相交，直线与圆相切，
所以，圆上到直线的距离为的点的个数为.
故选：C.
54．（2026高二上·江苏宿迁·期中）圆上有且只有2个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围为 ．
【答案】
【解题思路】计算圆心到直线的距离为1，根据条件得到，解得答案.
【解答过程】圆心的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为圆上只有两个点到直线的距离等于1，
所以，即，解得.
故答案为：.
55．（2026高二上·福建福州·期中）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ．
【答案】
【解题思路】根据已知条件可以分析得直线到圆心的距离为2，代入公式即可求得.
【解答过程】由题意可知，圆心坐标为，半径为，则圆上恰有三个点到直线的距离为1，
则使得圆心到直线的距离2，即，如图所示：
解得.
故答案为：.
56．（2026高二上·云南昆明·期中）阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据两点间的距离公式可得曲线的方程，由题意可得对任意实数，都有，分类参数即可求解.
【解答过程】设,因为，，
所以，化简可得，
所以曲线的圆心为，半径为.
因为对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，
所以对任意实数，都有，
即任意实数恒成立.
因为,所以，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选:A.
57．（2026高二上·福建福州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（ ）
A．轨迹的方程为
B．面积最大值为
C．若，则的最大值为
D．在上存在点，使得
【答案】D
【解题思路】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断；对于B，数形结合可判断；对于C，设
，转化为直线与曲线有公共点，结合直线与圆的位置关系可判断；对于D，求出点的轨迹方程，转化为两圆的位置关系即可判断.
【解答过程】设，不与、重合，
由、，有，，
，即，化简得，
所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示，
对于A选项，由曲线的方程为，选项A正确；
对于B选项，由图可知，当时，点到直线的距离取最大值，
所以，，B对；
对于C选项，设，可得，
由题意可知，直线与圆有公共点，则，
解得，故的最大值为，C对；
对于D选项，设，由得，
化简得，因为，
所以上不存在点，使得，故D错误.
故选：D.
58．（2026高二上·湖北·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，若动点P满足，设点的轨迹为，过点作直线，上恰有三个点到直线的距离为1，则满足条件的一条直线的方程为 .
【答案】或（写出一条即可）
【解题思路】结合定义应用直译法求得圆方程，结合点到直线的距离即可求解.
【解答过程】因为，点满足，设，
则，化简得，
因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，
所以圆心到直线的距离为1.
若直线的斜率不存在，
直线的方程为;
若直线的斜率存在,
设直线的方程为，
即， ，解得,
直线的方程为:.
故答案为：或（写出一条即可）.

59．（2026高二上·云南昆明·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线与曲线相切，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】（1）由，列出方程化简即可；
（2）通过斜率存在与不存在两类情况讨论即可.
【解答过程】（1）设，由，得，
整理得，即曲线的方程为．
（2）因为，所以点在圆外，
当直线斜率不存在时，与圆不相切，
当直线斜率存在时，设直线为，
则圆心到直线的距离，
整理得，当时，直线的方程为，
当时，直线的方程为．
60．（2026高二上·重庆·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点作直线，交轨迹于两点，记的面积为，求的最大值，以及取最大值时的直线方程.
(3)设轨迹与轴正半轴的交点为，直线相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程.
【答案】(1)
(2)，
(3)证明见解析，
【解题思路】（1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示.结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当、时S的取值范围即可；（3）设，直线方程联立圆方程，利用韦达定理表示，同时表示直线的方程和直线的方程的方程，求出交点N的坐标即可证明.
【解答过程】（1）设点，由题意可得，
即，化简得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
设，因为，则，即.
所以，，
因为，所以.
此时，，即，所以直线的方程为：.
（3），设，
联立消得，
则，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立解得，
则，
所以，所以点在定直线上.
61．（2026高二上·江苏宿迁·期中）过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，则当面积取最大值时，的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】设，求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长，表示出三角形面积，再令，结合二次函数的性质求出即可；
【解答过程】
由题意可得，直线的斜率存在，设为，
则，
点到直线的距离为，
弦长，
所以，
令，则，
所以，
当时取等号，此时，
故选：A.
62．（2026高二上·重庆·期中）点是圆：上一动点，过点向圆：作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】将四边形的面积表示为，求得的最大值即可.
