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专题03 直线与圆综合必考九类问题（举一反三专项训练）
【类型1 圆的弦长与中点弦问题】 2
【类型2 圆的切线及切线方程问题】 7
【类型3 直线与圆中的面积问题】 12
【类型4 直线与圆中的最值问题】 16
【类型5 直线与圆中的距离问题】 21
【类型6 阿波罗尼斯圆】 26
【类型7 直线与圆中的向量问题】 32
【类型8 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 37
【类型9 直线与圆中的探索性问题】 42
知识点1 直线与圆相交时的弦长求法
1．圆的弦长的求法：
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
知识点2 圆的切线及切线方程问题
1．自一点引圆的切线的条数：
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程：
(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
(2)重要结论：
①经过圆上一点P的切线方程为.
②经过圆上一点P的切线方程为.
③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.
知识点3 解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法
1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题的解题方法
直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
知识点4 阿波罗尼斯圆
1．阿波罗尼斯圆
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.
【类型1 圆的弦长与中点弦问题】
1．（2026高二上·江苏淮安·期中）直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据题意，利用圆的弦长公式计算，即可求解.
【解答过程】由圆，则圆心为，半径为，
由圆心为到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长为.
故选：B.
2．（2026高二上·江苏无锡·期中）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出直线恒过定点，分析可得在圆内部，分析可得：当直线与垂直时，弦最小，求出此时的值，由弦长公式即可求解.
【解答过程】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径，
直线，即，恒过定点，
又由圆的方程为，则点在圆内，
当直线与垂直时，弦最小，
此时，
则的最小值为；
故选：A.
3．（多选）（2026高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ）
A．直线l与圆C相交
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．点C到直线l的距离的最大值是
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为
【答案】ACD
【解题思路】对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程．
【解答过程】由，
则，得，即恒过定点，
由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确；
令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误；
点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确，
要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则，
所以，可得，故直线为，故D正确．
故选：ACD．
4．（2026高二上·江苏·阶段练习）已知圆，直线.若定点分弦为，求直线的方程 .
【答案】或
【解题思路】根据题意确定之间的关系，并得出坐标关系的第一个关系式；将直线与圆的方程联立得到第二个关于坐标关系式；两个关系式联立即可求出的值，进而求出直线的方程.
【解答过程】设，由，，
,
， ,①
由得:（*）,,②
由①②解得，带入（*）式解得，
直线的方程为或.
故答案为：或.
5．（2026高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆M过点，圆心M在直线上，且直线与圆M相切．
(1)求圆M的方程；
(2)过点的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段的中点，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】（1）对于求圆的方程，我们需要确定圆心坐标和半径，根据已知条件，利用圆过的点、圆心所在直线以及直线与圆相切的关系来建立方程组求解圆心坐标和半径.
（2）在求直线方程时，先根据中点关系设出点的坐标，再代入圆的方程求出点的坐标，然后分情况根据两点确定直线斜率求出直线方程.
【解答过程】（1）首先设圆M的方程为。.
因为圆M过点，把点代入圆的方程可得①.
又因为圆心M在直线上，所以②.
由于直线与圆M相切，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的关系，可得③.
联立①②③求解：由②可得, 将代入①和③.
把代入①得，
展开可得，进一步展开得到.
把代入③得.
因为.
由，解得.
把代入得.
再把，代入①可得，所以.
所以圆M的方程为.
（2）设，因A为线段BD的中点，根据中点坐标公式，所以，
因为A，B在圆M上，所以，
对第一个方程展开得，
即④，
对第二个方程展开得，
即⑤，
由④⑤得：，
展开得化简得，即，
把代入④得，
即，
解得或，
当时，；当时，，
当时，因为，此时直线垂直于轴，所以直线的方程为；
当时，由可得直线的斜率，
根据直线的点斜式方程，这里，
所以直线的方程为，整理得，
，即.
综上所得，直线的方程为或.
6．（2026高二上·江苏扬州·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点．
(1)若弦长，求直线的方程；
(2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值．
【答案】(1)或；
(2)最大，此时.
【解题思路】（1）根据已知，令直线，利用几何法求点线距离，再应用坐标法列方程求参数，即可得直线方程；
（2）令直线，应用点线距离公式、弦长公式及三角形面积求法列方程，利用基本不等式求面积最大值，注意取值条件即可得答案.
【解答过程】（1）若直线斜率不存在，则，此时，不符题设，
由，则圆心，半径为3，又，
所以到直线的距离，
令直线，则，可得，故或，
所以直线的方程为或；
（2）由（1）直线斜率不存在，有，
又到直线的距离，则；
若直线斜率存在，令，
此时到直线的距离，，
所以，令，
则，当且仅当，即或时等号成立，
所以，此时最大.
【类型2 圆的切线及切线方程问题】
7．（2026高二上·福建三明·阶段练习）已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】利用点到直线的距离公式求出切线的斜率，再求直线方程即可，特别要注意直线斜率是否存在.
【解答过程】因为，所以圆心，半径，
①当切线斜率不存在时，无法与圆相切，舍；
②当切线斜率存在时，不妨设，则，解得.
