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专题2.1 圆的方程（举一反三讲义）
【题型1 求圆的标准方程】 1
【题型2 求圆的一般方程】 3
【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】 5
【题型4 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 6
【题型5 二元二次方程表示圆的条件】 8
【题型6 圆过定点问题】 9
【题型7 点与圆的位置关系】 12
【题型8 轨迹问题——圆】 14
【题型9 与圆有关的对称问题】 16
知识点1 圆的方程
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径).
圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F.
【题型1 求圆的标准方程】
【例1】（2026高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】设出圆的标准方程，根据条件列出方程组，进而求解即可.
【解答过程】由题知，设圆的标准方程为，
则，解得，
所以圆的标准方程为.
故选：C.
【变式1-1】（2026高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】设圆的标准方程是，将代入求解即可.
【解答过程】解：由题意设圆的标准方程是，
因为圆经过两点，
所以，解得，
所以圆的标准方程是，
故选：A.
【变式1-2】（2026高二上·海南·阶段练习）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】设出的外接圆方程，将，，代入即可求解.
【解答过程】设的外接圆方程为，
所以，解得，
所以外接圆的方程为.
故选：.
【变式1-3】（2026高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程.
【解答过程】由在圆上，故圆心在直线上，
由在圆上，故圆心在直线上，
即圆心，半径，
故方程为.
故选：A.
【题型2 求圆的一般方程】
【例2】（2026高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解.
【解答过程】已知、，则中点坐标为即.
，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为.
所以圆的标准方程为，展开可得，
整理得.
故选：B.
【变式2-1】（2026高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可.
【解答过程】设的外接圆方程为，
因为，，，
所以，解得，
所以的外接圆方程为.
故选：D.
【变式2-2】（2026高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程.
【解答过程】设圆的方程为，
由题意知,圆过点，和，
所以，解得，
所以所求圆的方程为.
故选：A.
【变式2-3】（2026高二上·全国·课后作业）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据题意，利用两点间的距离公式求得圆的半径，写出圆的标准方程，进而得到圆的一般方程，得到答案.
【解答过程】由题意得，圆的半径，
所以圆的方程为，
所以圆的一般方程为.
故选：C.
【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】
【例3】（2026高二上·福建泉州·期中）圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和2 D．和
【答案】C
【解题思路】将方程化为圆的标准方程，即可得圆心和半径.
【解答过程】由，得，故圆心坐标为，半径为2.
故选：C.
【变式3-1】（2026高二上·天津·阶段练习）圆的圆心和半径分别是（ ）
A．；1 B．； C．；1 D．；
【答案】D
【解题思路】首先化简为圆的标准方程，再求圆心和半径.
【解答过程】将圆的方程化为标准方程为，
所以圆心为，半径为.
故选：D.
【变式3-2】（2026高二上·江苏连云港·期中）已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】先设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径.
已知圆过，，三点，将这三点分别代入圆的标准方程，得到三个方程，联立求解就可以得到圆心坐标和半径.
【解答过程】设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径.
将，代入，得到，
展开整理可得，.
将，代入，得到，
展开整理可得，.
将，代入，得到，
展开整理可得，.
三个式子联立解得，，，.
则所以圆心坐标为，半径为.
故选：D.
【变式3-3】（2026高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆：，则圆心的坐标和半径分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解题思路】根据圆一般方程与标准方程的互化即可求解.
【解答过程】由题意知，圆的标准方程为,
所以圆心坐标为，半径.
故选：C.
【题型4 圆的一般方程与标准方程之间的互化】
【例4】（2026高二上·山西晋城·期中）圆心为点，半径的平方为5的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】利用圆的标准方程化到一般方程，再作选择即可.
【解答过程】圆心为点，半径的平方为5的圆的标准方程为，
展开化为一般方程为．
故选：B．
【变式4-1】（2026高二上·江苏泰州·期中）圆不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解题思路】把圆的方程化为标准方程，得出圆心和半径，作出图形，可得出结论．
【解答过程】圆化为(，
表示圆心为，半径为5的圆，如图所示：
所以，圆不经过第三象限．
故选：C．
【变式4-2】（2026高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解.
【解答过程】因为，，则的中点为，且，
所以为直径的圆的方程为，即，
故选：A.
【变式4-3】（2026高二上·安徽阜阳·期中）已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即可得解.
【解答过程】由，化简可得，
则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得，
故实数的取值范围是．
故选：A.
知识点2 二元二次方程与圆的方程
1．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程（D2+E2-
4F>0），我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是.