【解答过程】由圆为，可得圆心为，半径为，
由，可得圆心，半径为，
连接，则在中，，
所以四边形的面积，
所以最大时，四边形面积的最大值，
因为，
所以，
所以四边形面积的最大值为.
故选：D.
63．（2026高二上·江苏常州·期中）已知直线与圆交于A，B两点，则面积的最大值为 ．
【答案】
【解题思路】根据题意，由条件可得直线过定点，从而得到圆心到直线的距离小于等于，得到的范围，即可得到结果.
【解答过程】直线可化为，直线过点，
因为，所以点在圆内，且.
如图，过点作于点，则，
设，则，
在中，，故，，，
所以的面积为，面积最大值为.
故答案为：.
64．（2026高二上·河南·期中）已知的外接圆为圆.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆交于E，F两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）利用待定系数法设圆的方程为，结合题意解出即可求解；
（2）由（1）得圆心和半径，求出圆心到直线的距离，从而可得弦长，再用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，继而利用三角形面积公式即可求解.
【解答过程】（1）设圆的方程为，
则，解得，
所以圆的方程为.
（2）由，得，
所以圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
，
又点到直线的距离为，
所以的面积为.

65．（2026高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)四边形面积的最小值为，点的坐标为
【解题思路】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程；
（2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值，
求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值.
【解答过程】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为，
根据题意可得，即，
解得，故圆心为，该圆的半径为，
因此，圆的标准方程为.
（2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得，
又因为，，
则，且，，
所以，四边形面积，
当时，取最小值，则四边形面积最小，
因为直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即，
由得，即点的坐标为，
此时，则四边形面积的最小值为.
66．（2026高二上·甘肃金昌·期中）已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解题思路】将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，根据圆心到直线的距离得到圆与直线的位置关系，进而求解.
【解答过程】因为圆可化为，
所以圆心坐标为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，
所以点到直线距离的最小值是.
故选：C.
67．（2026高二上·福建莆田·期中）已知圆的方程为，直线恒过定点若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值（ ）
A．9 B．12 C．15 D．
【答案】A
【解题思路】首先求出直线恒过的定点，然后求出点关于直线的对称点，根据两点之间线段最短，的最小值等于（为圆的半径）.
【解答过程】将直线方程变形为，令，解得，所以定点.
设点关于直线的对称点，则中点在直线上，
且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为.
根据垂直斜率关系，即.
将中点代入直线得，
将代入可得：，解得，
把代入得，所以.
圆的方程为，圆心，半径.
的最小值等于，
，， ，
所以的最小值为.
故选：A.
68．（2026高二上·广东东莞·期中）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则周长的最小值为 ．
【答案】
【解题思路】先求出圆心到直线的距离，确定动点到圆心的最短距离，从而得出切线长进而求出的周长表达式，再根据函数单调性求出最小值.
【解答过程】设圆心到直线的动点的距离为，
根据点到直线距离公式，.
因为，是圆的切线，所以（其中）.
又因为是直角三角形，由勾股定理可得，即.
的周长为.
因为是圆的弦，且和全等，所以.
根据三角形面积公式，（其中是圆的半径），
可得，所以，
则的周长.
因为与均在上单调递增，
所以当时，周长取得最小值. 最小值为.
故答案为：.
69．（2026高二上·四川德阳·期中）已知圆关于轴对称，圆心在直线上，与轴相交的弦长为4.
(1)求圆的方程；
(2)若点是圆上的动点，动点与两个定点，的距离之比为2，求的最大值和最小值；
【答案】(1)
(2)的最大值为，最小值
【解题思路】（1）确定圆心半径即可求解圆的方程.
（2）求得点的轨迹方程，可求两圆上点间的距离的最大值与最小值.
【解答过程】（1）因为圆关于轴对称，所以圆心在轴上，又圆心在直线上，
所以圆心为直线直线与轴的交点，即，
因为与轴相交的弦长为4，所以，圆的方程：.
（2）设动点，因为动点与两个定点，的距离之比为2，
所以，所以
化简得，圆心为，半径为，
由（1）知圆的方程：，所以圆心，半径为.
两圆心，所以两圆相离，
所以的最大值为，
最小值；
70．（2026高二上·四川遂宁·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；
(3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.
