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专题04 双曲线16大重点题型（期中专项训练）
【苏教版】
1．（2026高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A．9 B．1 C．1或9 D．11或9
2．（2026高二上·陕西榆林·期中）已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2026高二上·河南驻马店·期中）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（ ）
A．6或18 B．18
C．8或20 D．22
4．（2026高二上·四川绵阳·期中）双曲线的左右焦点分别是是双曲线左支上一点，且，则 .
5．（2026高二上·陕西汉中·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，点是的右支上的一点，且，则 ．
6．（2026高二上·四川绵阳·期中）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2026高二上·福建莆田·期中）若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 ．
10．（2026高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点，焦点在轴上；
(2)过点和．
11．（2026高二上·浙江衢州·期中）“”是方程“表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2026高二上·湖南长沙·期中）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2026高二上·浙江·期中）对于方程，表示的曲线，下列说法正确的是 （ ）
A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线
B．若为负角，则曲线为双曲线
C．若为正角，则曲线为椭圆
D．若为椭圆，则曲线的焦点在轴上
14．（2026高二上·浙江台州·期中）已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 ．
15．（2026高二上·浙江绍兴·期中）曲线且
(1)若曲线表示双曲线，求的取值范围；
(2)当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标．
16．（2026高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
17．（2026高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（ ）
A．12 B．14
C．10 D．8
18．（2026高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点， ，且的面积等于4，则（ ）
A． B．2 C． D．4
19．（2026高二上·浙江台州·期中）设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 .
20．（2026高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上），
(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；
(2)若，，求的面积．
21．（2026高二上·辽宁沈阳·期末）若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（ ）
A．4 B．10 C．2或10 D．4或12
22．（2026高二上·四川绵阳·期中）已知P为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若，则的值为 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
23．（2026高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2026高二上·辽宁·期中）已知双曲线上一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离为 .
25．（2026高二上·湖北·期中）已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是 ．
26．（2026高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
27．（2026高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（ ）
A．11 B．9 C．7 D．6
28．（2026高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
29．（2026高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 .
30．（2026高二上·上海·课后作业）已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值．
31．（2026高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
32．（2026高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
33．（2026高二上·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2026高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
35．（2026高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程．
36．（2026高二上·浙江杭州·期中）双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
37．（2026高二上·云南昭通·期中）已知双曲线的上焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实轴长为（ ）
A． B． C． D．
38．（2026高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（　　）
A．虚轴长为4 B．焦距为
C．离心率为 D．渐近线方程为
39．（2026高二上·天津·期中）双曲线的焦点坐标为 .
40．（2026高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 .
41．（2026高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
42．（2026高二上·河南安阳·期中）若双曲线的离心率，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
43．（2026高二上·黑龙江·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
44．（2026高二上·山东菏泽·期中）焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为 ．
45．（2026高二上·广西梧州·阶段练习）求符合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为；
(2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为.
46．（2026高二上·河南开封·期中）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
47．（2026高二上·河北·期中）直线是双曲线的一条渐近线，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
48．（2026高二上·浙江绍兴·期中）双曲线的左焦点到其中一条渐近线的距离为（ ）
A．2 B． C．1 D．
49．（2026高二上·浙江杭州·期中）已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为 ．
50．（2026高二上·黑龙江·期中）已知和为双曲线上两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求双曲线的离心率及渐近线方程；
(3)若过的直线交于另一点，且的面积为6，求的方程.
51．（2026高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
52．（2026高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．5
53．（2026高二上·江苏常州·期中）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
54．（2026高二上·广东·期中）已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为 .
55．（2026高二上·辽宁·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与左支相交于、两点.
(1)若，，求双曲线的方程：
(2)若直线的斜率为，且，求双曲线的离心率.
56．（2026高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（ ）
A．直线与双曲线有且只有一个公共点
B．直线与双曲线的左支有两个公共点
C．直线与双曲线的右支有两个公共点
D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点
57．（2026高二上·浙江温州·期中）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
58．（2026高二上·江苏盐城·期中）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
59．（2026高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ．
60．（2026高二上·陕西汉中·期中）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线过点，且其离心率为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值．
61．（2026高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
62．（2026高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
63．（2026高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
64．（2026高二上·天津和平·期中）已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线的斜率为，求弦长.
65．（2026高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.
66．（2026高二上·河北衡水·阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
67．（2026高二上·全国·课后作业）已知双曲线，O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点，若的面积为，则直线l的方程为（　　）
A．
B．
C．或
D．或
68．（2026高二上·云南昆明·期中）如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，则菱形的面积与矩形的面积的比值为（ ）

A． B． C． D．
69．（2026高二上·广东·期中）已知双曲线的离心率为，虚轴长为4.