所以切线方程为.
故选：D.
8．（2026高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则=（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【解题思路】依题意可知直线过圆心，求得，根据点结合点到直线距离以及等面积法可得结果.
【解答过程】由圆可得，
所以圆心，半径为；
又由直线是圆的对称轴，即直线过圆心，
所以，解得，即；
因此，
所以切线长；
由圆的性质可知，所以四边形的面积为，
可得.
故选：D.
9．（多选）（2026高二上·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（ ）
A．切线长的最小值为
B．四边形面积的最小值为4
C．当最小时，弦所在的直线方程为
D．弦所在直线必过定点
【答案】BD
【解题思路】根据圆的标准方程得出圆心为，半径为2，由圆切线的性质及勾股定理得，再根据点到直线的距离公式得出，即可判断A；结合A的结论得出即可判断B；结合A的结论，根据两直线交点，中点公式及点斜式方程求得弦所在的直线方程，即可判断C；设，得出以为直径的圆的方程，与圆方程相减即可得出弦所在直线方程，进而求得定点，即可判断D．
【解答过程】对于A，圆的圆心为，半径为2，
由题意可得，
所以，
，
所以，故A错误；
对于B，，
所以四边形面积的最小值为4，故B正确；
对于C，当最小时，，则直线的斜率为，
又，所以直线的斜率为，
的直线方程为，即，
由，解得，，即，
因为当最小时，，所以为等腰直角三角形，
所以中点即为中点，
因为的中点为，所以弦的中点为，
所以弦所在的直线方程为，即，故C错误；
对于D，设，
则以为直径的圆的方程为，
展开得①，
圆C的方程为，即②，
①②得弦所在直线方程为，即，
令，解得，
所以弦所在直线必过定点，故D正确；
故选：BD．
10．（2026高二上·宁夏吴忠·期中）已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为 ．
【答案】和
【解题思路】根据相切，结合点到直线的距离，分类讨论即可求解.
【解答过程】圆的圆心和半径分别为，
当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意，
当直线有斜率时，设，
此时圆心到直线的距离为，解得，
此时直线方程为，即，
综上可得和
故答案为：和.
11．（2026高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知圆C经过三点，，．
(1)求圆C的方程；
(2)求过点A与圆C相切的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）将三个点的坐标代入到圆的一般方程中即可求解；
（2）根据切线方程与过该切点的半径垂直可得到切线的斜率，再根据点斜式可求得结果.
【解答过程】（1）设圆C的方程为，，
因为圆C经过三点，，，
所以，
解得，满足，
故圆C的方程为；
（2）由（1）知圆C的方程为，
根据圆心坐标，可得圆心，
所以的斜率为，
故切线的斜率为，
所以切线方程为，即.
12．（2026高二上·江苏泰州·期中）（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长；
（2）自点作圆的切线，求切线的方程.
【答案】（1）2；（2）或.
【解题思路】（1）利用切线与半径的垂直关系，利用勾股定理求得切线长；
（2）法1，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，再根据圆心到直线距离等于半径列式运算求解；法2，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，联立方程组根据判别式等于0求解.
【解答过程】（1）设从向圆引切线的一个切点为，则，
又因为，
所以，即切线的长为2.
（2）解法1：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件；
当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，所以，
解得或，
因此，切线的方程为或.
解法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件.
当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，
因为直线与圆相切，所以方程组仅有一组解，
由方程组消去得，
所以，
解得或，
因此，切线的方程为或.
【类型3 直线与圆中的面积问题】
13．（2026高二上·江苏扬州·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据直线方程可得，根据圆的方程圆心到直线的距离为，进而可得点到直线的距离的取值范围和面积的取值范围.
【解答过程】由直线可知，则，
由圆可知圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
设点到直线的距离为，
则，即，
所以面积.
故选：C.
14．（2026高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【解题思路】由相切的关系可得出都是直角三角形，根据几何关系可知四边形的面积取决于M的位置，可得当时四边形面积可取得最小值，进而求出此时四边形面积的值.
【解答过程】如图所示，
因为MC，MD都与圆相切，所以，
因为在Rt和Rt中，，OM为公共边，
.
又因为，
所以当取得最小值时，面积最小，
此时四边形面积也取得最小值，
又由勾股定理，，
所以当取最小值时，最小.
由题意，当时，取得最小值，，
所以此时，，
故四边形面积的最小值.
故选：D.
15．（多选）（2026高二上·浙江·阶段练习）已知圆，直线与圆交于，两点，则以下四个选项中正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标是 B．
C． D．的面积是
【答案】AB
【解题思路】对于A，利用配方法整理圆的方程，根据圆的标准方程，可得答案；
对于B，利用点到直线的距离公式求得弦心距，根据弦长公式，可得答案；
对于C，根据垂径定理的相关性质，结合正弦函数的二倍角公式以及锐角三角函数定义，可得答案；
对于D，根据三角形的面积公式，可得答案.
【解答过程】由题意，过作，垂足为，作图如下：

对于A，由方程，整理可得，则圆心，故A正确；
对于B，圆心到直线的距离是，
则，故B正确；
对于C选项，，故C错误；
对于D选项，，故D错误．
故选：AB.
