资源简介

专题2.2 直线与圆的位置关系（举一反三讲义）
【题型1 判断直线与圆的位置关系】 2
【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 3
【题型3 圆的切线长问题】 5
【题型4 圆的切线方程的求解】 7
【题型5 求圆的弦长与中点弦】 9
【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 11
【题型7 直线与部分圆的相交问题】 13
【题型8 直线与圆有关的最值问题】 15
【题型9 直线与圆的实际应用】 19
知识点1 直线与圆的位置关系及判定
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
位置 相交 相切 相离
交点个数 两个 一个 零个
图形
d与r的关系 dr
方程组解的情况 有两组不
同的解 仅有一组解 无解
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.
【题型1 判断直线与圆的位置关系】
【例1】（2026高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关
【答案】A
【解题思路】根据圆心在直线上，判断得解.
【解答过程】由题可得，圆心为，又点满足直线方程，
即直线经过圆心，
所以直线与圆相交.
故选：A.
【变式1-1】（2026高二上·重庆·期末）直线l：与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
【答案】A
【解题思路】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案.
【解答过程】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为，
圆心到直线l的距离为，
所以直线l与圆C的位置关系是相交.
故选：A.
【变式1-2】（2026高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离
【答案】B
【解题思路】根据点在圆外求出、的关系，再求圆心到直线的距离，从而判断直线与圆的位置关系.
【解答过程】因为点在圆外，所以.
圆的圆心坐标为，半径.
根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离.
由，可得，则，即圆心到直线的距离.
所以直线与圆的位置关系是相交.
故选：B.
【变式1-3】（2026高二上·陕西西安·期中）如果，那么直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【答案】C
【解题思路】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断.
【解答过程】因为圆的圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
即直线与圆相离.
故选：C.
【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】
【例2】（2026高二上·广东深圳·期末）若直线与圆相切，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解题思路】利用直线和圆相切的条件及点线距离公式列方程可得答案.
【解答过程】因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得.
故选：A.
【变式2-1】（2026高二上·上海闵行·阶段练习）“”是直线与圆相交的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要
【答案】A
【解题思路】根据直线与圆相交的判定方法，以及充分条件和必要条件的定义分别判断即可.
【解答过程】当时，直线为，即，显然此时直线和圆相交，
当直线与圆相交时，
圆心到直线的距离，
化简得，显然恒成立，故不能推出.
所以“”是直线与圆相交的充分非必要条件.
故选：A.
【变式2-2】（2026高二上·四川成都·期末）若圆与直线只有一个公共点，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解题思路】根据给定条件可知直线是已知圆的切线，由点到直线距离公式求解即得.
【解答过程】因圆与直线只有一个公共点，
则直线与圆切线，圆心到该直线距离为半径1，
即，而，则有，
所以的值为2.
故选：C.
【变式2-3】（2026高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解题思路】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解.
【解答过程】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上，
∴，且，
∴，即，
∴直线，
∵圆，即，
∴圆心，半径，且，
∴圆心到直线的距离，
∵直线与圆相离，
∴，即，又，解得.
故选：C.
知识点2 圆的切线及切线方程
1．自一点引圆的切线的条数：
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程：
(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
(2)重要结论：
①经过圆上一点P的切线方程为.
②经过圆上一点P的切线方程为.
③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.
【题型3 圆的切线长问题】
【例3】（2026高二上·广西梧州·阶段练习）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A．6 B． C． D．3
【答案】B
【解题思路】根据圆的方程，结合圆的切线的性质进行求解即可.
【解答过程】，圆的半径为，
所以，
故选：B.
【变式3-1】（2026高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据条件，得到圆心为，半径为，从而得到，，再利用等面积法，即可求出结果.
【解答过程】因为，即，故圆心为，半径为，
又，所以，故切线长，
由，得到，
故选：C.
【变式3-2】（2026高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】A
【解题思路】将圆的方程化为标准形式，求出点到圆心的距离，结合勾股定理即可得解.
【解答过程】圆即圆的圆心半径分别为，
点到圆心的距离为，
所以点向圆引的切线长是.
故选：A.
【变式3-3】（2026高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【解题思路】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离.
【解答过程】对于圆，其圆心坐标为，半径.
根据点到直线的距离公式，
则.
根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径.