(1)求的方程；
(2)直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程.
70．（2026高二上·浙江·期中）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围.
71．（2026高二下·浙江·期末）双曲线右焦点为，离心率为，，以为圆心，长为半径的圆与双曲线有公共点，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
72．（2026高三·全国·专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
73．（2026高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
74．（2026高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为 ．
75．（2026高二上·广西·期中）已知，分别为双曲线的左，右焦点，与轴分别交于点，，它的一条渐近线的斜率为，且右焦点到该渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与曲线交于，两点（不与两个顶点重合，记直线，的斜率为，，证明：为定值．
(3)若动点在曲线的左支上，定点，点为圆上一动点，则求的最小值．
76．（2026高二上·广东东莞·期中）已知双曲线的左 右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)过且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，证明为定值，并求出该定值.
77．（2026高二上·山西·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称.
(i)求m的取值范围；
(ii)求证：直线过定点.
78．（2026高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值.
79．（2026高二上·广东东莞·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上.
80．（2026高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线：的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，，此时为等腰直角三角形．
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标；
(3)当直线与双曲线的左支交于，两点时，直线，分别交直线于，两点，在轴上是否存在定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点坐标，否则，请说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 双曲线16大重点题型（期中专项训练）
【苏教版】
1．（2026高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A．9 B．1 C．1或9 D．11或9
【答案】A
【解题思路】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解.
【解答过程】根据双曲线定义可得，又，
所以或，
又，，
而或，
所以.
故选：A.
2．（2026高二上·陕西榆林·期中）已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【解答过程】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”；
若动点的轨迹是双曲线，则为定值，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”.
因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2026高二上·河南驻马店·期中）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（ ）
A．6或18 B．18
C．8或20 D．22
【答案】B
【解题思路】根据中位线性质可得，利用双曲线的定义可得.
【解答过程】设双曲线的右焦点为，连接.
由题意得，
∵M为线段FP的中点，为线段的中点，
∴，
由双曲线定义得，，故.
故选：B.
4．（2026高二上·四川绵阳·期中）双曲线的左右焦点分别是是双曲线左支上一点，且，则 .
【答案】9
【解题思路】由双曲线的定义求解即可.
【解答过程】由可知：，则，
由双曲线的定义可知：.
因为，所以
故答案为：.
5．（2026高二上·陕西汉中·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，点是的右支上的一点，且，则 ．
【答案】
【解题思路】由双曲线的定义可得，再由余弦定理可得，两式联立即可求出.
【解答过程】由双曲线的方程为：，
由双曲线的定义可得：，所以，①
又因为，
所以，即，②
将①代入②可得：，
则，所以.
故答案为：.
6．（2026高二上·四川绵阳·期中）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据椭圆方程可得焦点坐标，设双曲线方程为，根据题意列式求解即可.
【解答过程】由椭圆方程可知，即焦点坐标为，
设双曲线方程为，
则，解得，
所以双曲线方程为.
故选：C.
7．（2026高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】由的关系结合已知即可求解.
【解答过程】由题意知，，所以，
所以双曲线的方程为.
故选：D.
8．（2026高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据椭圆方程写出长轴端点和焦点坐标，从而得双曲线的实半轴长和半焦距，再代入双曲线标准方程即可.
【解答过程】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，，
所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，，
则双曲线的焦点在轴上，且，，所以，
所以双曲线的方程为.
故选：C.
9．（2026高二上·福建莆田·期中）若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【解题思路】先求出椭圆的焦点坐标，在根据双曲线的定义求出双曲线的，再求双曲线的.
【解答过程】椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点坐标为，根据双曲线的定义可得：，解得，又因为，所以，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：.
10．（2026高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点，焦点在轴上；
(2)过点和．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）依题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入求出，即可得解；
（2）设双曲线方程为，代入点的坐标得到方程组，解得、即可.
【解答过程】（1）因为双曲线的焦点在轴上，
所以可设双曲线的标准方程为，
由，经过点，
可得，解得，
故双曲线的标准方程为；
（2）依题意设双曲线方程为，
则，解得，所以双曲线方程为.
11．（2026高二上·浙江衢州·期中）“”是方程“表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据双曲线方程求出的取值范围使得方程表示双曲线，然后再判断与这个取值范围的关系.
【解答过程】要使方程表示双曲线，则.
解不等式，可得.