16．（2026高二上·湖南益阳·期末）已知圆，直线与交于两点，则的面积等于 .
【答案】
【解题思路】根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可根据面积公式求解.
【解答过程】的圆心为半径为，
故圆心到直线的距离为，
弦长，
故，
故答案为：.
17．（2026高二上·河北邢台·期末）已知圆的圆心在轴上，且经过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线与圆交于两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）设圆的圆心坐标为，利用圆上的两点建立方程，求出的值，即得所求圆的方程；
（2）结合图形，求得圆心到直线的距离，利用弦长公式求出弦长，即可求得的面积.
【解答过程】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，则有，解得，
则圆的半径为：，故圆的标准方程为；
（2）
如图，作，垂足为，
由圆心到直线的距离为，
则，
故的面积为.
18．（2026高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点.
(1)若，求的值；
(2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)1
(2)
【解题思路】（1）利用垂径定理来求直线与圆相交的弦长，从而可得方程求解的值；
（2）利用勾股定理来求切线长，从而可计算面积，然后可用基本不等式来求最值即可.
【解答过程】（1）
由圆可得：
圆心为，半径，其中，
而圆心到直线的距离，
所以，解得，
即的值为1.
（2）由（1）可知，
由勾股定理可得
四边形由两个全等的直角三角形组成。所以
，
当且仅当时成立
所以当四边形有最大面积.
【类型4 直线与圆中的最值问题】
19．（2026高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【答案】C
【解题思路】先根据题意求出的轨迹方程为，设到直线的距离为，由此可得，将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值，先求圆心到直线的距离再加半径即可求解.
【解答过程】根据已知有，圆心，半径，因为弦，
所以圆心到所在直线的距离，
又因为为的中点，所以有，
所以的轨迹为圆心为，半径为的圆，
的轨迹方程为；
令直线为，则到直线的距离为，
则，即，所以当最大时，
也取得最大值，
由此可将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值的倍，
设圆心到直线的距离为，则，所以，
所以的最大值为6.
故选：C.
20．（2026高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值.
【解答过程】，
圆心，半径，
过定点，
过定点，且⊥，
如图，设和中点分别为F、G，则四边形为矩形，

设，，则，
则＝
，当且仅当即时取等号.
故选：B.
21．（多选）（2026高二上·浙江杭州·期中）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．的最大值为
D．圆心到直线的距离最大为4
【答案】BC
【解题思路】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答过程】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.
，是圆上的点，
所以的最大值为，A错误.
对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B正确.
对于C，设，
则，
等号成立当且仅当，所以C正确.
对于D，圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以D错误.
故选：BC.
22．（2026高二上·黑龙江绥化·期中）圆上的点到直线的最大距离是 ．
【答案】
【解题思路】将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆心和半径，利用圆心到直线的距离加上半径，可求解.
【解答过程】将圆化为标准方程可得，
所以圆的圆心为，半径，
根据点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为，
所以可得最大距离为.
故答案为：.
23．（2026高二·全国·专题练习）已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，求的最小值.
【答案】8
【解题思路】根据题意，将问题转化为求的最小值，求出关于直线的对称点的坐标，即可得到当三点共线时，取得最小值.
【解答过程】如图所示，
圆的圆心为，半径为4，
圆的圆心为，半径为1，
可知，
所以，
故求的最小值，转化为求的最小值，
设关于直线的对称点为，设坐标为，
则 ，解得，故，
因为，可得，
当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
24．（2026高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
【答案】(1)最大值为，最小值为；
(2)最大值为，最小值为0；
(3)最大值，最小值为.
【解题思路】（1）由求出点的轨迹，结合两点间距离即可求；
（2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算；
（3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算.
【解答过程】（1）由题意，因为，
所以，
整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆.
所以点到的距离为，
所以的最小值为，最大值为.
（2）设，则 ，
由题意与有交点，
所以，
解得，
所以的最大值为，最小值为0.
（3）设，则
当直线与圆相切时，截距取到最值，
所以，解得或，
所以的最大值为，最小值为.
【类型5 直线与圆中的距离问题】
25．（2026高二上·天津北辰·期中）若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，分别与圆相交、相离即可得的取值范围．
【解答过程】作与直线平行，且到直线的距离等于1的两条直线，
圆的圆心为原点，
原点到直线的距离为，
两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为，
较近的一条到原点的距离为，
又圆上有2个点到直线的距离为1，
两条平行线中与圆心较近的与圆有2个公共点，
与圆心较远的直线与圆无交点即可，如图，

由此可得圆的半径，
故选：B.
