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专题3.1 椭圆的标准方程（举一反三讲义）
【苏教版】
【题型1 椭圆定义及辨析】 1
【题型2 曲线方程与椭圆】 3
【题型3 椭圆标准方程的求解】 6
【题型4 根据椭圆方程求a、b、c】 8
【题型5 轨迹问题——椭圆】 9
【题型6 椭圆中焦点三角形的周长、面积问题】 11
【题型7 椭圆中焦点三角形的其他问题】 14
【题型8 椭圆中距离的最值问题】 17
【题型9 椭圆中距离的和、差最值问题】 18
知识点1 椭圆的定义
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={}.
【题型1 椭圆定义及辨析】
【例1】（2026高二上·江苏扬州·期中）椭圆的焦点为 为椭圆上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】利用椭圆的定义表达式，代值计算即得.
【解答过程】由椭圆方程：，可知，
因，故.
故选：D.
【变式1-1】（2026高二上·贵州安顺·期中）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　）
A．5 B．2 C．7 D．6
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用椭圆的定义求解.
【解答过程】椭圆的长轴长，由点到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义，
得到另一个焦点的距离为.
故选：C.
【变式1-2】（2026高二上·江苏南通·阶段练习）已知点为椭圆的右焦点，点为椭圆与圆的一个交点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
【答案】A
【解题思路】由椭圆的方程及圆的方程，可得圆的圆心得圆心为左焦点，结合圆与椭圆的定义即可得的值．
【解答过程】点为椭圆的右焦点，则，左焦点，且，
圆的圆心，半径为4，则圆的圆心是椭圆的左焦点，
点为椭圆与圆一个交点，
所以，
则由椭圆的定义可得，所以．
故选：A．
【变式1-3】（2026高二上·广东·期末）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解题思路】由椭圆方程求出，利用椭圆的定义式，求得，代入计算即得.
【解答过程】由可得：，则，
因，则，故.
故选：C.
知识点2 椭圆的标准方程
1．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
椭圆在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
2．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
【题型2 曲线方程与椭圆】
【例2】（2026高二上·河北沧州·阶段练习）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可
【解答过程】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆
则有：
解得：
故选：A.
【变式2-1】（2026高二下·辽宁·开学考试）“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】利用方程表示椭圆求得，可得“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.
【解答过程】由方程表示椭圆，可得，解得，
因为，
所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.
故选：B.
【变式2-2】（2026高二上·吉林长春·阶段练习）已知曲线方程，．
(1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
(2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】（1）根据椭圆方程的性质建立关于k的不等式，解出即可；
（2）根据椭圆方程的类型，分类讨论确定，根据求解即可.
【解答过程】（1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，
解得，
即的取值范围为；
（2）若方程表示焦距为2的椭圆，则，所以
当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，且
又，得；
当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得
所以，
又，得；
综上，或.
【变式2-3】（2026高二上·全国·专题练习）已知方程＝1.
(1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）根据椭圆的标准方程求解；
（2）根据椭圆的标准方程求解；
（3）根据椭圆的标准方程求解.
【解答过程】（1）依题意，有，解得.
故实数m的取值范围为.
（2）依题意，有，解得.
故实数m的取值范围为.
（3）依题意，有，解得，且，
故实数m的取值范围是.
【题型3 椭圆标准方程的求解】
【例3】（2026高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】依据题干信息得出的值即可得椭圆方程.
【解答过程】设椭圆方程为，
则且，得，
故椭圆方程为.
故选：A.
【变式3-1】（2026高二上·宁夏吴忠·期中）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． B．或 C． D．以上都不对
【答案】A
【解题思路】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得.
【解答过程】设椭圆方程为：，因椭圆过点和点，
于是得 ，解得，
所以所求椭圆方程为.
故选：A.