当时，不一定满足，例如当时，方程不表示双曲线；
而当方程表示双曲线时，一定有，那么一定满足.
所以是方程表示双曲线的必要不充分条件.
故选：B.
12．（2026高二上·湖南长沙·期中）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】根据双曲线方程的特征得到，解得即可.
【解答过程】因为方程表示双曲线，
所以，解得或，
故的取值范围为.
故选：B.
13．（2026高二上·浙江·期中）对于方程，表示的曲线，下列说法正确的是 （ ）
A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线
B．若为负角，则曲线为双曲线
C．若为正角，则曲线为椭圆
D．若为椭圆，则曲线的焦点在轴上
【答案】B
【解题思路】对于A，根据的取值，即可判断；对于B若为负角，即，结合双曲线标准方程的形式，即可判断；
对于C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对于D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项.
【解答过程】对于A，当，即时，曲线的方程为，即，
此时曲线为两条平行的直线，故A错误；
对于B，若为负角，即，则，
此时曲线为双曲线，故B正确；
对于C，若为正角，即，当时，，
则曲线的方程为1，是圆，故C错误；
对于D，若为椭圆，当，，又可变形为，
则为焦点在轴上的椭圆，故D错误．
故选：B.
14．（2026高二上·浙江台州·期中）已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【解题思路】由题意可得，解之即可求解.
【解答过程】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则，解得.
故答案为：.
15．（2026高二上·浙江绍兴·期中）曲线且
(1)若曲线表示双曲线，求的取值范围；
(2)当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标．
【答案】(1)；
(2)．
【解题思路】（1）根据双曲线方程的特征得到不等式，求出；
（2）时，求出，设，，根据垂直关系得到方程，结合，求出，得到答案.
【解答过程】（1）表示双曲线，则，
解得，
故的取值范围是；
（2）时，曲线为双曲线，
设，，故，
因为，
所以，
解得，
故点的横坐标为.
16．（2026高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
【答案】C
【解题思路】根据双曲线的定义，以及焦点三角形的性质，即可列式求解.
【解答过程】由条件可知，，，
，则，
则,
所以面积为.
故选：C.
17．（2026高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（ ）
A．12 B．14
C．10 D．8
【答案】A
【解题思路】由双曲线的定义求解即可；
【解答过程】
由题意可得，
的周长为，
由双曲线定定义可得，
又
所以，
所以的周长为12，
故选：A.
18．（2026高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点， ，且的面积等于4，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【解题思路】先由的面积得，再由勾股定理结合双曲线的定义以及即可求解.
【解答过程】由题得，所以，
因为，所以，
则，所以即，
又，所以即.
故选：B.
19．（2026高二上·浙江台州·期中）设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 .
【答案】24
【解题思路】利用双曲线定义易得，结合得为直角三角形，即可求面积.
【解答过程】由题设，令且，则，即，
所以，而，则，
所以为直角三角形，且，故其面积为.
故答案为：.
20．（2026高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上），
(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案；
（2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解
【解答过程】（1）椭圆的焦点为和，
所以双曲线的，所以，
又双曲线过点，所以，
由，解得，
双曲线的标准方程为
（2）设，由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理，
得，
所以，
则的面积.

21．（2026高二上·辽宁沈阳·期末）若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（ ）
A．4 B．10 C．2或10 D．4或12
【答案】D
【解题思路】通过对点的位置进行分类讨论,再结合双曲线的定义进行运算即可.
【解答过程】由双曲线的方程可得,所以,可得.
设右焦点为,左焦点为,
当点在左支上时,则,所以；
当点在右支上时,．
故选:D.
22．（2026高二上·四川绵阳·期中）已知P为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若，则的值为 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解题思路】由双曲线的定义得，去绝对值求解即可.
【解答过程】由双曲线的定义及标准方程可知：，即，
解得或（舍去）.
故选：D.
23．（2026高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可.
【解答过程】由，得，所以为双曲线的右支，
为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则，
所以．所以，
当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为．
故选：D.
24．（2026高二上·辽宁·期中）已知双曲线上一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离为 .
【答案】2或22
【解题思路】根据双曲线的定义可求得结果.
【解答过程】已知双曲线，则，
设点P到右焦点的距离为，
根据双曲线上一点到两焦点距离差的绝对值等于可得，，
解得或，经验证均符合题意，
故答案为：2或22.
