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专题04 圆锥曲线中切线与切点弦问题七大必考题型（举一反三专项训练）
【苏教版】
【类型1 椭圆中的切线方程与切点弦问题】 2
【类型2 双曲线中的切线方程与切点弦问题】 6
【类型3 抛物线中的切线方程与切点弦问题】 10
【类型4 切点弦过定点问题】 14
【类型5 与切点弦有关的面积问题】 21
【类型6 与切点弦有关的定值问题】 27
【类型7 与切点弦有关的最值（范围）问题】 34
知识点 圆锥曲线中的切线与切点弦
1．圆锥曲线的切线和切点弦
(1)切线方程：
过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为
.
(2)切点弦方程：
当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：.
上述两条为一般结论.特别地：
①对于椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程.
当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为.
②更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即圆锥曲线形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原圆锥曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线.
2．圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论
(1)过椭圆+=1上一点的切线方程为；
(2)过椭圆+=1外一点的切点弦方程为；
(3)过双曲线=1上一点的切线方程为；
(4)过双曲线=1外一点的切点弦方程为.
【类型1 椭圆中的切线方程与切点弦问题】
1．（2026高二下·浙江嘉兴·期中）经过点且与椭圆相切的直线方程是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】先利用点斜式，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到一元二次方程，让此方程根的判断式为零，求出斜率，即可求出切线方程，要考虑斜率不存在的情况．
【解答过程】显然当时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；
当存在斜率时，直线方程设为：，与椭圆的方程联立得，
，得到，
直线与椭圆相切，故，即，
解得，
所以切线方程为，
故选A．
2．（2026高三上·江苏南通·阶段练习）已知标准椭圆上P，Q两点的切线方程分别为，，则直线PQ的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解题思路】设椭圆方程为，分别联立直线方程，根据判别式联立求解可得，然后求出坐标可得斜率.
【解答过程】设椭圆方程为，，
联立消去得①，
则②，
联立消去得③，
则④，
联立②④解得，
代入①得，解得，所以，
代入③得，解得，所以，
所以.
故选：D.
3．（2026·全国·模拟预测）写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 .
【答案】或
【解题思路】设出公切线方程并分别于椭圆和抛物线联立，解方程组即可得出切线方程.
【解答过程】由已知，公切线斜率不为0，
设公切线方程为.
联立，
其判别式，
即，①
联立. .
其判别式，②
联立①②，解得，
所以椭圆和抛物线的公切线方程为或.
故答案为：或.
4．（2026高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的焦距为4，且经过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程.
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程；
（2）由平行关系设直线方程：，联立椭圆方程得，利用相切关系有求参数，即可得直线方程.
【解答过程】（1）由题意得，得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设与平行的：，
由，得，
由，得，则：.
5．（2026高三上·浙江·期末）已知椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为坐标原点，为直线上的一动点，过点作直线与椭圆相切于点，若的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【解题思路】（1）由已知可求得的值，再由点在椭圆上，结合，从而得出椭圆的标准方程；
（2）设，求切线的方程，从而得切线与轴的交点坐标，用，表示三角形的面积，再由点在椭圆上，联立方程组，解出，（注意舍去不满足条件的，），进而得到直线的方程．
【解答过程】解：（1）由题意得，
∴．
∵椭圆过点，
∴．
∵，
解得，．
∴椭圆的标准方程为．
（2）设，(由题意可以写了一定存在),
,得,
由相切得: ,解得
且,结合和得
则切线的方程为，
即，
则直线与轴交于点，
∵，
∴，
即，
∴，即或，
解得，或，（，不合题意舍），
∴直线的方程为或．
【类型2 双曲线中的切线方程与切点弦问题】
6．（2026高二·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ．
【答案】
【解题思路】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程.
【解答过程】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为，
则，联立方程，
消去得，
因为与双曲线相切，所以，
即，即，
即，
因为，所以，
代入可得，即，所以，
所以，即，
同理可得的方程为，
因为在切线上，所以，
所以满足方程，
又由两点确定一条直线，所以满足直线方程，
所以过的直线方程为.
故答案为：.