26．（江西宜春·模拟预测）已知动点到原点与到点的距离之比为，记的轨迹为，直线，则（ ）
A．是一个半径为的圆
B．上的点到的距离的取值范围为
C．被截得的弦长为
D．上存在四个点到的距离为
【答案】C
【解题思路】设，则，整理得，所以是一个圆心为，半径为的圆，判断；再利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为，得到上的点到直线的距离的取值范围，判断；由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形求出弦长，判断；由圆心到直线的距离为，半径为，则，即圆截所得的劣弧上只有一个点到的距离为，所以圆上存在三个点到的距离为，判断．
【解答过程】对于，设，则，
整理得，
所以是一个圆心为，半径为的圆，故错误；
对于，因为圆心到直线的距离为，
所以上的点到直线的距离的取值范围为，，即，，故错误；
对于，圆心到直线的距离为2，
所以被截得的弦长为，故正确；
对于，因为，所以上存在三个点到的距离为，故错误．
故选：C．
27．（多选）（2026高二上·湖北·期中）已知圆，直线，下列说法正确的是（ ）
A．当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1
B．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1
C．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1
D．当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1
【答案】CD
【解题思路】先求出圆心到到直线的距离，根据选项中参数的范围求得的范围，结合图形，即可一一判断.
【解答过程】
由题设条件，圆的半径为2，圆心到直线的距离为.
对于A，当或时, ，则，当时，
由图1知，圆O上有一点到直线l的距离等于1，故A错误；
对于B，D，当时，，由图2知，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1，故B错误，D正确；
对于C，当时，，由图3知，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1，故C正确.
故选：CD.
28．（2026高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，过点向圆引切线，切线长为.设点到直线的距离为，则的最小值为 .
【答案】
【解题思路】利用切线长定理及点到直线距离公式求出，换元可得，借助其几何意义按与1的大小分类讨论求出最小值.
【解答过程】圆的圆心，半径，
则，，令，
于是，
可视为动点到定点的距离与到定直线的距离和，
令直线与轴的交点为，，，
当与点重合，即时，，
当时，过作垂直于直线于点，连接，
，则；
当时，由直线的倾斜角为钝角知，，
因此对任意实数，，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
29．（2026高二上·山东泰安·期中）已知圆C与y轴相切，圆心在直线上，且被x轴截得的弦长为．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l过点，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【解题思路】（1）利用待定系数法即可求得圆C的方程；
（2）利用点到直线距离公式和数形结合即可求得直线l的方程．
【解答过程】（1）设圆C的标准方程为，
∵圆心C在直线上，
，①
∵圆C与y轴相切，
，②
又∵圆C被x轴截得的弦长为，
，③
联立①②③解得，，，，
圆C的方程为．
（2）∵圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，
圆心C到直线l的距离．
当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，
圆心C到直线l的距离为1，符合题意；
当直线l斜率不存在时，设直线l的方程为，
即，
圆心C到直线l的距离
，
解之得，，
直线l的方程为．
综上，所求直线l的方程为或．
30．（2026高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点．
(1)求P点到直线的距离的最大值和最小值．
(2)求的最大值和最小值．
(3)求的最大值和最小值
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)最大值为，最小值为
(3)最大值为，最小值为
【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值；
（2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值；
（3）首先设，再转化为直线与圆有交点，
【解答过程】（1）圆心到直线的距离为．
∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为．
（2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点，
∴，解得，
则，即的最大值为，最小值为．
解法二：设，则，其中，
∴得，即的最大值为，最小值为．
（3）表示圆上的点与点连线的斜率为k，
设，即，直线与圆有交点，
设，
解得．
则，即的最大值为，最小值为．
【类型6 阿波罗尼斯圆】
31．（2026高二上·云南昆明·期中）阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据两点间的距离公式可得曲线的方程，由题意可得对任意实数，都有，分类参数即可求解.
【解答过程】设,因为，，
所以，化简可得，
所以曲线的圆心为，半径为.
因为对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，
所以对任意实数，都有，
即任意实数恒成立.
因为,所以，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选:A.
32．（2026高二上·河北张家口·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点与两定点的距离之比为时，则直线被动点所形成的轨迹截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】设，利用两点间距离公式代入化简得到点的轨迹，再联立轨迹与直线得弦长.
【解答过程】设，，则，
整理得，
与直线联立得，所以所求弦长为.
故选：D.
33．（多选）（2026高二上·江苏连云港·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是
C．曲线上的点到直线的最小距离为
D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于
【答案】ABD
【解题思路】设，根据求得曲线的轨迹方程，根据点到直线的距离公式来对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答过程】设，由，得，而，
所以，
整理得，所以A选项正确.
B选项，圆的圆心为，半径为，
设直线的方程为，
到直线的距离，
，两边平方并化简得，
解得，所以直线的斜率范围是，B选项正确.
C选项，到直线的距离为，
所以曲线上的点到直线的最小距离为，C选项错误.
D选项，，，，
所以，D选项正确.
故选：ABD.

34．（高二上·江苏宿迁·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为 .
【答案】
【解题思路】首先求点的轨迹方程，再根据的几何意义，转化为直线与圆有交点，即可求解.
【解答过程】由题意可知，，
，整理为，
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
表示圆上的点与定点连线的斜率，
设，即，如图可知，直线与圆有交点，
则，解得：.
故答案为：.
35．（2026高二上·浙江·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点与两个定点的距离之比为常数且，则点的轨迹是圆.后来，人们以他的名字命名这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，圆上的点满足.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线过原点，且直线与圆相切，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】（1）设，利用两点之间的距离公式结合，即可求解；
（2）讨论斜率是否存在，利用当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即可求解.