25．（2026高二上·湖北·期中）已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是 ．
【答案】
【解题思路】设点的坐标为，利用双曲线的定义，可得，于是，转化求解即可．
【解答过程】由题意可得，，即，则，的坐标分别为，，
由双曲线的定义，得，
又是圆上的点，设圆的圆心为，半径为，
由图可知，，
所以，
当且仅当、、、四点共线（、在之间）时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
26．（2026高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可.
【解答过程】
由题知，，，所以，
设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上，
由双曲线的定义知，
所以,
当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
27．（2026高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（ ）
A．11 B．9 C．7 D．6
【答案】B
【解题思路】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值.
【解答过程】
由，得，，则，
则双曲线的两个焦点，，
又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径，
所以，，
则
，
即的最大值为．
故选：B.
28．（2026高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.
【解答过程】
在双曲线中，，，
， ，
设双曲线的右焦点为，则，
在双曲线的右支上，
，即，
由题知，圆心，半径，在圆上，
，
则，
当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为，
此时，
的最小值为.
故选：D.
29．（2026高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 .
【答案】8
【解题思路】根据给定条件，求出圆心及半径，利用圆的性质及双曲线定义求出最大值.
【解答过程】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点，
，，
要取最大值，点必在双曲线左支上，
所以.
故答案为：.
30．（2026高二上·上海·课后作业）已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值．
【答案】
【解题思路】
先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义即可求的最大值.
【解答过程】 ， ，，则，
故双曲线的两个焦点为，，
，也分别是两个圆的圆心，两圆的半径分别为，
所以，，
则
，
即的最大值为．

31．（2026高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得.
【解答过程】设点，则，
化简即得：.
即点的轨迹方程为：.
故选：B.
32．（2026高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】由条件利用双曲线的定义、标准方程，求得双曲线的标准方程.
【解答过程】根据，
可得点到点的距离差的绝对值等于，
结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线，
，则，，所以，，
故方程为：，
故选：A.
33．（2026高二上·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程.
【解答过程】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切，
则，，
则，
故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支.
又因，解得，故其轨迹方程为.
故选：D.
34．（2026高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【解题思路】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程.
【解答过程】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
设动圆的圆心，半径为，依题意，，
则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支，
实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为.
故答案为：.
35．（2026高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程．
【答案】
【解题思路】利用两圆相切分别可得，结合双曲线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支，从而可得的轨迹方程.
【解答过程】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
设动圆的半径为，
又因为动圆C与圆外切，且与圆内切，
则，可得，
可知点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支，
则，，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
36．（2026高二上·浙江杭州·期中）双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据题意，将双曲线方程化为标准式，即可得到结果.
【解答过程】由题意可知双曲线标准方程为，则，
则双曲线的焦点坐标为.
故选：C.
37．（2026高二上·云南昭通·期中）已知双曲线的上焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据双曲线的几何性质可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得解.
【解答过程】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，
所以，，解得，
因此，该双曲线的实轴长为.
故选：D.
38．（2026高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（　　）
A．虚轴长为4 B．焦距为
C．离心率为 D．渐近线方程为
【答案】D
【解题思路】根据双曲线方程求出、，即可求出，再一一判断即可.
【解答过程】双曲线，则，，所以，
则虚轴长为，焦距为，离心率，
渐近线为即，故A、B、C错误，D正确.
故选：D.
39．（2026高二上·天津·期中）双曲线的焦点坐标为 .
【答案】
【解题思路】根据双曲线的标准方程求焦点坐标.
【解答过程】因为双曲线的标准方程为：，
所以：双曲线的焦点在轴上，且，，所以 .
所以：双曲线的焦点为：.
故答案为：.
40．（2026高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 .
【答案】
【解题思路】根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线，比较系数确定，再根据、、关系求出即可.
【解答过程】根据双曲线方程，有双曲线的渐近线为，
又因为双曲线的一条渐近线为，即，所以，
所以焦距为.
故答案为：.
41．（2026高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】根据双曲线的实轴长、虚轴长及焦点位置直接写出双曲线方程即可.
【解答过程】由题设，双曲线方程可设为，且，即，
所以双曲线方程为.
故选：A.
42．（2026高二上·河南安阳·期中）若双曲线的离心率，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据离心率可知双曲线为等轴双曲线，设出方程，利用点在曲线上，点的坐标满足曲线方程，从而可求得结果
【解答过程】因为离心率，所以，即，
所以，所以双曲线为等轴双曲线，
所以设双曲线方程为，
因为双曲线经过点 ，
所以，得，所以双曲线方程为，
故选：A.
