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专题3.4 双曲线的标准方程（举一反三讲义）
【苏教版】
【题型1 双曲线的定义及辨析】 1
【题型2 曲线方程与双曲线】 2
【题型3 双曲线的标准方程的求解】 3
【题型4 根据双曲线方程求a、b、c】 4
【题型5 求双曲线的轨迹方程】 4
【题型6 双曲线中焦点三角形问题】 5
【题型7 利用双曲线定义求点到焦点的距离最值】 6
【题型8 双曲线中线段和、差的最值问题】 7
知识点1 双曲线的定义
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
【题型1 双曲线的定义及辨析】
【例1】（2026高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．4
【变式1-1】（2026高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A．9 B．1 C．1或9 D．11或9
【变式1-2】（2026高二上·北京延庆·期末）已知是双曲线 上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2026高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左 右焦点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
知识点2 双曲线的标准方程
1．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
2．双曲线方程的求解
(1)用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
(2)用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.
【题型2 曲线方程与双曲线】
【例2】（2026高二上·全国·单元测试）已知方程 表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2026高二上·北京延庆·期末）“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2026高二上·山东青岛·阶段练习）关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（ ）
A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆
C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值
【变式2-3】（2026高二上·全国·课后作业）对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线
C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上
【题型3 双曲线的标准方程的求解】
【例3】（2026高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【变式3-1】（2026高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2026高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点，焦点在轴上；
(2)过点和．
【变式3-3】（2026高二·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上；
(2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6；
(3)与双曲线有公共焦点，且过点．
【题型4 根据双曲线方程求a、b、c】
【例4】（2026高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．24 B．25 C．7 D．8
【变式4-1】（2026高二上·河南驻马店·期中）若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2026高三上·广东肇庆·阶段练习）已知双曲线的上焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2026高三上·上海虹口·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a为（ ）
A．1 B． C． D．
【题型5 求双曲线的轨迹方程】
【例5】（2026高二上·山东·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2026高二上·江西·阶段练习）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2026高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（ ）的方程上.
A． B．
C．或 D．
【变式5-3】（2026高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
知识点3 双曲线的焦点三角形
1．双曲线的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.
(2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法
方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式，求得面积.
方法二：利用公式，求得面积.
(3)焦点三角形的常用结论
若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为.
【题型6 双曲线中焦点三角形问题】
【例6】（2026高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【变式6-1】（2026高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（ ）
A．1 B． C．3 D．
【变式6-2】（2026高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线是上的任意一点.
(1)设点的坐标为，求的最小值；
(2)若分别为双曲线的左 右焦点，，求的面积.
【变式6-3】（2026高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为．
(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；
(2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积．
【题型7 利用双曲线定义求点到焦点的距离最值】
【例7】（2026高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2026·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．16 B．18 C． D．
【变式7-2】（2026高二上·河南驻马店·阶段练习）已知定点，且，动点满足，则的最小值是 .
【变式7-3】（2026高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 .
【题型8 双曲线中线段和、差的最值问题】
【例8】（2026高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（ ）
A．不存在 B．8 C．7 D．6
【变式8-2】（2026高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（ ）
A．11 B．9 C．7 D．6
【变式8-3】（2026高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题3.4 双曲线的标准方程（举一反三讲义）
【苏教版】
【题型1 双曲线的定义及辨析】 1
【题型2 曲线方程与双曲线】 3
【题型3 双曲线的标准方程的求解】 5
【题型4 根据双曲线方程求a、b、c】 8
【题型5 求双曲线的轨迹方程】 9
【题型6 双曲线中焦点三角形问题】 12
【题型7 利用双曲线定义求点到焦点的距离最值】 15
【题型8 双曲线中线段和、差的最值问题】 17
知识点1 双曲线的定义
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
【题型1 双曲线的定义及辨析】
【例1】（2026高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．4
【答案】B
【解题思路】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值.
【解答过程】双曲线，.
设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即.
当时，可得；
当时，可得.所以或.
在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为.
对于双曲线，可得.
那么，因为，，所以.
这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值.
因此，即点到另一个焦点的距离等于.
故选：B.
【变式1-1】（2026高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A．9 B．1 C．1或9 D．11或9
【答案】A
【解题思路】根据双曲线定义可求得，再根据或，即可得解.
【解答过程】根据双曲线定义可得，又，
所以或，
又，，
而或，
所以.
故选：A.
【变式1-2】（2026高二上·北京延庆·期末）已知是双曲线 上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据双曲线定义可得到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为，即可得解.
【解答过程】由可得，即；
再由双曲线定义可得到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为.
故选：B.
【变式1-3】（2026高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左 右焦点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解题思路】由双曲线的定义即可求解.
