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专题03 椭圆16大重点题型（期中专项训练）
【苏教版】
1．（2026高二上·广西·期中）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（ ）
A．1 B．6 C．7 D．4
2．（2026高二上·江苏扬州·期中）椭圆的焦点为 为椭圆上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高二上·四川眉山·期中）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．（2026高二上·上海·期中）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于 .
5．（2026高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的焦点分别是、，点、分别为椭圆的长轴端点，点为椭圆的短轴端点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点在这个椭圆上，且，求的长.
6．（2026高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026高二上·湖南永州·期中）已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（2026高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2026高二上·福建莆田·期中），且经过点的椭圆的标准方程为 .
10．（2026高二上·吉林长春·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且；
(2)焦点在坐标轴上，且经过两个点.
11．（2026高二上·浙江宁波·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2026高二上·福建泉州·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2026高二上·江苏南京·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2026高二上·贵州·期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 ．
15．（2026高二上·全国·专题练习）已知方程＝1.
(1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围.
16．（2026高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
17．（2026高二上·河北唐山·期中）设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C．+ D．
18．（2026高二上·重庆江北·期中）已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
19．（2026高二上·福建福州·期中）已知的周长为24，且顶点，则顶点的轨迹方程是 .
20．（2026高二上·四川乐山·期中）（1）求经过两点的椭圆的标准方程；
（2）如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，求曲线的方程．
21．（2026高二上·广西·期末）椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（ ）
A． B．12 C． D．20
22．（2026高二上·福建泉州·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
23．（2026高二上·四川宜宾·期中）已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（ ）
A．4 B．9 C． D．12
24．（2026高二上·浙江温州·期中）经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则的周长为 .
25．（2026高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直.
(1)证明：；
(2)若的角平分线恰好过点，求的面积.
26．（2026高二上·广东深圳·期中）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最小值为2，则（ ）
A．8 B．4 C． D．2
27．（2026高二上·福建·期中）椭圆上一点P到左焦点的距离为6，则P到右焦点的距离为（ ）
A．5 B．6 C．4 D．12
28．（2026高二上·浙江·期中）已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
29．（2026高二上·浙江嘉兴·期中）点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，若，则 ．
30．（2026高二上·河南开封·期中）在平面直角坐标中，，，点是平面上一点，使的周长为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求的最大值.
31．（2026高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
32．（2026高二上·河南·期中）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左 右焦点，，则的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
33．（2026高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
34．（2026高二上·江西南昌·期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最大值为 .
35．（2026高二上·全国·课后作业）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，点，点.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求的最大值．
36．（2026高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
37．（2026高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
38．（2026高二上·浙江绍兴·期中）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（ ）
A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80]
39．（2026高二上·上海·期中）点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是 ．
40．（2026高二上·北京顺义·期中）如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则 .
41．（2026高二上·湖南长沙·期中）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
42．（2026高二上·河北邢台·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
43．（2026高二上·广西北海·期中）已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
44．（2026高二上·广西·期中）已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为 .
45．（2026高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点.
(1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程;
(2)若，求椭圆的长轴长.
46．（2026高二上·北京顺义·期中）已知椭圆方程为：，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
47．（2026高二上·江苏南通·期中）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
48．（2026高二上·广东广州·期中）已知椭圆的焦距为2，则（ ）
A． B．3或5 C．或 D．5
49．（2026高二上·天津北辰·期中）已知椭圆的焦距是4，则该椭圆的长轴长为 ．
50．（2026高二上·北京·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，经过右焦点且斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点．
(1)写出椭圆C的焦点坐标和离心率；
(2)求的面积．
51．（2026高二上·广东广州·期中）已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
52．（2026高二上·四川宜宾·期中）已知，为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
53．（2026高二上·广东东莞·期中）已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
54．（2026高二上·安徽淮南·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .
55．（2026高二上·内蒙古包头·期中）已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程．
56．（2026高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对
57．（2026高二上·河南郑州·期中）直线与椭圆的公共点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
58．（2026高二上·河南·期中）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
59．（2026高二上·浙江杭州·期中）若直线与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是 ．
60．（2026高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围.
61．（2026高二上·江苏常州·期中）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
62．（2026高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ）
A． B． C．2 D．
63．（2026高二上·江苏镇江·期中）已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
64．（2026高二上·陕西咸阳·期中）过点作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，线段的长度是 ．
65．（2026高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求的长．
66．（2026高二上·江西抚州·期中）已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
67．（2026高二上·陕西商洛·期中）已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（ ）
A．10 B．8 C．24 D．
68．（2026高二上·湖北武汉·期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
69．（2026高二上·吉林长春·期中）直线与椭圆交于、两点，短轴的上顶点为点，则的面积为 .
