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专题03 椭圆（14大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练）
【苏教版】
【知识清单1 椭圆的标准方程】
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫
作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.
2．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
椭圆在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
3．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待
定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点
在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
【知识清单2 椭圆的焦点三角形】
1．椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角
形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③设，，则.
【知识清单3 椭圆的简单几何性质】
1．椭圆的范围
设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.
(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里.
(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.
2．椭圆的对称性
(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.
(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点
P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.
3．椭圆的顶点与长轴、短轴
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a.
这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、
y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
4．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：0(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.
当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接
近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.
【知识清单4 直线与椭圆的位置关系】
1．点与椭圆的位置关系
(1)点与椭圆的位置关系：
(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：
点在椭圆外+>1;
点在椭圆内+<1;
点在椭圆上+=1.
2．直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆的三种位置关系
类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.
(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：
Δ>0 直线与椭圆相交 有两个公共点；
Δ=0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点；
Δ<0 直线与椭圆相离 无公共点.
【知识清单5 弦长与“中点弦”问题】
1．弦长问题
(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.
(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆(a>b>0)于，两点，
则或.
2．“中点弦问题”
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根
与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系.
设，，代入椭圆方程(a>b>0)，
得，
①-②可得，
设线段AB的中点为，当时，有.
因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦
中点轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB是椭圆(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐
标为，则弦AB所在直线的斜率为，即.
1．（2026高二上·内蒙古·期末）如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ）
A．26 B．10 C．4 D．14
2．（2026高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2026高二上·广东·期末）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2026高二上·湖南郴州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2026高二上·天津滨海新·期末）椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是 .
6．（2026高二上·湖南长沙·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2026高二上·广东东莞·期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2026高二上·上海·期末）焦点在轴上的椭圆过点，且点到两焦点的距离之和为8，则该椭圆标准方程为 .
10．（2026高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)，，焦点在y轴上；
(2)，．
(3)经过点，两点；
11．（2026高二上·广东深圳·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2026高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2026高二上·河北沧州·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2026高二上·陕西汉中·期末）“”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（2026高二上·宁夏银川·期末）方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 .
16．（2026高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
17．（2026高二上·广东清远·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2026高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2026高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ．
20．（2026高二上·安徽合肥·期末）已知平面上两点，，动点满足.
(1)求动点的轨迹的标准方程；
(2)当时，求点的纵坐标.
21．（2026高二上·青海海南·期末）椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（ ）
A．12 B．18 C．16 D．20
22．（2026高二上·福建福州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
23．（2026高二上·广东茂名·期末）已知点是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ）
A．6 B．4 C． D．8
24．（2026高二上·重庆·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为 .
25．（2026高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且
(1)求此椭圆的方程
(2)若点满足，求的面积．
26．（2026高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
27．（2026高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
28．（2026高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左 右焦点，已知点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
29．（2026高二上·广东深圳·期末）已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 .
30．（2026高二上·广东清远·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最小值．
31．（2026高二上·河北邢台·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
32．（2026高二上·山东菏泽·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
33．（2026高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
34．（2026高二上·陕西宝鸡·期末）焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为 .
35．（2026高二上·湖南永州·期末）已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设直线交于，两点，直线，的斜率之和为0，求直线的斜率．
36．（2026高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
37．（2026高二上·广东梅州·期末）已知椭圆的离心率为，则其短轴长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
38．（2026高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，则椭圆C的焦距为（ ）
A． B．10 C．3 D．6
39．（2026高二上·北京延庆·期末）椭圆的长轴长为 ．
40．（2026高二上·全国·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点.
(1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率；
(2)若直线的倾斜角为，求的面积.
41．（2026高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
42．（2026高二上·江苏镇江·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
43．（2026高二上·安徽·期末）已知椭圆的左 右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
44．（2026高二上·上海·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率 ．
45．（2026高二上·海南·期末）已知椭圆经过点
(1)求的方程和离心率；
(2)若过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积．
46．（2026高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
47．（2026高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
48．（2026高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．2
49．（2026高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
50．（2026高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
51．（2026高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（ ）
A． B． C． D．
52．（2026高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
53．（2026高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
54．（2026高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ．
55．（2026高二上·四川自贡·期末）已知椭圆，长轴长为4，离心率为
(1)求椭圆的方程；
(2)过点倾斜角为的直线与椭圆相交于、，求.