7．（2026高三·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．
【答案】
【解题思路】设，求得直线的方程为，同理的方程为，通过在切线上，可得到直线的方程
【解答过程】解：设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为，
则，联立方程，消去可得：，
整理可得：，
因为与双曲线相切，
所以，
，
即，
，代入可得：，即，
所以，
即，
同理，切线的方程为，
在切线上，所以有，
满足直线方程，而两点唯一确定一条直线，
直线AB的方程为.
8．（2026高三·全国·专题练习）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程．
【答案】
【解题思路】根据双曲线的切线方程（或切点弦方程）的结论直接代入即可得直线的方程.
【解答过程】如下图所示：
方法一：
根据题意，设切点坐标为，
根据结论：若点在双曲线上，则过点的双曲线的切线方程是．
则可得切线的方程分别为，；
又因为在切线上，可得，；
因此在方程的两根，
可知直线的方程为，也即.
方法二：
可直接利用结论：若点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点为点，则切点弦的直线方程是；
可得直线的方程为，也即.
9．（2026高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程；
（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．
【答案】（1）；（2）.
【解题思路】
（1）由双曲线上一点的切线方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分别表示出直线的方程，再将点的坐标代入计算，即可得到结果.
【解答过程】
（1）由双曲线上一点处的切线方程为，
所以双曲线在点处的切线方程为，
化简可得.
（2）设切点，则，，
又点在直线上，代入可得，，
所以点均在直线上，
所以直线的方程为，即.
10．（2026·河南周口·模拟预测）已知双曲线过点，.
(1)求双曲线C的渐近线方程.
(2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为.
(3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解题思路】（1）将点的坐标代入双曲线方程即可求解双曲线的标准方程，然后求解渐近线即可；
（2）分类讨论，设出切线方程，联立方程利用判别式法求得斜率，即可求出切线方程；
（3）联立方程求得点A和B的坐标，进而求出，结合渐近线的夹角，代入三角形面积公式即可求解.
【解答过程】（1）因为双曲线过点，，所以，
解得，所以双曲线C的标准方程为，所以双曲线C的渐近线方程为.
（2）当切线斜率存在时，不妨设切线方程为，因为点在双曲线C上，
所以，联立，
消去y并整理得，
此时，即，
所以，又，所以，
解得，
所以切线方程为，即；
当切线斜率不存在时，即时，切点为，切线方程为，满足；
综上，直线l的方程为.
（3）由（1）知双曲线C的渐近线方程为，此时两渐近线与x轴的夹角均为，
即，设，由（2）可知切线方程为，
联立，解得，即，
此时，同理可得，
所以的面积
.

【类型3 抛物线中的切线方程与切点弦问题】
11．（2026·甘肃临夏·一模）过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解题思路】利用直线与抛物线相切设直线方程求切点，利用两点距离公式计算即可.
【解答过程】由题意直线斜率存在，
可设过点的切线方程为，
与抛物线方程联立可得：
，
所以，解之得，

如图所示，设，则，
当时，，即，
当时，，即，
所以.
故选：A.
12．（2026高三上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解题思路】先由准线与圆相切得准线方程和点，求出.再设直线斜率为，由直线与抛物线相切得，建立方程解即可.
【解答过程】如图，抛物线的准线为，
由准线与圆相切于点，
则，解得.
则抛物线方程为：，
设直线的方程为，
联立方程得，
由直线与抛物线相切得，
，解得，即，
所以直线的方程为，即或.
故选：C.

13．（2026高三·全国·专题练习）过点作抛物线的切线，切点分别记为，则直线的方程为 ．
【答案】
【解题思路】设切点，，利用导数求出点处的切线斜率结合点斜式得切线方程，再结合切线所过的点和切点在抛物线化简得，同理点B得解.
【解答过程】设切点，，由得，求导得，
则上切点处的切线斜率，
所以在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以，
结合，化简得，
同理可得，
故点，均在直线上，
所以直线的方程为.
故答案为：.