70．（2026高二上·山东济南·期中）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.
71．（2026高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
72．（2026高二上·上海杨浦·期中）已知过点D（2，0）的直线l与椭圆 相交于不同的两点A、B，M是弦AB的中点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
73．（2026高二上·云南昆明·期中）设过点的直线和椭圆交于两点(在上方)，则的取值范围为 .
74．（2026高二上·福建福州·期中）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率存在的直线过点，且与椭圆交于，两点，，，三点不共线，求面积的最大值.
75．（2026高二上·重庆·期中）已知的周长为定值，、、，的最大值为．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值．
76．（2026高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆：（）过的三个顶点，，，当直线垂直于轴时，直线过椭圆的一个焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的平分线垂直于轴，求证：直线的斜率为定值.
77．（2026高二上·河南郑州·期中）已知椭圆的左焦点为，短轴长为，点在椭圆上且的最大值是最小值的倍.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不经过点的直线与椭圆相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点.
78．（2026高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上．
79．（2026高二上·浙江台州·期中）已知椭圆焦距为2，离心率e是
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为.
①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值；
②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由.
80．（2026高二上·四川攀枝花·期中）已知点，，动点满足，动点的轨迹为记为.
(1)求轨迹的方程.
(2)若为上一点，且点到轴的距离，求内切圆的半径的取值范围.
(3)若直线与交于，两点，，分别为的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 椭圆16大重点题型（期中专项训练）
【苏教版】
1．（2026高二上·广西·期中）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（ ）
A．1 B．6 C．7 D．4
【答案】D
【解题思路】应用椭圆的定义可直接得到正确结果.
【解答过程】解：因为椭圆，所以椭圆长轴长为，
由椭圆定义知，所以.
故选：D.
2．（2026高二上·江苏扬州·期中）椭圆的焦点为 为椭圆上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】利用椭圆的定义表达式，代值计算即得.
【解答过程】由椭圆方程：，可知，
因，故.
故选：D.
3．（2026高二上·四川眉山·期中）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解题思路】根据线段的中点M在y轴上，推出轴，由此可设，代入椭圆方程求出即，再由椭圆定义可得．
【解答过程】由可知，即，
所以，故不妨设，
因为线段的中点M在轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
设，将代入椭圆方程，得，得，
所以，∴．
故选：D.
4．（2026高二上·上海·期中）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于 .
【答案】36
【解题思路】分焦点在和两种情况，根据椭圆定义得到方程，求出答案.
【解答过程】若焦点在轴上，由椭圆定义得，解得，满足要求，
若焦点在轴上，，不合题意，
综上，.
故答案为：36.
5．（2026高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的焦点分别是、，点、分别为椭圆的长轴端点，点为椭圆的短轴端点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点在这个椭圆上，且，求的长.
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）由焦点得到，再由，即可求出、，从而求出椭圆方程；
（2）根据椭圆的定义得到，解得即可.
【解答过程】（1）因为椭圆的焦点分别是、，所以，
又因为，即，联立可得，
所以椭圆的方程为；
（2）因为点在这个椭圆上，所以，由小问（1）知，
所以，又，联立可得.
6．（2026高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】依据题干信息得出的值即可得椭圆方程.
【解答过程】设椭圆方程为，则且，得，故椭圆方程为.
故选：A.
7．（2026高二上·湖南永州·期中）已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】结合椭圆的性质可分别求得的值，即可得到结果.
【解答过程】椭圆上的点到左焦点的最大值为，椭圆上的点到左焦点的最小值为，
联立，解得，，
根据，得，则椭圆方程是.
故选：D.
8．（2026高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】利用椭圆的定义求解即可.
【解答过程】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故，
且，故，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B.
9．（2026高二上·福建莆田·期中），且经过点的椭圆的标准方程为 .
【答案】或.
【解题思路】由题意结合椭圆的性质，可列出、的关系式，再设出椭圆的标准方程，然后把点代入求解即可.
【解答过程】因为，由椭圆的性质得，则，
所以可设椭圆的标准方程为或
又因为椭圆经过点，所以或，
若，则，此时，椭圆的标准方程为；
若，则，此时椭圆的标准方程为.
故椭圆的标准方程为：或.
故答案为：或.
10．（2026高二上·吉林长春·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且；
(2)焦点在坐标轴上，且经过两个点.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）设出椭圆方程，根据椭圆定义求出，将点代入方程求出得解；
（2）待定系数法求解即可求得椭圆的标准方程.