【答案】(1) ；
(2)或；
(3).
【解题思路】（1）由题意，设圆方程为，根据直线与圆的位置关系和两直线的位置关系可得，解之即可求解；
（2）根据几何法求弦长可得圆心到直线的距离为，易知当直线斜率不存在时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，利用点线距公式计算建立关于k的方程，解之即可求解；
（3）直线方程联立圆的方程，解得，同理可得，则 ，结合基本不等式计算即可求解.
【解答过程】（1）由题可知，设圆的方程为，圆心为，
由直线与圆相切于点，
得，解得，
所以圆的方程为；
（2）设圆心到直线的距离为d，
∵，∴，.
①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离；
②当直线斜率存在时：设方程：，即，
，整理得，解得，
，即，
综上：直线的一般式方程为或；
（3）由题意知，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，
解得或，则点A的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，
由题可知：，
，
又，同理，
，
当且仅当时等号成立，
的最大值为.
71．（2026高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（ ）
A．5 B． C．15 D．
【答案】C
【解题思路】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果.
【解答过程】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示：
设圆的半径为，在中利用勾股定理可得，
即，解得；
易知，
在中，易知，即，解得.
故选：C.
72．（2026高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ）
A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时
【答案】C
【解题思路】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长．
【解答过程】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，
由题意可知，，圆方程，半径，
直线方程：，即，
设到距离为，
则，故直线与圆相交，
所以外籍轮船能被海监船检测到，
如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则，
所以，
设监测时间为，则（小时），
故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时．
故选：C．
73．（2026高二上·北京·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ．
【答案】
【解题思路】通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可.
【解答过程】如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG.
由题可知，，，
设，则
在中，有
即，解得
故车辆通过隧道的限制高度是.
故答案为：.
74．（2026高二上·浙江·期中）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响.
(1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值；
(2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？
【答案】(1)；
(2)小时.
【解题思路】（1）由题设知，骑行路线正好与圆相切时此人不被台风影响，此时角最大，结合已知求最大的正切值即可.
（2）写出此人骑行方向为北偏东所在直线的方程，再利用弦心距、圆的半径与弦长的几何关系求该直线被圆所截弦长，即可求此人被台风影响持续时间.
【解答过程】（1）由题意，如图，圆是以坐标原点为圆心，为半径的圆，
要使此人不被台风影响，骑行路线正好与圆相切时，角最大，
由，，则，知，则最大.
（2）由题意，骑行路线所在直线方程为，圆心到直线的距离为，
该直线与圆相交的弦长为，
即此人被台风影响持续时间为.

75．（2026高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度.
(1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内
(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.
【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内
(2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米
【解题思路】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可；
（2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可.
【解答过程】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系
则，观景直道所在直线的方程为，
依题意得：游客所在点为，
则直线的方程为，化简得，
所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交，
所以游客不在该摄像头监控范围内.
（2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，
所以设直线过且恰与圆相切，
①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切；
②若直线不垂直于轴，设，整理得，
所以圆心到直线的距离为，解得或，
所以直线的方程为或，
即或，
设这两条直线与交于，
由，解得，由，解得，
所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米.
76．（2026高二上·湖南长沙·期中）已知圆与圆外切，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解题思路】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值.
【解答过程】对于圆，其圆心坐标，半径.
对于圆，即，
其圆心坐标，半径，
因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和.
两圆的圆心距，
根据两圆外切性质，即，解得.
故选：B.
77．（2026高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
【答案】B
【解题思路】先将化为标准方程，求出圆心和半径，再利用给定条件求解出参数，最后利用圆与圆的位置关系判断即可.
【解答过程】因为，所以，
故的圆心为，半径且，
而的圆心为，半径，
因为关于直线对称，所以直线经过圆心，
故，解得，由两点间距离公式得，
所以，则圆与圆外切，故B正确.
故选：B.
78．（2026高二上·广西南宁·期中）圆与圆的位置关系为外切，则的值为 .
【答案】
【解题思路】根据外切时圆心距等于半径之和求解出的值.
【解答过程】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径为，
两圆心之间的距离，且两圆外切，
，，
故答案为：.