14．（2026高二上·江苏南通·期中）已知抛物线．
(1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程；
(2)求过点的抛物线的切线方程．
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】（1）设，，设直线的方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标求得参数值得直线方程；
（2）设切线方程，代入抛物线方程后由判别式为0求得参数值，得切线方程．
【解答过程】（1）当直线的斜率为时，与抛物线只有一个交点，故不合题意，
所以直线的斜率不为0，设直线的方程为
由，消去得
则
设，，所以
因为的中点为，所以，
所以，所以直线的方程为，
即；
（2）若过点的切线斜率为，则该直线与抛物线相交，所以不合题意，
所以过点的切线设为
由消去得,
则有
所以或，
所以所求切线方程为或
即或
15．（2026高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2．
(1)求；
(2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求．
【答案】(1)2
(2)
【解题思路】（1）根据圆外一点到圆上的点的最小距离的求法确定的值.
（2）设过点的切线方程，带入抛物线方程，由直线与抛物线相切，可求切线斜率和切点坐标，利用两点间的距离公式求.
【解答过程】（1）因为（），则其到圆心距离减去半径为2，故 .
（2）由（1）可知，抛物线的标准方程为：.
如图：

因为过点的切线一定有斜率，故设切线方程为：，即，
代入得：，整理得：.
因为直线与抛物线相切，所以 或.
当时，由 ，所以切点；
当时，由 ，所以切点.
所以 .
【类型4 切点弦过定点问题】
16．（2026·湖南·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，.
(1)求E的方程；
(2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见详解；定点坐标为
【解题思路】（1）根据已知条件，设直线的方程为，设，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得，即得答案；
（2）设直线的方程为，，，联立抛物线方程，得到韦达定理，利用导数的几何意义，设出切线与的方程，两者联立，可求出，即可证得直线过定点，并得出该定点坐标.
【解答过程】（1）
由已知，，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，
设的方程为，,
联立，得，则，
则，
所以，
解得，
故抛物线E的方程为：.
（2）设直线的方程为，，，
联立，得，
，即，
所以，，
令，当时，
可化为，则，
则在处的切线的方程为：，
即，
同理可得切线的方程为：，
联立与的方程，解得，
所以，则，满足，
则直线的方程为，
所以直线过定点，该定点坐标为.
17．（2026高二上·陕西安康·期中）已知椭圆：经过点，且离心率为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程；
(3)过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，
【解题思路】（1）利用椭圆的离心率和通过的点建立方程，求出基本量，再得到椭圆方程即可.
（2）利用点差法结合中点坐标公式得到斜率，再利用点斜式得到直线方程即可.
（3）设切点坐标，联立切线与椭圆方程，消元后利用判别式为，可利用切点坐标表示，再把点坐标代入，即可得到过切点的一条直线方程，同理另一个切点坐标也适合，即可得出直线的方程，再求出直线所过定点即可.
【解答过程】（1）由椭圆经过点，且离心率为，
得到，解得，，故的方程为.
（2）设，，由题意得，
因为线段PQ的中点为，所以，，
因为，，两式相减得，
所以，即，解得，
即直线的斜率为，故的方程为，即.
（3）如图，设，当时，
可设切线的方程为，，
将与联立，得，
则，即，
且，，
所以，，代入，得，
将的坐标代入，得.
当时，，；当时，，，
而满足.
设，同理可得，
则点，都在直线上，
故直线的方程为，即，
由得，故直线恒过定点.
18．（2026高三·全国·专题练习）左、右焦点分别为的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若为直线上一点，过点作椭圆的两条切线为切点，问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)过定点，
【解题思路】（1）设点的坐标为，根据重心性质和可得，结合三角形面积公式求解可得；
（2）设切线方程为，根据切线过点可求得的方程，由直线系方程即可确定所过定点.
【解答过程】（1）因为椭圆焦点在轴上，且过点，
所以，
设内切圆的半径为，点的坐标为，
则重心的坐标为，
因为，所以．
由面积可得，
即，结合，解得，
即所求的椭圆方程为则椭圆方程为．

（2）设，
则切线的方程分别为，
因为点在两条切线上，所以，
故直线的方程为．
又因为点为直线上，
所以，即直线的方程可化为，
整理得，
由解得，
因此，直线过定点．
19．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，．
【解题思路】（1）根据条件得到关于的方程组，即可求解；
（2）首先利用点的坐标表示切线方程，并利用两点确定一条直线，确定直线的方程，再根据含参直线确定定点坐标.