56．（2026高二上·重庆沙坪坝·期末）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（ ）
A． B． C．4 D．6
57．（2026高二上·湖南·期末）直线：与椭圆：交于，两点，椭圆的上顶点为点，则的面积为 .
58．（2026高二上·江苏南通·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴.
(1)求的周长；
(2)设点在上，求的面积的最大值.
59．（2026高二上·河北保定·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围.
60．（2026高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，当时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的下顶点为，的面积为，的面积为，求的最大值.
61．（2026高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
62．（2026高二上·浙江嘉兴·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
63．（2026高二上·湖北咸宁·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
64．（2026高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为 ．
65．（2026高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为6，且的最大值为3．
(1)求的方程；
(2)设点，过的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围．
66．（2026高二上·四川达州·期末）已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（ ）
A． B． C． D．
67．（2026高二上·辽宁·期末）已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．（2，0）
68．（2026高二上·云南昆明·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，过作直线与交于、两点，直线、的斜率分别为、．
(1)求的标准方程；
(2)判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
69．（2026高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）．
①若的面积为，求直线的方程；
②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．
70．（2026高二上·安徽·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点．
(1)求曲线的方程；
(2)证明：为定值；
(3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 椭圆（14大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练）
【苏教版】
【知识清单1 椭圆的标准方程】
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫
作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.
2．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
椭圆在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
3．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待
定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点
在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
【知识清单2 椭圆的焦点三角形】
1．椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角
形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③设，，则.
【知识清单3 椭圆的简单几何性质】
1．椭圆的范围
设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.
(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里.
(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.
2．椭圆的对称性
(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.
(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点
P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.
3．椭圆的顶点与长轴、短轴
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a.
这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、
y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
4．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：0(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.
当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接
近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.
【知识清单4 直线与椭圆的位置关系】
1．点与椭圆的位置关系
(1)点与椭圆的位置关系：
(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：
点在椭圆外+>1;
点在椭圆内+<1;
点在椭圆上+=1.
2．直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆的三种位置关系
类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.
(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：
Δ>0 直线与椭圆相交 有两个公共点；
Δ=0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点；
Δ<0 直线与椭圆相离 无公共点.
【知识清单5 弦长与“中点弦”问题】
1．弦长问题
(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.
(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆(a>b>0)于，两点，
则或.
2．“中点弦问题”
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根
与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系.
设，，代入椭圆方程(a>b>0)，
得，
①-②可得，
设线段AB的中点为，当时，有.
因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦
中点轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB是椭圆(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐
标为，则弦AB所在直线的斜率为，即.
1．（2026高二上·内蒙古·期末）如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ）
A．26 B．10 C．4 D．14
【答案】D
【解题思路】先求出，再根据椭圆的定义计算求解即可.
【解答过程】根据题意可得，
椭圆的长轴长为，根据，得.
故选：D.
2．（2026高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解题思路】设，，根据椭圆定义得到，再由题中条件，结合勾股定理，即可得出结果.
【解答过程】解：设，，
因为椭圆C：，
所以由椭圆的定义可知，，
所以，即，
由勾股定理可知：，
求得
故选：B.
3．（2026高二上·广东·期末）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解题思路】由椭圆方程求出，利用椭圆的定义式，求得，代入计算即得.
【解答过程】由可得：，则，
因，则，故.
故选：C.
4．（2026高二上·湖南郴州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】利用椭圆的定义，结合余弦定理求解即得.
【解答过程】依题意，，，而，则，
在中，由余弦定理得，
所以.
故选：C.
5．（2026高二上·天津滨海新·期末）椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是 .
【答案】
【解题思路】根据椭圆方程得到，再根据椭圆的定义计算可得.
【解答过程】椭圆，则，设点到另一个焦点的距离为，
则，解得，即点到另一个焦点的距离是.
故答案为：.
6．（2026高二上·湖南长沙·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】先根据过点得出，结合计算得出椭圆方程.
【解答过程】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，
又，则，
所以椭圆方程为，
故选:B.
7．（2026高二上·广东东莞·期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据椭圆短轴长和焦距公式进行求解即可.
【解答过程】解：由题意，得，且焦点在x轴上，
则，
则椭圆的标准方程为
故选：D.
8．（2026高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】利用焦点三角形的周长为，及，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可.