【解答过程】（1）由题设椭圆方程为，，
，即，
将点代入方程，可得，
所以椭圆方程为.
（2）设椭圆的方程为，
将点，代入椭圆的方程，
得，解得，，
所以椭圆的标准方程为.
11．（2026高二上·浙江宁波·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】根据题意得不等式组，解出即可.
【解答过程】由题意有：.
故选：A.
12．（2026高二上·福建泉州·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】先化为椭圆标准方程，再根据椭圆方程性质列不等式组计算即可求参.
【解答过程】因为方程表示椭圆，
所以且与不相等，
所以.
故选：C.
13．（2026高二上·江苏南京·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据椭圆方程的概念求解即可.
【解答过程】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，即.
故选：C.
14．（2026高二上·贵州·期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【解题思路】根据焦点在x轴上的椭圆的标准方程的特征列不等式求解.
【解答过程】方程可化为，
由题意得解得，
故实数k的取值范围是．
故答案为：．
15．（2026高二上·全国·专题练习）已知方程＝1.
(1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）根据椭圆的标准方程求解；
（2）根据椭圆的标准方程求解；
（3）根据椭圆的标准方程求解.
【解答过程】（1）依题意，有，解得.
故实数m的取值范围为.
（2）依题意，有，解得.
故实数m的取值范围为.
（3）依题意，有，解得，且，
故实数m的取值范围是.
16．（2026高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由一般方程得到圆心和半径，再由几何关系得到点的轨迹是以为焦点的椭圆即可；
【解答过程】

由题意得，圆心，半径，
因为，，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，
所以动点的轨迹方程为，
故选：B.
17．（2026高二上·河北唐山·期中）设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C．+ D．
【答案】B
【解题思路】由题意得到，根据椭圆的定义，可得点的轨迹是一条以为焦点的椭圆，即可得到答案.
【解答过程】由题意的周长为，，
所以，所以,
可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为除去长轴的两个端点的椭圆，
所以，
所以点的轨迹方程为.
故选：B.
18．（2026高二上·重庆江北·期中）已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程.
【解答过程】圆心、半径分别为，
由可知圆内含于圆内，
设动圆半径为，由题意，
两式相加可得，
故点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，
所以，所以椭圆方程为．
故选：A.
19．（2026高二上·福建福州·期中）已知的周长为24，且顶点，则顶点的轨迹方程是 .
【答案】
【解题思路】由题意可得动点到两定点的距离之和大于两定点，结合椭圆的定义与标准方程，可得答案.
【解答过程】由题意可得，且，
易知顶点的轨迹为去掉与轴上的交点的椭圆，可得其方程为，
可得，，则，所以轨迹方程为.
故答案为：.
20．（2026高二上·四川乐山·期中）（1）求经过两点的椭圆的标准方程；
（2）如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，求曲线的方程．
【答案】；.
【解题思路】（1）设椭圆方程为代入点求解即可；
（2）利用相关点法计算求轨迹方程即可；
【解答过程】（1）设椭圆方程为，
则有，解得，
所以所求椭圆方程为.
（2）设，
由题意可知，
又P点在圆上，
所以，化简得，
所以曲线的方程为.
21．（2026高二上·广西·期末）椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（ ）
A． B．12 C． D．20
【答案】B
【解题思路】根据椭圆的定义直接求解即可.
【解答过程】由题意，所以，
故的周长为.
故选：B.
22．（2026高二上·福建泉州·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】解法一：利用椭圆焦点三角形的二级结论直接计算即可.
解法二：设，根据椭圆定义结合余弦定理可得，进而可得面积.
【解答过程】解法一：根据椭圆焦点三角形的面积公式.
解法二：由椭圆方程可知：，
设，
则，
在中，由余弦定理可得，
即，可得，
所以的面积为.
故选：C.
23．（2026高二上·四川宜宾·期中）已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（ ）
A．4 B．9 C． D．12
【答案】D
【解题思路】根据椭圆的定义求解.
【解答过程】根据椭圆方程可得，则，
由椭圆的定义得，，，
所以的周长为.
故选：D.
24．（2026高二上·浙江温州·期中）经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则的周长为 .
【答案】12
【解题思路】根据题意，由椭圆的定义代入计算，即可得到结果.
【解答过程】

由椭圆的定义可得，，
且，，
所以的周长为.
故答案为：.
25．（2026高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直.
(1)证明：；
(2)若的角平分线恰好过点，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解题思路】（1）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得结论；
（2）由角平分线定理可得，，解得，代入可求得面积.
【解答过程】（1）由椭圆的定义得，
因为直线与x轴垂直，所以，
即，
故.