79．（2026高二上·青海海南·期中）已知圆W经过，，三点．
(1)求圆W的标准方程；
(2)判断圆与圆W的位置关系．
【答案】(1)
(2)圆C与圆W相交
【解题思路】（1）设出圆的一般方程，代入点坐标，求解转化为标准方程；
（2）根据圆与圆的位置关系判断求解即可.
【解答过程】（1）设圆W的方程为，，
则，解得，
故圆W的方程为，标准方程为．
（2）圆W的圆心为，半径为5，
圆C的标准方程为，
圆心为，半径为3．
设两圆圆心之间的距离为d，则．
因为，所以圆C与圆W相交．
80．（2026高二上·辽宁·期中）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，圆.
(1)求的方程；
(2)若与外切，求实数的值.
【答案】(1)或
(2)
【解题思路】（1）设圆心，则的半径为，根据圆的几何关系可得出关于实数的方程，求出的值，即可得出圆的方程；
（2）求出圆的圆心坐标和半径，对实数的取值进行分类讨论，根据两圆外切可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【解答过程】（1）解：根据题意，设圆心，则圆的半径为，
圆心到直线的距离为，
由题意可得，解得，则圆的半径为，
因此，圆的方程为或.
（2）解：圆的标准方程为，则，可得，
则圆心，半径为，
当时，，根据题意，，解得；
当时，则，
根据题意，，此时，不存在.
综上所述，.
81．（2026高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】两圆方程作差即可求得公共弦的方程.
【解答过程】根据已知条件，
：，化为：，
：，化为：，
因为两圆相交，所以两圆方程相减得：，
所以直线的方程为：.
故选：A.
82．（2026高二上·广东深圳·期中）圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】两圆作差即可求得公共弦的直线，点到直线的距离和勾股定理即可求解.
【解答过程】已知圆，圆，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：，
而圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以，所以.
故选：D.
83．（2026高二上·天津·期中）圆与圆的公共弦长为 ．
【答案】
【解题思路】两圆方程作差并整理可得，公共弦所在的直线方程，再结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．
【解答过程】圆与圆，
两圆方程相减可得，，即为公共弦所在的直线方程，
圆，则圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
故公共弦长为．
故答案为：．
84．（2026高二上·陕西咸阳·期中）已知圆：和圆：.
(1)求证：圆和圆相交；
(2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2)，.
【解题思路】（1）根据圆的方程确定圆心和半径，利用半径和差与圆心距的大小关系判断圆的位置关系；
（2）两圆方程作差求公共弦方程，应用几何法求公共弦长.
【解答过程】（1）根据题意，圆：的圆心为，半径，
圆：，得，圆心为，半径，
圆心距，
，
圆和圆相交.
（2）将两圆方程相减，有，即两圆公共弦所在直线的方程为，
圆心到的距离，故公共弦的弦长为.
85．（2026高二上·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由.
【答案】(1)
(2)相交，
【解题思路】（1）利用圆的几何性质-弦的中垂线经过圆心，结合题设条件求得圆心和半径，即得圆的方程；
（2）先利用两圆的位置关系判断即得圆C与圆相交，根据两圆的方程求出过两交点的直线方程.再由圆的弦长公式，计算即得弦长.
【解答过程】（1）因，则线段的中点的坐标为，
且直线的斜率,
于是线段的垂直平分线所在直线方程为 ,
则由，解得，
∴圆心，半径,
∴圆的方程为；
（2）由圆得：
∴ 圆心，半径，
∵ 圆的圆心坐标为，半径，
由，，
因 ，故圆与圆相交 ；
设圆与圆的两个交点分别为点，如图，
由左右分别相减，整理得,
∴直线的方程为,
∴ 圆心到直线的距离 ,
∴，
综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为.
86．（2026高二上·江苏南通·期中）已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】判断两圆的位置关系，即可得出结论.
【解答过程】由题意，圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距为，所以，，
所以，两圆相交，故两圆的公切线条数为.
故选：B.
87．（2026高二上·辽宁大连·期中）已知与有且有只有两条公切线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据两圆的公切线条数确定两圆相交，由圆心距计算即可.
【解答过程】由，，
则可得，且两圆的半径分别为，
又两圆只有两条公切线，故该两圆相交，
即，显然，
则，解之得.
故选：A.
