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专题02 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题（45题）（举一反三专项训练）
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姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2026高二上·河南信阳·期末）已知椭圆过点，离心率为，左顶点为A，直线与C交于M，N两点（异于A点），且满足．
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线l过一定点，并求出该定点的坐标．
2．（2026高二上·山西·期末）已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与轴垂直，与椭圆交于，两点，若直线与椭圆的另一交点为，则直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
3．（2026高二上·北京·期末）已知椭圆：经过点，且.
(1)求的方程；
(2)设椭圆的左焦点为，过的直线交于两点. 是否存在点，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
4．（2026高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为,且，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，是曲线上两点（点不同于点），直线，分别交直线于两点，若，证明：直线过定点.
5．（2026高二上·北京怀柔·期末）已知椭圆：，左右焦点为，，上顶点为，为正三角形，点在椭圆上，过（与轴不重合）的直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)在轴上是否存在定点（与不重合），使得点到直线，的距离总相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
6．（2026高二上·全国·课后作业）已知椭圆的两个焦点是，且过点的直线与交于，两点，若的周长为8，的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)点在椭圆上，设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别交于点（不重合），为原点，证明为定值．
7．（2026高二下·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)（i）求的最小值；
（ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值.
8．（2026高二上·云南昆明·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，过作直线与交于、两点，直线、的斜率分别为、．
(1)求的标准方程；
(2)判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
9．（2026高三上·天津河北·期末）已知直线经过椭圆C：（）的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的下顶点为A，P是椭圆C上一动点，直线AP与圆O：相交于点M（异于点A），M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q（异于点A）.设直线MN，PQ的斜率分别为，，试探究当时，是否为定值，并说明理由.
10．（2026高二上·安徽·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点．
(1)求曲线的方程；
(2)证明：为定值；
(3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值．
11．（2026高二上·山西运城·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上．
12．（2026高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）．
①若的面积为，求直线的方程；
②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．
13．（2026高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点（其中点在轴的上方），点，分别为椭圆的左、右顶点.
(1)若的垂直平分线交轴于点，为坐标原点.求的取值范围；
(2)若直线和相交于点，试探究能否在一条定直线上运动？若能，求出的值，若不能，请说明理由.
14．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点，在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为，，，为椭圆上异于，的两点，直线不过且不与坐标轴垂直，点关于原点的对称点为，直线与直线相交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上．
15．（2026高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为．
(1)求椭圆的离心率和标准方程；
(2)求点的坐标；
(3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上；
16．（2026高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为．
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：直线过定点.
17．（2026高二上·安徽蚌埠·期末）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线C的一条渐近线交于点P，且.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若A为双曲线C的左顶点，M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为，，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论.
18．（2026高二上·安徽·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点
(1)求C的标准方程；
(2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
19．（2026·山东济南·一模）已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，.
(1)求的方程；
(2)过P作直线的垂线，垂足为N.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最小值.
20．（2026高二上·云南昆明·期末）已知双曲线（，）过点，且渐近线方程为．
(1)求C的标准方程．
(2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值；若不存在，请说明理由．
21．（2026高二上·河北沧州·期末）已知，分别是双曲线的左，右顶点，，点是上一点．过点的直线与双曲线的右支交于，两点．
(1)求的方程；
(2)若的斜率为1，求；
(3)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值．
22．（2026高二上·广东深圳·期末）现有一双曲线和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)M是的右顶点，过的直线交双曲线左支于两点，
（i）求直线与直线的斜率之积；
（ii）判断是否是定值，并给出理由．
23．（2026高二上·山东东营·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由.
24．（2026高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值.
25．（2026高三上·四川成都·开学考试）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)记直线的斜率分别为，证明：是定值；
(3)设为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值．
26．（高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且．
(1)求的方程；
(2)设的左、右顶点分别为，直线与交于两点，与轴交于点，直线与交于点，证明：点在定直线上．
27．（2026高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．

(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上；
28．（2026高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为.
(1)求的方程；
(2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积；
(3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上.
29．（2026高二上·广东东莞·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上.
30．（2026高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.
31．（2026高二上·全国·专题练习）已知点P是抛物线上的一点，过点P作两条直线与，分别与抛物线相交于A，B两点．
(1)已知点且，求证：直线AB恒过定点；
(2)已知点，直线AB所在直线方程为，且的垂心H在x轴上，求实数b的值．
32．（2026·云南昭通·模拟预测）过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16．
(1)求抛物线的方程；
(2)当时，证明：直线过定点．
33．（2026高二下·广西贵港·阶段练习）在平面直角坐标系内，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少1．
(1)求曲线的方程；
(2)点在曲线上，若直线斜率存在并与抛物线交于、两点（、异于点）．若，证明：直线过定点．
34．（2026高二上·贵州安顺·期末）已知点及直线，点为直线上的动点，过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若为（1）中的曲线上的两个动点，且（为坐标原点）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
35．（2026高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，过原点直线交抛物线于另一点，且.