43．（2026高二上·黑龙江·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解题思路】根据双曲线的焦点位置设出方程，由渐近线方程及实轴长列出的方程，求解即可．
【解答过程】当双曲线的焦点在轴上时，方程为，
∵渐近线方程为，实轴长为4，
∴且，解得，
∴的方程为．
当双曲线的焦点在轴上时，方程为，
∵渐近线方程为，实轴长为4，
∴且，解得，
∴的方程为．
综上，的方程为或．
故选：C．
44．（2026高二上·山东菏泽·期中）焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【解题思路】结合题意，求出，利用双曲线焦点位置，即可写出其标准方程.
【解答过程】依题意，，解得
故该双曲线方程为：.
故答案为：.
45．（2026高二上·广西梧州·阶段练习）求符合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为；
(2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）（2）结合题意求出双曲线的长、短半轴长，根据焦点位置，即可求得双曲线方程.
【解答过程】（1）因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，所以，
解得，所以，
所以所求双曲线的标准方程为.
（2）依题意，可设所求双曲线的标准方程为.
因为焦距为，所以，
所以.
又渐近线方程为，所以，
则，所以所求双曲线的标准方程为.
46．（2026高二上·河南开封·期中）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】将标准方程中的1变为0后可求双曲线的渐近线.
【解答过程】∵双曲线标准方程为，其渐近线方程是，
整理得．
故选：C．
47．（2026高二上·河北·期中）直线是双曲线的一条渐近线，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
【答案】A
【解题思路】首先表示出双曲线的渐近线，即可得到方程，解得即可.
【解答过程】双曲线的渐近线为，
又是双曲线的一条渐近线，即，解得.
故选：A.
48．（2026高二上·浙江绍兴·期中）双曲线的左焦点到其中一条渐近线的距离为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解题思路】根据双曲线方程求出渐近线和左焦点坐标，利用点到直线距离公式求解.
【解答过程】由已知得，则左焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为，
因为焦点到两条渐近线的距离相等，
所以左焦点到其中一条渐近线的距离为，
故选：.
49．（2026高二上·浙江杭州·期中）已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解题思路】根据以MN为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，得到以MN为直径的圆的方程为，根据三角形的面积求出的坐标，代入双曲线方程进行整理即可得解．
【解答过程】

以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，
以为直径的圆的方程为，设点的纵坐标为，
由对称性知的面积，
即点的纵坐标为，
则由，得，
因为点在双曲线上，
则，
即，即，
即，
即，得，
即，得，得，.
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
50．（2026高二上·黑龙江·期中）已知和为双曲线上两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求双曲线的离心率及渐近线方程；
(3)若过的直线交于另一点，且的面积为6，求的方程.
【答案】(1)
(2)离心率为，渐近线方程为
(3)或或或
【解题思路】（1）将两点坐标代入双曲线方程，解方程组求出，即得答案；
（2）根据双曲线的离心率公式与渐近线的方程求解；
（3）求出直线的方程，及点到直线的距离，设，根据条件列出方程组，求出得点的坐标，进而可求直线的方程.
【解答过程】（1）∵和为双曲线上两点，
∴且，解得，
∴双曲线的标准方程为.
（2）∵，∴，
∴双曲线的离心率为，渐近线方程为.
（3）∵和，∴，
∴直线的方程为，即，
，
又点到直线的距离为，
∵，∴，
设，则，即，
∴或，
解得或或或，
即或或或，
当时，直线的方程为；
当时，，直线的方程为，即；
当时，，直线的方程为，即；
当时，，直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或或或．
51．（2026高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据条件求渐近线方程，得到的值，利用即可得到结果.
【解答过程】∵双曲线的一条渐近线经过点，
∴此渐近线方程为，即，
∴离心率.
故选：B.
52．（2026高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】A
【解题思路】设，由双曲线定义表达各边，且，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到答案.
【解答过程】由题意得，设，
因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，故，
由双曲线定义知，，故，
，
其中，
解得，则，，
因为，所以，
在中，由余弦定理得
，
解得，
故双曲线C的离心率为.
故选：A.
53．（2026高二上·江苏常州·期中）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解.
【解答过程】如图所示：
设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，则，所以平行四边形为矩形，故，
设，，则，
在中，，，
所以，则，
所以，
令，得，
又由，得，
因为对勾函数在上单调递增，所以，
所以 ，即，
则，故，
所以，
所以双曲线离心率的取值范围是，
故选：A.
54．（2026高二上·广东·期中）已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为 .
【答案】
【解题思路】根据题意可以得到，求出，再由余弦定理求出的值，最后根据双曲线定义即可求解.