（2）因为平分，所以，即，如下图所示：
由和，解得，，
代入得，解得；
故的面积为.
26．（2026高二上·广东深圳·期中）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最小值为2，则（ ）
A．8 B．4 C． D．2
【答案】C
【解题思路】根据题意，由条件可得，再由的关系，即可得到结果.
【解答过程】因为椭圆上的动点到右焦点距离的最小值为2，
即，又，则，所以.
故选：C.
27．（2026高二上·福建·期中）椭圆上一点P到左焦点的距离为6，则P到右焦点的距离为（ ）
A．5 B．6 C．4 D．12
【答案】C
【解题思路】根据椭圆的定义求解即得.
【解答过程】由，则，所以，
根据椭圆的定义，点到右焦点的距离为.
故选：C.
28．（2026高二上·浙江·期中）已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得的最小值.
【解答过程】如下图所示：
在椭圆 中，，
则，
圆的圆心，半径，
圆心为椭圆的左焦点，由椭圆定义可得，
，
由椭圆的几何性质可得，即，
由圆的几何性质可得，
所以，
所以的最小值是.
故选：B.
29．（2026高二上·浙江嘉兴·期中）点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，若，则 ．
【答案】2
【解题思路】由椭圆的定义结合中位线性质即可求解.
【解答过程】
如图，设椭圆的另一焦点为，则，
由中位线可知：，
所以，
所以，
故答案为：2.
30．（2026高二上·河南开封·期中）在平面直角坐标中，，，点是平面上一点，使的周长为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解题思路】（1）由题意得出，由椭圆的定义可知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆（去掉左右端点），设点的轨迹方程为，求出、的值，可得出点的轨迹方程；
（2）利用，并利用基本不等式可求出的最大值.
【解答过程】（1）由题知，，，
由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以点、为焦点的椭圆（去掉左右端点），
设动点的轨迹方程为，则，，
，得，因此，动点的轨迹方程为；
（2）由（1）可知，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
因此，的最大值为.
31．（2026高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解.
【解答过程】
由题意，为一个焦点，另一焦点为，且；
因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值；
由于，当三点共线时取等号；
所以的最大值为；
故选：D.
32．（2026高二上·河南·期中）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左 右焦点，，则的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
【答案】B
【解题思路】利用椭圆的定义式，将转化为，结合图形分析判断得出的最小值，即得的最小值.
【解答过程】
如图，连接,因，则，
由图知，当三点共线，且点在之间时，的值最小，
最小值为,此时，的最小值为.
故选：B.
33．（2026高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求出的最大值.
【解答过程】如图,

由，得，，则，
则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为，
由椭圆的定义得，
所以，
又，
所以，
当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时，
上述不等式中的两个等号同时成立，
故的最大值为.
故选：B.
34．（2026高二上·江西南昌·期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最大值为 .
【答案】
【解题思路】由方程得出椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义得出，结合图象求出的最大值，即可得出答案．
【解答过程】椭圆，则，，，
如图，椭圆的右焦点为，
则，
，
由图结合三角形两边之差小于第三边，则，
则当点在射线与椭圆的交点时，取最大值，
的最大值为．
故答案为：.
35．（2026高二上·全国·课后作业）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，点，点.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求的最大值．
【答案】(1)
(2)5
【解题思路】（1）设，根据斜率之积列方程，化简即可得到结果.
（2）确定椭圆的左右焦点，根据椭圆的定义转化即可得到最大值.
【解答过程】（1）设，则，，
由得，整理得.
故点P的轨迹方程为.
（2）由（1）知点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，
故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为.
∵，∴点Q在椭圆内，
由椭圆的定义得，
当三点共线（在线段上）时取等号，所以的最大值为5.
36．（2026高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据点点距离公式即可结合二次函数的性质求解.
【解答过程】设是椭圆上的一个动点，则，，
由于，故当时，取最大值，
故选：C.
37．（2026高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据题意设，从而得到所需线段关于的表示，再利用勾股定理与余弦定理依次求得关于的表示，进而得解.
【解答过程】因为，不妨设，则，
由椭圆的定义与对称性可得，，，
因为，所以，
则，解得，
则，故，
则在中，由，
得，解得，
所以椭圆的离心率为.
故选：C.
38．（2026高二上·浙江绍兴·期中）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（ ）
A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80]
【答案】C
【解题思路】由是左焦点，连接，利用椭圆对称性及定义，将目标式化为，结合及二次函数性质求范围.
【解答过程】若是左焦点，连接，又关于原点对称，

所以为平行四边形或为左右顶点，则，
由，则，
故，则
，开口向上且对称轴为，又，
所以.