【解答过程】（1）∵椭圆的离心率为，
椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1，
∴，
解得，
∴椭圆的方程为．
（2）证明：设切点为，则切线方程为，
∵两条切线都过上任意一点，
∴得到，
∴都在直线上，
又，
由，得，
即对任意的，直线始终经过定点．
∴动直线恒过一定点．
20．（2026高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的长轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、.
①求证：直线恒过定点；
②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②存在，
【解题思路】（1）根据椭圆的长轴长为，离心率为，由求解；
（2）①设，，，由，，且，经过点，得到求解；②设实数存在，则，分直线斜率不存在，斜率，斜率，利用弦长公式求解.
【解答过程】（1）解：由题意可知，所以，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）①设，，，
由题设可知：，，
又因为，经过点，所以，
所以，均在直线上，即，
由，解得，所以直线过定点.
②设实数存在，因为，所以，
当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，
由解得，
所以，故.
当直线斜率时，不满足题意；
当直线斜率时，设直线的方程为，则，
故，
所以，
联立可得，显然，
所以，，
所以.
综上可知，存在满足条件.
【类型5 与切点弦有关的面积问题】
21．（2026高三上·江苏徐州·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过点作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若的最小值为5，则的面积为（ ）
A．75 B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据抛物线定义得到，再利用导数得到切点弦所在直线方程，再求出直线的长和点P到直线的距离，最后利用三角形面积公式即可．
【解答过程】当F，Q，P三点共线时，取得最小值，且，
所以，解得，所以．
由，得．
设，，则曲线在处的切线方程为，
即．因为切线过点，所以．
同理可得，所以直线的方程为，即．
联立方程组，得，
，则．
因为直线过焦点F，所以，
点P到直线的距离，
所以．
故选：D．
22．（2026高二上·全国·课后作业）已知，顶点为的抛物线，焦点为，点是上一点，已知的外接圆与的准线相切，且外接圆的面积为，过点作的两条切线，切点分别为，则的面积为 ．
【答案】
【解题思路】利用三角形外心的性质结合圆的面积可确定抛物线方程，再设坐标，结合直线与抛物线相切及同解方程得出切点弦方程，再根据点到直线的距离公式及弦长公式计算即可.
【解答过程】易知，则的外接圆圆心的纵坐标为，
由题意得的外接圆半径为，故，解得，
所以的方程为，即．
设点，直线的方程为，
联立,得．
因为相切，所以，解得，
故直线的方程为，结合得①，
设点，同理得直线的方程为②，
将代入①②得,
所以直线的方程为．
由，得，则，，
故．
又易得点到直线的距离为，所以．
故答案为：.

23．（广东茂名·模拟预测）已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为 .
【答案】
【解题思路】根据题意设出过点M的切线方程，得出切线斜率之间的关系，求出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合面积公式可得结果.
【解答过程】设，的斜率分别为，且
过点M的切线方程为，联立，
解得，所以，
即，所以，
设切点，由导数几何意义知，
所以，，所以直线，
即：且，所以：，
直线恒过定点，其到的距离为1，
联立得，
∴，，即，
∴，
故答案为：.
24．（2026·云南昆明·模拟预测）已知圆C：A：为圆C与y轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点B恰好落在x轴上，点M的轨迹为曲线E，Q为直线上的动点.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点Q作曲线E的切线，切点分别为D，G.
①求的值；
②求面积的最小值.
【答案】(1)；
(2)①0；②4.
【解题思路】（1）设，表示出点的坐标，再利用圆的性质列出方程并化简即可.
（2）分别求出切线、的方程，利用两切线都过点，可得直线的方程，与抛物线方程联立利用根与系数的关系求出的值.
（3）由（2）知，直线恒过焦点，，利用抛物线定义计算和，进而求出面积关系并求出最小值.
【解答过程】（1）设，而，则弦的中点，又，
于是，，由，得，即，
所以曲线的方程为.