【变式3-2】（2026高二上·安徽·阶段练习）已知椭圆的左顶点为，上，下焦点分别为，直线经过且与交于两点，若垂直平分线段，且的周长为，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】根据椭圆的焦点三角形的周长，可得，即可根据椭圆性质可得，即可求解.
【解答过程】如图，由题可知，设.连接，
因为垂直平分线段，所以，
所以的周长为，可得，
因为，所以，得，从而，
故的方程是.
故选：A.
【变式3-3】（2026高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】由条件求得，结合勾股定理得，即可得，可得答案.
【解答过程】椭圆的焦距为，则，
由，的面积为，得，即，
又，
所以，即，，
又，则，
则椭圆的标准方程为．
故选：D．
【题型4 根据椭圆方程求a、b、c】
【例4】（2026高二上·四川成都·阶段练习）若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【解题思路】根据、、的关系可求得的值.
【解答过程】因为椭圆的右焦点坐标为，则，，，
所以，.
故选：C.
【变式4-1】（2026高二上·浙江·阶段练习）若椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解题思路】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.
【解答过程】若，则由得（舍去）；
若，则由得.
故选：B.
【变式4-2】（2026高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（ ）
A．10 B．49 C．50 D．1201
【答案】D
【解题思路】由条件知椭圆的焦点在轴上，半焦距长，短半轴长，根据的关系，可求.
【解答过程】椭圆C：的一个焦点为，过点，
∴，∴ ，∴.
故选：D.
【变式4-3】（2026高二上·河北邯郸·期中）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）
A． B．6 C．12 D．
【答案】C
【解题思路】根据椭圆的焦点位置以及焦距，列式求解，即得答案.
【解答过程】由于焦点在轴上的椭圆的焦距为6，
故，
故选：C.
【题型5 轨迹问题——椭圆】
【例5】（2026高二上·重庆·阶段练面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】根据两点间距离公式可得已知方程的几何意义，结合椭圆的定义可求得轨迹方程.
【解答过程】由两点间距离公式知：
的几何意义是点到与的距离之和为，
，
点轨迹是以为焦点的椭圆，设其长轴长、短轴长、焦距分别为，
则，，，，，
点轨迹方程为：.
故选：B.
【变式5-1】（2026高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由一般方程得到圆心和半径，再由几何关系得到点的轨迹是以为焦点的椭圆即可；
【解答过程】

由题意得，圆心，半径，
因为，，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，
所以动点的轨迹方程为，
故选：B.
【变式5-2】（2026高二上·湖北·期中）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程.
【解答过程】圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
由，得圆内含于圆内，设动圆半径为,
依题意，，，则，
因此点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，，
所以M的方程为.
故选：B.
【变式5-3】（2026高二上·河北唐山·期中）设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C．+ D．
【答案】B
【解题思路】由题意得到，根据椭圆的定义，可得点的轨迹是一条以为焦点的椭圆，即可得到答案.
【解答过程】由题意的周长为，，
所以，所以,
可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为除去长轴的两个端点的椭圆，
所以，
所以点的轨迹方程为.
故选：B.
知识点3 椭圆的焦点三角形
1．椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③设，，则.
【题型6 椭圆中焦点三角形的周长、面积问题】
【例6】（2026高二上·甘肃定西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【解题思路】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可.
【解答过程】因为为线段的垂直平分线，
根据对称性，，，
所以的周长等于的周长，
利用椭圆的定义得到的周长为 ．
故选：C.
【变式6-1】（高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】B
【解题思路】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【解答过程】如图所示，椭圆，可得，则，
因为点在椭圆上，可得，
又由，可得,
联立方程组，可得，
所以的面积为.
故选：B.
【变式6-2】（2026高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（ ）
A． B．8 C． D．16
【答案】C
【解题思路】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果.
【解答过程】由题意知，，由椭圆的定义知，
四边形的周长为.
故选：C.
【变式6-3】（2026高三上·福建龙岩·阶段练习）已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解题思路】根据焦点三角形面积两种不同表达方式，和，分别得到焦点三角形面积的最大值，建立方程即可求解.
