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专题02 直线与圆中必考八类最值与范围问题（举一反三专项训练）
【类型1 斜率型、直线型最值（范围）问题】 2
【类型2 定点到圆上点的最值（范围）】 3
【类型3 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 4
【类型4 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 5
【类型5 圆的切线长度最值（范围）问题】 6
【类型6 周长面积型最值（范围）问题】 7
【类型7 角度型最值（范围）问题】 9
【类型8 长度、距离型最值（范围）问题】 10
知识点1 利用代数法的几何意义求最值
1．利用代数法的几何意义求最值
(1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题.
知识点2 与距离有关的最值问题
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论.
1．圆上的点到定点的距离最值问题
一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值.
2．圆上的点到直线的距离最值问题
已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：.
知识点3 弦长最值问题
1．过圆内定点的弦长最值问题
已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.
知识点4 切线长度最值问题
1．圆的切线长度最值问题
(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
知识点5 解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法
1．与圆有关的最值与范围问题的解题方法
(1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.
(2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解.
(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证.
(4)多与圆心联系，转化为圆心问题.
(5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解.
【类型1 斜率型、直线型最值（范围）问题】
1．（2026高二上·福建福州·期中）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高二上·四川南充·期中）已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（ ）
A．圆的半径为2 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为5
3．（多选）（2026高二上·山西太原·期中）已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最大值为
4．（2026高二下·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 .
5．（2026高二上·海南海口·期末）已知点在圆上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值与最小值．
6．（2026高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点．
(1)求P点到直线的距离的最大值和最小值．
(2)求的最大值和最小值．
(3)求的最大值和最小值
【类型2 定点到圆上点的最值（范围）】
7．（2026高二上·辽宁·阶段练习）已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
8．（2026高二上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，是直线上的一动点，是圆上一点，则当最小时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）（2026高二上·浙江杭州·期中）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．的最大值为
D．圆心到直线的距离最大为4
10．（2026高二下·吉林延边·阶段练习）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为 ．
11．（2026高二上·河南南阳·阶段练习）已知函数的图象与直线均过定点.
(1)若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程；
(2)若点是圆：上的动点，点满足，求的最大值.
12．（2026高二上·四川德阳·期中）已知圆关于轴对称，圆心在直线上，与轴相交的弦长为4.
(1)求圆的方程；
(2)若点是圆上的动点，动点与两个定点，的距离之比为2，求的最大值和最小值；
【类型3 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】
13．（2026高二上·甘肃金昌·期中）已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
14．（2026高三上·北京·阶段练习）已知动圆的半径为，其圆心到点的距离为2，点为圆上的一点，则点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
15．（多选）（2026高二上·山东青岛·阶段练习）已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆相离
B．当最大时，
C．点到直线的距离最大值为
D．点到直线的距离最小值为
16．（2026高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点，点是圆上任意一点，则到直线距离的最小值为 .
17．（2026高二上·陕西安康·阶段练习）已知点，线段是圆的一条直径.
(1)求圆的标准方程；
(2)点是圆上任意一点，求点到直线的最大距离.
18．（2026高二上·江苏南京·阶段练习）已知以点为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于另一点A，与y轴交于另一点B．
(1)求证：为定值
(2)设直线与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程．
(3)在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标．
【类型4 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】
19．（2026高二上·北京·期中）已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2026高二上·山东菏泽·阶段练习）直线（其中）被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
21．（多选）（2026高二下·内蒙古通辽·期中）已知直线：和圆：，则（ ）
A．存在k使得直线与直线：垂直
B．直线恒过定点
C．直线与圆相交
D．直线被圆截得的最短弦长为
22．（2026高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆，直线与圆相交，则直线截圆的最短弦长为 ．
23．（2026高二上·吉林·期中）已知直线，圆.
(1)证明：直线与圆相交.
(2)记直线与圆的交点为，求的最小值.
24．（2026高二上·内蒙古包头·期中）已知圆，直线.
(1)求证：直线恒过定点；
(2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长；
(3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程.
【类型5 圆的切线长度最值（范围）问题】
25．（2026高二上·北京·阶段练习）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A． B． C． D．
26．（2026高二上·山东·期中）若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
27．（多选）（高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ）
A．的取值范围为
B．四边形面积的最小值为
C．存在点使
D．直线过定点
28．（2026高二上·陕西咸阳·期中）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 .
29．（2026高二上·安徽芜湖·期中）已知圆的方程为.