故选：C.
39．（2026高二上·上海·期中）点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是 ．
【答案】
【解题思路】根据椭圆的性质求解即可.
【解答过程】因为椭圆，
所以椭圆上的点的横坐标取值范围为，
故答案为：.
40．（2026高二上·北京顺义·期中）如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则 .
【答案】15
【解题思路】根据图形的对称性和椭圆的定义可得结果.
【解答过程】
设椭圆的右焦点为，连接.由题意得，.
由图形对称得，.
由椭圆定义得，，故，
所以.
故答案为：15.
41．（2026高二上·湖南长沙·期中）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】由离心率及焦距可得，即可得出椭圆方程.
【解答过程】设椭圆的标准方程为，焦距为，
由得，由得，
故，
所以该椭圆的方程为．
故选：D．
42．（2026高二上·河北邢台·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】利用椭圆中的关系求解即可.
【解答过程】由题意可得解得，
所以椭圆的方程为.
故选：A.
43．（2026高二上·广西北海·期中）已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据概念得到，即可得到结果.
【解答过程】由题意易得，则，
因为椭圆的离心率为，所以，
则，
故的标准方程为，
故选：A．
44．（2026高二上·广西·期中）已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为 .
【答案】
【解题思路】根据题意求出和，再写出标准方程.
【解答过程】由题意易得，则，
因为椭圆的离心率为，所以，则，
故的标准方程为.
故答案为：.
45．（2026高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点.
(1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程;
(2)若，求椭圆的长轴长.
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）利用焦距、结合离心率求出即得.
（2）由离心率可得，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求出即可.
【解答过程】（1）由椭圆的焦距为，得半焦距，
由椭圆的离心率为，得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）由椭圆的离心率为，得，则，椭圆，
由消去得：，，
设，则，
由，得，
则，解得，符合题意，，，
所以椭圆的长轴长为.
46．（2026高二上·北京顺义·期中）已知椭圆方程为：，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【解题思路】把椭圆的方程化为标准方程得，即可得到长轴长.
【解答过程】椭圆方程可化为，故，长轴长为4.
故选：A.
47．（2026高二上·江苏南通·期中）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
【答案】C
【解题思路】分别由两个椭圆方程求出对应的，由此得到长轴长、短轴长、焦距和离心率的值，然后得到结果.
【解答过程】椭圆中，，即，，∴，
即长轴长，短轴长，焦距，离心率，
椭圆中，，即，，∴，
即长轴长，短轴长，焦距，离心率，
∴两个椭圆中只有焦距相等.
故选：C.
48．（2026高二上·广东广州·期中）已知椭圆的焦距为2，则（ ）
A． B．3或5 C．或 D．5
【答案】B
【解题思路】分类讨论焦点位置，结合焦距公式计算即可.
【解答过程】当椭圆焦点在轴上时,此时，，已知焦距，则.
根据，可得，解得.
当椭圆焦点在轴上时,此时，，由，
根据，可得，解得.
综上所得，的值为或，
故选：B.
49．（2026高二上·天津北辰·期中）已知椭圆的焦距是4，则该椭圆的长轴长为 ．
【答案】
【解题思路】根据焦点在轴或轴上分类讨论．
【解答过程】当焦点在轴上时，，解得，
所以长轴长为；
当焦点在轴上时，，解得（舍去），
综上所述，椭圆的长轴长为.
故答案为：.
50．（2026高二上·北京·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，经过右焦点且斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点．
(1)写出椭圆C的焦点坐标和离心率；
(2)求的面积．
【答案】(1)，；
(2).
【解题思路】（1）根据给定的椭圆方程直接求出焦点坐标及离心率.
（2）求出直线的方程，与椭圆方程联立，结合三角形面积公式计算即得.
【解答过程】（1）椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，
所以，离心率.
（2）由（1）知，直线的方程为，

由消去得：，解得，
所以的面积.
51．（2026高二上·广东广州·期中）已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，则可得，从而可求解.
【解答过程】椭圆E的焦点为，则，
如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有，
在中，由余弦定理推论得，
在中，由余弦定理得，解得，
，
所求椭圆E的离心率为.
故选：B．
52．（2026高二上·四川宜宾·期中）已知，为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据题意，由椭圆的对称性可得，结合椭圆的定义和勾股定理求得答案.
【解答过程】如图，由得，，所以是直角三角形，

又由椭圆是中心对称图形，可知四边形是平行四边形，即，
又，，则，，
又因为，是直角三角形，
所以，即，即，
所以．
故选：B．
53．（2026高二上·广东东莞·期中）已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据题意画出图形，求出临界情况的离心率，再结合题意即可求出取值范围.