【解答过程】因为的最小值为1，所以．
因为的周长为34，所以，
所以．因为，
所以，所以椭圆C的标准方程为．
故选：C.
9．（2026高二上·上海·期末）焦点在轴上的椭圆过点，且点到两焦点的距离之和为8，则该椭圆标准方程为 .
【答案】
【解题思路】由椭圆的定义得到，再把点代入椭圆标准方程，求出即可.
【解答过程】设椭圆方程为，
因为点到两焦点的距离之和为8，所以，
又焦点在轴上的椭圆过点，
所以，
所以该椭圆标准方程为：.
故答案为：.
10．（2026高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)，，焦点在y轴上；
(2)，．
(3)经过点，两点；
【答案】(1)
(2)或
(3)
【解题思路】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程.
（2）根据求出，按照焦点位置分类求解即可.
（3）由题意确定焦点位置及，即可得解.
【解答过程】（1）因为，，所以，
因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：；
（2）因为，，所以，
因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或；
（3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，
所以，，
所以椭圆的标准方程为．
11．（2026高二上·广东深圳·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】由焦点在轴上的椭圆方程的特征求解即可．
【解答过程】，解得.
故选：D.
12．（2026高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由椭圆方程结构得到：，求解即可；
【解答过程】由题意可得：，
解得：，
故选：B.
13．（2026高二上·河北沧州·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】利用方程表示椭圆的特征，列式求出的范围.
【解答过程】方程表示椭圆，则，解得或，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
14．（2026高二上·陕西汉中·期末）“”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】列出表示椭圆的关于m的不等式组求解，再结合必要不充分条件的定义即可得解.
【解答过程】方程表示椭圆，则，解得且，
所以“”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B.
15．（2026高二上·宁夏银川·期末）方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 .
【答案】
【解题思路】根据椭圆的标准方程的特征，列出不等式组，即可求解.
【解答过程】因为方程所表示的曲线是椭圆，
所以满足，解得或,
因此的取值范围为.
故答案为：.
16．（2026高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据，结合椭圆的定义可求出结果.
【解答过程】解：：的圆心C为，半径，
点，，又的垂直平分线交于点M，
，
的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆，
，，
，，，
点M的轨迹方程是
故选：
17．（2026高二上·广东清远·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，求得两圆的圆心和半径，判定已知两圆的位置关系为内切，求得切点坐标，利用动圆与已知两圆相外切，内切的条件列出关于和动圆半径r的方程组，消去r再利用椭圆的定义写出轨迹方程，最后根据已知两圆的位置关系做出取舍.
【解答过程】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
因为，所以两圆相内切于点，
设动圆的圆心为，半径为，则，
，
因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点），
所以该动圆的圆心的轨迹方程为.
故选：B.
18．（2026高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求．
【解答过程】连接，
圆的圆心坐标为，半径为4．
因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以，
所以，所以点的轨迹方程为．
故选：A．
19．（2026高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ．
【答案】
【解题思路】依题意可得，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程；
【解答过程】由已知得，圆半径为9，圆半径为1，
设动圆圆心，半径为，易知圆在圆内，
由于动圆与圆相切，且与圆相内切，
所以动圆与圆只能内切，且动圆在圆内，
故，所以，
所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，
则，所以，
所以曲线的方程为.
故答案为：.
20．（2026高二上·安徽合肥·期末）已知平面上两点，，动点满足.
(1)求动点的轨迹的标准方程；
(2)当时，求点的纵坐标.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据椭圆定义可得答案；
（2）设，可得，与椭圆方程联立可得答案.
【解答过程】（1）由，，动点满足，
可得动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
且，，
所以，，，
所以轨迹的标准方程为；
（2）当动点满足时，可得在以为直径的圆上，
设，可得，
又，解得，，则的纵坐标为.
21．（2026高二上·青海海南·期末）椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（ ）
A．12 B．18 C．16 D．20
【答案】C
【解题思路】根据题意，结合椭圆的定义代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为，，所以，故的周长为．
故选：C.
22．（2026高二上·福建福州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据题意，，，可得的面积.
【解答过程】在椭圆中，，，，
则，
点在上，，所以，
则.
故选：A.
23．（2026高二上·广东茂名·期末）已知点是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ）
A．6 B．4 C． D．8
【答案】D
【解题思路】根据椭圆的定义求解．
【解答过程】根据椭圆方程可得，则，由椭圆的定义得，，
，所以的周长为.