【解答过程】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左 右焦点，
所以，故，
由于，
所以.
故选：B.
知识点2 双曲线的标准方程
1．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
2．双曲线方程的求解
(1)用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
(2)用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.
【题型2 曲线方程与双曲线】
【例2】（2026高二上·全国·单元测试）已知方程 表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】利用双曲线的标准方程即可得到结果.
【解答过程】因为方程表示双曲线，所以，解得或，
故的取值范围为．
故选：B.
【变式2-1】（2026高二上·北京延庆·期末）“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】由标准方程表示双曲线得出不等式可判断出结论.
【解答过程】若“方程表示焦点在轴上双曲线”可得，解得；
当时，方程表示焦点在轴上双曲线，
因此“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的充分必要条件.
故选：C.
【变式2-2】（2026高二上·山东青岛·阶段练习）关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（ ）
A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆
C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值
【答案】C
【解题思路】根据的值，结合圆与圆锥曲线的方程特征即可判断各选项.
【解答过程】对于A，若方程表示双曲线，则，即，所以方程可以表示双曲线，故A正确；
对于B，若方程表示椭圆，则，即，所以方程可以表示椭圆，故B正确；
对于C，若方程表示圆，则，方程无解，所以方程不可以表示圆，故C错误；
对于D，由A可知当方程表示双曲线时，，所以焦距为，故D正确.
故选：C.
【变式2-3】（2026高二上·全国·课后作业）对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线
C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上
【答案】B
【解题思路】对A，根据的取值，即可判断选项.；对B若为负角，即，双曲线标准方程的形式，即可判断；对C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项.
【解答过程】对A，当，即时，曲线的方程为，
此时曲线为两条平行的直线，故A错误；
对B，若为负角，即，则，
此时曲线为双曲线，故B正确；
对C，若为正角，即，当时，，
则曲线的方程为1，是圆，故C错误；
对D，若为椭圆，则，又可变形为，
则为焦点在轴上的椭圆，故D错误．
故选：B．
【题型3 双曲线的标准方程的求解】
【例3】（2026高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【解题思路】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解.
【解答过程】设双曲线方程为，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：A.
【变式3-1】（2026高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】根据双曲线的定义确定的值，可得双曲线的标准方程.
【解答过程】不妨设点在第一象限.
设，，
根据题意：，
所以，即，所以，，
所以双曲线的方程为：.
故选：D.
【变式3-2】（2026高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点，焦点在轴上；
(2)过点和．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）依题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入求出，即可得解；
（2）设双曲线方程为，代入点的坐标得到方程组，解得、即可.
【解答过程】（1）因为双曲线的焦点在轴上，
所以可设双曲线的标准方程为，
由，经过点，
可得，解得，
故双曲线的标准方程为；
（2）依题意设双曲线方程为，
则，解得，
所以双曲线方程为.
【变式3-3】（2026高二·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上；
(2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6；
(3)与双曲线有公共焦点，且过点．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）可设双曲线的标准方程为，将点代入，求得，即可得出答案；
（2）设标准方程为，根据题意可得，求得，即可得解；
（2）方法一：设双曲线的标准方程为，利用待定系数法求得，即可得解；
方法二：设双曲线的标准方程为（，且），将点代入方程，求得，即可得解.
【解答过程】（1）因为半焦距为，且焦点在轴上，
所以可设双曲线的标准方程为，
因为双曲线经过点，所以，
解得或（舍去）．
于是双曲线的标准方程为；
（2）因为双曲线的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为，
因为，，所以，．
于是双曲线的标准方程为；
（3）方法一：设双曲线的标准方程为，
点在双曲线上，故．
又，所以，，
则双曲线的标准方程为．
方法二：设双曲线的标准方程为（，且），
将点代入方程，解得或（舍去），则双曲线的标准方程为．
【题型4 根据双曲线方程求a、b、c】
【例4】（2026高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．24 B．25 C．7 D．8
【答案】D
【解题思路】由双曲线标准方程得，然后根据关系求得．
【解答过程】由题意，，，
故选：D．
【变式4-1】（2026高二上·河南驻马店·期中）若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】求出椭圆的半焦距，利用双曲线与该椭圆半焦距相等，以及之间的关系，即可求出结果.
【解答过程】由题知，椭圆的半焦距为，
所以，解得.
故选：D.
【变式4-2】（2026高三上·广东肇庆·阶段练习）已知双曲线的上焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据双曲线的焦点位置可得标准方程，即可得解.
【解答过程】因为知双曲线的上焦点为，
所以可化为，
故.
故选：D.
【变式4-3】（2026高三上·上海虹口·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解题思路】由双曲线方程可知焦点在x轴上，结合椭圆方程和双曲线方程列式求解即可.