(1)求抛物线方程；
(2)已知为抛物线上两动点，且关于轴对称，，连接交抛物线于点，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标.
36．（2026高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.
(1)求和的值；
(2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值.
37．（2026高二上·陕西西安·期末）如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点．
(1)求证：为定值；
(2)求证：．
38．（2026高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为．
(1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
(2)证明：直线经过定点．
39．（2026高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．
40．（2026高二上·河南郑州·期中）已知椭圆和抛物线.从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点.记直线的斜率分别为，判断是否为定值，并说明理由.
41．（2026高二上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H．
(1)直线AB是否过定点？请说明理由；
(2)证明：点H在直线上．
42．（2026高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为．
(1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；
(2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上．
43．（2026高二下·广东惠州·阶段练习）已知抛物线的焦点关于直线的对称点为．
(1)求的方程；
(2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求；
(3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程．
44．（2026高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线：.
(1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求；
(2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上.
45．（2026·上海虹口·二模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点．
(1)若，求的值；
(2)若M是线段AN的中点，求直线的方程；
(3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题（45题）（举一反三专项训练）
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姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2026高二上·河南信阳·期末）已知椭圆过点，离心率为，左顶点为A，直线与C交于M，N两点（异于A点），且满足．
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线l过一定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）将已知点代入椭圆方程，结合离心率公式，列出方程组，求出椭圆方程；
（2）联立直线和椭圆方程，将转化为，利用韦达定理，化简得出定点.
【解答过程】（1）由，解得，
即椭圆C的方程为.
（2）设，联立直线与椭圆的方程：
，化简得，
，①
由韦达定理可得：
则.
因为，所以.
又，
则：
即
整理得，解得或.
当时，直线：过点，故舍去；
当时，满足①，直线：过点.
故直线l过一定点，该定点的坐标为.

2．（2026高二上·山西·期末）已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与轴垂直，与椭圆交于，两点，若直线与椭圆的另一交点为，则直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点，
【解题思路】（1）根据已知条件代入求得，由此求得椭圆的方程，
（2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，结合直线的方程求得定点坐标.
【解答过程】（1）由题知，
把代入椭圆的方程得，计算得，
故椭圆的方程为.
（2）由题知直线的斜率不为零，设直线的方程为，
设，，，
联立方程组消去整理得，
则，.
直线的方程为.
由椭圆的对称性可知，若存在符合的定点，则该定点一定在轴上.
令，得
.
故直线过定点.
3．（2026高二上·北京·期末）已知椭圆：经过点，且.
(1)求的方程；
(2)设椭圆的左焦点为，过的直线交于两点. 是否存在点，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在
【解题思路】（1）代入点到椭圆方程中，即可联立求解，
（2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，将问题转化为两直线的斜率问题，代入化简即可求解.
【解答过程】（1）因为点在椭圆上，所以，
因为，所以，
解得，，，
所以椭圆C的方程为.
（2）假设存在点，使得恒成立，
易知点，设点,
若直线斜率不存在，则当时，恒成立.
若直线斜率存在，设其方程为：，
由，得，
依题意，
所以，，（*）
若满足，则，即，
整理得，，
又，，
所以，
整理得，，
将（*）式代入得，，
整理得
依题意不恒为0，则，
所以存在点使得恒成立.
4．（2026高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为,且，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，是曲线上两点（点不同于点），直线，分别交直线于两点，若，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）根据条件，列方程组，解出，即可求解；
（2）根据题设直线的方程为，（），，，联立直线与椭圆方程，消去整理得，利用根与系的关系得，再根据题设求出，，结合题设条件，即可求解.
【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知,
解得，所以椭圆C的方程为.
（2）由题意知，直线斜率不为，设直线的方程为，（）
，，，联立方程，
消去整理得，
所以，
易知直线为，令，得到，则，
同理可得，
所以
，
将代入，化简整理得，
解得（舍）或，
所以直线恒过定点.
5．（2026高二上·北京怀柔·期末）已知椭圆：，左右焦点为，，上顶点为，为正三角形，点在椭圆上，过（与轴不重合）的直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)在轴上是否存在定点（与不重合），使得点到直线，的距离总相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)，
(2)存在，
【解题思路】（1）依题意可得，即可求出离心率，再根据椭圆过点，即可得到方程组，求出、，即可求出椭圆方程；
（2）方法一：设直线方程：，当时显然成立，当时，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，设轴上点，依题意可得为的平分线，与互为相反数，根据求出的值，即可得解；方法二：当直线斜率不存在时显然成立，直线的斜率存在时，设直线的方程：，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，设轴上点，依题意可得为的平分线，与互为相反数，根据求出的值，即可得解.
【解答过程】（1）为正三角形，
，，
椭圆过点，
或者，解得，
椭圆的方程为；
（2）方法一：过的直线与轴不重合，设直线方程：，
当时，直线与轴垂直，由椭圆的对称性可知为等腰三角形（与不重合），
因为为的中点，为的角分线，
到直线，的距离总相等.