【解答过程】由题意知，为正三角形，且，关于轴对称，
所以，且，
所以，，
由余弦定理得，
由双曲线定义得，即，
所以.
故答案为：.
55．（2026高二上·辽宁·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与左支相交于、两点.
(1)若，，求双曲线的方程：
(2)若直线的斜率为，且，求双曲线的离心率.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由双曲线的定义结合已知条件可求出的值，由已知条件得出的值，可求出的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）设，可得，在、中分别利用余弦定理，化简后可得出关于、的齐次等式，即可解得双曲线的离心率的值.
【解答过程】（1）解：由双曲线的定义可得，，
所以，，
因为，则，
由可知，，则，
所以，双曲线的方程为.
（2）解：因为直线的斜率为，则，，
设，由可得，
在中，由余弦定理可得，①
在中，由余弦定理可得，②
由①②整理可得，
代入①式可得，所以，，
因此，双曲线的离心率为.
56．（2026高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（ ）
A．直线与双曲线有且只有一个公共点
B．直线与双曲线的左支有两个公共点
C．直线与双曲线的右支有两个公共点
D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点
【答案】C
【解题思路】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案.
【解答过程】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示：
由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边，
联立直线与双曲线方程得，解得或，
则直线与双曲线的右支有两个公共点.
故选：C.
57．（2026高二上·浙江温州·期中）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果.
【解答过程】联立方程，整理可得，
当时，即，方程有一解，即只有一个公共点；
当时，，解得；
所以直线与双曲线只有一个公共点时，或，
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件，
故选：A.
58．（2026高二上·江苏盐城·期中）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【答案】C
【解题思路】利用双曲线和双曲线渐近线的图像和性质求解即可.
【解答过程】直线，即恒过点，
又双曲线的渐近线方程为，
则点在其中一条渐近线上，
又直线与双曲线只有一个交点，
则直线过点且平行于或过点且与双曲线的右支相切，
即满足条件的直线有条.
故选：C.
59．（2026高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ．
【答案】或
【解题思路】对直线是否与双曲线渐近线平行分类讨论，利用方程根的个数即可得出实数的值.
【解答过程】易知双曲线的左、右顶点为，渐近线方程为；
显然直线过定点，当直线与渐近线平行时，满足题意，此时；
当直线与渐近线不平行时，此时，
联立，整理可得，
因此，解得.
综上可得，实数的值为或.
故答案为：或.
60．（2026高二上·陕西汉中·期中）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线过点，且其离心率为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值．
【答案】(1)
(2)，
【解题思路】（1）由双曲线过点，焦点在轴上及实半轴长，设双曲线的标准方程为，再由离心率可得的值，从而得双曲线的标准方程；
（2）联立直线与双曲线，可得，可得方程只有一解，分情况讨论可得实数的值.
【解答过程】（1）由题意知双曲线的焦点在轴上，且其实半轴长为2，
设双曲线的标准方程为则，
由得，
双曲线的标准方程．
（2）由得（※），
当，即：时，方程（※）有且只有一解，合题意；
当时，由，
得，方程（※）有且只有一解，也合题意；
综上所述：实数的值为：，．
61．（2026高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程.
【解答过程】设弦端点，，
由，在双曲线上，
则，
两式做差可得，
即，
又弦被点平分，
则，代入上式可得，
则，
即直线方程为，化简可得，
故选：D.
62．（2026高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解题思路】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解.
【解答过程】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为.
由得 .
设 ，
则，，所以
＝3.
故选：B.

63．（2026高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程.
【解答过程】设，代入双曲线方程，
可得，作差，
因为点为线段的中点，所以
所以，即，
所以直线的方程是，即，
经检验，直线满足题意.
故选：A.
64．（2026高二上·天津和平·期中）已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线的斜率为，求弦长.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求解即可；
（2）先求出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可.
【解答过程】（1）因为双曲线的焦距为，所以，即，
又，所以，解得，
则双曲线的方程为.
（2）由题意，直线的方程为，
联立，消去y并整理得，
设，，此时，
由韦达定理得，，
所以.
65．（2026高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）根据给定条件，设出双曲线方程，利用待定系数法求出方程.
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，借助中点坐标求解.
【解答过程】（1）由双曲线与双曲线有相同的渐近线，设双曲线的方程为，
而点在双曲线上，因此，方程为，
所以双曲线的标准方程为.
（2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
由消去得，
由线段的中点为，得，解得，
此时方程为，，因此，
所以直线的方程为，即.
66．（2026高二上·河北衡水·阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据双曲线方程有，，应用余弦定理列方程可得，应用三角形面积公式求面积.