故选：D.
24．（2026高二上·重庆·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为 .
【答案】
【解题思路】根据题意结合椭圆定义可知，，再结合等腰三角形求高和面积.
【解答过程】由椭圆方程可知：，
因为分别为的中点，则，可得，
因为，则，且，
所以的面积为.
故答案为：.
25．（2026高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且
(1)求此椭圆的方程
(2)若点满足，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】设椭圆的方程为,由焦点坐标求出，根据，求出，从而可求，即可得出椭圆方程；
在焦点三角形中，运用余弦定理结合椭圆的定义，求出，再利用三角形的面积公式，可求的面积．
【解答过程】（1）由题意，设椭圆的方程为，
∵焦点为，，
∴，
又，
所以，，
，．
所求椭圆的方程为．
（2）在中，由余弦定理得
即，
∴，
∴，
所以.
26．（2026高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【解题思路】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值.
【解答过程】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为.
故选：D.
27．（2026高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解.
【解答过程】取椭圆的右焦点为，故,
由于,故，
因此，
故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值，
故选：B.
28．（2026高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左 右焦点，已知点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解题思路】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案.
【解答过程】，所以，所以轴，
因为，所以在椭圆内部，且，
所以，
即求的最大值，
由于，当三点共线时最大，
此时，，
所以.
故选：B.
29．（2026高二上·广东深圳·期末）已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 .
【答案】10
【解题思路】利用点与圆的位置关系，结合椭圆的定义，转化，利用数形结合，即可求的最大值.
【解答过程】设点为椭圆的左焦点，点为圆的圆心，
点为圆外的点，的最大值为,,即，
的最大值为，
如图，当四点共线时,“=”成立，
，,,
所以的最大值为.
故答案为：10.
30．（2026高二上·广东清远·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最小值．
【答案】(1)，－
(2)10－
【解题思路】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论；
（2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论．
【解答过程】（1）由椭圆可知，，，
则，，
如图所示，连接并延长交椭圆于点，
则是使取得最大值的点，
于是，
因为，
则求的最小值，即求的最大值，
延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点，
于是
所以的最大值与最小值分别为和；

（2）连接，由椭圆的定义知，
则，
所以，
如图，连接，并延长交椭圆于点，，
则是使取得最小值的点，
于是.
31．（2026高二上·河北邢台·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】利用椭圆中的关系求解即可.
【解答过程】由题意可得解得，
所以椭圆的方程为.
故选：A.
32．（2026高二上·山东菏泽·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】根据长轴以及离心率即可求解.
【解答过程】由长轴长为4，可得，又离心率为，即，
解得，故，
所以椭圆方程为，
故选：A.
33．（2026高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组，，进而可解答.
【解答过程】根据题意设椭圆的标准方程为.
则，解得：，，
所以椭圆C的标准方程为.
故选：C.
34．（2026高二上·陕西宝鸡·期末）焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为 .
【答案】
【解题思路】结合椭圆的性质，即可求解．
【解答过程】焦点在x轴上，，，
则，解得，
故
故所求椭圆的方程为：．
故答案为：．
35．（2026高二上·湖南永州·期末）已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设直线交于，两点，直线，的斜率之和为0，求直线的斜率．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据已知条件结合、、关系列方程，解方程即可求解；
（2）设出直线方程，直曲联立，得到方程：，根据韦达定理得到：，，结合已知条件得到方程：，解方程验证即可求解.
【解答过程】（1）
依题意，，点在椭圆上，
∴解得，，，
所以椭圆的方程为：．
（2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，消得，
，
设，，
由韦达定理得，
，，
又，则，
∴，
，代入化简得：
，
将，代入化简得：，
即，∴或．
当时，直线过点，不合题意，
综上；直线的斜率为．
36．（2026高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解题思路】结合椭圆的几何性质，即可求解.
【解答过程】因为椭圆的一个焦点坐标为，可得且，解得.
故选：B.
37．（2026高二上·广东梅州·期末）已知椭圆的离心率为，则其短轴长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】B
【解题思路】由条件列出离心率得到方程，求解得，即得其短轴长.
【解答过程】由知，离心率为，
解得，，故短轴长为.
故选：B.