当时，，消去整理得，
由条件可知恒成立，设，，
①，②，
设轴上点，
由于点到直线，的距离总相等，
为的平分线，
与互为相反数，
，
，
整理得：，
将①②代入上式，
当时，化简得到，解得，即，
故在轴上存在定点使得点到直线，的距离总相等.
方法二：
当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知为等腰三角形（与不重合），
为的中点，为的角分线，
到直线，的距离总相等，
当直线的斜率存在时，设直线的方程：，
又，消去得，
由条件可知恒成立，设，，
①，②，
设轴上点，由于点到直线，的距离总相等，
为的平分线
与互为相反数
，
，
整理得，
将①②代入上式，
整理得，
所以，
，即，
故在轴上存在定点使得点到直线，的距离总相等.
6．（2026高二上·全国·课后作业）已知椭圆的两个焦点是，且过点的直线与交于，两点，若的周长为8，的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)点在椭圆上，设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别交于点（不重合），为原点，证明为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）已知条件中涉及椭圆的两个特殊三角形计算得参数可得椭圆方程;
（2）设，求出和的方程，得到的表达式，计算，因为在椭圆上，利用椭圆方程化简即可.
【解答过程】（1）由周长为，则．周长为，则，所以，
故椭圆的方程是．

（2）由于点关于轴的对称点为，则．
设，则有，，．
直线的方程为，令，可得，所以．
直线的方程为 ，令，可得，所以．
所以，所以为定值．
7．（2026高二下·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)（i）求的最小值；
（ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值.
【答案】(1)；
(2)；证明见解析．
【解题思路】（1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程；
（2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明．
【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为，
因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即，
又椭圆离心率为，所以，则，
所以椭圆C的方程为：
（2）（i）由椭圆方程得，，设，
因为点M在椭圆C上，所以，即，
所以，
所以，
当，即M为椭圆上下顶点时，，
所以求的最小值为；
（ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：，
联立，消去x得，
方程的判别式，
设，，则由韦达定理得，
则，
注意到，即，
所以，
所以
8．（2026高二上·云南昆明·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，过作直线与交于、两点，直线、的斜率分别为、．
(1)求的标准方程；
(2)判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，-2
【解题思路】（1）由题意列方程组，求出的值，即得答案；
（2）设直线l的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，求出的表达式，结合根与系数的关系化简，即得结论.
【解答过程】（1）由题意可得，解得，
故的标准方程为；
（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为，设，
联立得，得，需满足，
则，
则
，
即为定值-2.
9．（2026高三上·天津河北·期末）已知直线经过椭圆C：（）的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的下顶点为A，P是椭圆C上一动点，直线AP与圆O：相交于点M（异于点A），M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q（异于点A）.设直线MN，PQ的斜率分别为，，试探究当时，是否为定值，并说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，理由见解析
【解题思路】（1）运用椭圆的几何性质，解方程可得，，，进而得到所求椭圆方程；
（2）运用两点的斜率公式，分别计算线的斜率为，直线的斜率为，即可得证.
【解答过程】（1）根据题意，，代入椭圆方程得，
得，所以，再根据，可得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）据题意，直线的斜率存在，且不为0，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，整理可得，所以或.
所以点的坐标为，
联立和，
整理可得，所以或.
所以点的坐标为.
显然，是圆的直径，故，所以直线的方程为.
用代替，得点的坐标为，即.
直线的斜率，
直线的斜率.
所以，为定值，得证.
10．（2026高二上·安徽·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点．
(1)求曲线的方程；
(2)证明：为定值；
(3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解题思路】（1）利用椭圆离心率及焦点三角形面积列式求出即可.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式计算得证.
（3）直线的斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算可得直线过定点，再探讨直线的斜率不存在时的情况即可推理得证.
【解答过程】（1）设曲线的半焦距为c，由离心率为，得，
由的最大值为，得，而，解得，，，
所以曲线的方程为.
（2）由（1）得，依题意，直线不垂直于轴，设，，
由消去得，则，，
则
，
所以为定值；
（3）

设，由（2）知，则，
①当直线斜率存在时，设其方程为，由直线不过点，得，
由消去得，
，且，，，
则，
整理得，
于是，
化简得，即，而，则，符合题意，
直线：，过定点；
②当直线斜率不存在时，由对称性，不妨令点在第二象限，直线的斜率为，
方程为，与方程联立可得，同理得，此时直线也过点，
因此直线过定点，设该点为，
由，得在为直径的圆上，圆的方程为，半径为，
所以存在点使得为定值．
11．（2026高二上·山西运城·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）由题意可得，代入点的坐标可得，求解可得椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，由韦达定理可得，设直线的斜率分别为，计算可得恒成立，进而可得结论.
【解答过程】（1）因为椭圆两个焦点为，所以，则，
又点在椭圆上，所以.即，
两式联立，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，
联立，得，
则，得，
设，则，
设直线的斜率分别为.