【解答过程】设的内切圆半径为，
则，
所以当取到最大值时，，
又，
所以，即，
因为，所以，
所以，
故选：C.
【题型7 椭圆中焦点三角形的其他问题】
【例7】（2026高三上·重庆南岸·阶段练习）椭圆的焦点为、，若点在上且满足，则中最大角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】利用椭圆的定义结合已知条件可求得中的最长边的长，利用余弦定理可求得结果.
【解答过程】在椭圆中，，，则，
由已知可得，所以，，，，
所以，，故在中，最大，
由余弦定理可得，
，故，
故选：C.
【变式7-1】（2026高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解题思路】分别讨论为腰或者底的情况.
【解答过程】①当等腰的底时，可知P点为椭圆上下顶点时，2个点，满足题意；
②当等腰的腰时，分别以为圆心，以长为半径画弧，交椭圆于4个点；
综上所述，共6个点满足题意.
故选：C.
【变式7-2】（2026·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，的三个顶点均在上，分别落在线段上且轴，若，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】作出图象，由题意可知，从而可得，在和中，分别求得，从而可得，即有， ，过作于，
可得，为中点，即可得解.
【解答过程】如图所示：
由题意可知，
设椭圆的半长轴为，
则，
在中，，
在中，
，
所以 ，
整理得：，即
解得：或，
当时，，不满足题意，故舍去；
当时，，满足题意，且，
过作于，
则，
所以,
所以，
故为中点，
所以.
故选：D.
【变式7-3】（2026·北京·模拟预测）已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】在中，利用余弦定理求得，再由求解.
【解答过程】解：因为椭圆的离心率为，长轴长为4，
所以，
在中，由余弦定理得：，
，
解得 ，
所以 ，
，
解得，
故选：D.
【题型8 椭圆中距离的最值问题】
【例8】（2026高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【解题思路】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值.
【解答过程】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为.
故选：D.
【变式8-1】（2026高二上·河南开封·期中）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解题思路】设，结合点在椭圆上利用两点距离公式得，根据二次函数性质求解最值即可.
【解答过程】设点P的坐标为，其中，由，可得，
又由，
当时，取得最小值，最小值为.
故选：B.
【变式8-2】（2026高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A． B．9 C．16 D．25
【答案】D
【解题思路】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案.
【解答过程】因为，所以，
当且仅当时，取到最大值.
故选：D.
【变式8-3】（2026·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【解题思路】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可.
【解答过程】解：设圆的圆心为，则，
设，则，
所以
，当且仅当时取得最大值，
所以．
故选：B．
【题型9 椭圆中距离的和、差最值问题】
【例9】（2026高二上·河北·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【解题思路】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解.
【解答过程】由题意，椭圆的左焦点为，
由椭圆定义可得，所以，
因为,故在椭圆内，
所以，
当三点共线时，等号成立.
故选：B.
【变式9-1】（2026高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求出的最大值.
【解答过程】如图,

由，得，，则，
则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为，
由椭圆的定义得，
所以，
又，
所以，
当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时，
上述不等式中的两个等号同时成立，
故的最大值为.
故选：B.
【变式9-2】（2026高二上·全国·课后作业）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，点，点.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求的最大值．
【答案】(1)
(2)5
【解题思路】（1）设，根据斜率之积列方程，化简即可得到结果.
（2）确定椭圆的左右焦点，根据椭圆的定义转化即可得到最大值.
【解答过程】（1）设，则，，
由得，整理得.
故点P的轨迹方程为.
（2）由（1）知点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，
故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为.
∵，∴点Q在椭圆内，
由椭圆的定义得，
当三点共线（在线段上）时取等号，所以的最大值为5.