38．（2026高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，则椭圆C的焦距为（ ）
A． B．10 C．3 D．6
【答案】D
【解题思路】由椭圆方程即可直接求解．
【解答过程】由，可得，
即，即，
即椭圆C的焦距为
故选：
39．（2026高二上·北京延庆·期末）椭圆的长轴长为 ．
【答案】
【解题思路】将椭圆方程化为标准方程，根据椭圆的性质计算即可.
【解答过程】由，
显然椭圆的焦点在横轴上，其实轴长为.
故答案为：.
40．（2026高二上·全国·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点.
(1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率；
(2)若直线的倾斜角为，求的面积.
【答案】(1)焦距为，短轴长为6，离心率为
(2)
【解题思路】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案；
（2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积.
【解答过程】（1）由已知方程得到，所以，，
由得，
故焦距为，短轴长为，离心率.
（2）由（1）知焦点坐标为，设，
由已知得直线的方程为，即，
与联立消去得，
则，
故，
所以的面积为.
41．（2026高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】由题意不妨设l的方程为，根据题意可得的坐标，代入椭圆方程，进而计算可求得椭圆的离心率.
【解答过程】易知双曲线C的渐近线方程为，不妨设l的方程为.
如图，由，，可得，
代入椭圆方程，得，又，
故，解得（舍去），所以.
故选：A.
42．（2026高二上·江苏镇江·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】在直角三角形中，，得，由，得，进行求解即可．
【解答过程】解：如图：
因为，所以，
则在直角三角形中，，
得，
由，得，
即椭圆的离心率为：．
故选：A.
43．（2026高二上·安徽·期末）已知椭圆的左 右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】由椭圆的定义可得，进而可得，可求椭圆的离心率的取值范围.
【解答过程】由椭圆的定义得，又，所以，
又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立，
所以，即，则，即，
即椭圆的离心率的取值范围是.
故选：C.
44．（2026高二上·上海·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率 ．
【答案】
【解题思路】根据条件得到，再由，即可求解.
【解答过程】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍，
则，即，所以，
故答案为：.
45．（2026高二上·海南·期末）已知椭圆经过点
(1)求的方程和离心率；
(2)若过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【解题思路】（1）将点代入得到关于的方程组，解出即可得的方程，再求离心率即可；
（2）易得直线方程为，求出交点坐标，再求面积即可.
【解答过程】（1）由题意得解得
所以的方程为．
的离心率为．
（2）由题意知直线的方程为，
联立得得或所以
观察可知是等腰三角形，且与轴平行，
所以．
46．（2026高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【解题思路】由直线与椭圆的位置关系求解即可.
【解答过程】因为直线过点，
而为椭圆的右端点和上端点，
故直线与椭圆相交.
故选：C.
47．（2026高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，再用特例进行判断.
【解答过程】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，
当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点.
故选：D.
48．（2026高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解题思路】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解.
【解答过程】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即，
而，即点在椭圆的内部，
所以过点的直线与椭圆的交点个数是2.
故选：D.
49．（2026高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间.
【解答过程】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分，
当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率
和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为，
直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为，
所以k的取值范围为.
故选：B.
50．（2026高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
【答案】B
【解题思路】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系.
【解答过程】，即，令，解得，
则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内，
则直线与椭圆的位置关系为相交.
故选：B.
51．（2026高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，利用弦长公式求出弦长.
【解答过程】如图：
由题，不妨设，直线斜率存在，
设直线方程，
联立，
，
，
解得，
故，
故选：D.
52．（2026高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程.
【解答过程】椭圆，由，得点在椭圆内，设，
则，两式相减得，
而，因此，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故选：A.
53．（2026高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程.
【解答过程】设点，因点为线段的中点，则（*）
又在椭圆（即）上，则 ①， ② ，
由，可得，
将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为，
故直线的方程为：，即.
故选：B.
54．（2026高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ．
【答案】
【解题思路】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，联立方程组结合弦长公式即可求解.
【解答过程】设,
则，两式作差可得：，
因为为线段的中点，所以，
则，
所以直线的方程为，
联立，则，
所以，
故答案为：.
55．（2026高二上·四川自贡·期末）已知椭圆，长轴长为4，离心率为
(1)求椭圆的方程；
(2)过点倾斜角为的直线与椭圆相交于、，求.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程.