88．（2026高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ．
【答案】
【解题思路】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解.
【解答过程】易知圆的圆心为，半径为，
由，得到，
则，即，圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切，
则，即，解得，
故答案为：.
89．（2026高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求：
(1)取何值时两圆外切；
(2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么．
【答案】(1)
(2)，．
【解题思路】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值；
（2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值.
【解答过程】（1）由题意，圆：，可化为：
圆：，可化为：，
可得圆心坐标分别为，，半径分别为，，
当两圆相外切时，可得，
即，
解得，
所以时，两圆外切；
（2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，，
当两圆内切时，可得，
即，
解得，
因为，
可得两圆公切线的斜率是，
设切线方程为，即
则圆心到切线的距离等于圆的半径，
即，解得，
当时，直线与圆：相交，舍去，
故所求公切线方程为 ，即．
90．（2026高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程.
【答案】(1)
(2)相交；或
【解题思路】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解；
（2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解.
【解答过程】（1）依题意，设，则，即，
所以，则，整理得，
故动点的轨迹的方程为.
（2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为，
圆：的圆心，半径为，
所以，显然，则圆和圆相交，
所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在，
不妨设为，即，
则有，则，解得或，
当时，得，解得或，
当时，，此时公切线方程为；
当时，，此时公切线方程为；
当时，得，方程无解；
综上，公切线方程为或.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 圆与方程全章18大重点题型（期中专项训练）
【苏教版】
1．（2026高二上·湖南长沙·期中）以点为圆心，且经过点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026高二上·江苏镇江·期中）已知点，，，则的外接圆的标准方程为 ．
4．（2026高二上·四川南充·期中）已知，两点，直线：.
(1)求直线AB的垂直平分线方程；
(2)若圆过，两点，且圆心在直线上，求圆的方程.
5．（2026高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、.
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求的外接圆（为圆心）的标准方程.
6．（2026高二上·浙江·期中）已知圆的方程为：，则圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026高二上·福建泉州·期中）圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和2 D．和
8．（2026高二上·广东·期中）已知圆，则圆的半径为 .
9．（2026高二上·安徽淮南·期中）已知圆 关于直线对称，且过点.
(1)求圆的圆心和半径；
(2)若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
10．（2026高二上·上海·期中）已知圆关于直线对称，且过点
(1)求圆的圆心坐标和半径；
(2)若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程．
11．（2026高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2026高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2026高二上·江苏扬州·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为 .
14．（2026高二上·天津西青·期中）已知方程：，
(1)若方程C表示圆，求实数m的范围；
(2)在方程表示圆时，该圆与直线：相交于、两点，且，求的值.
15．（2026高二上·天津·期中）已知关于x，y的方程.
(1)若该方程表示圆C，求m的取值范围；
(2)若圆C与圆外切，求m的值；
(3)若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程．
16．（2026高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．∪
17．（2026高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2026高二上·海南·期中）若点在圆外，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．（2026高二上·青海海南·期中）点在圆的 ．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线）
20．（2026高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是 .
21．（2026高二上·重庆渝中·期中）已知点P在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2026高二上·广东广州·期中）已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
23．（2026高二上·青海西宁·期中）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 .
24．（2026高二上·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
25．（2026高二上·广东·期中）已知圆，是圆上的一个动点，点，是线段的中点，为坐标原点．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)当时，求直线的方程及线段的长度．
26．（2026高二上·广东湛江·期中）直线l：与圆C：的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
27．（2026高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离
28．（2026高二上·北京·期中）直线与圆的位置关系是 ．
29．（2026高二上·吉林·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点，与直线相切.
(1)求圆的标准方程；
(2)设直线：（）与圆相交于不同两点，求实数的取值范围.
30．（2026高二上·吉林·期中）已知直线，圆.
(1)证明：直线与圆相交.
(2)记直线与圆的交点为，求的最小值.
31．（2026高二上·重庆江北·期中）若直线与圆交于两点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
32．（2026高二上·河南濮阳·期中）已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
33．（2026高二上·宁夏吴忠·期中）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
34．（2026高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点．
(1)求圆的圆心坐标和面积；
(2)若直线的斜率为，求弦的长．
35．（2026高二上·福建福州·期中）已知圆过点、且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
36．（2026高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．（2026高二上·天津·期中）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．（2026高二上·海南海口·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
39．（2026高二上·广东深圳·期中）已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为 .