（2）①由（1）知，曲线E：，求导得，
设，，，切线的方程为：，
即，同理得切线的方程为：，
又两切线都过点，因此，则直线的方程为，
由消得：，则，则，
于是，，
所以.
②由①知，直线恒过抛物线的焦点，，
由抛物线定义得： ，
，
因此的面积，
当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为4.
25．（2026·河北邢台·二模）已知定点，轴于点H，F是直线OA上任意一点，轴于点D，于点E，OE与FD相交于点G．
(1)求点G的轨迹方程C；
(2)过的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为和，证明：为定值；
(3)在直线上任取一点，过点B分别作曲线C：的两条切线，切点分别为M和N，设的面积为S，求S的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)4
【解题思路】（1）设，进而得,由三点共线得点G的轨迹方程；
（2）设过的直线为与抛物线联立，化简同理得，将韦达定理代入化简得为定值；
（3）设，写出直线，的方程，点在直线上则得，，即可推出直线过定点，联立抛物线的方程与直线的方程，结合韦达定理可得，，再计算的面积，即可得出答案．
【解答过程】（1）设，易知直线，则，因为三点共线，
则；

（2）设，过的直线为
与联立得，则，
又，同理，
故；

（3）设，因为，所以，
所以处切线方程为方程为：，处切线方程为：，
整理得，和，
代入上述方程，得，，因此直线的方程为，
由，整理得，
易知，所以，，
所以
，
点到直线的距离为，
，
当且仅当时，取得最小值4．

【类型6 与切点弦有关的定值问题】
26．（2026高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为．
(1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；
(2)设直线的斜率分别为，求证：为定值．
【答案】(1)和
(2)证明见解析
【解题思路】（1）由抛物线性质得到点，直曲联立，令判别式得零，解出斜率，得到切线方程；
（2）由点斜式设出直线方程，直曲联立，由判别式为零，得到关于的一元二次方程，再由韦达定理得到斜率之积为定值.
【解答过程】（1）
由抛物线C的方程为，则其准线方程为
由于点P的纵坐标为0，所以点P为，过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0，设其斜率为k则切线方程为
联立
由于直线与抛物线C相切，可知，即
此时抛物线C的两条切线方程分别为和.
（2）
点P在抛物线C的准线上，设
由题意知过点P作抛物线C的切线，斜率存在且不为0，
设其斜率为k则切线方程为
联立
由于直线与抛物线C相切，可知，即
而抛物线C的两条切线的斜率，即为方程的两根
故.
27．（2026·河北·三模）已知椭圆：的离心率为，是椭圆的短轴的一个顶点．
(1)求椭圆的方程．
(2)设圆：，过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为，．设两切线的斜率均存在，分别为，，问：是否为定值？若不是，说明理由；若是，求出定值．
【答案】(1)；
(2)是，．
【解题思路】（1）根据离心率和得到方程，求出，得到椭圆方程；
（2）设，先得到，，设过点与椭圆相切的直线为，联立椭圆方程，由得到，由两根之积得到
【解答过程】（1）由题意得，又，
解得，故椭圆方程为；
（2）是，，理由如下：
设，当时，此时两切线中的一条切线斜率不存在，舍去，
故，，
设过点与椭圆相切的直线为，
与联立得，
由得，，
整理得，
过点与椭圆相切的两直线斜率分别为，，
所以
28．（2026高三上·湖北武汉·阶段练习）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左 右顶点，的一点.过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）根据椭圆相似的定义可得，即可得离心率；
（2）由相似比可得方程，分别将，与椭圆联立，可得，为方程的两根，结合韦达定理可得解.
【解答过程】（1）对于椭圆，则长轴长为，短轴长为，焦距为，
椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
依题意可得，所以，
则椭圆的离心率；
（2）
由相似比可知，，解得，
所以椭圆，
设，直线的方程为，则，
联立直线与椭圆的方程，消去，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，
又代入上式，整理得，
同理可得，
所以，为关于的方程的两根，
所以，
又点在椭圆上，
所以，
所以，为定值.