【题型5 二元二次方程表示圆的条件】
【例5】（2026高二上·江苏泰州·阶段练习）若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据圆的一般方程满足，列式运算得解.
【解答过程】因为方程表示圆，
所以，解得.
所以实数的取值范围为.
故选：C.
【变式5-1】（2026高二上·江苏盐城·阶段练习）方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由表示圆，则，求解的取值范围即可.
【解答过程】将方程，化成：，
要使方程表示一个圆，
则，即，
故选：B.
【变式5-2】（2026高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】若二元二次方程表示圆，则必须满足.
【解答过程】由，
得，
即,
解得
故选：
【变式5-3】（2026高二上·江苏南通·阶段练习）设，若方程表示关于直线对称的圆，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】利用方程表示圆的充要条件列式，结合圆心在直线上求解即得.
【解答过程】由方程表示圆，得，
圆的圆心为，又此圆关于直线对称，则，即，
因此，解得或，
所以的取值范围为.
故选：B.
【题型6 圆过定点问题】
【例6】（2026高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.
【解答过程】圆的方程化为，
由得或，
故圆恒过定点．
故选：D．
【变式6-1】（2026高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【解题思路】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【解答过程】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.
故选：D.
【变式6-2】（2026高二·全国·专题练习）已知曲线：．
(1)当取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论为何值，曲线必过两定点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
【解题思路】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；
（2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得.
【解答过程】（1）当时，方程为表示一条直线．
当时，，
整理得，
由于，
所以时，方程表示圆.
（2）证明：方程变形为，
由于取任何值，上式都成立，则有，
解得或，
所以曲线必过定点，，
即无论为何值，曲线必过两定点．
【变式6-3】（2026高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点.
(1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程；
(2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标.
【答案】(1)；
(2)定点坐标为，证明见解析.
【解题思路】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解；
（2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论
【解答过程】（1）当，，故，，
所以此时圆的标准方程为.
（2）设点是圆上任意一点，
因为是圆的直径，所以，
即，
所以圆的方程为：，
则，，等式恒成立，定点为，
所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为.
知识点3 点与圆的位置关系
1．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
位置关系 判断方法
几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程)
点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
点在圆内 |MA|点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
【题型7 点与圆的位置关系】
【例7】（2026高二上·海南·期中）若点在圆外，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】由题意可求出，将圆化为标准方程则，即可得出答案.
【解答过程】因为点在圆外，
所以，则.
又因为圆化为标准方程可得：，
所以，则，解得：或.
所以的取值范围为：.
故选：D.
【变式7-1】（2026高二上·山东·期中）已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解题思路】根据方程表示圆得，根据原点不在圆内得，解得的取值范围，再逐项判断即可.
【解答过程】依题意，方程表示圆，则，解得.
因为坐标原点不在圆的内部，所以.
综上所述，，结合选项可知A符合题意.
故选：A.
【变式7-2】（2026高二上·江苏常州·阶段练习）已知点是圆外的一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据和点在圆外得到不等式，求出的取值范围.
【解答过程】由题意得且，解得.
故选：D.
【变式7-3】（2026高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解.
【解答过程】由题意得，圆的标准方程为，
故，，
又点在圆外，所以，
，或，
所以m的取值范围为．
故选：D.
知识点4 轨迹方程
1．轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).
(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.
2．求轨迹方程的步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；
(2)列出关于x,y的方程；
(3)把方程化为最简形式；
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；
(5)作答.
【题型8 轨迹问题——圆】
【例8】（2026高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解.
【解答过程】设线段中点，则在圆上运动，
，即．
故选：A.
【变式8-1】（2026高二上·重庆渝中·期中）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】设出中点的坐标，利用中点坐标公式表示出点的坐标，代入圆的方程，化简即可.
【解答过程】设线段的中点，则，故，
化简得，即线段的中点的轨迹方程为.
故选：A.
【变式8-2】（2026高二上·云南文山·期末）点，点是圆上的一个动点，则线段PQ的中点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据题意可设点，PQ中点，利用M和Q的关系得到，再通过点是圆上的一个点，代入圆方程化简即为的轨迹方程。
【解答过程】设，PQ中点，
∴，即，
又∵点是圆上的一个点，
∴，化简得，
∴的轨迹方程为.
故选：A.
【变式8-3】（2026高二上·辽宁辽阳·期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据题意结合两点间距离公式运算求解即可.
【解答过程】因为，即，
则，整理可得．
故选：C.
知识点5 与圆有关的对称问题
1．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
【题型9 与圆有关的对称问题】
【例9】（2026高二上·重庆·期中）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】设对称圆的圆心，解方程组即得解.