由勾股定理，当取最小值时，最小，
此时.
故选：B.
【题型4 圆的切线方程的求解】
【例4】（2026高二上·湖北·期中）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】求出圆心坐标，利用圆的切线性质求出切线的斜率即可得切线方程.
【解答过程】圆的圆心，直线的斜率，
因此圆在点P处的切线方程为，即.
故选：D.
【变式4-1】（2026高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】由题意点在圆上，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解.
【解答过程】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足，
这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为，
所以该切线方程为，化为一般式得.
故选：B.
【变式4-2】（2026高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解题思路】分切线斜率存在与不存在讨论即可.
【解答过程】，则圆心坐标为，半径为2，
由于，可知点在圆外，
当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则，解得，此时直线方程为，即.
综上所述，切线方程为：或.
故选：D.
【变式4-3】（2026高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可.
【解答过程】将代入圆方程得，则该点在圆外，
，即，则其圆心为，半径为1，
当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去，
则设切线方程为：，即，
则有，解得，此时切线方程为.
故选：C.
知识点3 圆的弦长
1．圆的弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
2．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d
为圆心到直线的距离；
②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；
③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.
(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题
解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
【题型5 求圆的弦长与中点弦】
【例5】（2026高二上·浙江杭州·阶段练习）直线被圆所截得的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】求出圆心到直线的距离，再根据半径为5，利用弦长公式求得弦长．
【解答过程】圆心到直线的距离为，圆的半径，
故弦长为，
故选：C．
【变式5-1】（2026高二上·陕西榆林·阶段练习）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解题思路】先求出圆的圆心和半径，再运用点到直线距离公式和勾股定理即可.
【解答过程】由题意得圆心到直线的距离为，
故直线被圆 截得的弦长为.
故选：B.
【变式5-2】（2026高二上·重庆江北·期中）若直线与圆交于两点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解题思路】根据“几何法”求圆的弦长.
【解答过程】因为：圆：，所以圆心 ，圆的半径.
圆心到直线的距离：，所以.
故选：D.
【变式5-3】（2026高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解题思路】由题计算可得直线过定点，则当时，有最小，借助垂径定理计算即可得.
【解答过程】直线可化为：，令，，则，，
所以直线过定点，设，
由圆可得圆心，半径，
则，则当时，最小，
此时.
故选：B.
【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】
【例6】（2026高二上·河南濮阳·期中）已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解题思路】根据弦长，利用垂径定理求出圆心到直线的距离.然后分直线斜率存在与不存在两种情况来求直线的方程.
【解答过程】已知弦长，半径.根据垂径定理知圆心到直线的距离为.
把，代入可得.
当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，
所以直线斜率不存在时不满足条件.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
根据点到直线距离公式，由圆心到直线的距离，
可得.对进行求解.
两边平方得，展开得. 解得或.
当时，直线的方程为，即.
当时，直线的方程为，即.
故选：A.
【变式6-1】（2026高二上·四川成都·阶段练习）已知直线 与圆 交于A、B两点，若 则a=（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由条件得到点到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求解.
【解答过程】由题知,是等腰直角三角形，
由及勾股定理得点到直线的距离是，
故，解得.
故选：B.
【变式6-2】（2026高二上·山东·阶段练习）直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式的逆运用计算半径即可.
【解答过程】点到直线的距离为，
所以圆C的半径为，
则圆C的方程为.
故选：A.
【变式6-3】（2026高二上·广西南宁·阶段练习）直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】由弦长为，可得到距离为1，据此可得答案.
【解答过程】由题可得圆圆心为，半径为2，
设到距离为d，因直线被圆所截弦长为，
则，
则.
故选：D.
【题型7 直线与部分圆的相交问题】
【例7】（2026高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点，然后结合图形得到直线在之间，最后计算即可.
【解答过程】曲线可整理为，，
所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下：
直线表示过点的直线，
如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点，
与半圆相切，则，解得，
经过点，则，解得，
所以.
故选：B.
【变式7-1】（2026高二上·河北·阶段练习）若直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】结合题设易得直线为恒过点的直线，曲线表示以为圆心，1为半径的半圆（轴及其下方），进而结合图象求解即可.