29．（2026高二上·山东潍坊·期末）已知⊙C：（C为圆心）内部一点与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于M，
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若点M的轨迹为曲线X，设为圆上任意一点，过作曲线X的两条切线，切点分别为，判断是否为定值 若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)是，
【解题思路】（1）根据椭圆的定义得到的轨迹为以两点为焦点，长轴长为4的椭圆，求出椭圆方程；
（2）由平行于轴特殊情况求出，即；当不平行于轴时，设过的直线为，联立椭圆方程，令化简得关于的二次方程，由韦达定理即可求解.
【解答过程】（1）

因为，点与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于M，
连接，则，
其中，，
所以，
所以点M的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆，
所以，即，，
所以轨迹方程为.
（2）

如图所示，当平行于轴时，恰好平行于轴，，，；
当不平行于轴时，设，设过点的直线为，
联立，得，
令得，
化简得，设，则，
又，故，即.
综上所述，.
30．（2026·河北保定·一模）已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围；
(3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【解题思路】（1）由椭圆所过的点列出关于的方程组即可求解；
（2）分“外切矩形四边所在切线存在斜率不存在”和“外切矩形四边所在切线斜率都存在”，设切线，与椭圆联立方程，利用位置关系结合判别式求出，同理依次得切线满足，切线满足，切线满足，再利用两平行线间距离求出两组切线的距离，从而得面积并结合对称性和基本定理计算化简即可得解；
（3）证明：设切线，与椭圆方程联立结合韦达定理依次求得，进而得斜率，同理得即可证明为定值.
【解答过程】（1）由题得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）当外切矩形四边所在切线存在斜率不存在时，此时矩形面积为；
当外切矩形四边所在切线斜率都存在时，
则可设切线，
联立，
则，
由题可设切线，同理可得，
切线和距离为；
由题可设切线，
联立，
则，
由题可设切线，同理可得，
切线和距离为；
所以由对称性可得矩形面积为，
令，当且仅当即等号成立时，
所以，
则，
综上，矩形面积的取值范围为.
（3）证明：设切线，
联立，
则，
此时，所以斜率，
同理可得，所以为定值.
【类型7 与切点弦有关的最值（范围）问题】
31．（2026·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解题思路】设，且，联立方程组，根据，求得，得到，同理可得，结合和，两种情况求得原点到直线距离，即可求解.
【解答过程】由抛物线，可得焦点，准线方程为，
设，
由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设，
联立方程，整理得，
由直线与抛物线相切可得，解得，所以，
又因为在直线上，所以有，同理可得，
若，则，即的直线方程为，则到的距离为1；
若，则，两式联立消，可得，所以，
所以，整理得，
所以到直线距离，
综上可得，即原点到直线距离的最大值为.
故选：D.
32．（2026·全国·模拟预测）抛物线的焦点为，为其准线上任意一点，过点作的两条切线，切点为（点与在抛物线同侧），则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】D
【解题思路】根据过点的直线与抛物线相切，得到，利用抛物线对称性设不妨设切点为在第一象限，然后利用导函数求切线斜率，进而求出直线方程，得，得，最后利用基本不等式求最值.
【解答过程】

由，可知抛物线焦点，准线方程为，
因为为其准线上任意一点，设，
设过点且与抛物线相切的直线为：，①
由得：，
所以，整理得，，②
所以，是方程②的两根，
所以，故，
所以，
利用抛物线对称性，不妨设切点为在第一象限，坐标为，
由得，所以，
所以直线的斜率，
代入①可得切线的方程为：，
又因为点在直线上，
所以，所以，
所以点的坐标为，
所以，，
所以
.
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
故选：D.
33．（2026·四川宜宾·二模）已知为抛物线的焦点，过直线上的动点作抛物线的切线，切点分别是，则与为坐标原点）面积之和的最小值为 .
【答案】
【解题思路】根据题意直线PQ斜率存在，设其方程为，利用导数可得出抛物线在点P、Q处的切线斜率，联立直线AB的方程与抛物线的方程，根据韦达定理即可求出的值，再利用面积公式结合基本不等式得出最小值.