(1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；
(2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值.
30．（2026高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为4.
(1)求圆的标准方程；
(2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求的最小值.
【类型6 周长面积型最值（范围）问题】
31．（2026高二上·四川成都·阶段练习）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
32．（2026高二上·四川自贡·阶段练习）.已知点为直线上的动点，过P点作圆的切线，，切点为，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
33．（多选）（2026高二上·福建漳州·阶段练习）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线，切点分别是A、B，下列说法正确的有（ ）
A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为1
C．四边形面积的最小值为1 D．直线恒过定点
34．（2026高三上·全国·自主招生）圆O：，过点作两条互相垂直的动弦、，则四边形的面积的最大值为 .
35．（2026高二上·重庆·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，点，均在圆上，为圆上一动点（异于，两点）.
(1)求圆的标准方程；
(2)求面积的最大值.
36．（2026高二上·广东湛江·阶段练习）已知圆M过，两点，且圆心M在上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线上的动点，是圆M的两条切线，为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
【类型7 角度型最值（范围）问题】
37．（2026高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
38．（2026高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
39．（多选）（2026高二上·浙江杭州·阶段练习）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于 B．到直线的距离大于1
C．当最小时， D．当最大时，
40．（2026高二上·江苏扬州·期中）已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 .
41．（2026高一上·河南·期末）已知圆C过点，，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P在圆C上，点，M为AP的中点，O为坐标原点，求的最大值.
42．（2026高二上·重庆南岸·期中）已知，，为的三个顶点，圆Q为的内切圆，点P在圆Q上运动.
(1)求圆Q的标准方程；
(2)求以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值；
(3)若，，求的最大值.
【类型8 长度、距离型最值（范围）问题】
43．（2026高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
44．（2026高二上·安徽芜湖·期中）已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
45．（多选）（2026高二上·重庆江北·期中）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为5
46．（2026高三·上海·学业考试）已知实数满足，，则的最大值为 .
47．（2026高二上·云南昭通·阶段练习）已知圆的方程为．
(1)直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；
(2)点为圆上任意一点，求的最大值和最小值．
48．（2026高二上·辽宁·期末）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P是直线上的动点，Q是圆C上的动点，定点，求的最大值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 直线与圆中必考八类最值与范围问题（举一反三专项训练）
【类型1 斜率型、直线型最值（范围）问题】 2
【类型2 定点到圆上点的最值（范围）】 8
【类型3 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 12
【类型4 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 16
【类型5 圆的切线长度最值（范围）问题】 20
【类型6 周长面积型最值（范围）问题】 24
【类型7 角度型最值（范围）问题】 30
【类型8 长度、距离型最值（范围）问题】 36
知识点1 利用代数法的几何意义求最值
1．利用代数法的几何意义求最值
(1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题.
知识点2 与距离有关的最值问题
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论.
1．圆上的点到定点的距离最值问题
一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值.
2．圆上的点到直线的距离最值问题
已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：.
知识点3 弦长最值问题
1．过圆内定点的弦长最值问题
已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.
知识点4 切线长度最值问题
1．圆的切线长度最值问题
(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
知识点5 解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法
1．与圆有关的最值与范围问题的解题方法
(1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.
(2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解.
(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证.
(4)多与圆心联系，转化为圆心问题.
(5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解.
【类型1 斜率型、直线型最值（范围）问题】
1．（2026高二上·福建福州·期中）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】将问题转化为圆上的点与连线的斜率，利用圆的切线方程的求法可求得斜率的取值范围，进而得到最大值.
【解答过程】由得：，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
的几何意义为该圆上的点与连线的斜率，

当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切；
设过点的圆的切线为，即，
圆心到切线的距离，解得：，
，则的最大值为.
故选：C.
2．（2026高二上·四川南充·期中）已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（ ）
A．圆的半径为2 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为5
【答案】B
【解题思路】对于A：将圆化为标准方程，即可圆心和半径；对于B：分析可知直线与圆有公共点，结合点到直线的距离公式列式求解；对于C：设，可得，结合圆的性质求最值；对于D：分析可知直线与圆有公共点，结合点到直线的距离公式列式求解.
【解答过程】对于A：，
因此该圆的圆心为，半径为，故A错误；
对于B：因为点是圆：上的动点，
设，可知直线与圆有公共点，
则，解得，
因此的最大值为，故B正确；
对于C：因为，设，
则，
由圆的性质可知：的最小值为，
所以的最小值为，故C错误；
对于D： 令，
可知直线与圆有公共点，则，解得，
所以的最大值为6，故D错误；
故选：B.