（2）求得直线的方程，并与椭圆方程联立，利用弦长公式求得.
【解答过程】（1）由题意可得，，则，
又，
则，
∴椭圆的方程为.
（2）∵直线l过点倾斜角为
∴直线l的方程为即，
联立，得，
设，
则，
∴
.
56．（2026高二上·重庆沙坪坝·期末）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】A
【解题思路】设的中点为，确定为等边三角形即可求解；
【解答过程】设的中点为，
则，
于是，
又，则为正三角形，即．
故选：A．
57．（2026高二上·湖南·期末）直线：与椭圆：交于，两点，椭圆的上顶点为点，则的面积为 .
【答案】
【解题思路】将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，并求出点到直线的距离求高，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【解答过程】设点，.由消去，整理得，，所以，，
所以.
椭圆的上顶点，点到直线的距离，
所以的面积.
故答案为：.
58．（2026高二上·江苏南通·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴.
(1)求的周长；
(2)设点在上，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据题干的条件求出，进而得到.利用椭圆的对称性以及两点之间的距离公式即可求得结果；
（2）由（1）知，设出与直线平行的直线，与椭圆联立使得判别式等于0，即可求得直线，再利用平行线的距离公式与面积公式即可求得结果.
【解答过程】（1）
已知椭圆的右焦点为，因为，
所以,因为轴，把代入椭圆方程中，得到，
不妨设，因为关于原点对称，则，
所以，
由椭圆的对称性可知：,所以，
所以的周长为；
（2）
由（1）得，
由，可得直线的方程为：，
当的面积的最大值时，就是椭圆上的点到直线的距离最大时，
即与直线平行且与椭圆相切时，如上图，设，
联立，整理得：，
因为直线与椭圆相切，所以判别式，解得：，不妨取，所以直线，
则两平行线的距离，
故的面积的最大值.
59．（2026高二上·河北保定·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）利用待定系数法，即可求解；
（2）利用弦长公式表示面积，再利用换元，转化为函数问题求最值.
【解答过程】（1）由，即，又，即，，
，故椭圆C的方程为.
（2）设四边形EPFQ面积为S，当直线PQ与直线EF有一条斜率为0时，另一条斜率不存在，
不妨设直线PQ斜率不存在，此时直线EF与x轴重合，
，且PQ方程为，将与联立，
求得两交点为，，，故.
当直线PQ与直线EF有一条斜率为可设直线PQ的方程为，
，，联立方程，
得且恒成立，
，，
同理可得，
令，则，，
令，则，
在上单调递增，在上单调递减，，故.
60．（2026高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，当时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的下顶点为，的面积为，的面积为，求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）根据已知有、，结合椭圆参数关系求得、，即可得椭圆方程；
（2）讨论直线斜率是否为0，设且，，联立椭圆并应用韦达定理、三角形面积公式得且，进而求其范围，即可得最大值.
【解答过程】（1）由右焦点，则，故，即，
若，当时，为的中点，即椭圆的通径，
所以，即，可得（负值舍），故，
所以.
（2）当直线斜率为0时，要使最大，则，，
所以，此时最大；
当直线斜率不为0或斜率不存在时，令且，，
联立，得，显然，
所以，，
所以，
直线，且，
则到直线的距离分别为，，
所以，，则，
要使最大，则，此时且，
由
当时，，结合对勾函数的性质，
当时，当且仅当时取等号，
当时，当且仅当时取等号，
所以或且，
当时，，
综上，的最大值为.
61．（2026高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】设点，联立直线与的方程求出，同理求出，代入并借助基本不等式求出最大值.
【解答过程】椭圆的焦点，，设，
直线的方程为：，由消去，
得，则，，同理，
因此
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最大值为.
故选：C.
62．（2026高二上·浙江嘉兴·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】设，由椭圆性质和已知条件得，由两点间的距离公式得，然后化简、换元结合二次函数单调性可求
【解答过程】由题意，设，
由于A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，
所以，又,
令，因为，所以，
所以，
由于对称轴为，所以在单调递减，
所以，又，
即，所以
故选：D.

63．（2026高二上·湖北咸宁·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解题思路】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可.
【解答过程】，
设为该椭圆的左焦点，，
所以，
于是，
显然当三点共线，且与垂直时，
有最小值，最小值为，
故选：A.