【解答过程】由，得，，求导得，
根据题意直线PQ斜率存在，设其方程为，
设，，可知在处切线斜率分别为，
设，显然过点M的切线的斜率存在，设切线方程为，
联立方程，消去y得，
则，整理得，
可得，即，
联立方程，消去y整理得，
则，可得，
则直线PQ的方程为，过定点，且，
设，则，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以与为坐标原点）面积之和的最小值为.
故答案为：.
34．（2026高三下·江苏·专题练习）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点.
(1)求证：.
(2)求的面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解题思路】（1）根据题意，分直线的斜率都存在与直线或的斜率不存在时讨论，然后联立方程，结合韦达定理代入计算，即可证明；
（2）根据题意，分别表示出直线的方程，从而可得直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，结合弦长公式，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】（1）
证明：设点．
①当直线的斜率都存在时，
设过点与椭圆相切的直线方程为 ．
联立，消去得．
．
令，整理得：．
设直线的斜率分别为．
∴．又．
∴．
∴，即为圆的直径，
∴．
②当直线或的斜率不存在时，不妨设，
则直线的方程为．
∴点，点，也满足．
综上，有．
（2）设点，点．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
联立，消去得
．
令，整理得 ．
则．
∴直线的方程为．
化简可得，即 ．
经验证，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为或，也满足．
同理，可得直线的方程为．
∵在直线上，
∴，．
∴直线的方程为．
联立，消去得．
∴，，
∴
．
又点到直线的距离．
，
令，．则．
又，
∴的面积的取值范围为.
35．（2026高二上·江苏常州·期中）已知拋物线的焦点，直线，
(1)设直线与x轴交于点，直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，求出所有满足的点的坐标.（其中点与点对应，点与点对应）；
(2)过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，求的最小值.
【答案】(1)或
(2)
【解题思路】（1）根据条件，利用余弦定理得到，从而有，再利用，得到点在轴正半轴或轴负半轴上，再利用相似比，即可求解；
（2）设切线的方程为，联立抛物线方程求得，得到直线和的方程为，进而得到的方程为，再联立抛物线方程，得到，进而求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【解答过程】（1）因为拋物线的焦点为，则，得到，所以拋物线，
由题知，由，得到，所以，
在中，，，
则，又，所以，
因为，且点与点对应，点与点对应，所以，
如图，易知，所以点在轴正半轴或轴负半轴上，
又因为，，得到，
所以点的坐标为或.
（2）设，则，，
再设切线的方程为，
联立方程组，整理得，
由，且，可得，
则切线的方程为，即.
由切线过点，可得.
同理，切线的方程为，
由切线过点，可得，
则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
可得，
则
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 圆锥曲线中切线与切点弦问题七大必考题型（举一反三专项训练）
【苏教版】
【类型1 椭圆中的切线方程与切点弦问题】 2
【类型2 双曲线中的切线方程与切点弦问题】 3
【类型3 抛物线中的切线方程与切点弦问题】 4
【类型4 切点弦过定点问题】 5
【类型5 与切点弦有关的面积问题】 6
【类型6 与切点弦有关的定值问题】 8
【类型7 与切点弦有关的最值（范围）问题】 9
知识点 圆锥曲线中的切线与切点弦
1．圆锥曲线的切线和切点弦
(1)切线方程：
过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为
.
(2)切点弦方程：
当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：.
上述两条为一般结论.特别地：
①对于椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程.
当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为.
②更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即圆锥曲线形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原圆锥曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线.
2．圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论
(1)过椭圆+=1上一点的切线方程为；
(2)过椭圆+=1外一点的切点弦方程为；
(3)过双曲线=1上一点的切线方程为；
(4)过双曲线=1外一点的切点弦方程为.
【类型1 椭圆中的切线方程与切点弦问题】
1．（2026高二下·浙江嘉兴·期中）经过点且与椭圆相切的直线方程是 (　　)
A． B．
C． D．
2．（2026高三上·江苏南通·阶段练习）已知标准椭圆上P，Q两点的切线方程分别为，，则直线PQ的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2026·全国·模拟预测）写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 .
4．（2026高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的焦距为4，且经过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程.