【解答过程】（1）设，则，，
又，即，
两边平方可得，
整理可得，
即圆的标准方程为.
（2）
由（1）可知圆的圆心为，半径，
当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，
此时，圆心到直线的距离，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设过原点的直线为，且与圆相切，
可得圆心到直线的距离，即，解得或，
则直线方程为或.
36．（2026高二上·山东青岛·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点所构成的曲线为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若，求点的轨迹的方程；
(3)过作两条互相垂直的直线与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【解题思路】（1）设点，由题设等式代入点的坐标，整理即得点的轨迹方程；
（2）设点，由代入点的坐标，整理得，将其代入方程即得点的轨迹方程；
（3）结合图形，过点分别作于点，作于点，记，可推得，再利用垂径定理，用表示弦长和，根据基本不等式，即可求得四边形面积的最大值.
【解答过程】（1）设，由可得：，
两边取平方，整理得：，即.
故点的轨迹方程为：；
（2）设点，由，可得，
即则有（*），
因点在圆上，故有，
将（*）代入上式得：，即.
故点的轨迹的方程为：；
（3）
如图，过点分别作于点，作于点，记，
因,且，即得矩形,故有.
由图知,
则四边形面积为,
因，故，
由基本不等式，，
当且仅当，等号成立，
即当时，四边形面积取得最大值为7.
【类型7 直线与圆中的向量问题】
37．（2026高二上·辽宁大连·期中）已知直线与圆的交点为、，点是圆上一动点，设点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】由直线方程可得过定点，再由平面向量的线性运算可得，结合坐标运算代入计算，即可得到结果.
【解答过程】由可得，则圆心，，
设，且直线过定点，
所以，，
，
所以
.
故选：A.
38．（2026高二上·安徽合肥·期中）已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【解题思路】设弦的中点为，得到，化简，即可求解.
【解答过程】设弦的中点为，由题可知圆的半径为，
因为，，所以，
所以，，
可得 ，解得.
故选：A.
39．（多选）（2026·湖北武汉·三模）已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．的最小值为4
C．的取值范围为 D．当最小时，其余弦值为
【答案】ABC
【解题思路】A.直线方程变形为，即可判断定点坐标；B.根据定点是弦的中点时，此时最短；C.根据向量数量积公式，转化为求的最值；D.根据C即可判断.
【解答过程】A.直线，即，直线恒过点，故A正确；
B.当定点是弦的中点时，此时最短，
圆心和定点的距离为，此时，故B正确；
C.当最小时，最小，此时，
此时，
当是直径时，此时最大，，
此时，
所以的取值范围为，故C正确；
D.根据C可知当最小时，其余弦值为，故D错误.
故选：ABC.
40．（2026高二上·吉林四平·期中）在平面直角坐标系xOy中，设直线与圆交于A，B两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则 .
【答案】
【解题思路】将平方化简得，利用二倍角余弦公式得，再结合圆心到直线的距离和勾股定理列式计算r即可.
【解答过程】因为，
所以，
即，整理化简得，
过点O作AB的垂线交AB于D，
则，得.
又圆心到直线的距离为，所以，
所以，即.
故答案为：.
41．（2026高二上·江苏镇江·开学考试）已知圆经过、两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】（1）设圆的标准式方程，代入计算，即可得到结果；
（2）由向量数量积的定义可得，从而可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】（1）
设圆的标准方程为，可知其圆心为，
由题意可得，解得，
所以圆的标准方程为.
（2）由题意，过点的直线与圆相交于、两点，
且，则，
所以，所以，
所以圆心到直线的距离，
由题意直线的斜率存在，设直线为，即，
所以，化简得，
解得或，所以直线的方程为或.
42．（2026高二上·安徽·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且经过，两点.过定点的动直线与圆交于，两点，为坐标原点.
(1)求圆的标准方程；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）先求出中垂线方程，与联立，求出圆心点坐标，再求出圆的半径，即可得出答案.
（2）法一：设中点坐标为，则可知点在为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，由，即可求出的最大值；法二：讨论直线的斜率存不存在，联立直线与圆的方程，设，由韦达定理求出，由此表示出，再由换元法和基本不等式求出的最大值.
【解答过程】（1）中点坐标为，，
故中垂线为，即，
与联立，解得圆心点坐标为，
圆的半径，故圆
（2）法一：设中点坐标为，，故点在为直径的圆上，
设中点， ，，则
，所以，
以为直径的圆的方程：，
故，
当且仅当三点共线时取等号，故.
法二：①当直线的斜率不存在时，中点坐标，
；
②当直线的斜率存在时，设直线：代入整理得：
，
设，则，，
，
，
因为求的最大值，可令，代入上式可得：
，
当且仅当，即时取等号.
易求，故.
【类型8 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】
43．（2026高二上·江苏·期中）若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解题思路】根据圆心到直线的距离为定值，列方程来求得正确答案.
【解答过程】圆的圆心为，半径为，
要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值，
即为定值，所以.
故选：C.
44．（2026高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点.