【解答过程】圆的圆心为，设对称圆的圆心为，
依题意得，解得，
又圆的半径与对称圆的半径相等，
所以对称圆的方程为.
故选：D.
【变式9-1】（2026高二上·陕西榆林·期中）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】根据对称的性质，得到直线过的中点且与垂直，结合垂直的斜率结论可解.
【解答过程】圆的圆心为，
圆的圆心为，所以线段的中点坐标为，
又，则，
所以直线的方程为，即.
故选：D.
【变式9-2】（2026高二上·全国·单元测试）已知圆C过点.
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C关于直线对称圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）设圆的一般方程，代入点，得到方程组，解出即可；
（2）设所求圆的圆心为，根据点关于直线的对称得到关于的方程，解出即可.
【解答过程】（1）设圆C：，其中，
则，解得，
所以圆C的一般方程是：，
化为标准方程是：.
（2）设所求圆的圆心为，由（1）知圆的圆心，
则由已知得，解得，
故圆C关于直线对称圆的方程为.
【变式9-3】（2026高二下·安徽·开学考试）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程．
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，再转化为圆的标准方程即可；
（2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程．
【解答过程】（1）解：设圆C的方程为，
已知圆的圆心在直线上，且圆过点，，
则，解得，
即圆C的方程为，
∴圆C的标准方程为．
（2）解：由（1）得圆C的圆心，半径，
设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称，
则有，解得，即．
∴圆的标准方程为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.1 圆的方程（举一反三讲义）
【题型1 求圆的标准方程】 1
【题型2 求圆的一般方程】 2
【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】 3
【题型4 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 3
【题型5 二元二次方程表示圆的条件】 4
【题型6 圆过定点问题】 4
【题型7 点与圆的位置关系】 6
【题型8 轨迹问题——圆】 6
【题型9 与圆有关的对称问题】 7
知识点1 圆的方程
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径).
圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F.
【题型1 求圆的标准方程】
【例1】（2026高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2026高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2026高二上·海南·阶段练习）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2026高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型2 求圆的一般方程】
【例2】（2026高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2026高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2026高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2026高二上·全国·课后作业）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】
【例3】（2026高二上·福建泉州·期中）圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和2 D．和
【变式3-1】（2026高二上·天津·阶段练习）圆的圆心和半径分别是（ ）
A．；1 B．； C．；1 D．；
【变式3-2】（2026高二上·江苏连云港·期中）已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2026高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆：，则圆心的坐标和半径分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【题型4 圆的一般方程与标准方程之间的互化】
【例4】（2026高二上·山西晋城·期中）圆心为点，半径的平方为5的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2026高二上·江苏泰州·期中）圆不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式4-2】（2026高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2026高二上·安徽阜阳·期中）已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
知识点2 二元二次方程与圆的方程
1．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程（D2+E2-
4F>0），我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是.
【题型5 二元二次方程表示圆的条件】
【例5】（2026高二上·江苏泰州·阶段练习）若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2026高二上·江苏盐城·阶段练习）方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2026高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2026高二上·江苏南通·阶段练习）设，若方程表示关于直线对称的圆，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 圆过定点问题】
【例6】（2026高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2026高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式6-2】（2026高二·全国·专题练习）已知曲线：．
(1)当取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论为何值，曲线必过两定点．
【变式6-3】（2026高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点.
(1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程；
(2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标.
知识点3 点与圆的位置关系
1．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
位置关系 判断方法
几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程)
点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
点在圆内 |MA|点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
【题型7 点与圆的位置关系】
【例7】（2026高二上·海南·期中）若点在圆外，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2026高二上·山东·期中）已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式7-2】（2026高二上·江苏常州·阶段练习）已知点是圆外的一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2026高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
知识点4 轨迹方程
1．轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).
(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.
2．求轨迹方程的步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；
(2)列出关于x,y的方程；
(3)把方程化为最简形式；
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；
(5)作答.
【题型8 轨迹问题——圆】
【例8】（2026高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】（2026高二上·重庆渝中·期中）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2026高二上·云南文山·期末）点，点是圆上的一个动点，则线段PQ的中点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2026高二上·辽宁辽阳·期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
知识点5 与圆有关的对称问题
1．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
【题型9 与圆有关的对称问题】
【例9】（2026高二上·重庆·期中）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-1】（2026高二上·陕西榆林·期中）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-2】（2026高二上·全国·单元测试）已知圆C过点.
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C关于直线对称圆的方程.
【变式9-3】（2026高二下·安徽·开学考试）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程．
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