64．（2026高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为 ．
【答案】
【解题思路】根据给定条件，利用椭圆的定义及圆的性质求解即得.
【解答过程】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
由在椭圆上，得，解得，，
则椭圆的焦点，，
因此，
当且仅当分别为线段的延长线与圆的交点，
所以的最大值为.
故答案为：.
65．（2026高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为6，且的最大值为3．
(1)求的方程；
(2)设点，过的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据的最大值为，结合焦点三角形的周长可得出关于的方程组，解得后再求出即得；
（2）设，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，然后代入斜率公式化简，由不等式的性质即可求解．
【解答过程】（1）由于，所以，
由于，故当时，此时的最大值为，
解得，又，解得，则，
所以椭圆方程为；
（2）设，又，
当直线不与轴平行时，设直线方程为，
由得，
则，，
所以
，
由于，故，
当直线与轴平行时，则直线方程为，此时，
综上可得的取值范围为，
66．（2026高二上·四川达州·期末）已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点.
【解答过程】因为，所以，
①假设过点的直线过原点，则，代入，
可得，，代入方程，可得
，由得到.求得FN方程：
，过点.
②分析知过点的直线斜率一定存在，设.
联立得，
可得，则
因为点的横坐标与点的横坐标相等为，且点与点关于点对称，所以点的横坐标也为，
又，则，根据中点坐标公式计算得，
直线的斜率，直线的方程为，
假设直线经过定点，代入为验证，
即验证，
即验证，
即验证，
将韦达定理及得出的式子代入，得恒成立.
所以直线过点.
故选：D.
67．（2026高二上·辽宁·期末）已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．（2，0）
【答案】B
【解题思路】设直线方程为，，联立方程组结合韦达定理可得，设长轴上的点，可得，可求定点的坐标，验证斜率为0的情况即可.
【解答过程】椭圆，直线过右焦点，
当直线的斜率不为0时，设直线方程为，，
由，消去得，，
整理得，所以，
设长轴上的点，
可得，
所以
，
当且仅当时，即时，
为定值，此时点坐标为，
当直线直线的斜率为0时，，计算可得，
所以在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，且点坐标为.
故选：B.
68．（2026高二上·云南昆明·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，过作直线与交于、两点，直线、的斜率分别为、．
(1)求的标准方程；
(2)判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，-2
【解题思路】（1）由题意列方程组，求出的值，即得答案；
（2）设直线l的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，求出的表达式，结合根与系数的关系化简，即得结论.
【解答过程】（1）由题意可得，解得，
故的标准方程为；
（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为，设，
联立得，得，需满足，
则，
则
，
即为定值-2.
69．（2026高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）．
①若的面积为，求直线的方程；
②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．
【答案】(1)
(2)① ；②证明见解析
【解题思路】（1）由题意可得，求出即可求解；
（2）①设直线的方程和，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程，解之即可求解；
②联立直线可得，由①知，化简计算即可求解.
【解答过程】（1）由题意可知，，所以．
又，
所以椭圆的方程为；
（2）①设过点的直线方程为，点，
联立，得，
则，
则．
又因为点到直线的距离．
令，解得，
所以直线的方程为．
②由①知，
则直线，直线，
由，整理得．
由①知，得，
所以，
即，解得，
所以点在直线上．

70．（2026高二上·安徽·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点．
(1)求曲线的方程；
(2)证明：为定值；
(3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解题思路】（1）利用椭圆离心率及焦点三角形面积列式求出即可.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式计算得证.
（3）直线的斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算可得直线过定点，再探讨直线的斜率不存在时的情况即可推理得证.
【解答过程】（1）设曲线的半焦距为c，由离心率为，得，
由的最大值为，得，而，解得，，，
所以曲线的方程为.
（2）由（1）得，依题意，直线不垂直于轴，设，，
由消去得，则，，
则
，
所以为定值；
（3）

设，由（2）知，则，
①当直线斜率存在时，设其方程为，由直线不过点，得，
由消去得，
，且，，，
则，
整理得，
于是，
化简得，即，而，则，符合题意，
直线：，过定点；
②当直线斜率不存在时，由对称性，不妨令点在第二象限，直线的斜率为，
方程为，与方程联立可得，同理得，此时直线也过点，
因此直线过定点，设该点为，
由，得在为直径的圆上，圆的方程为，半径为，
所以存在点使得为定值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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