所以，
因为，
所以恒成立，则直线的倾斜角互补，即的平分线总垂直于轴，
所以的内心在定直线上.
12．（2026高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）．
①若的面积为，求直线的方程；
②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．
【答案】(1)
(2)① ；②证明见解析
【解题思路】（1）由题意可得，求出即可求解；
（2）①设直线的方程和，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程，解之即可求解；
②联立直线可得，由①知，化简计算即可求解.
【解答过程】（1）由题意可知，，所以．
又，
所以椭圆的方程为；
（2）①设过点的直线方程为，点，
联立，得，
则，
则．
又因为点到直线的距离．
令，解得，
所以直线的方程为．
②由①知，
则直线，直线，
由，整理得．
由①知，得，
所以，
即，解得，
所以点在直线上．

13．（2026高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点（其中点在轴的上方），点，分别为椭圆的左、右顶点.
(1)若的垂直平分线交轴于点，为坐标原点.求的取值范围；
(2)若直线和相交于点，试探究能否在一条定直线上运动？若能，求出的值，若不能，请说明理由.
【答案】(1)
(2)能在一条定直线上运动，.
【解题思路】（1）设出直线的方程以及中点的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式得到点的坐标，出现直线的垂直平分线的方程，进而即可求解.
（2）写出并联立直线和方程，得到交点坐标，再结合（1）中求得的韦达定理，即可得出结论.
【解答过程】（1）因为右焦点的坐标为，可设直线的方程为，代入，得，
所以，，
设中点的坐标为，则，
的垂直平分线方程为，
令，可得
所以，即的取值范围是.
（2）因为，，，，
则直线的方程为，直线的方程为
联立方程，消去，可得
所以
因为，所以，即
所以.
由（1）可知，，
代入整理可得，解得.
所以能在一条定直线上运动，.
14．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点，在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为，，，为椭圆上异于，的两点，直线不过且不与坐标轴垂直，点关于原点的对称点为，直线与直线相交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）设椭圆方程，将点的坐标代入椭圆方程，建立方程组，解之即可求解；
（2）设直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示和两点表示斜率可得，则直线的方程为，联立直线与直线计算即可下结论.
【解答过程】（1）设椭圆的方程为，
将，代入粗圆方程，得，解得，
故椭圆的标准方程为．
（2）由（1）得，，
设直线的方程为（，且），
，，，则．
由，得，
则 ，
，，故．
易知直线与直线的斜率存在且不为0，
由，，三点共线得，即．①
由，，三点共线得，即．②
①+②得．
所以，所以直线的方程为．
由得，得，
故直线与直线的交点在定直线上．
15．（2026高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为．
(1)求椭圆的离心率和标准方程；
(2)求点的坐标；
(3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上；
【答案】(1)离心率为，标准方程为
(2)
(3)证明见解析
【解题思路】（1）根据椭圆的几何性质可求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的离心率及其标准方程；
（2）设，利用两点间距离公式得，然后根据、分类讨论求解即可；
（3）设直线的方程为，、，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得，写出直线、的方程，进而求解即可；
【解答过程】（1）由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为，
由题意可得，则，
因此，椭圆的离心率为，其标准方程为.
（2）设是椭圆上一点，则，
因为
若时，则，，解得（舍去），
若时，则，则，解得（舍去）或，
所以点的坐标为.
（3）设直线的方程为，、，
由，得，所以，，
所以，①
由，得或，
易知直线的方程为，②
直线的方程为，③
联立②③，消去，得，④
联立①④，消去，则，
解得，即点在直线上.
16．（2026高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为．
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据题意列出关于的方程组求解即可；
（2）设，由已知条件分别求出点的坐标，设定点为，再由共线向量的坐标表示列式计算即得.
【解答过程】（1）由题意得，，，，
解得，
故双曲线的方程为.
（2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点，
设直线上的动点，
于是直线的斜率，直线的方程为，
由得，，，
设，则，则，，
故，
直线的斜率，直线的方程为，
由，得，，
设，则，，
，
则，
由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上，
不妨设这个定点为，
则，，
因，则，
当时，整理得，解得，则直线过点，
当时，直线与轴重合，直线也过点，
所以直线经过定点.
17．（2026高二上·安徽蚌埠·期末）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线C的一条渐近线交于点P，且.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若A为双曲线C的左顶点，M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为，，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论.
【答案】(1)
(2)直线MN恒过定点，证明见解析
【解题思路】（1）由和，可得，再求出点的坐标，再结合勾股定理即可求解；
（2）直线MN的方程为，与双曲线联立，求得的值，再结合，整理化简后得到，再利用，求得，即可确定直线MN经过定点.
【解答过程】（1）
由离心率可得，即①，
利用得②，
根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为.
联立，得，
由可得，③，
由①②③解得，，.
所以双曲线的标准方程为.