【解答过程】由双曲线可知焦点在x轴上，
由题意可得：，解得.
故选：C.
【题型5 求双曲线的轨迹方程】
【例5】（2026高二上·山东·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】利用直接法求解.
【解答过程】解：由题意可得，
化简得．
故选：B.
【变式5-1】（2026高二上·江西·阶段练习）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可.
【解答过程】定圆的圆心为，与关于原点对称.
设，由两圆外切可得，所以,
所以，点的轨迹为双曲线的右支.
设双曲线的方程为，则，，，
所以，点的轨迹方程为.
故选：D.
【变式5-2】（2026高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（ ）的方程上.
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【解题思路】根据双曲线的定义进行求解即可.
【解答过程】设炮弹爆炸点为，
由题意可知：，
显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有，
可得：，于是有，
根据四个选项可知，只有选项D符合，
故选：D.
【变式5-3】（2026高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得.
【解答过程】设点，则，
化简即得：.
即点的轨迹方程为：.
故选：B.
知识点3 双曲线的焦点三角形
1．双曲线的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.
(2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法
方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式，求得面积.
方法二：利用公式，求得面积.
(3)焦点三角形的常用结论
若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为.
【题型6 双曲线中焦点三角形问题】
【例6】（2026高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【解题思路】利用双曲线的定义可求得的周长.
【解答过程】如图，由题意可得，的周长为，
由双曲线的定义可得 ，又 ，
所以 ，
所以的周长为12．
故选：B.

【变式6-1】（2026高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【解题思路】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解．
【解答过程】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，
则，，
又，
则，
即，
即，
即的面积是
故选：D
【变式6-2】（2026高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线是上的任意一点.
(1)设点的坐标为，求的最小值；
(2)若分别为双曲线的左 右焦点，，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）设出点的坐标为，表示出，利用点再双曲线上，借助二次函数知识计算即可;
（2）由双曲线的定义及余弦定理表示出，结合面积公式计算即可.
【解答过程】（1）

设点的坐标为，
则，
因为，所以当时，取得最小值.
（2）由双曲线的定义知①,
由余弦定理得②,
根据①②可得，所以.
【变式6-3】（2026高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为．
(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；
(2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程.
（2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解.
【解答过程】（1）椭圆的焦点为和，
依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为.
（2）设，，则由双曲线的定义得，
在中，，
则，所以的面积.
【题型7 利用双曲线定义求点到焦点的距离最值】
【例7】（2026高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可.
【解答过程】由，得，所以为双曲线的右支，
为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则，
所以．所以，
当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为．
故选：D.
【变式7-1】（2026·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．16 B．18 C． D．
【答案】A
【解题思路】利用双曲线的定义表示，结合基本不等式求解最小值.
【解答过程】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点，
所以，
所以
，当且仅当，即时，等号成立；
因为，所以，所以成立，的最小值为16.
故选：A.
【变式7-2】（2026高二上·河南驻马店·阶段练习）已知定点，且，动点满足，则的最小值是 .
【答案】6
【解题思路】根据动点满足，得到点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，不妨设焦点在x轴上，写出双曲线方程，设，利用两点间距离公式求解.
【解答过程】因为动点满足，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，
则，即，
不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为，
左焦点为，右焦点为，
设，则，
所以，
所以的最小值是6，
故答案为：6.
【变式7-3】（2026高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 .
【答案】
【解题思路】设，且，通过可求得最小值.
【解答过程】设，且，，
又，
又或，
所以
即的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值.
故答案为：.
【题型8 双曲线中线段和、差的最值问题】
【例8】（2026高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可.
【解答过程】
由题知，，，所以，
设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上，
由双曲线的定义知，
所以,
当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
【变式8-1】（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（ ）
A．不存在 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解题思路】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案..
【解答过程】依题意，下焦点，设上焦点，
双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，
所以延长时，与双曲线没有交点，，
设延长，交双曲线上支于，
依题意，是双曲线上支上的动点，
根据双曲线的定义可知，
，当在点时等号成立，则，
所以，所以，
所以，所以的最大值不存在.
故选：A.
【变式8-2】（2026高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（ ）
A．11 B．9 C．7 D．6
【答案】B
【解题思路】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值.
【解答过程】
由，得，，则，
则双曲线的两个焦点，，
又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径，
所以，，
则
，
即的最大值为．
故选：B.
【变式8-3】（2026高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.
【解答过程】
在双曲线中，，，
， ，
设双曲线的右焦点为，则，
在双曲线的右支上，
，即，
由题知，圆心，半径，在圆上，
，
则，
当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为，
此时，
的最小值为.
故选：D.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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