【解答过程】如图，连接，，
根据题意，设为直线上的一点，则，
由于为圆的切线，则有，，
则点、在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为，半径，
则其方程为，变形可得，
联立可得直线AB：，
又由，则有AB：，
变形可得，
则有，解可得，故直线恒过定点.
故选：B.
45．（多选）（2026高二上·甘肃酒泉·期中）下列关于直线与圆的说法正确的是（ ）
A．若直线与圆相切，则为定值
B．若，则直线被圆截得的弦长为定值
C．若，则圆上仅有两个点到直线的距离相等
D．当时，直线与圆相交
【答案】ABD
【解题思路】计算圆心到直线的距离，利用几何法可判断AC选项的正误，求出弦长可判断B选项的正误；根据直线过圆内定点判断D．
【解答过程】圆的圆心为，半径为1，
对于A选项，若与圆相切，
则，可得，A正确；
对于B选项，若，圆心到直线的距离为，此时直线被圆截得的弦长为，B正确；
对于C选项，因为，圆心到直线的距离为，此时圆上有3个点到直线的距离相等，C错误；
对于D选项，当时，直线的方程为，即直线过定点，又因为，可得点在圆内，故直线与圆相交，D正确．
故选：ABD．
46．（2026高二上·浙江绍兴·期中）设有一组圆，存在定直线 始终与圆相切.
【答案】或
【解题思路】先确定的圆心始终在直线上，再利用直线与圆的位置关系及平行线的距离计算即可.
【解答过程】易知圆系的圆心，半径为2，显然始终在直线上，
要满足题意则圆心到定直线的距离始终为2，即定直线到直线的距离始终为2，
不妨设直线，则，
即定直线为：或.
故答案为：或.
47．（2026高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切.
(1)求圆的一般方程；
(2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)13
【解题思路】（1）由直线系方程求出定点，再由圆心到直线的距离求出半径即可得解；
（2）设过点的直线方程，代入圆的方程，利用韦达定理及弦长公式
即可得解.
【解答过程】（1）由可得，
当时，解得，
故直线恒过定点，
所以圆心到切线的距离，
即圆的半径为2,
所以圆的方程为：，
故圆的一般方程为
（2）点到圆心的距离，故点在圆外，
如图，
过点的直线与圆相交时斜率存在，故设过点的直线方程为，
代入圆的方程可得，
当时，
设，，
则，
所以
.
即为定值13.
48．（2026高二上·山西太原·阶段练习）已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明其形状；
(2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标；
【答案】(1)，曲线是以为圆心，半径为2的圆；
(2)证明见解析，
【解题思路】（1）根据已知及两点距离公式有，整理即可得曲线方程；
（2）根据题设知在以为直径的圆上，并写出对应方程，结合在上，即可求直线，进而确定定点坐标；
【解答过程】（1）设，
由，得，
化简得，即
故曲线是以为圆心，半径为2的圆；
（2）由题意知，与圆相切，为切点，
则，则四点共圆
在以为直径的圆上，
，又，
则的中点为，
以线段为直径的圆的方程为，
整理得，①，
又在上，②，
由两圆方程作差即②-①得：.
所以，切点弦所在直线的方程为.
则恒过坐标点.
【类型9 直线与圆中的探索性问题】
49．（2026高二上·重庆开州·阶段练习）已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C的方程为
B．曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10
C．曲线C上存在点M，使得
D．曲线C上的点到直线的最大距离为9
【答案】D
【解题思路】根据两点坐标以及由两点间距离公式即可整理得点P所构成的曲线为C的方程为，即可判断A；利用点到圆上点距离的最大值，即可知在C上不存在点D，即可判断B；设，利用两点间距离公式得到方程和联立，无解，即可判断C；求出C的圆心到直线的距离，可得曲线C上的点到直线的最大距离为9，即可判断D.
【解答过程】对于A，由题意可设点，
由，，，得，
化简得，即，故A错误；
对于B，点到圆上的点的最大距离，
故不存在点D符合题意，故B错误；
对于C，设，由，
得，又，
联立方程消去得，得无解，故C错误；
对于D，C的圆心到直线的距离为，
且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确.
故选：D.
50．（2026高二上·湖南·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（ ）
①存在轴上的唯一点对，，使得为常数
②存在轴上的无数个点对，，使得为常数
③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数
④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】B
【解题思路】易得圆关于直线轴对称，设，（），，再根据对恒成立求出的关系式，再根据关于的方程的解的个数即可得出答案.
【解答过程】圆心坐标为，圆心在轴上，
所以圆关于直线轴对称，
设，（），，
则，
即对恒成立，
所以，所以，所以，
所以且，所以且且，
即有无数组解，所以①错误，②正确；
因为直线（）定点，
所以圆关于直线（）对称，
根据上推理得，存在直线上的无数个点对，，使得的值与的位置无关，
所以③错误，④正确．
故选：B.
51．（多选）（2026高二上·广东广州·期中）已知直线与圆交于、两点，点为线段的中点，点的坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．的最小值为
C．存在点，使
D．存在，使
【答案】AD
【解题思路】利用圆的弦长公式判断A、B；假设存在点，求出直线方程，判断与圆的位置关系，判断C，求出点的轨迹方程，可判断D.