（2）
由题意可知直线MN的斜率不为零，所以设直线MN的方程为，
，，由，得，
由，得，
所以，，易知，所以，，
因为，所以，
所以，所以，
化简得，
所以，
所以，
化简得，解得或，
因为M，N是C右支上的两动点，所以，所以，
所以直线MN的方程为，所以直线MN恒过定点.
18．（2026高二上·安徽·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点
(1)求C的标准方程；
(2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线恒过定点，坐标为
【解题思路】（1）根据的关系以及双曲线过的顶点列方程组，求出的值即可；
（2）由题意设设直线的方程为，联立双曲线方程，由韦达定理得，用含的式子表示点的坐标，同理用含的式子表示点的坐标，结合以及韦达定理可得出的关系，由此即可得解.
【解答过程】（1）由题意知，
解得，
所以的标准方程为；
（2）
由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得，则 ，
且，
所以直线的方程为，
令，可得，即，同理，
因为原点为的中点，所以，
即，
所以.所以，
所以或，
若，则直线方程为，
即，
此时直线过点，不合题意；
若时，则直线方程为，恒过定点.
19．（2026·山东济南·一模）已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，.
(1)求的方程；
(2)过P作直线的垂线，垂足为N.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最小值.
【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【解题思路】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程；
（2）（i）设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标；
（ii）应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值.
【解答过程】（1）由题设且，则，
由轴时，，不妨令，代入双曲线得，
所以，则所求方程为；
（2）（i）设，则，由斜率不为0，设，
联立双曲线并整理得，则，
所以，
由，直线，
根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上，
令，则，
因为，所以，
而，则，
所以过定点；

（ii）由，
由（i），，可得，
令，则，
由，故，当时取等号，
综上，的最小值为.
20．（2026高二上·云南昆明·期末）已知双曲线（，）过点，且渐近线方程为．
(1)求C的标准方程．
(2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在轴上存在点，使得为常数，该常数为56．
【解题思路】（1）根据渐近线可得，即可代入点的坐标即可求出双曲线方程.
（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理及数量积的坐标表示求解即得.
【解答过程】（1）根据渐近线方程为，故，
将代入可得，则，
所以的方程为.
（2）依题意，直线的斜率存在，设的方程为，
由，消去得，显然，
且，得且，
则，
设存在符合条件的定点，则，
因此
要为常数，当且仅当，解得，此时该常数的值为56，
所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56．
21．（2026高二上·河北沧州·期末）已知，分别是双曲线的左，右顶点，，点是上一点．过点的直线与双曲线的右支交于，两点．
(1)求的方程；
(2)若的斜率为1，求；
(3)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解题思路】（1）根据左右顶点的距离得到，然后根据点在曲线上列方程得到，即可得到双曲线方程；
（2）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式计算；
（3）联立直线和双曲线方程，利用斜率公式和韦达定理计算即可证明.
【解答过程】（1）

解：由，可得，解得，
点是上一点，所以，解得，
所以的方程为．
（2）解：的方程为，
联立即，
设，，则，，
所以弦长．
（3）证明：设，，，易知，，
直线与双曲线联立得，
所以
所以
，
故是定值．
22．（2026高二上·广东深圳·期末）现有一双曲线和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)M是的右顶点，过的直线交双曲线左支于两点，
（i）求直线与直线的斜率之积；
（ii）判断是否是定值，并给出理由．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）是，理由见解析
【解题思路】（1）根据双曲线的定义结合三角形三边关系，可构造函数以及其定义域，利用反比例函数单调性可求的最值，结合题意，建立方程，可得答案；
（2）设出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，利用斜率公式以及弦长公式，整理可得答案.
【解答过程】（1）设，那么，，
根据，可得．
因为在上单调递减，
所以时，取最大值3，所以，解得．
所以．
因此根据题意可得的标准方程为．
（2）
（i）设，直线为，
联立直线方程和双曲线方程可得，化简得，
根的判别式，
所以根据韦达定理可得，
，
，
.
（ii）是定值，理由如下，设，
直线为，联立直线方程和双曲线方程可得
化简得，
根的判别式，
所以根据韦达定理可得，
所以，
所以
．
23．（2026高二上·山东东营·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，
【解题思路】（1）结合已知条件列出关于的方程组求解可得双曲线方程；
（2）设直线l的方程为，，，联立直线与双曲线方程，由韦达定理表示两斜率，从而计算可得.
【解答过程】（1）依题意，，
解得，，
故双曲线C的方程为
（2）设直线l的方程为，，，
由整理得，
，
由韦达定理得：，，
得：，
由题，，
所以
，
所以是定值，
24．（2026高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解题思路】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可.
（2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证.
【解答过程】（1）由双曲线：虚轴长为4，得，
双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）由（1）知，，，
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设，
由消去得，
，，，
直线的斜率，直线的斜率，
所以，为定值．
25．（2026高三上·四川成都·开学考试）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)记直线的斜率分别为，证明：是定值；
(3)设为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解题思路】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可.
（2）设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得.
（3）由（2）得，联立直线与的方程求出点的横坐标，再求出三角形的面积的函数关系并求出最小值.