【变式9-3】（2026高二·全国·课后作业）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)最大值为，最小值为
【解题思路】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值；
(2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．
【解答过程】（1）由椭圆可知，，，
则，，

则，当且仅当、、三点共线时成立，
所以，
所以的最大值与最小值分别为和；
（2），，，
设是椭圆上任一点，由，，
，
等号仅当时成立，此时、、共线，
由，
，
等号仅当时成立，此时、、共线，
故的最大值与最小值为．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题3.1 椭圆的标准方程（举一反三讲义）
【苏教版】
【题型1 椭圆定义及辨析】 1
【题型2 曲线方程与椭圆】 2
【题型3 椭圆标准方程的求解】 3
【题型4 根据椭圆方程求a、b、c】 4
【题型5 轨迹问题——椭圆】 4
【题型6 椭圆中焦点三角形的周长、面积问题】 5
【题型7 椭圆中焦点三角形的其他问题】 6
【题型8 椭圆中距离的最值问题】 7
【题型9 椭圆中距离的和、差最值问题】 7
知识点1 椭圆的定义
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={}.
【题型1 椭圆定义及辨析】
【例1】（2026高二上·江苏扬州·期中）椭圆的焦点为 为椭圆上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2026高二上·贵州安顺·期中）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　）
A．5 B．2 C．7 D．6
【变式1-2】（2026高二上·江苏南通·阶段练习）已知点为椭圆的右焦点，点为椭圆与圆的一个交点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
【变式1-3】（2026高二上·广东·期末）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点2 椭圆的标准方程
1．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
椭圆在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
2．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
【题型2 曲线方程与椭圆】
【例2】（2026高二上·河北沧州·阶段练习）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2026高二下·辽宁·开学考试）“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2026高二上·吉林长春·阶段练习）已知曲线方程，．
(1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
(2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值．
【变式2-3】（2026高二上·全国·专题练习）已知方程＝1.
(1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围.
【题型3 椭圆标准方程的求解】
【例3】（2026高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2026高二上·宁夏吴忠·期中）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． B．或 C． D．以上都不对
【变式3-2】（2026高二上·安徽·阶段练习）已知椭圆的左顶点为，上，下焦点分别为，直线经过且与交于两点，若垂直平分线段，且的周长为，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2026高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 根据椭圆方程求a、b、c】
【例4】（2026高二上·四川成都·阶段练习）若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式4-1】（2026高二上·浙江·阶段练习）若椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则（ ）
A． B． C． D．或
【变式4-2】（2026高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（ ）
A．10 B．49 C．50 D．1201
【变式4-3】（2026高二上·河北邯郸·期中）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）
A． B．6 C．12 D．
【题型5 轨迹问题——椭圆】
【例5】（2026高二上·重庆·阶段练面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2026高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2026高二上·湖北·期中）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2026高二上·河北唐山·期中）设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C．+ D．
知识点3 椭圆的焦点三角形
1．椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③设，，则.
【题型6 椭圆中焦点三角形的周长、面积问题】
【例6】（2026高二上·甘肃定西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【变式6-1】（高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【变式6-2】（2026高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（ ）
A． B．8 C． D．16
【变式6-3】（2026高三上·福建龙岩·阶段练习）已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【题型7 椭圆中焦点三角形的其他问题】
【例7】（2026高三上·重庆南岸·阶段练习）椭圆的焦点为、，若点在上且满足，则中最大角为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2026高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式7-2】（2026·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，的三个顶点均在上，分别落在线段上且轴，若，则（ ）.
A． B． C． D．
【变式7-3】（2026·北京·模拟预测）已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 椭圆中距离的最值问题】
【例8】（2026高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
【变式8-1】（2026高二上·河南开封·期中）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式8-2】（2026高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A． B．9 C．16 D．25
【变式8-3】（2026·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【题型9 椭圆中距离的和、差最值问题】
【例9】（2026高二上·河北·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．
【变式9-1】（2026高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2026高二上·全国·课后作业）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，点，点.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求的最大值．
【变式9-3】（2026高二·全国·课后作业）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
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