【解答过程】
从椭圆长轴端点向圆引两条切线，，则两条切线形成的夹角最小.
若在椭圆上存在点，过作圆的切线,，切点为,，使得，
则只需，即，
，
所以，则，所以，
所以，即，所以，
又因为，所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：C.
54．（2026高二上·安徽淮南·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【解题思路】设线段的中点为，连接，求出、，利用勾股定理可得出关于、、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值.
【解答过程】设线段的中点为，连接，
由题意知，，
因为为的中点，所以，是的中位线，则，
由椭圆的定义知，
又，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，即，
又，可得，故有，
由此可求得离心率，
故答案为：.
55．（2026高二上·内蒙古包头·期中）已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)．
【解题思路】（1）由题意推理可得，利用点在椭圆上，代入消元后可得，结合即可求得离心率；
（2）设、，由直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长和点 到直线的距离，由三角形面积列出方程，求出参数值即得椭圆方程.
【解答过程】（1）因椭圆上、下顶点的坐标分别为、，
依题意，整理得（*），
因点在椭圆上，则，即，
代入（*），化简得： ，又，所以，
则椭圆的离心率；
（2）

如图，设、，由（1）已得，
则由，消去并整理得，
此时，解得，
由韦达定理得，，
所以，
又原点到直线的距离，
所以的面积，解得，
故椭圆的方程为．
56．（2026高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解.
【解答过程】由消去y并整理得：，显然，
因此方程组有两个不同的解，
所以与相交.
故选：A.
57．（2026高二上·河南郑州·期中）直线与椭圆的公共点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】C
【解题思路】分析可知直线和均过，结合图象即可判断.
【解答过程】直线和均过，
结合图象可知直线与椭圆的公共点个数为2个.
故选：C.
58．（2026高二上·河南·期中）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】出及的图像，结合图像即可求解.
【解答过程】由题意，表示焦点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为，
当直线经过点时，，当直线与椭圆相切时，
由，得，
所以，解得（负根舍去），当直线与半椭圆有两个交点时，
根据图象，的取值范围为.
故选：A.
59．（2026高二上·浙江杭州·期中）若直线与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是 ．
【答案】
【解题思路】联立直线与椭圆方程，根据可得m的范围.
【解答过程】由得，，
∵直线与椭圆有两个不同的交点，
∴，解得，
∴m的范围是.
故答案为：.
60．（2026高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）由焦距、离心率得、，结合椭圆参数关系即可得方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用求参数范围.
【解答过程】（1）由题意，则，又，则，则，
所以C的标准方程为.
（2）联立与，有，整理得，
由题意，，则，则.
61．（2026高二上·江苏常州·期中）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得.
【解答过程】当直线斜率不存在时，
由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上，
而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意.
故直线斜率存在，可设斜率为，
则直线的方程为，即，
代入椭圆的方程化简得，
所以，解得，满足，
故直线方程为，即.
故选：B.
62．（2026高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解题思路】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解.
【解答过程】解：在中，，，
所以，即，
故左焦点为，而，
故直线的方程为，
联立得，
，设，，
由韦达定理得，，
则由弦长公式得．
故选：B．
63．（2026高二上·江苏镇江·期中）已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】求出圆心，由垂径定理得⊥，从而得到，写出直线方程.
【解答过程】的圆心为，
为过点的弦，当弦被点平分，
由垂径定理得⊥，
其中，故，
所以直线的方程为，即.
故选：B.
64．（2026高二上·陕西咸阳·期中）过点作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，线段的长度是 ．
【答案】
【解题思路】用点差法求出直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程，结合弦长公式即可求出结果.
【解答过程】设，，因为线段的中点为，
根据中点坐标公式得：，，
由，在椭圆上，有，两式相减化简得：
，
所以，即直线的斜率为，
可得直线的方程为：，即，
联立方程，消去得：，
则，，
所以线段的长度是：
，
故答案为：.
65．（2026高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求的长．
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）根据已知求椭圆参数，即可得椭圆方程；
（2）由题设直线为，联立椭圆求交点坐标，再应用弦长公式求弦长.
【解答过程】（1）由题设，又为正三角形，则，
所以，则椭圆C的标准方程为.
（2）由（1）知，，故该直线为，
由，消去可得，故，，
所以．
66．（2026高二上·江西抚州·期中）已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】运用点差法求得的值，进而求得的值，结合求解即可.
【解答过程】如图所示，
由直线可知，直线斜率，
设，，则①，②，
又因为为线段的中点，则，，
由①②可得，即，
又因为，所以解得，
所以椭圆方程为，经检验点C在椭圆内，
所以，解得，则，
所以.