【解答过程】（1）由双曲线的焦距为，得，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）依题意，设直线的方程为，，
由消去x并整理得，
由直线与双曲线的右支交于两点，得可得 ，
解得，
则，，即，
而，
所以
为定值.
（3）由（2）知，直线：，直线：，
则点的横坐标为，
于是
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
26．（高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且．
(1)求的方程；
(2)设的左、右顶点分别为，直线与交于两点，与轴交于点，直线与交于点，证明：点在定直线上．
【答案】(1)．
(2)证明见解析
【解题思路】（1）由双曲线定义将条件转化为最小值，从而利用求最小值解即可；
（2）由直线过设方程联立椭圆方程利用韦达定理得坐标关系式，再设直线与方程并联立求得点坐标的表达式，利用点横、纵坐标关系可证明点在定直线上.
【解答过程】（1）由题知，即，
又为的右支上一点，则，
所以 ，
故当最小时，最小，
而，故，
即，故，故的方程为．
（2）

当直线的斜率为0时，不满足题意；
当直线的斜率不为0时，由过点，可设其方程为，
联立消去得，
设，，
则，，故（），
由（1）知，，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立消去得，
将，代入上式得，
得，将（）代入化简得
，
即，所以点在定直线上．
27．（2026高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．

(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）由直接求出双曲线方程即可；
（2）设直线方程和设，直曲联立表示出韦达定理，利用点在双曲线上代入化简表示出直线方程，联立两方程化简即可；
【解答过程】（1）设双曲线的标准方程为，
依题意有，
所以双曲线方程为.
（2）

(i)证明:设直线方程为:，设，
联立方程，消去得:，
，
，
是双曲线上的点，
，
直线，同理直线，
联立方程得
，
解得，故点在定直线上.
28．（2026高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为.
(1)求的方程；
(2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积；
(3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解题思路】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）根据（1）可得，，进而结合余弦定理及三角形面积公式求解即可；
（3）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，进而联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【解答过程】（1）设双曲线方程为，
由左焦点坐标可知，
则，可得，，
双曲线方程为.
（2）由（1）知，，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
即，即，
所以三角形的面积为.
（3）证明：由（1）可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
联立，可得，
且，，
则，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程，消去可得：
，
由，可得，即，
据此可得点在定直线上运动.

29．（2026高二上·广东东莞·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上.
【答案】(1)
(2)（i）或；（ii）证明见解析
【解题思路】（1）根据求出，，从而得到，求出，得到双曲线方程；
（2）（i）由题意知直线l的方程为，，，联立双曲线方程，结合根的判别式和得到不等式，求出m的取值范围；
（ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线和直线的方程，联立得到，将代入，化简得到，得到答案.
【解答过程】（1）由题意可知，，因为，所以.
因为，，得，
又因为在双曲线上，则，
所以.
所以双曲线C的方程为.
（2）（i）由题意知直线l的方程为，，.
联立，
化简得，
因为直线l与双曲线左右两支相交，所以，
即满足：，
所以或.
（ii），，则，
直线的方程为，直线的方程为.
联立直线与的方程，得，
所以，
所以，
所以，
所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.
30．（2026高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.
【答案】(1)
(2)（i）或；（ii）证明见解析
【解题思路】（1）由已知条件去设点的坐标，表示斜率之积，通过点在双曲线上，代入并消元一个变量，即可得到，从而求出双曲线方程；
（2）（i）利用过点的直线与双曲线的左右两支相交，必满足,从而去求出的取值范围；
（ii）先用交点坐标去表示直线的方程，然后猜想交点的横坐标为定值，所以消去纵坐标得到关于交点的横坐标的表达式，最后利用韦达定理代入化简，可得定值，即问题可得证.
【解答过程】（1）
由题意可知，
因为，所以.
设，则，所以，
又，
所以.
所以双曲线C的方程为.
（2）（i）由题意知直线l的方程为.
联立，化简得，
因为直线l与双曲线左右两支相交，所以，
即满足：，
所以或；
（ii），
直线AD的方程为
直线BE的方程为.
联立直线AD与BE的方程，得，
所以，
所以，
所以
.
所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.
31．（2026高二上·全国·专题练习）已知点P是抛物线上的一点，过点P作两条直线与，分别与抛物线相交于A，B两点．
(1)已知点且，求证：直线AB恒过定点；
(2)已知点，直线AB所在直线方程为，且的垂心H在x轴上，求实数b的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解题思路】（1）求出A,B两点坐标，进而求出直线方程，即可判断直线恒过的定点；
（2）根据，两直线垂直，斜率相等等于 -1，可知垂心坐标，利用，求出直线方程，进而求出；
【解答过程】（1）证明：由题可知直线的斜率都存在，
设，
因为所以，
同理可得，
则直线AB所在的直线方程为，
当时，直线AB所在的直线方程为．
综上，直线AB恒过定点．
（2）由可知垂心，
设点，
由，得，
所以，因为，
所以，
即．
将代入得，
又A，B两点在抛物线上，抛物线方程为，直线AB的方程为，可知直线AB不过原点，
又，所以．
32．（2026·云南昭通·模拟预测）过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16．
(1)求抛物线的方程；
(2)当时，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）由题意设，因为，不妨设．表示出的坐标，由三角形的面积求解即可；
（2）设，，，由，则，求出的方程为，联立求得，从而证得直线所过的定点即可.