3．（多选）（2026高二上·山西太原·期中）已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最大值为
【答案】ABD
【解题思路】根据斜率，两点间的距离，以及直线的纵截距的集合意义即可求解.
【解答过程】由圆可知，圆心为，半径为，
A选项，设，则，
当直线与圆相切时，有最值，则
，解得，则的最小值为，故A选项正确；
B选项，因为，表示圆上的点到距离的平方和，
故，则，故B选项正确；
C选项，当时，此时，故C选项错误；
D选项，令，则当直线与圆相切时有最值，
即，解得，所以的最大值为，故D选项正确；
故选：ABD.
4．（2026高二下·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 .
【答案】
【解题思路】确定圆心和圆的半径，再根据的几何意义数形结合即可得到的最小值的情况进而求解即可.
【解答过程】由得，
故圆的圆心为，半径为1，当时，，
当时，，
如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数，
令，即，则圆心到该直线的距离满足，
两边平方整理得，解得，故此时的最小值是，
又，故的最小值为.
故答案为：.
5．（2026高二上·海南海口·期末）已知点在圆上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值与最小值．
【答案】(1)最大值是，最小值为
(2)最小值，最大值．
【解题思路】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值．
（2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值．
方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值．
【解答过程】（1）

圆即为，
可得圆心为，半径为，
设，即，
则圆心到直线的距离，即，
平方得，解得：，
故的最大值是，最小值为，
（2）方法1：圆即为，
令，
则，
∵，∴，
∴的最大值为，最小值为．
方法2：设，则，
化简整理得到，
，解得，
故的最小值，最大值．
6．（2026高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点．
(1)求P点到直线的距离的最大值和最小值．
(2)求的最大值和最小值．
(3)求的最大值和最小值
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)最大值为，最小值为
(3)最大值为，最小值为
【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值；
（2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值；
（3）首先设，再转化为直线与圆有交点，
【解答过程】（1）圆心到直线的距离为．
∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为．
（2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点，
∴，解得，
则，即的最大值为，最小值为．
解法二：设，则，其中，
∴得，即的最大值为，最小值为．
（3）表示圆上的点与点连线的斜率为k，
设，即，直线与圆有交点，
设，
解得．
则，即的最大值为，最小值为．
【类型2 定点到圆上点的最值（范围）】
7．（2026高二上·辽宁·阶段练习）已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解题思路】先分析出直线过定点，然后分析出定点在圆外，从而得到最大值为圆心距加半径.
【解答过程】由，得，所以直线过定点，
由，知圆心坐标，半径为2，
所以到圆心的距离为，
所以在圆外，故的最大值为.
故选：C.
8．（2026高二上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，是直线上的一动点，是圆上一点，则当最小时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】作点关于直线的对称点，根据对称性可得最小值时的的坐标，求出其到圆心的距离，进而可得的最小值.
【解答过程】作点关于直线的对称点，易知，连接交于点，如下图所示：

显然此时三点共线，取得最小值；
易知直线的方程为；
联立，可得当时取等号，
易知的圆心为，半径；
所以的最小值为.
故选：A.
9．（多选）（2026高二上·浙江杭州·期中）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．的最大值为
D．圆心到直线的距离最大为4
【答案】BC
【解题思路】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答过程】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.
，是圆上的点，
所以的最大值为，A错误.
对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B正确.
对于C，设，
则，
等号成立当且仅当，所以C正确.
对于D，圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以D错误.
故选：BC.
10．（2026高二下·吉林延边·阶段练习）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解题思路】表示圆上的点到原点之间的距离，再结合点圆关系确定最值和范围即可求解.
【解答过程】圆的圆心，半径，
表示圆上的点到原点之间的距离，
因为，
所以原点在圆外，
，
所以，即，
即.
故答案为：.
11．（2026高二上·河南南阳·阶段练习）已知函数的图象与直线均过定点.
(1)若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程；
(2)若点是圆：上的动点，点满足，求的最大值.
【答案】(1)或；
(2)
【解题思路】（1）对直线在，轴上的截距是否为零进行分类讨论，可得结果；
（2）求得点的轨迹方程，再由圆上点到直线距离的最值计算即可.
【解答过程】（1）因为，所以定点.