故选：C.
67．（2026高二上·陕西商洛·期中）已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（ ）
A．10 B．8 C．24 D．
【答案】B
【解题思路】由题目条件得到四边形为矩形，即⊥，由勾股定理和椭圆定义得到方程组，求出，得到答案.
【解答过程】椭圆中，，
因为、为C上关于坐标原点对称的两点，所以，
又，故四边形为平行四边形，
又，故四边形为矩形，即⊥，
由勾股定理得①，
由椭圆定义得②，
式子②平方得，
结合①得，
故四边形的面积为.
故选：B.
68．（2026高二上·湖北武汉·期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】设出直线方程和椭圆方程，把直线方程带入椭圆方程，根据离心率公式及韦达定理即可求出，利用三角形面积公式及基本不等式即可求得面积的最大值.
【解答过程】设椭圆的方程为，直线的方程为，
，
联立整理得：
，
由椭圆的离心率，得，
带入上式并整理得：
，
则，
由与的面积之比为，则，
则，
所以的面积为
，
当且仅当时，等号成立，
故面积的最大值为
故选：.
69．（2026高二上·吉林长春·期中）直线与椭圆交于、两点，短轴的上顶点为点，则的面积为 .
【答案】
【解题思路】将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，并求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【解答过程】设点、，联立，可得，，
由韦达定理可得，，
所以，
椭圆的上顶点为，点到直线的距离为，
所以，.
故答案为：.
70．（2026高二上·山东济南·期中）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由离心率和椭圆过点解得的值，写出椭圆方程；
（2）写出直线方程，联立方程组消元得到二次方程，用韦达定理表示出线段的长，再求出点到直线的距离，由三角形面积公式求得四边形面积代数式，然后求最大值.
【解答过程】（1）由题意可得：，解得，
由椭圆过点，得，联立解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意可设，
因点在第一象限，则，
设，，点，到直线的距离分别为，，
由，消可得，
，当时，，
所以，，
所以，
，，直线的一般式方程：，
所以，，
所以，
所以，
当时，有最大值为.
71．（2026高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由点差法结合已知可得，进而求出，根据椭圆上一点到焦点的距离的最小值为求得结果.
【解答过程】设，则，
两式作差得，即，即①，
因为点恰好是的中点，所以，
又因为直线的斜率为，
将它们代入①式得，解得，
又，则，
所以椭圆上一点到焦点的距离的最小值为．
故选：B．
72．（2026高二上·上海杨浦·期中）已知过点D（2，0）的直线l与椭圆 相交于不同的两点A、B，M是弦AB的中点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】显然直线斜率存在，设其方程为，设，，直线方程代入椭圆方程整理后由韦达定理得，由中点坐标公式表示出中点的横坐标，然后用横坐标表示出并化为的代数式，从而求得最大值．
【解答过程】显然直线斜率存在，设其方程为，设，，
由得，，
，，
∴，，
，
，
又，时取得最大值1，
所以的最小值是．
故选：A．
73．（2026高二上·云南昆明·期中）设过点的直线和椭圆交于两点(在上方)，则的取值范围为 .
【答案】
【解题思路】当直线的斜率不存在时，可得；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，由两点间的距离公式及韦达定理可得，设，则有，代入，消去，解出的范围，即得答案.
【解答过程】解：当直线的斜率不存在时，
则有，此时；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，
由，可得，
，
则有，
解得或，
由韦达定理可得，
又因为，
同理可得，
所以，
由，可知同号，
所以，
设，
则，
又因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，
即，
所以，即，
解得，
即，
综上，.
故答案为：.
74．（2026高二上·福建福州·期中）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率存在的直线过点，且与椭圆交于，两点，，，三点不共线，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）由离心率和椭圆上的点，列方程求出椭圆的方程.
（2）设直线方程，与椭圆方程联立，利用面积公式表示出的面积，由基本不等式求最大值.
【解答过程】（1）由椭圆离心率为，得，则，椭圆方程为，
而点在椭圆上，，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意，直线l斜率存在且不垂直于轴，设直线l的方程为，而，
由消去并整理得，
由，得，，
则，
因此
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
75．（2026高二上·重庆·期中）已知的周长为定值，、、，的最大值为．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）设，，设，利用余弦定理结合基本不等式、余弦函数的单调性可知当时，角取最大值，结合余弦定理求出的值，分析可知，曲线为椭圆，求出的值，即可得出曲线的方程；
（2）根据题意，设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出点的横坐标以及，考虑即可，结合基本不等式可求得的最大值.