【解答过程】（1）已知当时，，，关于轴对称且．
设，因为，不妨设．
由斜率公式，即，解得，所以，．
面积，解得，抛物线方程为．
（2）

证明：设，，，
则，．
因为，则，所以，
则，，
所以直线的方程为，整理得．
把代入直线方程，得，
所以直线过定点．
33．（2026高二下·广西贵港·阶段练习）在平面直角坐标系内，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少1．
(1)求曲线的方程；
(2)点在曲线上，若直线斜率存在并与抛物线交于、两点（、异于点）．若，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）由题意可知曲线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，利用抛物线的定义可知焦点即为点，在轴正半轴，由此可以写出曲线的方程；
（2）设直线，与抛物线方程联立，因为，则，代入化简可得关于的方程，因式分解找出定点坐标即可证明.
【解答过程】（1）由题干条件曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少，
即曲线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，此即抛物线的定义，
且焦点为点，在轴正半轴，所以，所以曲线的方程为；
（2）将点坐标代入曲线的方程，可得，所以，
因为直线斜率存在并与抛物线交于、两点，所以设直线，且，
设，联立直线和抛物线方程，可得，
由韦达定理可知，所以，
，
因为，所以
，
代入化简得，注意到前三项可以因式分解，
即，最后两项不含，所以将分解为，
原式可以进一步因式分解为，解得或，
即直线分别过定点或，因为、异于点，所以舍去，
故直线过定点.
34．（2026高二上·贵州安顺·期末）已知点及直线，点为直线上的动点，过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若为（1）中的曲线上的两个动点，且（为坐标原点）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点.
【解题思路】（1）由抛物线定义即可得到轨迹方程.
（2）先直线与抛物线联立，由韦达定理得，又由得，即可求得坐标.或者用齐次化方法求解.
【解答过程】（1）由题设知，，且.
所以点到定点的距离等于到定直线的距离，又因为直线不经过点，
所以由抛物线的定义可知，点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线.
故点的轨迹的方程为：.
（2）
证法一：
由题设可知，直线的斜率不为0，且不过原点，故设，
由得：.
设，
则.
因为，所以.
解得或（舍）.
且满足，所以直线的方程为.
故直线过定点.
证法二（齐次化方法）：由题设可知，直线不过原点，设，
由得：.
显然，从而有.
设，则为方程（※）的两根，
所以.
又，所以.解得，且满足
所以直线的方程为即.
故直线过定点.
35．（2026高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，过原点直线交抛物线于另一点，且.
(1)求抛物线方程；
(2)已知为抛物线上两动点，且关于轴对称，，连接交抛物线于点，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)过定点
【解题思路】（1）联立直线方程与抛物线方程，求出，再代入抛物线方程即可求解；
（2）设则，求出直线的方程，可得其与抛物线的交点的坐标，表示出直线的方程，结合点在抛物线上化简方程，即可求出直线所过定点坐标.
【解答过程】（1）由题意得，解得，
，解得，
抛物线方程；
（2）设，则，
直线的方程为，
与，联立得，
，
直线的方程为，
，所以
直线的方程化简得，
直线过定点.
36．（2026高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.
(1)求和的值；
(2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析
【解题思路】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程，点坐标代入抛物线方程可得；
（2）设直线的方程为，设，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，再利用在抛物线上求得，然后计算可得．
【解答过程】（1）由题意，，抛物线方程为，
在抛物线上，因此，所以；
（2）由（1）知焦点为，显然直线与不重合，
设直线的方程为，设，
由得，因此，
又，，
所以
所以．
37．（2026高二上·陕西西安·期末）如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点．
(1)求证：为定值；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解题思路】（1）设直线：，代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得为定值.
（2）根据（1）的结论，通过求证得.
【解答过程】（1）由题可设直线l的方程为（），
与抛物线方程联立得
消去y可得，
其中，
由根与系数的关系得，即为定值．
（2）因为，，所以．
又因为，所以．
设，的斜率分别为，，
则，，有，则．
38．（2026高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为．
(1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
(2)证明：直线经过定点．
【答案】(1)是，2
(2)证明见解析
【解题思路】（1）设直线，斜率分别为，然后根据题意利用韦达定理把表示出来作比值即可；
（2）结合（1）设直线，利用已知条件求出设直线即可.