因为直线在，轴上的截距相等，设截距分别为，，
当时，直线经过原点，设直线方程为，又经过点，
则有，直线的方程为；
当时，设直线的方程为，代入点，解得，
所以直线的方程为.
综上可得，直线的方程为或.
（2）设，，由，
可得，代入，
得即为点的轨迹方程，如下图所示：
圆心，半径，点在圆外，点到圆心的距离为
，
所以的最大值为.
12．（2026高二上·四川德阳·期中）已知圆关于轴对称，圆心在直线上，与轴相交的弦长为4.
(1)求圆的方程；
(2)若点是圆上的动点，动点与两个定点，的距离之比为2，求的最大值和最小值；
【答案】(1)
(2)的最大值为，最小值
【解题思路】（1）确定圆心半径即可求解圆的方程.
（2）求得点的轨迹方程，可求两圆上点间的距离的最大值与最小值.
【解答过程】（1）因为圆关于轴对称，所以圆心在轴上，又圆心在直线上，
所以圆心为直线直线与轴的交点，即，
因为与轴相交的弦长为4，所以，圆的方程：.
（2）设动点，因为动点与两个定点，的距离之比为2，
所以，所以
化简得，圆心为，半径为，
由（1）知圆的方程：，所以圆心，半径为.
两圆心，所以两圆相离，
所以的最大值为，
最小值；
【类型3 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】
13．（2026高二上·甘肃金昌·期中）已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解题思路】将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，根据圆心到直线的距离得到圆与直线的位置关系，进而求解.
【解答过程】因为圆可化为，
所以圆心坐标为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，
所以点到直线距离的最小值是.
故选：C.
14．（2026高三上·北京·阶段练习）已知动圆的半径为，其圆心到点的距离为2，点为圆上的一点，则点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】数形结合，利用点到直线的距离公式，可求点到直线距离的最大值.
【解答过程】如图：
点到直线的距离为：.
所以点到直线距离的最大值为：.
故选：D.
15．（多选）（2026高二上·山东青岛·阶段练习）已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆相离
B．当最大时，
C．点到直线的距离最大值为
D．点到直线的距离最小值为
【答案】BC
【解题思路】写出直线方程，根据圆心到该直线距离判定直线与圆位置，数形结合判断最大时的位置，即可判断各项的正误.
【解答过程】由题意，，即，
又的圆心为，半径为，
所以到的距离为，故直线与圆相交，A错；
要使最大，只需与圆相切，则，B对；
由A分析知，点到直线的距离，最大值为，最小值为，C对，D错.
故选：BC.

16．（2026高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点，点是圆上任意一点，则到直线距离的最小值为 .
【答案】
【解题思路】先求出直线的方程，再求出圆心到直线的距离，然后减去半径，即可求解.
【解答过程】因为，所以直线的方程为，即，
又圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
故到直线距离的最小值为.
故答案为：.
17．（2026高二上·陕西安康·阶段练习）已知点，线段是圆的一条直径.
(1)求圆的标准方程；
(2)点是圆上任意一点，求点到直线的最大距离.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】由直径的两个端点，求出圆心和半径即可；
先判断直线与圆的位置关系，再通过位置关系，求出圆上任意一点到直线距离的最大.
【解答过程】（1）因为，线段是为圆的直径，
所以圆心为线段的中点，圆心坐标为，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为：
（2）圆心到直线的距离，
所以圆与直线相离
所以圆上任意一点到直线的距离的最大值为：
18．（2026高二上·江苏南京·阶段练习）已知以点为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于另一点A，与y轴交于另一点B．
(1)求证：为定值
(2)设直线与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程．
(3)在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)的最小值为，
【解题思路】（1）由已知直接可得圆的方程，进而得点的坐标可得答案；
（2）由已知可得原点在线段的垂直平分线上，利用直线垂直求出可得答案；
（3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标.
【解答过程】（1）由题意可得圆的方程为，
整理得，
令得或，
令得或，可得，
所以；
（2）若，则原点在线段的垂直平分线上，
设线段的中点为，则三点共线，
的斜率，所以，
解得，可得圆的方程为；
（3）由（2）得圆，其半径为，，
设点关于直线对称点为，
则的中点坐标为，
且，解得，所以，
则，
又点到圆上点的最短距离为
，
则的最小值为，
此时直线的方程为即，
此时点即为直线与直线的交点，
由解得，
即点．
【类型4 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】
19．（2026高二上·北京·期中）已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】先判断出与圆的位置关系，然后根据圆心到直线的距离的最大值求解出弦长的最小值.