【解答过程】（1）设，，设，即，且，
由三角形的三边关系可得，则，
由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立，
因为余弦函数在上为减函数，且，
故当取最大值时，取最小值，所以，，解得，
所以，，
因此，曲线是除去长轴端点的椭圆，且其长轴长为，焦距为，
所以，，
因此，动点的轨迹的方程为.
（2）易知点，根据题意，设直线的方程为，其中，
设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
则，
故点，所以，，
线段的中点为，，
所以，线段的中垂线方程为，
同理可得，线段的中垂线方程为，
其中，，
联立，可得，
所以，，
要求的最大值，只需考虑即可，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
76．（2026高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆：（）过的三个顶点，，，当直线垂直于轴时，直线过椭圆的一个焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的平分线垂直于轴，求证：直线的斜率为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）由题意得，解得，，即可得到椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程，求得的横坐标，同理求得的横坐标，进一步求得、的纵坐标的差，代入斜率公式得结果.
【解答过程】（1）由题意，，则有，解得，，
所以，椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，
设，，
直线的方程为，即，
联立方程组，消去得，
因为，为直线与椭圆的交点，
所以，把换成得：，
所以，，
所以直线的斜率，
故直线的斜率为定值.
77．（2026高二上·河南郑州·期中）已知椭圆的左焦点为，短轴长为，点在椭圆上且的最大值是最小值的倍.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不经过点的直线与椭圆相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）根据短轴长求出，再结合的最值关系求出和，从而得到椭圆方程；
（2）设出直线方程和交点坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理和斜率公式求出直线所过定点.
【解答过程】（1）已知短轴长为，根据椭圆的性质，.
设椭圆的半焦距为，已知的最大值是最小值的倍，即.
展开可得，即.
又因为，把代入可得.
即，解得，那么.
所以椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，,.
因为，在椭圆上，代入可得，.
已知，则，，.
把代入得，其值不为，
所以直线的斜率存在.
设直线的方程为，，.
联立直线与椭圆方程，得.
展开可得，
整理得.
根据韦达定理，，.
因为，所以，，.
即，.
展开得.
将，代入上式并化简可得.
即，解得或.
当时，直线的方程为， 经过原点.
当时，直线的方程为，所以直线恒过定点，不合题意.
综上所得，直线恒过定点原点.
78．（2026高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）由椭圆定义得到，求出，结合焦点坐标，得到，得到椭圆方程；
（2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，得到两根之和，两根之积，表达出直线和直线的方程，联立求出，解得，故点D在定直线上.
【解答过程】（1），由椭圆定义知
，
所以，又，
所以椭圆C的标准方程为
（2）若直线l的斜率为0，此时两点与重合，不合题意，舍去，
，设直线l的方程为，
由，得．

显然恒成立，设，
所以有①
直线的方程为，直线的方程为，
联立两方程可得，所以，
，
由①式可得，
代入上式可得，
即，解得，故点D在定直线上.
79．（2026高二上·浙江台州·期中）已知椭圆焦距为2，离心率e是
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为.
①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值；
②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)①；②直线恒过点
【解题思路】（1）根据焦距得到的值，再根据离心率以及求得的值；
（2）①设出直线方程以及点的坐标，联立分别求得弦长，根据面积公式求得最值；②根据①表示出的坐标，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，可得到定点
【解答过程】（1）依题意有，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）①设，则
联立，，
由弦长公式可得：
同理可得：，
所以
令，则
当的最小值是；
②
，由代替m，得，
当，即时，，过点.
当，即时，，
，
当时，，经验证直线过点，
综上，直线恒过点.
80．（2026高二上·四川攀枝花·期中）已知点，，动点满足，动点的轨迹为记为.
(1)求轨迹的方程.
(2)若为上一点，且点到轴的距离，求内切圆的半径的取值范围.
(3)若直线与交于，两点，，分别为的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)是定值，
【解题思路】（1）因为，所以利用椭圆的定义可得的方程；
（2）表示出的周长和面积，进而求出内切圆的半径；
（3）方法一：联立与椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，故，故，计算出即可；
方法二：联立与椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，故，计算出即可.
【解答过程】（1）因为，
所以是以为焦点，且长轴长为6的椭圆.
设的方程为，则，可得，又，
所以，所以曲线的方程为：.
（2）的周长，
的面积，
所以内切圆的半径，
故内切圆的半径的取值范围为.
（3）
方法一：联立，得，
设，，易知，且，.
则，，
所以.
由，，得，
所以.
所以为定值，且定值为.
方法二：联立，得，
设，，易知，且，.
则，，因为，
.
所以，故为定值，且定值为.
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