【解答过程】（1）设直线，斜率分别为，则为定值．
理由如下：如图，
易知，设，直线，
联立得，
．①
，
因为，所以，
所以点为线段OD的中点，
因为，所以，
故直线，
代入抛物线方程可得：，
则．②
联立①②得，同理可得，
所以，
所以，为定值．
（2）由（1）知．
，
因为N，B，D三点共线，所以，
化简得，
所以，即，
所以．
设直线，
由得，
，
解得，所以直线方程为：，
当，
所以直线过定点．
39．（2026高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)为定值.
【解题思路】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可；
（2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论.
【解答过程】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得，
所以抛物线．
（2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，，
联立抛物线有，消去得，则，
∴，，又，，
∴
，为定值.
40．（2026高二上·河南郑州·期中）已知椭圆和抛物线.从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点.记直线的斜率分别为，判断是否为定值，并说明理由.
【答案】(1)，；
(2)为定值，理由见解析.
【解题思路】（1）算出四点对应的抛物线方程，注意到对应的p一样，即可得抛物线与椭圆方程；
（2）联立抛物线与直线方程，由韦达定理可判断是否为定值.
【解答过程】（1）将四个点代入抛物线方程解得的值分别为，
注意到对应的p一样，在抛物线上，
故抛物线方程为.故为椭圆上的点，
则，
椭圆方程；
（2）是定值，理由如下：
设，则
由韦达定理：，又因为，
所以，同理
所以为定值.
41．（2026高二上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H．
(1)直线AB是否过定点？请说明理由；
(2)证明：点H在直线上．
【答案】(1)过定点，理由见解析；
(2)证明见解析.
【解题思路】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标；
（2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可.
【解答过程】（1）抛物线Ω：的焦点，
互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0，
设直线的斜率为，则直线，设，
由，消去并整理得，，
，，弦MN的中点，
由垂直的条件，可将换为，设，
同理得，，有，
当或时，直线的方程为，
当且时，直线的斜率为，方程为，
即，当时，恒有，
所以直线过定点，其坐标为.
（2）直线的斜率，同理得直线的斜率，
此时直线的方程为，即，
同理，直线的方程为，即，整理得，
由，消去解得，
所以直线ME与直线NP的交点在直线上.
42．（2026高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为．
(1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；
(2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上．
【答案】(1)或；
(2)证明见解析
【解题思路】（1）分别讨论直线斜率是否存在，利用判别式为0即可得直线方程；
（2）设出直线方程并利用韦达定理可得，结合即可求出动点在直线上.
【解答过程】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为，
与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意，
当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为，
代入抛物线方程化简得：，
，即，直线方程即为
因此所求直线方程为或；
（2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为，
由，消去整理得，
因为与抛物线C相切，所以，
即．
又因为，是方程的两根，则有，
由 ，可得，即
从而动点在直线上.
43．（2026高二下·广东惠州·阶段练习）已知抛物线的焦点关于直线的对称点为．
(1)求的方程；
(2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求；
(3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】(1)；
(2)8；
(3)证明见解析，
【解题思路】（1）由焦点关于直线的对称点为即可求得p值，则抛物线方程可求；
（2）联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理以及过抛物线焦点的弦长公式即可求解；
（3）设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理化简，分析可得，则定直线方程可求.
【解答过程】（1）抛物线的焦点关于直线的对称点为，于是，解得：，
所以抛物线的方程为．
（2）由（1）知，直线的方程为，设，
由消去得：，
则，
所以．
（3）由题意可得直线的斜率存在．设直线的方程为，
代人抛物线方程，整理得或．
设，则，
由，
得 ，
化简得，
当时，因，化简得，与直线的斜率存在矛盾，不合题意；
当时，
化简得．
即
化简得，
又，所以，
化简得，
所以点在直线上．
44．（2026高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线：.
(1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求；
(2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）由已知直线：，联立抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可得解.
（2）设，，首先将过点的两条切线方程求出来（分别用它们的坐标表示），然后联立两条切线方程可得的横坐标表达式为，由三点共线可得为定值，由此即可得证.
【解答过程】（1）
设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：，
联立，得，所以，
所以.
（2）
设，，
由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为，
则过点且与抛物线相切的直线方程为，①
联立，得，
所以，代入，得，
解得，带入①式即得，
即过点且与抛物线相切的直线方程为，
同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为，
联立，可得，
由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为，
联立，得，所以，即得，
所以点在定直线上.
45．（2026·上海虹口·二模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点．
(1)若，求的值；
(2)若M是线段AN的中点，求直线的方程；
(3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)在定直线上，理由见解析
【解题思路】（1）根据焦半径公式即可求出；
（2）设直线MN的方程，与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m，从而求出直线的方程；
（3）设，即可求出直线PM与QN的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上．
【解答过程】（1）根据题意，得
因为抛物线，所以准线为，
所以；
（2）由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程，
联立，消去，可得，
所以，即，，，
而M是线段AN的中点，所以，故，
解得，故，解得，
所以直线MN的方程为，即；
（3）直线MN的方程，设，
则，，
联立消去可得：，即，整理得：，
将，代入得，故，，
所以直线PM与QN的交点在定直线上．
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