【解答过程】直线恒过定点，圆的圆心为，半径为，
又，即在圆内，
当时，圆心到直线的距离最大为，
此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为．
故选：A.
20．（2026高二上·山东菏泽·阶段练习）直线（其中）被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】求出直线过定点，根据圆的几何性质当定点与圆心连线垂直直线时，直线截得弦最短即可得解.
【解答过程】因为可化为，
所以直线恒过定点，
由圆知圆心，半径，
由圆的几何性质知，当与直线垂直时，直线被圆所截得弦最短，
此时弦长为,
故选：B.
21．（多选）（2026高二下·内蒙古通辽·期中）已知直线：和圆：，则（ ）
A．存在k使得直线与直线：垂直
B．直线恒过定点
C．直线与圆相交
D．直线被圆截得的最短弦长为
【答案】ACD
【解题思路】对于A：根据直线方程可得斜率，结合垂直关系分析判断；对于B：将直线方程化为，即可得定点；对于C：判断定点与圆的位置关系，即可判断直线与圆的位置关系；对于D：根据题意结合圆的性质分析求解.
【解答过程】由题意可知：圆：的圆心为，半径，
对A：因为直线：的斜率为，
当直线的斜率为时，此时直线与直线垂直，满足题意，A正确；
对B：由可得，，
令，解得，所以直线恒过定点，故B错误；
对C：因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线与圆O相交，C正确；
对D：直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，
此时直线被圆O截得的弦长最短为，D正确；
故选：ACD.
22．（2026高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆，直线与圆相交，则直线截圆的最短弦长为 ．
【答案】
【解题思路】由求出直线过的定点，进而可判断定点在圆内，所以直线被圆截得的弦长最短时，，由此即可求解．
【解答过程】将直线整理得，，
由得，，
则直线过定点，
由得，，圆心为，半径
因为，所以点在圆内部，
当直线截圆的弦长最短时，，
所以弦长为，
故答案为：．
23．（2026高二上·吉林·期中）已知直线，圆.
(1)证明：直线与圆相交.
(2)记直线与圆的交点为，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解题思路】（1）求出直线所过定点，判断该定点与圆的位置关系即可推理得证.
（2）利用圆的性质求出最短弦长.
【解答过程】（1）直线：，
令，解得，
则直线过定点，
圆的圆心，半径，
而，
因此点在圆的内部，
所以直线与圆相交.
（2）由（1）知，，当且仅当时，弦长最短，
所以的最小值为.
24．（2026高二上·内蒙古包头·期中）已知圆，直线.
(1)求证：直线恒过定点；
(2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长；
(3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程.
【答案】(1)证明见解析；
(2)当的方程为时最短；，最短弦长为；
(3)
【解题思路】（1）将直线的方程可化为，解方程组得定点坐标.
（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解.
（3）利用（2）的信息直接写出圆的方程.
【解答过程】（1）直线的方程可化为，由，解得，
所以直线恒过定点.
（2）圆的圆心，半径，
令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
直线的斜率为，由得直线的斜率为，解得
此时的方程为，即，
圆心到直线的距离为，最短弦长为
所以当的方程为时最短；，最短弦长为.
（3）由（2）知，以短弦长为直径的圆的圆心为，半径为，
所以以短弦长为直径的圆的方程.
【类型5 圆的切线长度最值（范围）问题】
25．（2026高二上·北京·阶段练习）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】由勾股定理可知当直线的点到圆的圆心距离最小时，此时切线长最小，然后计算即可.
【解答过程】由题可知圆的圆心，半径 ，
设直线的动点为，切点为
则切线长
所以要使切线长最小，则最小；
显然的最小值为到直线的距离为
所以此时切线长.
故选：A.
26．（2026高二上·山东·期中）若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】利用圆的几何性质，将化为，再求得两点间距离的最小值，进而求得的最小值.
【解答过程】圆的圆心，半径
四边形中，，
则，整理得，
又，
最小值即为圆心到直线的距离，
则
故选：D.
27．（多选）（高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ）
A．的取值范围为
B．四边形面积的最小值为
C．存在点使
D．直线过定点
【答案】ABD
【解题思路】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案.
【解答过程】圆心到直线的距离为，

所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得，
当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确；
因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确；
因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确；
对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦，
联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确；
故选：ABD.
28．（2026高二上·陕西咸阳·期中）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 .