40．（2026高二上·江苏连云港·期中）若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为 .
41．（2026高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
42．（2026高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
43．（2026高二上·宁夏吴忠·期中）已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为 ．
44．（2026高二上·贵州·期中）已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程.
45．（2026高二上·北京·期中）已知圆C经过，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求圆C经过点的切线方程．
46．（2026高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
47．（2026高二上·河南南阳·期中）已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
48．（2026高二上·广东广州·期中）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 .
49．（2026高二上·安徽芜湖·期中）已知圆的方程为.
(1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；
(2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值.
50．（2026高二上·江苏淮安·期中）已知三点，，在圆上，点为圆心．
(1)求圆的方程；
(2)过点作圆的两条切线，切点为，求四边形的面积．
51．（2026高二上·河北邢台·期中）圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
52．（2026高二上·河南郑州·期中）已知圆，直线，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
53．（2026高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
54．（2026高二上·江苏宿迁·期中）圆上有且只有2个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围为 ．
55．（2026高二上·福建福州·期中）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ．
56．（2026高二上·云南昆明·期中）阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
57．（2026高二上·福建福州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（ ）
A．轨迹的方程为
B．面积最大值为
C．若，则的最大值为
D．在上存在点，使得
58．（2026高二上·湖北·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，若动点P满足，设点的轨迹为，过点作直线，上恰有三个点到直线的距离为1，则满足条件的一条直线的方程为 .
59．（2026高二上·云南昆明·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线与曲线相切，求直线的方程．
60．（2026高二上·重庆·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点作直线，交轨迹于两点，记的面积为，求的最大值，以及取最大值时的直线方程.
(3)设轨迹与轴正半轴的交点为，直线相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程.
61．（2026高二上·江苏宿迁·期中）过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，则当面积取最大值时，的斜率为（ ）
A． B． C． D．
62．（2026高二上·重庆·期中）点是圆：上一动点，过点向圆：作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
63．（2026高二上·江苏常州·期中）已知直线与圆交于A，B两点，则面积的最大值为 ．
64．（2026高二上·河南·期中）已知的外接圆为圆.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆交于E，F两点，求的面积.
65．（2026高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标．
66．（2026高二上·甘肃金昌·期中）已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
67．（2026高二上·福建莆田·期中）已知圆的方程为，直线恒过定点若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值（ ）
A．9 B．12 C．15 D．
68．（2026高二上·广东东莞·期中）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则周长的最小值为 ．
69．（2026高二上·四川德阳·期中）已知圆关于轴对称，圆心在直线上，与轴相交的弦长为4.
(1)求圆的方程；
(2)若点是圆上的动点，动点与两个定点，的距离之比为2，求的最大值和最小值；
70．（2026高二上·四川遂宁·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；
(3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.
71．（2026高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（ ）
A．5 B． C．15 D．
72．（2026高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ）
A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时
73．（2026高二上·北京·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ．
74．（2026高二上·浙江·期中）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响.
(1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值；
(2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？
75．（2026高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度.
(1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内
(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.
76．（2026高二上·湖南长沙·期中）已知圆与圆外切，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
77．（2026高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
78．（2026高二上·广西南宁·期中）圆与圆的位置关系为外切，则的值为 .
79．（2026高二上·青海海南·期中）已知圆W经过，，三点．
(1)求圆W的标准方程；
(2)判断圆与圆W的位置关系．
80．（2026高二上·辽宁·期中）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，圆.
(1)求的方程；
(2)若与外切，求实数的值.
81．（2026高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
82．（2026高二上·广东深圳·期中）圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
83．（2026高二上·天津·期中）圆与圆的公共弦长为 ．
84．（2026高二上·陕西咸阳·期中）已知圆：和圆：.
(1)求证：圆和圆相交；
(2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长.
85．（2026高二上·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由.
86．（2026高二上·江苏南通·期中）已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（ ）
A． B． C． D．
87．（2026高二上·辽宁大连·期中）已知与有且有只有两条公切线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
88．（2026高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ．
89．（2026高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求：
(1)取何值时两圆外切；
(2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么．
90．（2026高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程.
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