【解答过程】由题设，，又，
，则，
所以，可得，则的面积为.
故选：C.
67．（2026高二上·全国·课后作业）已知双曲线，O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点，若的面积为，则直线l的方程为（　　）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【解题思路】设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，根据题意求出的范围，写出韦达定理，求出弦长和点到直线的距离，利用的面积公式建立方程，解之即得.
【解答过程】

如图，设直线l的方程为，代入双曲线C的方程,整理得:.
因直线l与双曲线C交于不同的两点E，F，
则，解得且,
设，则
故,
又原点O到直线的距离，
则，
又，即，
化简得：，解得，均满足条件．
故满足条件的直线有两条，其方程分别为或.
故选：C.
68．（2026高二上·云南昆明·期中）如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，则菱形的面积与矩形的面积的比值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据几何关系列出有关的方程，再将面积比转化为的形式即可.
【解答过程】虚轴两端点为，两焦点为，
所以菱形的面积，
以为直径的圆内切于菱形，切点分别为
所以且
在中，用等面积法得：
，即，
所以，，
所以即，解得（负值舍去），
设矩形，
在中，用等面积法得：，所以，
且，即，.
所以矩形的面积，
所以.
故选：C.
69．（2026高二上·广东·期中）已知双曲线的离心率为，虚轴长为4.
(1)求的方程；
(2)直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】（1）运用双曲线的离心率公式和，，的关系，列出方程组后解出即可得到，，的值，即可得的方程；
（2）联立直线与曲线方程，借助韦达定理和弦长公式可表示出的面积，借助该面积计算即可得的值，即可得直线的方程.
【解答过程】（1）由题意可得，解得，
故；
（2）设，，
由，可得，
则有，解得且，
，，
，
化简得，即，
解得或，
故直线的方程为或.
70．（2026高二上·浙江·期中）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由双曲线的性质得到焦点和渐近线方程，再由点到直线的距离公式解得，再由离心率和求出双曲线方程即可；
（2）设直线的方程为：，直曲联立，表示出韦达定理，再由三角形的面积公式结合韦达定理化简即可；
【解答过程】（1）由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为，
右焦点到渐近线的距离，解得，
由离心率，又，解得，
双曲线的方程为.
（2）设直线的方程为：，
联立，
恒成立，，
直线与双曲线的右支交于两点，，解得.
，
.

71．（2026高二下·浙江·期末）双曲线右焦点为，离心率为，，以为圆心，长为半径的圆与双曲线有公共点，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】先求出圆的方程，联立方程组，由得出的范围，从而得解.
【解答过程】由题意，右焦点，
又，则，，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
，
联立方程组，
得，
由圆与双曲线有公共点，所以，
即，结合，
化简为，
由方程两根为：
，，
所以不等式的解为，或，
由已知，得
所以，
当时，取得最小值.
故选：A.
72．（2026高三·全国·专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解题思路】设在右支上，根据双曲线的性质求得、且，由已知双曲线有，结合的范围求范围，即可得结果.
【解答过程】由双曲线的对称性，假设在右支上，即，
由到的距离为，而，
所以 ，
综上，，同理，则，
对于双曲线，有且，
所以，而，即.
故选：D.
73．（2026高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解.
【解答过程】联立，化简并整理得，
由题意，化简得，
解得，
所以过点且与垂直的直线方程为，
在该直线方程中分别令，依次解得，
所以，
即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：

若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为，
所以，
等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点，
若在左支上面，如图所示：

所以，
等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点，
综上所述，点到两点距离之和的最小值为.
故选：A.
74．（2026高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为 ．
【答案】
【解题思路】求出直线的方程，利用双曲线的右支上一点到的距离恒大于，可得直线与其平行的渐近线的距离恒大于等于，进而可得出答案.
【解答过程】由题意，双曲线的渐近线方程为，
因为直线过且与的一条渐近线平行，
不妨设直线的方程为，即，
由的右支上一点到的距离恒大于，
可得直线到直线的距离恒大于等于，
直线到直线的距离，
所以，所以的最大值为.
故答案为：.
75．（2026高二上·广西·期中）已知，分别为双曲线的左，右焦点，与轴分别交于点，，它的一条渐近线的斜率为，且右焦点到该渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与曲线交于，两点（不与两个顶点重合，记直线，的斜率为，，证明：为定值．
(3)若动点在曲线的左支上，定点，点为圆上一动点，则求的最小值．
【答案】(1)．
(2)证明见解析
(3)
【解题思路】（1）由题意可知，，解方程即可求出，即可求出双曲线方程；
（2）设直线，与椭圆方程联立得出韦达定理，再表示，结合韦达定理求出结果；
（3）由题意可得，即可求最小值.