【答案】
【解题思路】先确定圆的圆心和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线距离，结合得取得最小值时取得最小值和的最小值为即可求解.
【解答过程】圆的圆心坐标为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
因为，所以当取得最小值时，取得最小值，
而的最小值为，所以.
故答案为：.
29．（2026高二上·安徽芜湖·期中）已知圆的方程为.
(1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；
(2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值.
【答案】(1)或
(2)6
【解题思路】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，再由弦长公式求得结果；
（2）由切线长公式可知当最小，计算可得的最小值.
【解答过程】（1）圆的标准方程为.
①当斜率不存在时，直线的方程为，
直线截圆所得弦长为，符合题意；
②当斜率存在时，设直线，
圆心到直线的距离为
根据垂径定理可得，即，解得.
即直线的方程为或
（2）圆心.
因为与圆相切，所以.
当最小，所以.
可得.
30．（2026高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为4.
(1)求圆的标准方程；
(2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）设圆心，半径为，则圆方程为，通过弦长公式列方程求得值，即可得圆的方程；
（2）由，得点的轨迹方程，将的最小值转化为的最小值，即点到直线的距离为所求.
【解答过程】（1）因为圆心在上且与轴相切，
所以设圆心，半径为，
所以圆方程为，
又圆心到直线距离，
圆被直线截得弦长为4，
所以有：，解得，
所以圆方程为：；
（2）解法一：因为，又因为，所以，
设，则，即，
所以点轨迹方程为.
因为，
所以的最小值就是的最小值，
即为点到直线的距离，
所以的最小值为.
解法二：因为，又因为，所以，
设，则，即，，
，
当时，取得最小值：，
所以的最小值为.
【类型6 周长面积型最值（范围）问题】
31．（2026高二上·四川成都·阶段练习）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解题思路】写出面积表达式，从而得到当与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可.
【解答过程】由已知在以为直径的圆上，
所以，
又在圆上，
所以为圆的两条切线，
故
所以四边形面积，
圆的圆心坐标为，半径为，
所以，
所以，
而的最小值为点到直线的距离，此时与直线垂直，垂足为，
且点到直线的距离，
所以四边形面积的最小值为.
故选：B.
32．（2026高二上·四川自贡·阶段练习）.已知点为直线上的动点，过P点作圆的切线，，切点为，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】先求出圆心到直线的距离，确定动点到圆心的最短距离，从而得出切线长进而求出的周长表达式，再根据函数单调性求出最小值.
【解答过程】设圆心到直线的动点的距离为，
根据点到直线距离公式，.
因为，是圆的切线，所以（其中）.
又因为是直角三角形，由勾股定理可得，即.
的周长为.
因为是圆的弦，且和全等，所以.
根据三角形面积公式，（其中是圆的半径），
可得，所以，
则的周长.
因为与均在上单调递增，
所以当时，周长取得最小值. 最小值为.
故选：A.
33．（多选）（2026高二上·福建漳州·阶段练习）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线，切点分别是A、B，下列说法正确的有（ ）
A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为1
C．四边形面积的最小值为1 D．直线恒过定点
【答案】BCD
【解题思路】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可判断B，由题可得四边形面积为，可判断C，由题可知点，，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线的方程，即可判断D．
【解答过程】对于A，由圆，可知圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
圆上的点到直线的最小和最大距离分别为和，
由于，圆上有两个点到直线的距离距离为，故A错误；
对于B，由圆的性质可得切线长，
所以当最小时，有最小值，又，
，故B正确；
对于C，因为四边形面积为，
所以四边形面积的最小值为1，故C正确；
对于D，设，由题可知点，，在以为直径的圆上，又，
所以，即，
又圆，即，
两式子相减得：直线的方程为：，即，
由，得，即直线恒过定点，故D正确．
故选：BCD.
34．（2026高三上·全国·自主招生）圆O：，过点作两条互相垂直的动弦、，则四边形的面积的最大值为 .
【答案】28
【解题思路】过点作的垂线，垂足为，作的垂线，垂足为，构造直角三角形求出四边形的对角线长度，则四边形面积为对角线乘积的一半，结合基本不等式即可求解.
【解答过程】过点作的垂线，垂足为，作的垂线，垂足为，如图所示：
设，
则，且，
则四边形的面积
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以四边形的面积的最大值为28.
故答案为：28.
35．（2026高二上·重庆·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，点，均在圆上，为圆上一动点（异于，两点）.