5．（2026高三上·浙江·期末）已知椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为坐标原点，为直线上的一动点，过点作直线与椭圆相切于点，若的面积为，求直线的方程．
【类型2 双曲线中的切线方程与切点弦问题】
6．（2026高二·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ．
7．（2026高三·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．
8．（2026高三·全国·专题练习）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程．
9．（2026高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程；
（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．
10．（2026·河南周口·模拟预测）已知双曲线过点，.
(1)求双曲线C的渐近线方程.
(2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为.
(3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.
【类型3 抛物线中的切线方程与切点弦问题】
11．（2026·甘肃临夏·一模）过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
12．（2026高三上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
13．（2026高三·全国·专题练习）过点作抛物线的切线，切点分别记为，则直线的方程为 ．
14．（2026高二上·江苏南通·期中）已知抛物线．
(1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程；
(2)求过点的抛物线的切线方程．
15．（2026高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2．
(1)求；
(2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求．
【类型4 切点弦过定点问题】
16．（2026·湖南·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，.
(1)求E的方程；
(2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
17．（2026高二上·陕西安康·期中）已知椭圆：经过点，且离心率为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程；
(3)过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
18．（2026高三·全国·专题练习）左、右焦点分别为的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若为直线上一点，过点作椭圆的两条切线为切点，问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
19．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．
20．（2026高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的长轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、.
①求证：直线恒过定点；
②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【类型5 与切点弦有关的面积问题】
21．（2026高三上·江苏徐州·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过点作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若的最小值为5，则的面积为（ ）
A．75 B． C． D．
22．（2026高二上·全国·课后作业）已知，顶点为的抛物线，焦点为，点是上一点，已知的外接圆与的准线相切，且外接圆的面积为，过点作的两条切线，切点分别为，则的面积为 ．
23．（广东茂名·模拟预测）已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为 .
24．（2026·云南昆明·模拟预测）已知圆C：A：为圆C与y轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点B恰好落在x轴上，点M的轨迹为曲线E，Q为直线上的动点.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点Q作曲线E的切线，切点分别为D，G.
①求的值；
②求面积的最小值.
25．（2026·河北邢台·二模）已知定点，轴于点H，F是直线OA上任意一点，轴于点D，于点E，OE与FD相交于点G．
(1)求点G的轨迹方程C；
(2)过的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为和，证明：为定值；
(3)在直线上任取一点，过点B分别作曲线C：的两条切线，切点分别为M和N，设的面积为S，求S的最小值.
【类型6 与切点弦有关的定值问题】
26．（2026高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为．
(1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；
(2)设直线的斜率分别为，求证：为定值．
27．（2026·河北·三模）已知椭圆：的离心率为，是椭圆的短轴的一个顶点．
(1)求椭圆的方程．
(2)设圆：，过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为，．设两切线的斜率均存在，分别为，，问：是否为定值？若不是，说明理由；若是，求出定值．
28．（2026高三上·湖北武汉·阶段练习）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左 右顶点，的一点.过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
29．（2026高二上·山东潍坊·期末）已知⊙C：（C为圆心）内部一点与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于M，
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若点M的轨迹为曲线X，设为圆上任意一点，过作曲线X的两条切线，切点分别为，判断是否为定值 若是，求出定值；若不是，说明理由.
30．（2026·河北保定·一模）已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围；
(3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值．
【类型7 与切点弦有关的最值（范围）问题】
31．（2026·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
32．（2026·全国·模拟预测）抛物线的焦点为，为其准线上任意一点，过点作的两条切线，切点为（点与在抛物线同侧），则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
33．（2026·四川宜宾·二模）已知为抛物线的焦点，过直线上的动点作抛物线的切线，切点分别是，则与为坐标原点）面积之和的最小值为 .
34．（2026高三下·江苏·专题练习）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点.
(1)求证：.
(2)求的面积的取值范围.
35．（2026高二上·江苏常州·期中）已知拋物线的焦点，直线，
(1)设直线与x轴交于点，直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，求出所有满足的点的坐标.（其中点与点对应，点与点对应）；
(2)过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，求的最小值.
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