【解答过程】由，得，
则曲线表示以为圆心，1为半径的半圆（轴及其下方），如图，
直线为恒过点的直线，
结合图形可知，当直线与圆相切于点时，斜率取得最小值，此时；
当直线与圆相交于点时，斜率最大，此时，
综上所述，所以实数的取值范围是.
故选：D.
【变式7-2】（2026高二上·天津·期中）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由曲线表示的几何图形，借助直线与圆的位置关系求出范围.
【解答过程】曲线，即表示以原点为圆心，1为半径的上半圆（含端点），
在坐标平面内作出半圆及直线，
当直线与半圆相切时，且，则，
当直线过点时，，即，此时该直线与半圆有一个公共点，
当直线在直线与之间平行移动时，直线与半圆始终有公共点，
此时直线的纵截距在到之间，
当直线在直线与所夹区域外移动时，该直线与半圆无公共点，
所以直线与曲线有公共点，.
故选：B.
【变式7-3】（2026高二·全国·课后作业）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】分和去掉的绝对值，作出直线与曲线的图象，根据图象求解.
【解答过程】当时，曲线为（），
表示以为圆心，1为半径的圆的右半圆；
当时，曲线为（），
表示以为圆心，1为半径的圆的左半圆；
所以曲线的图象如图所示：
当直线位于与之间或与之间时，
直线与曲线有两个不同的交点，
当直线位于时，直线与圆相切，
则，解得；
当直线位于时，；
直线位于与之间时，.
同理可得，直线位于与之间时，.
综上，实数的取值范围是.
故选：C.
【题型8 直线与圆有关的最值问题】
【例8】（2026高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】判定直线与的位置关系，利用圆的切线长定理，结合三角函数求出最小值.
【解答过程】依题意，：的圆心，半径为2，
圆心到直线的距离为，即直线与相离，
则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大，
又，则最大，即最大，此时最小，
而，则，
所以的最小值为.
故选：D.
【变式8-1】（2026高二上·重庆·期中）圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解题思路】的最小值满足四边形的面积最小，可转化为当最小时满足条件，根据点到直线的距离公式计算，求出，可计算结果.
【解答过程】圆的圆心，半径为，
如图所示： ，
当最小时四边形面积最小，因为，所以当四边形面积最小时最小，
，
所以只需直线上的动点到的距离最小即可，其最小值为圆心到直线的距离，
此时，
.
故选：B.
【变式8-2】（2026高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆被轴截得的弦长为，点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和．
(1)求的值；
(2)求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据弦长和圆心到直线的距离可求得半径，利用半径可求的值.
（2）利用几何特征可得，问题转化为求的最小值，利用点到直线的距离可得结果.
【解答过程】（1）
如图，设圆与轴交于两点，则，
过点作于点，连接，则，
∴，即圆半径为，
∴圆标准方程为，化为一般方程为，
∴.
（2）
如图，连接.
由题意得，，与全等，
∴，
当取最小值时，四边形的面积有最小值，
的最小值为点到直线的距离，即，
∴四边形的面积的最小值为.
【变式8-3】（2026高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点．
(1)求P点到直线的距离的最大值和最小值．
(2)求的最大值和最小值．
(3)求的最大值和最小值
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)最大值为，最小值为
(3)最大值为，最小值为
【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值；
（2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值；
（3）首先设，再转化为直线与圆有交点，
【解答过程】（1）圆心到直线的距离为．
∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为．
（2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点，
∴，解得，
则，即的最大值为，最小值为．
解法二：设，则，其中，
∴得，即的最大值为，最小值为．
（3）表示圆上的点与点连线的斜率为k，
设，即，直线与圆有交点，
设，
解得．
则，即的最大值为，最小值为．
【题型9 直线与圆的实际应用】
【例9】（2026高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（ ）
A．5 B． C．15 D．
【答案】C
【解题思路】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果.
【解答过程】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示：
设圆的半径为，在中利用勾股定理可得，
即，解得；
易知，
在中，易知，即，解得.
故选：C.
【变式9-1】（2026高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ）
A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时
【答案】C
【解题思路】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长．
【解答过程】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，
由题意可知，，圆方程，半径，
直线方程：，即，
设到距离为，
则，故直线与圆相交，
所以外籍轮船能被海监船检测到，
如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则，
所以，
设监测时间为，则（小时），
故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时．
故选：C．
【变式9-2】（2026高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【答案】(1)
(2)该船没有触礁的危险．
【解题思路】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解；
（2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性.