(1)求圆的标准方程；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）在直线上设圆心坐标，利用求出未知数，得到圆心，将方程的解代入求得半径，然后写出圆的方程；
（2）作图得当面积最大时，点到底边距离最大，即当时，面积最大，由点到直线距离求出的值，然后求线段，由三角形面积公式求得三角形面积.
【解答过程】（1）由题可设圆心，则，
即，解得，即，
∴，
∴圆.
（2）当点到底边距离最大时面积最大时，
如图：
所以当时，面积最大，
因为直线，圆心到直线的距离
，
∴面积最大值为：.
36．（2026高二上·广东湛江·阶段练习）已知圆M过，两点，且圆心M在上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线上的动点，是圆M的两条切线，为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由圆心M在上可设，圆的半径为，根据圆所过两点的坐标列出方程组求出圆心和半径，即可得出圆的方程；
（2）根据题中条件，得到与全等，则四边形面积为，进而可求出结果.
【解答过程】（1）由题意，因为圆心在上，所以可设，
设圆的半径为，
又圆过，两点，
所以，解得，则圆心为，
所以圆的方程为；
（2）因为是圆的两条切线，为切点，
所以，，因此与全等，
又点到直线的距离为，
则直线与圆相离，
所以四边形面积
，
当且仅当与直线垂直时，四边形的面积最小，最小值为.

【类型7 角度型最值（范围）问题】
37．（2026高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】判定直线与的位置关系，利用圆的切线长定理，结合三角函数求出最小值.
【解答过程】依题意，：的圆心，半径为2，
圆心到直线的距离为，即直线与相离，
则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大，
又，则最大，即最大，此时最小，
而，则，
所以的最小值为.
故选：D.
38．（2026高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】由圆的方程求得其圆心和半径，求出圆心到直线l的距离，确定当时，取最大值，结合，求出，结合圆的切线性质，即可求得答案.
【解答过程】圆的标准方程为，圆心，半径，
圆心到直线的距离为，即l与圆相离，
由于，故，

故当时，最小，此时最大，则也取最大值，
此时，，
故选：C.
39．（多选）（2026高二上·浙江杭州·阶段练习）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于 B．到直线的距离大于1
C．当最小时， D．当最大时，
【答案】BCD
【解题思路】先求出直线的方程，圆心和半径.利用几何法求出点到直线的距离的范围，判断A、B；判断出当过的直线与圆相切时,满足最小或最大，利用勾股定理求出，可判断C、D.
【解答过程】因为点、，所以过的直线方程为即.
圆的圆心坐标为，半径.
因为圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离的范围为.
因为,所以.
因为,所以.
所以点到直线的距离不一定小于7,但一定大于1，故A错误, B正确.
如图,
当过的直线与圆相切时,满足最小或最大(点位于时最小,位于时最大),此时,
所以,故C、D正确.
故选：BCD.
40．（2026高二上·江苏扬州·期中）已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 .
【答案】
【解题思路】先根据题意求出点的轨迹，然后再用点的坐标表示，然后建立方程组，求解即可.
【解答过程】设，，
所以有，
因为点在圆上，
所以有，
显然，得，
故联立，得，
由题可知方程有解，
得，解得.
因为，所以的最大值为.
故答案为：.
41．（2026高一上·河南·期末）已知圆C过点，，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P在圆C上，点，M为AP的中点，O为坐标原点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）设圆的方程为：，将、，两点坐标代入圆的一般方程，将圆心代入，得出关于的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的一般方程.
（2）设，，计算出点的轨迹方程，得到其轨迹方程为，分析出OM与圆相切时最大，计算即可得到答案.
【解答过程】（1）设圆的方程为：，
则有，解得．
∴圆的方程为：．
（2）由（1）知圆，
设，，
则，所以
又P在圆上，

所以，
所以，
即M的轨迹方程为.
数形结合易知，当OM与圆相切时，取最大值，
此时，
.
所以的最大值为.
42．（2026高二上·重庆南岸·期中）已知，，为的三个顶点，圆Q为的内切圆，点P在圆Q上运动.
(1)求圆Q的标准方程；
(2)求以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值；
(3)若，，求的最大值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
(3)
【解题思路】（1）先判断出为直角三角形，利用面积关系求出内切圆的半径，结合图形求出圆心坐标，然后可得圆Q的标准方程；
（2）设，利用两点间的距离公式和圆的面积公式将圆的面积之和表示为的函数，根据可求出结果；
（3）根据对称性，只研究P点在x轴上方，即的情况，此时先求出的最大值，然后根据同角公式可出的最大值.