【解答过程】当时，直线，圆心到直线的距离，
又，A正确；
由上可知圆，
圆心到直线的距离，
则，B错误；
若，则直线斜率为，
从而直线：，
此时圆心到直线的距离，
则直线与圆相离，即不存在点，使，C错误；
设点，因为直线过定点，
则，即，
化简为，为点的轨迹方程，
若，则，
即，得，
故存在存在，使，D正确.
故选：AD.
52．（2026高二上·重庆·期中）已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为 .
【答案】
【解题思路】利用圆的弦长公式求得，从而得到计算得到，再利用向量线性运算的坐标表示得到关于的表示，进而代入得到关于的二次方程，利用判别式得到关于的不等式，解之即可得解.
【解答过程】依题意，设中点为，，，，
故，即，则，
因为，则，
故，则，
整理得，由题意可知必存在，
即方程有解，故，解得或，
即的取值范围为.
故答案为：.
53．（2026高二上·吉林四平·阶段练习）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率；
(3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【解题思路】（1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程；
（2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为；
（3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且.
【解答过程】（1）设圆的圆心为，由得
，解得，
故圆心为，半径为，
故圆的标准方程为；
（2）设，则，
显然过点的切线斜率存在，
过点的切线方程设为，
圆心到切线的距离为1，即，
即，
又，故，即，解得，
故，即，即，
圆心到的距离为2，即，
故或，解得或，
若，联立，解得，与矛盾，舍去，
若，联立，解得或0（舍去），
故，所以，
故的斜率为；
（3）不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下：
设的方程为，
由题意得，圆心到的距离，解得，
圆心到的距离，解得，
故，
由垂径定理得，
解得或，均不满足要求，
故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且.
54．（2026高二上·广东韶关·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切.
(1)求圆的方程及的值；
(2)若直线与圆相交于两点且，求的值；
(3)在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)圆，，
(2)
(3)，
【解题思路】（1）因为、已知，所以通过到的距离求半径，即可得到圆的方程，再根据半径求点坐标，注意到点坐标的特殊性，这条直线是垂直于轴的．
（2）将、点坐标设出来，数量积坐标化，将直线方程与圆的方程联立，韦达定理代入即可求解．
（3）假设、的坐标，根据两点距离公式与建立等式，再根据A、P分别满足直线和圆的方程化简等式，最后根据等式恒成立的条件求解.
【解答过程】（1）因为，
因为圆与相切，所以半径等于到的距离．
又直线，所以圆的半径，所以圆．
圆与相切，又过点与圆相切的直线有或，
所以直线，所以．即，
所以直线，
又到的距离为，所以，解得或（舍），
所以．
（2）设，，则.
由，可得，
，解得.
所以，，
故.
所以，所以.
故.
（3）设.
则，.
若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，
都有为常数,
等价于对圆上任意点恒成立.
即.
整理得.
因为点在直线上，所以.
由于在圆上，所以.
故对任意恒成立.
所以显然，所以.
故，
因为，解得或.
当时，，此时重合，舍去.
当时，，
综上，存在满足条件的定点，此时.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 直线与圆综合必考九类问题（举一反三专项训练）
【类型1 圆的弦长与中点弦问题】 2
【类型2 圆的切线及切线方程问题】 3
【类型3 直线与圆中的面积问题】 4
【类型4 直线与圆中的最值问题】 5
【类型5 直线与圆中的距离问题】 7
【类型6 阿波罗尼斯圆】 8
【类型7 直线与圆中的向量问题】 9
【类型8 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 10
【类型9 直线与圆中的探索性问题】 12
知识点1 直线与圆相交时的弦长求法
1．圆的弦长的求法：
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
知识点2 圆的切线及切线方程问题
1．自一点引圆的切线的条数：
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程：
(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
(2)重要结论：
①经过圆上一点P的切线方程为.
②经过圆上一点P的切线方程为.
③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.
知识点3 解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法
1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题的解题方法
直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
知识点4 阿波罗尼斯圆
1．阿波罗尼斯圆
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.
【类型1 圆的弦长与中点弦问题】
1．（2026高二上·江苏淮安·期中）直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高二上·江苏无锡·期中）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2026高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ）
A．直线l与圆C相交
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．点C到直线l的距离的最大值是
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为
4．（2026高二上·江苏·阶段练习）已知圆，直线.若定点分弦为，求直线的方程 .
5．（2026高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆M过点，圆心M在直线上，且直线与圆M相切．
(1)求圆M的方程；
(2)过点的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段的中点，求直线l的方程．
6．（2026高二上·江苏扬州·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点．
(1)若弦长，求直线的方程；
(2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值．
【类型2 圆的切线及切线方程问题】
7．（2026高二上·福建三明·阶段练习）已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2026高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则=（ ）
A．7 B． C． D．
9．（多选）（2026高二上·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（ ）
A．切线长的最小值为
B．四边形面积的最小值为4
C．当最小时，弦所在的直线方程为
D．弦所在直线必过定点
10．（2026高二上·宁夏吴忠·期中）已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为 ．
11．（2026高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知圆C经过三点，，．
(1)求圆C的方程；
(2)求过点A与圆C相切的直线方程．
12．（2026高二上·江苏泰州·期中）（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长；
（2）自点作圆的切线，求切线的方程.