【解答过程】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点,
又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则，
设过O，A，B三点的圆C的方程为，
则,解得，
所以圆C的方程为．
（2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则，
而船D沿着北偏东方向行驶，
则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为，
由（1）知，圆C的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，则，
所以该船没有触礁的危险．
【变式9-3】（2026高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C.
(1)求圆C的方程.
(2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区 说明理由.
【答案】(1)；（或）
(2)小次车会进入安全预警区，理由见解析
【解题思路】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解.
（2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离
与半径做比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案.
【解答过程】（1）由题意得,,
设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点,
所以解得
所以圆C的方程为；（或）.
（2）圆C化成标准方程为,圆心为C,半径,
因圆C到直线的距离.
所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.2 直线与圆的位置关系（举一反三讲义）
【题型1 判断直线与圆的位置关系】 2
【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 2
【题型3 圆的切线长问题】 3
【题型4 圆的切线方程的求解】 3
【题型5 求圆的弦长与中点弦】 5
【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 5
【题型7 直线与部分圆的相交问题】 6
【题型8 直线与圆有关的最值问题】 6
【题型9 直线与圆的实际应用】 7
知识点1 直线与圆的位置关系及判定
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
位置 相交 相切 相离
交点个数 两个 一个 零个
图形
d与r的关系 dr
方程组解的情况 有两组不
同的解 仅有一组解 无解
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.
【题型1 判断直线与圆的位置关系】
【例1】（2026高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关
【变式1-1】（2026高二上·重庆·期末）直线l：与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
【变式1-2】（2026高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离
【变式1-3】（2026高二上·陕西西安·期中）如果，那么直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】
【例2】（2026高二上·广东深圳·期末）若直线与圆相切，则（ ）
A． B．1 C． D．
【变式2-1】（2026高二上·上海闵行·阶段练习）“”是直线与圆相交的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要
【变式2-2】（2026高二上·四川成都·期末）若圆与直线只有一个公共点，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式2-3】（2026高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（ ）
A． B． C． D．或
知识点2 圆的切线及切线方程
1．自一点引圆的切线的条数：
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程：
(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
(2)重要结论：
①经过圆上一点P的切线方程为.
②经过圆上一点P的切线方程为.
③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.
【题型3 圆的切线长问题】
【例3】（2026高二上·广西梧州·阶段练习）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A．6 B． C． D．3
【变式3-1】（2026高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2026高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（ ）
A．3 B． C． D．5
【变式3-3】（2026高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【题型4 圆的切线方程的求解】
【例4】（2026高二上·湖北·期中）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2026高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2026高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式4-3】（2026高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
知识点3 圆的弦长
1．圆的弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
2．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d
为圆心到直线的距离；
②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；
③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.
(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题
解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
【题型5 求圆的弦长与中点弦】
【例5】（2026高二上·浙江杭州·阶段练习）直线被圆所截得的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2026高二上·陕西榆林·阶段练习）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-2】（2026高二上·重庆江北·期中）若直线与圆交于两点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式5-3】（2026高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】
【例6】（2026高二上·河南濮阳·期中）已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式6-1】（2026高二上·四川成都·阶段练习）已知直线 与圆 交于A、B两点，若 则a=（ ）
A．5 B． C． D．
【变式6-2】（2026高二上·山东·阶段练习）直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2026高二上·广西南宁·阶段练习）直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型7 直线与部分圆的相交问题】
【例7】（2026高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2026高二上·河北·阶段练习）若直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2026高二上·天津·期中）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2026高二·全国·课后作业）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型8 直线与圆有关的最值问题】
【例8】（2026高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2026高二上·重庆·期中）圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
【变式8-2】（2026高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆被轴截得的弦长为，点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和．
(1)求的值；
(2)求四边形面积的最小值．
【变式8-3】（2026高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点．
(1)求P点到直线的距离的最大值和最小值．
(2)求的最大值和最小值．
(3)求的最大值和最小值
【题型9 直线与圆的实际应用】
【例9】（2026高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（ ）
A．5 B． C．15 D．
【变式9-1】（2026高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ）
A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时
【变式9-2】（2026高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【变式9-3】（2026高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C.
(1)求圆C的方程.
(2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区 说明理由.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