【解答过程】（1）因为双曲线的一条渐近线的斜率为，
所以，，
则双曲线的一条渐近线的方程为，
因为，
所以右焦点到渐近线的距离为，
所以，则，，
所以双曲线的方程为．
（2）

依题意可知，， 表示双曲线的两个顶点，由（1）可知，，
设，．
因为不与重合，所以可设直线．
联立消得：，
故，，
所以，，，
所以．
（3）

由(1)可知，设，为曲线的左右焦点，
圆半径为，圆心，
，
，
当且仅当，，共线且在，之间时取等号，
，
当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号．
的最小值是．
76．（2026高二上·广东东莞·期中）已知双曲线的左 右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)过且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，证明为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为
【解题思路】（1）直线的斜率之积为3，列出等式，再结合点在双曲线上即可求解；
（2）设，联立双曲线方程，结合向量数量积的坐标表示即可求解.
【解答过程】（1）由题意可得，则直线的斜率，直线的斜率.
因为直线的斜率之积为3，所以，解得.
因为点在双曲线上，所以，解得.
故双曲线的方程为.
（2）
设直线.
联立，整理得
，则，且所以.
所以为定值，定值为.
77．（2026高二上·山西·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称.
(i)求m的取值范围；
(ii)求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)(i)；(ii)证明见解析
【解题思路】(1)根据双曲线渐近线方程和虚轴长，列方程组解出，，可得双曲线方程；
(2) (i)联立直线和双曲线方程，根据题意，，计算可得m的取值范围；
(ii)假设定点的坐标为，所以，，因为，再利用向量坐标的乘法运算即可得到定点.
【解答过程】（1）由已知得解得，，所以双曲线的方程为；
（2）(i)设，，则，联立，
消去得，
则，，，
可得.
所以的取值范围为：；
(ii)由(i)得，，
由对称性可知BD过的定点在轴上，设定点的坐标为，
由，，
所以
，
可得，
所以直线BD过定点.
78．（2026高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解题思路】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可.
（2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证.
【解答过程】（1）由双曲线：虚轴长为4，得，
双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）由（1）知，，，
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设，
由消去得，
，，，
直线的斜率，直线的斜率，
所以，为定值．
79．（2026高二上·广东东莞·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上.
【答案】(1)
(2)（i）或；（ii）证明见解析
【解题思路】（1）根据求出，，从而得到，求出，得到双曲线方程；
（2）（i）由题意知直线l的方程为，，，联立双曲线方程，结合根的判别式和得到不等式，求出m的取值范围；
（ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线和直线的方程，联立得到，将代入，化简得到，得到答案.
【解答过程】（1）由题意可知，，因为，所以.
因为，，得，
又因为在双曲线上，则，
所以.
所以双曲线C的方程为.
（2）（i）由题意知直线l的方程为，，.
联立，
化简得，
因为直线l与双曲线左右两支相交，所以，
即满足：，
所以或.
（ii），，则，
直线的方程为，直线的方程为.
联立直线与的方程，得，
所以，
所以，
所以，
所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.
80．（2026高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线：的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，，此时为等腰直角三角形．
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标；
(3)当直线与双曲线的左支交于，两点时，直线，分别交直线于，两点，在轴上是否存在定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点坐标，否则，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或.
(3)或
【解题思路】（1）根据关系得到方程组，解出即可；
（2）写出渐近线方程，再利用平行关系得到直线的方程，联立双曲线方程解出即可；
（3）设设的方程为，联立双曲线方程得到韦达定理式，再写出相关直线方程，得到相关点坐标，写出两点直径式，代入韦达定理式即可.
【解答过程】（1）由题意得，解得，
所以双曲线的方程为：.
（2）渐近线方程为，
当直线与平行时，直线的方程为：，
联立解得.
当直线与平行时，直线的方程为：，
联立解得，
所以直线与双曲线的交点坐标为或.
（3）因为双曲线的渐近线方程为：，
显然当直线与轴重合时，不合题意，故设的方程为，，，
直线的方程为：，
当时，，即P点坐标为，
直线的方程为：，
当时，，即点坐标为，
所以以为直径的圆方程为：，
当时，
联立，消去得，其中，
，且，
所以，.
，
所以，
所以或.
所以轴上存在定点或始终在以为直径的圆上.
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