【类型3 直线与圆中的面积问题】
13．（2026高二上·江苏扬州·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2026高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
15．（多选）（2026高二上·浙江·阶段练习）已知圆，直线与圆交于，两点，则以下四个选项中正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标是 B．
C． D．的面积是
16．（2026高二上·湖南益阳·期末）已知圆，直线与交于两点，则的面积等于 .
17．（2026高二上·河北邢台·期末）已知圆的圆心在轴上，且经过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线与圆交于两点，求的面积.
18．（2026高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点.
(1)若，求的值；
(2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值.
【类型4 直线与圆中的最值问题】
19．（2026高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（ ）
A．12 B． C．6 D．
20．（2026高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
21．（多选）（2026高二上·浙江杭州·期中）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．的最大值为
D．圆心到直线的距离最大为4
22．（2026高二上·黑龙江绥化·期中）圆上的点到直线的最大距离是 ．
23．（2026高二·全国·专题练习）已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，求的最小值.
24．（2026高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
【类型5 直线与圆中的距离问题】
25．（2026高二上·天津北辰·期中）若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
26．（江西宜春·模拟预测）已知动点到原点与到点的距离之比为，记的轨迹为，直线，则（ ）
A．是一个半径为的圆
B．上的点到的距离的取值范围为
C．被截得的弦长为
D．上存在四个点到的距离为
27．（多选）（2026高二上·湖北·期中）已知圆，直线，下列说法正确的是（ ）
A．当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1
B．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1
C．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1
D．当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1
28．（2026高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，过点向圆引切线，切线长为.设点到直线的距离为，则的最小值为 .
29．（2026高二上·山东泰安·期中）已知圆C与y轴相切，圆心在直线上，且被x轴截得的弦长为．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l过点，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．
30．（2026高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点．
(1)求P点到直线的距离的最大值和最小值．
(2)求的最大值和最小值．
(3)求的最大值和最小值
【类型6 阿波罗尼斯圆】
31．（2026高二上·云南昆明·期中）阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．（2026高二上·河北张家口·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点与两定点的距离之比为时，则直线被动点所形成的轨迹截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
33．（多选）（2026高二上·江苏连云港·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是
C．曲线上的点到直线的最小距离为
D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于
34．（高二上·江苏宿迁·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为 .
35．（2026高二上·浙江·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点与两个定点的距离之比为常数且，则点的轨迹是圆.后来，人们以他的名字命名这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，圆上的点满足.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线过原点，且直线与圆相切，求直线的方程.
36．（2026高二上·山东青岛·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点所构成的曲线为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若，求点的轨迹的方程；
(3)过作两条互相垂直的直线与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值．
【类型7 直线与圆中的向量问题】
37．（2026高二上·辽宁大连·期中）已知直线与圆的交点为、，点是圆上一动点，设点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
38．（2026高二上·安徽合肥·期中）已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
39．（多选）（2026·湖北武汉·三模）已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．的最小值为4
C．的取值范围为 D．当最小时，其余弦值为
40．（2026高二上·吉林四平·期中）在平面直角坐标系xOy中，设直线与圆交于A，B两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则 .
41．（2026高二上·江苏镇江·开学考试）已知圆经过、两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程.
42．（2026高二上·安徽·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且经过，两点.过定点的动直线与圆交于，两点，为坐标原点.
(1)求圆的标准方程；
(2)求的最大值.
【类型8 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】
43．（2026高二上·江苏·期中）若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
44．（2026高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（ ）
A． B． C． D．
45．（多选）（2026高二上·甘肃酒泉·期中）下列关于直线与圆的说法正确的是（ ）
A．若直线与圆相切，则为定值
B．若，则直线被圆截得的弦长为定值
C．若，则圆上仅有两个点到直线的距离相等
D．当时，直线与圆相交
46．（2026高二上·浙江绍兴·期中）设有一组圆，存在定直线 始终与圆相切.
47．（2026高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切.
(1)求圆的一般方程；
(2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
48．（2026高二上·山西太原·阶段练习）已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明其形状；
(2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标；
【类型9 直线与圆中的探索性问题】
49．（2026高二上·重庆开州·阶段练习）已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C的方程为
B．曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10
C．曲线C上存在点M，使得
D．曲线C上的点到直线的最大距离为9
50．（2026高二上·湖南·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（ ）
①存在轴上的唯一点对，，使得为常数
②存在轴上的无数个点对，，使得为常数
③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数
④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
51．（多选）（2026高二上·广东广州·期中）已知直线与圆交于、两点，点为线段的中点，点的坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．的最小值为
C．存在点，使
D．存在，使
52．（2026高二上·重庆·期中）已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为 .
53．（2026高二上·吉林四平·阶段练习）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率；
(3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
54．（2026高二上·广东韶关·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切.
(1)求圆的方程及的值；
(2)若直线与圆相交于两点且，求的值；
(3)在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
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