【解答过程】（1）因为，，，所以为直角三角形，如图：
设的内切圆的半径为，
由 得 ，
由图可知，圆心为，所以圆.
（2）设，，
，
，
，
，
因为，所以，
所以以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值分别为，.
（3）设，则，
根据对称性，只研究P点在x轴上方，即的情况，
当垂直x轴时，，，
当垂直x轴时，，，
当和都不垂直轴时，，，
，
因为为点与的斜率，
如图：
由图可知，当直线与圆相切时，取得最小值，
设直线： ，即 ，
则，结合，得，
所以，，
因为，所以，
由于，所以当取最大值时，取最大值，取最大值，
所以.
【类型8 长度、距离型最值（范围）问题】
43．（2026高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值.
【解答过程】，
圆心，半径，
过定点，
过定点，且⊥，
如图，设和中点分别为F、G，则四边形为矩形，

设，，则，
则＝
，当且仅当即时取等号.
故选：B.
44．（2026高二上·安徽芜湖·期中）已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】由题设知，.设为的中点，所以.求出点的轨迹方程.设点到直线的距离分别为，求出，得到.求出点到直线的距离，得出的范围即可解决.
【解答过程】由题设知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以.
设为的中点，所以.所以点的轨迹方程为.
其轨迹是以为圆心，半径为的圆.
设点到直线的距离分别为，
所以，
所以.
因为点到直线的距离为，
所以，即，
所以.所以的取值范围为.
故选：A.
45．（多选）（2026高二上·重庆江北·期中）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为5
【答案】BCD
【解题思路】先根据圆的一般方程配方成标准方程确定圆心、半径，再逐项分析各个式子的几何意义即可求解.
【解答过程】因为，所以，
表示圆心为半径为的圆，设，
对于A，表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，令，则，
所以当直线与圆相切于第一象限时，最大，此时，
所以，所以的最大值为，A错误；
对于B，表示圆上点到坐标原点距离的平方，
所以有，B正确；
对于C，设，所以，当直线与圆相切时，
取得最大或最小值，此时，圆心到直线的距离为半径，则，
解得，故，C正确；
对于D，表示圆上点到直线距离的倍，
圆心到直线距离为，
所以圆上点到直线的最大距离为,
所以，D正确.
故选：BCD.
46．（2026高三·上海·学业考试）已知实数满足，，则的最大值为 .
【答案】
【解题思路】设圆，直线，，，求出的大小，求出中点的轨迹方程，表示和到直线的距离和，数形结合即可求出其最大值．
【解答过程】设圆，直线，，，
则，都在圆上，
∵，
，
∴是等边三角形，∴．
过和作直线的垂线，垂足分别为
则表示和到直线的距离和，
由图形得只有当、都在直线的下方时，该距离之和才会取得最大值．
取的中点，过作，垂足为，则，
∵为等边三角形，为的中点，∴，
则在圆上运动，
又到直线的距离为，
则当时，到直线距离的最大值为，
∴的最大值为，
即的最大值为.
故答案为：.
47．（2026高二上·云南昭通·阶段练习）已知圆的方程为．
(1)直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；
(2)点为圆上任意一点，求的最大值和最小值．
【答案】(1)或；
(2)最大值为，最小值为.
【解题思路】（1）求出圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出对应的直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程；
（2）取点，则，数形结合可得出的最大值和最小值，即可得解.
【解答过程】（1）解：圆的圆心为坐标原点，半径为，
设圆心到直线的距离为，则.
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
（2）解：取点，则，
如下图所示，设直线交圆于点、，
由图可知，当点与点重合时，取最小值，且，
当点与点重合时，取最大值，且.
因此，的最大值为，最小值为.
48．（2026高二上·辽宁·期末）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P是直线上的动点，Q是圆C上的动点，定点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)15
【解题思路】（1）根据圆的几何性质求得圆心坐标和半径，进而求得圆的标准方程.
（2）利用点关于直线对称点以及三点共线来求得的最大值.
【解答过程】（1）依题可设圆心C的坐标为，
因为，所以，
解得，
则圆心C的坐标为，圆C的半径，
故圆C的标准方程为．
（2）因为，所以．
设点关于直线对称的点为，
则，
解得，即．
因为，所以，
当且仅当P，C，三点共线时，等号成立．
又，所以的最大值为15．
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